误差分析习题解答

误差分析习题解答 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
“误差分析和数据处理”习题及解答
1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差
（1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。

答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。

2．将下列数据舍入到小数点后3位： ； ； ； ； ； 。

答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： ； ； ； ； ； 。

3．下述说法正确否为什么
（1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即
()1
2
m m m =
+左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为 cm 及 cm ，因此测量误差为 cm 。

答：（1）错。

等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。

被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即
2
r 1
l m m l =
当l 1 = l 2时，m = m r 。

当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。

为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即
1
l 2
l m m l =
将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得
m =
这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。

（2）错。

有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。

4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。

试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。

解：平均质量 3.69130
0.738265i
i
m
m n
=
=
=∑ 平均误差 ||
0.00012
0.0000245
i
i
m m d n
-=±
=±
=±∑ 标准误差 0.000032σ===±
5．测定某样品的重量和体积的平均结果W = g ，V = mL ，它们的标准误差分别为 g 和 mL ，求此样品的密度。

解：密度 -110.287 4.436 g mL 2.319
W V ρ=
==⋅ 间接测量结果（乘除运算）的相对标准误差：
0.00270.0027 4.4360.012
ρρσρσ====±=±⨯=± 测量结果表示为：ρ = ± g·mL -1
6．在629 K 测定HI 的解离度α时得到下列数据：
， ， 01968， ， ， ， ， ， ， 。

解离度α与平衡常数K 的关系为：
2HI == H 2 + I 2
(
)2
21K αα⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
试求在629 K 时的平衡常数及其标准误差。

解：略去可疑值后，α的平均值 α= ，平均误差 d = ±，标准误差 σα = ± （因 |?α| > 4|d |，故可疑值可以舍弃）。

()()()()2
2
33
0.19500.01467
21210.19500.1950
0.00090.0001721210.19500.014670.00017
K K K K ααααασσσαα⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦∂=±⋅=±⋅=±⨯=±∂--=±
7．物质的摩尔折射度R ，可按下式计算：
2212n M
R n d
-=⋅+
已知苯的摩尔质量M = g·mol -1，密度d = ± g·cm -3，折光率n = ±，试求苯的摩尔折射度及其标准误差。

解：222
2
1 1.498178.08
26.042 1.49820.879
n M R n d --=⋅=⨯=++
0.09
2R R σ=====±= 6.040.09
±
8．乙胺在不同温度下的蒸气压如下：
试绘出p —t 及lg p —T
关系曲线，并求出乙胺的蒸气压与温度的关系式。

解：作图如下：
从上图所作直线上任意取两个端点，如（, ）、（, ），得直线方程为：
1000
lg 1.4837.992p T
=-⨯
+（和电脑作图所得方程 1000lg 1.48117.9865p T =-⨯+ 一致）。

9．计算下列某物理量重复测定值的平均值及平均偏差。

（1） ； ；
（2） ρ(g·cm -3) ； ；
（3） 当ρ的准确值为 g·cm -3时，求上述ρ的绝对误差和相对误差。

解：（1） 20.2020.2420.25
20.233
i
i
a
a n ++=
=
=∑
||
|20.2020.23||20.2420.23||20.2520.23|
0.023
i
i
a a d n
--+-+-=±
=±
=±∑
（2） 0.87860.87870.8782
0.87853
i
i
n
ρ
ρ++=
=
=∑
||
|0.87860.8785||0.87870.8785||0.87820.8785|
0.0002
3
i
i
d n
ρ
ρ--+-+-=±
=±
=±∑（3） 绝对误差为： ? = ? (g·cm -3) 相对误差为：
0.0005
0.00060.8790
-=-
10．在不同温度下测得偶氮异丙烷分解速率常数，其分解反应式和数据结果如下：
（1）试用直线化法作图验证k 与T 间的关系，可用下列指数函数式表示：
E RT
k Ae
-=
（2）求出A 、E 值，并写出完整的方程式。

解：（1）将方程改写为 ln ln E k A RT =-
+，作ln k —1
T
图如下：
所得图形为一直线，得证。

（2）由图可得，斜率 20600E
R
-
=-，截距 ln A = 故 E = ×105 J·mol -1，A = ×1013 k 与T 间的方程式为： 5
1.71310135.9110RT
k e ⨯-
=⨯
11．某次用光电比色法测得光透过Cu(NH 3)42+水溶液时的结果如下：
若lg R 随c 的变化成线性关系，可用下式表示：lg R = a ? bc 试用最小二乘法求出上式中a 和b 的值。

解：最小二乘法的根据是在有限次测量中最佳结果应使标准误差最小，也即使残差的平方和为最小，即：()221
1
lg n
n
i i i i i a bc R δ==∆==--=∑∑最小
使 Δ 为最小的必要条件为：()1
2lg 0n
i i i a bc R a =∂∆=--=∂∑
()1
2lg 0n
i i i i c a bc R b =∂∆
=---=∂∑ 由此即可求得a 和b 。

为此，先列出各个残差如下：
得方程：8a ? 140×b ? = 0
140a ? 3500×b ? = 0
解得： a =
b =
附电脑作图所得直线及其方程：
12．在不同温度下测得氨基甲酸铵的分解反应
NH 2COONH 4(s ) == 2NH 3(g ) + CO 2(g )
的数据如下：
试用最小二乘法求出方程 1
lg p K f T ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，由此求平均等压反应热效应ΔH 。

解：令 c =1，设 lg K p = a ? bc ，列出各个残差如下：
得方程：6a ? ×b + = 0
? ×
b + = 0 解得： a =
b = 8340
比较平衡常数与温度的关系：ln p H K C RT
∆=-+ 或 'lg 2.3026p H
K C RT
∆=-
+
可得：
83402.3026H
b R
∆==
即ΔH=×105 J·mol-1
附电脑作图所得直线及其方程：。