命题逻辑符号化习题.ppt
（5）不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。 需要考虑问题： ①只是限制黑猫白猫，还是包含其它颜色的猫？ ②是指至少抓住一只就可以，还是抓住所有的？ 因此在描述命题时，总是将这些模糊概念做某种确切理解。 设 C(x)：x是猫， W(x)：x是白的， B(x)：x是黑的 G(x)：x是好的，M(x)：x是老鼠， K(x)：x抓住y 命题符号化为 xy(C(x)∧M(y)∧(B(x)∨W(x))∧K(x,y))→G(x))
（6）对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过这两点。 设 P(x)：x是一个点，L(x)：x是一条直线 R(x,y,z)：z通过x,y，E(x,y)：x等于y 命题符号化为 xy(P(x)∧P(y)∧﹁E(x,y) →z(L(z)∧R(x,y,z)∧u((L(u)∧R(x,y,u))→E(u,z)))
习题选讲—命题符号化
1. 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 （1） 有的狗会飞。 （2） 发光的不都是金子。 （3） 一切人都不一样高。 （4） 有唯一的偶素数。 （5） 不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。 （6）对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过这两点。
解： （1）有的狗会飞。 设D(x)：x是狗，F(x)：x会飞。 命题符号化为：x(D(x)∧F(x)) （2）发光的不都是金子。 命题的意思是： ① 不是发光的东西都是金子。 ② 存在着发光的东西不是金子。 设 L(x)：x是发光的东西，G(x)：x是金子。 命题符号化为 ① ┐ ② x(L(x)→G(x)) x(L(x)∧﹁G(x))
（3）一切人都不一样高。 设 F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高， 命题符号化为 x(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y))) 或 xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x：Q(x):x是偶数，P(x):x是素数， E(x,y):x＝y 命题符号化为： x(Q(x)P(x)y(Q(y)P(y)E(x,y)))
习题选讲—公式判断
3、判断下列公式是否为永真公式。
（1） (x A(x) x B(x)) x (A(x) B(x))
（2） (x A(x) x B(x)) x (A(x) B(x)) （3） (x A(x) x B(x)) x (A(x) B(x)) （4） (x A(x) x B(x)) x (A(x) B(x)) 解：
（1） 永真公式。
（2） 不是永真公式。 （3） 永真公式 。 （4） 永真公式。
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命题逻辑-PPT
q→r
∴p→r
二难推理CD
(p→q) ∧(r→s) p∨r
破坏式二难推理DD
(p→q) ∧(r→s) q∨ s
∴ q∨s
∴ p∨ r
• 例1 如果商品短缺日益严重,那么物价会上涨。如 果存在生产过剩,那么物价不会上涨。如果存在通 货膨胀威胁,那么财政控制将继续。如果政府改组, 那么财政控制将取消。或者存在生产过剩,或者政 府改组。因此,商品短缺不会日益严重,或者不再存 在通货膨胀威胁。
• 第2类符号就是逻辑常元,她们有确定得逻辑 解释因而能够表达某种确定得真假联系。
• 第3类符号则就是为避免歧义以构造合式命 题公式所需要得辅助符号。
• 形成规则
• 1、所有命题变元就是命题公式;
• 2、如果就是命题公式,那么就是命题 公式
• 3、如果、就是命题公式,那么 (),(∧)、(Φ∨Ψ)和(ΦΨ)也就是命 题公式;
• 例2、判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2、1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• ① 恒真式。不论其中得变元取什么样得值,函项 式得值恒为真。
• ② 恒假式。无论其中得变元取什么样得值,函项 式得值恒为假。
• ③ 协调式。既不就是恒真式也不就是恒假式函 项式。显然,协调式在其变元得某些取值组合下为 真,在另一些取值组合下又为假得。因此。协调式 得真假由变元得真假决定。
第二节命题公式之间得逻辑等值 关系
• 例1 如果商品短缺日益严重,那么物价会上涨。如 果存在生产过剩,那么物价不会上涨。如果存在通 货膨胀威胁,那么财政控制将继续。如果政府改组, 那么财政控制将取消。或者存在生产过剩,或者政 府改组。因此,商品短缺不会日益严重,或者不再存 在通货膨胀威胁。
2-命题逻辑PPT课件
于是，上述语句可表示为（PQ） R。
2021/4/8
14
例3.1.2
➢ 除非他以书面或口头的方式正式通知我， 否则我不参加明天的会议。
➢令P：他书面通知我； Q：他口头通知我； R：我参加明天的会议。
于是，上述语句可表示为(PQ)R。
2021/4/8
15
例3.1.3
➢ 设P，Q，R的意义如下： P：苹果是甜的；Q：苹果是红的； R：我买苹果。 试用日常语言复述下述复合命题： (1) (PQ)R (2) (PQ)R
2) 若1+1=3, 就存在上帝.
3) 若1+1=3, 猪就会飞.
4) 若1+1=2, 猪就会飞.
5) 雪是白的当且仅当太阳从东方升起.
6) 1+2=3当且仅当4+59.
➢ 答：0 1 1 0 1 0
2021/4/8
13
例3.1.1
➢ 如果你走路时看书，那么你一定会成为 近视眼。
➢令P：你走路；Q：你看书； R：你是 近视眼。
➢例如：1) P：张怡宁蝉联了奥运冠军， Q：张怡宁是大满贯得主； PQ：张怡宁既蝉联了奥运冠军 又是大满贯得主。
2)P：22=5，Q：雪是黑的， PQ：22=5并且雪是黑的。
2021/4/8
8
定义3.1.4 蕴涵
➢设P，Q是两个命题，命题 “如果P，则 Q”称为P蕴涵Q，记以PQ。
➢ 规定：PQ是假的当且仅当P是真的而Q 是假的。
i 1,...,n
➢ 例如，上例公式G的真值表中第二个解释
就可以记为{P，Q，R}
2021/4/8
31
定义2.2.5
➢ 公式G称为恒真的(或有效的)，如果G在 它的所有解释下都是真的； 公式G称为 恒假的(或不可满足的)，如果G在它的所 有解释下都是假的；公式G称为可满足 的，如果它不是恒假的。
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例3.1.2
➢ 除非他以书面或口头的方式正式通知我， 否则我不参加明天的会议。
➢令P：他书面通知我； Q：他口头通知我； R：我参加明天的会议。
于是，上述语句可表示为(PQ)R。
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例3.1.3
➢ 设P，Q，R的意义如下： P：苹果是甜的；Q：苹果是红的； R：我买苹果。 试用日常语言复述下述复合命题： (1) (PQ)R (2) (PQ)R
2) 若1+1=3, 就存在上帝.
3) 若1+1=3, 猪就会飞.
4) 若1+1=2, 猪就会飞.
5) 雪是白的当且仅当太阳从东方升起.
6) 1+2=3当且仅当4+59.
➢ 答：0 1 1 0 1 0
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例3.1.1
➢ 如果你走路时看书，那么你一定会成为 近视眼。
➢令P：你走路；Q：你看书； R：你是 近视眼。
➢例如：1) P：张怡宁蝉联了奥运冠军， Q：张怡宁是大满贯得主； PQ：张怡宁既蝉联了奥运冠军 又是大满贯得主。
2)P：22=5，Q：雪是黑的， PQ：22=5并且雪是黑的。
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定义3.1.4 蕴涵
➢设P，Q是两个命题，命题 “如果P，则 Q”称为P蕴涵Q，记以PQ。
➢ 规定：PQ是假的当且仅当P是真的而Q 是假的。
i 1,...,n
➢ 例如，上例公式G的真值表中第二个解释
就可以记为{P，Q，R}
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定义2.2.5
➢ 公式G称为恒真的(或有效的)，如果G在 它的所有解释下都是真的； 公式G称为 恒假的(或不可满足的)，如果G在它的所 有解释下都是假的；公式G称为可满足 的，如果它不是恒假的。
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
离散数学命题符号化课件 21页PPT文档
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！ • 大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒 有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
• 我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發 生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。 2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。 3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。 4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。 • 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
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0
0
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！ • 大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒 有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
• 我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發 生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。 2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。 3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。 4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。 • 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
命题逻辑PPT课件
41 2 • ﹁ （p ∨ q）= ﹁ p ∧ ﹁ q 5
0 0 1 1 如0 0 果1 0 生1 0 1 产0 1 下1 0 降1 0 0 或0 1 浪0 1 费0 0 严1 0 1 重1 ，那么将造成物资匮乏
；如果物资匮乏，那么或者物价暴涨，或者人民
生活贫困；如果人民生活贫困，政府将失去民心
。事实上物价没有暴涨，而且政府赢得了民心。
合取
P或者q 选言命题
要么p，要么q
如果p，那么q
假言命题 只有p，才q
q当且仅当p
负命题
并非p
p∨q p⊙q p→q p←q pq ﹁p
相容析取 不相容析取
蕴涵
1逆蕴涵
2等值于
4并非
2
复合命题真值表
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• 联言推理
• 选言推理 相容选言推理
不相容选言推理
1 • 假言推理 充分条件假言推理 必要条件假言推理 充要条件假言推理
4 • 二难推理
2
4
合取命题析取命题的负命题
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• ﹁ （p ∧ q）= ﹁ p ∨ ﹁ q
2 Ⅲ 气温高
4 A．Ｉ B.Ⅱ C. Ⅲ D. Ｉ和Ⅲ 14
蕴含命题唯一为假的情形
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• p∧ ﹁q
41 2 Leabharlann 5小王说：如果明天不下大雨，我一定去看
足球比赛。以下哪项为真，可以证明小王
0 0 1 1 如0 0 果1 0 生1 0 1 产0 1 下1 0 降1 0 0 或0 1 浪0 1 费0 0 严1 0 1 重1 ，那么将造成物资匮乏
；如果物资匮乏，那么或者物价暴涨，或者人民
生活贫困；如果人民生活贫困，政府将失去民心
。事实上物价没有暴涨，而且政府赢得了民心。
合取
P或者q 选言命题
要么p，要么q
如果p，那么q
假言命题 只有p，才q
q当且仅当p
负命题
并非p
p∨q p⊙q p→q p←q pq ﹁p
相容析取 不相容析取
蕴涵
1逆蕴涵
2等值于
4并非
2
复合命题真值表
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• 联言推理
• 选言推理 相容选言推理
不相容选言推理
1 • 假言推理 充分条件假言推理 必要条件假言推理 充要条件假言推理
4 • 二难推理
2
4
合取命题析取命题的负命题
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• ﹁ （p ∧ q）= ﹁ p ∨ ﹁ q
2 Ⅲ 气温高
4 A．Ｉ B.Ⅱ C. Ⅲ D. Ｉ和Ⅲ 14
蕴含命题唯一为假的情形
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• p∧ ﹁q
41 2 Leabharlann 5小王说：如果明天不下大雨，我一定去看
足球比赛。以下哪项为真，可以证明小王
4.1-一阶逻辑命题符号化newPPT课件
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
2021
18
2021
19
例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
2021
16
（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
2021
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
2021
18
2021
19
例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
2021
16
（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
2021
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
命题逻辑习题课答案PPT教学课件
(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R))∧ (P∨Q∨R) ∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)
(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)
∏(1,2,3,4,5,6)
2020/12/11
11
P Q R P(Q∧R) P(Q∧R ) A(P, Q, R)
0 FF F
T
T
T
1 FF T
T
F
F
2 FT F
T
F
F
3 FT T
T
F
F
4 TF F
F
T
F
5 TF T
F
T
F
6 TT F
F
T
F
7 TT T
T
2020/12/11
5
方法3 (P→Q)→(P→(P∧Q))
(P∨Q)∨(P∨(P∧Q)) (P∧Q)∨P∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
可见，该公式的主析取范式含有全部(四个) 小项，这表明(P→Q)→(P→(P∧Q))是永真式
4
方法2: (P→Q)→(P→(P∧Q)) (P∨Q)∨(P∨(P∧Q)) (P∧Q)∨((P∨P)∧(P∨Q)) (P∧Q)∨(T∧(P∨Q)) (P∧Q)∨(P∨Q) (P∨(P∨Q) )∧(Q∨(P∨Q) ((P ∨P)∨Q) )∧(Q∨(Q∨P) (T∨Q) )∧((Q∨Q)∨P) T∧(T∨P) T∧T
2020/12/11
6
三.重言蕴涵式的证明方法
方法1.列真值表。(即列永真式的真值表) (略) 方法2.假设前件为真，推出后件也为真。 方法3.假设后件为假，推出前件也为假。 证明
(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)
∏(1,2,3,4,5,6)
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P Q R P(Q∧R) P(Q∧R ) A(P, Q, R)
0 FF F
T
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1 FF T
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F
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2 FT F
T
F
F
3 FT T
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4 TF F
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F
5 TF T
F
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F
6 TT F
F
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7 TT T
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方法3 (P→Q)→(P→(P∧Q))
(P∨Q)∨(P∨(P∧Q)) (P∧Q)∨P∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
可见，该公式的主析取范式含有全部(四个) 小项，这表明(P→Q)→(P→(P∧Q))是永真式
4
方法2: (P→Q)→(P→(P∧Q)) (P∨Q)∨(P∨(P∧Q)) (P∧Q)∨((P∨P)∧(P∨Q)) (P∧Q)∨(T∧(P∨Q)) (P∧Q)∨(P∨Q) (P∨(P∨Q) )∧(Q∨(P∨Q) ((P ∨P)∨Q) )∧(Q∨(Q∨P) (T∨Q) )∧((Q∨Q)∨P) T∧(T∨P) T∧T
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三.重言蕴涵式的证明方法
方法1.列真值表。(即列永真式的真值表) (略) 方法2.假设前件为真，推出后件也为真。 方法3.假设后件为假，推出前件也为假。 证明
离散数学之命题符号化.ppt
p? q 的逻辑关系： q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ”的不同表述法很多：
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，p? q 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
17
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
外层括号可以省去24定义其中bc分别为i层和j层公式且nmaxi例如公式26定义给公式a中的命题变项p指定一组真值称为对a的一个赋值或解释成真赋值
离散数学
1
主要内容
? 数理逻辑 ? 集合论 ? 图论 ? 组合分析初步 ? 代数系统简介 ? 形式语言和自动机初步
2
教材与教学参考书
? 教材：
? 耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第五 版），清华大学出版社 , 2013.
p? q p? q p? q q? p q? p p? q q? p q? p
注意： p? q 与 ? q?? p 等值（真值相同）
18
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价 “p当且仅当 q”称 作p与q的等价式 ，记作 p? q. ? 称作等价联结词 . 并规定 p? q为真当且仅当 p与q同时为真或同时为 假.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生， s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学， t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性 . (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
一个简单命题 .
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，p? q 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
17
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
外层括号可以省去24定义其中bc分别为i层和j层公式且nmaxi例如公式26定义给公式a中的命题变项p指定一组真值称为对a的一个赋值或解释成真赋值
离散数学
1
主要内容
? 数理逻辑 ? 集合论 ? 图论 ? 组合分析初步 ? 代数系统简介 ? 形式语言和自动机初步
2
教材与教学参考书
? 教材：
? 耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第五 版），清华大学出版社 , 2013.
p? q p? q p? q q? p q? p p? q q? p q? p
注意： p? q 与 ? q?? p 等值（真值相同）
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联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价 “p当且仅当 q”称 作p与q的等价式 ，记作 p? q. ? 称作等价联结词 . 并规定 p? q为真当且仅当 p与q同时为真或同时为 假.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生， s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学， t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性 . (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
一个简单命题 .
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
离散数学一阶逻辑命题符号化ppt课件
例如: 逻辑学中著名的三段论:
凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以, 6能被2整除.
这个推理是数学中的真命题, 是正确的, 但在命题逻辑中却无 法判断其正确性, 用p,q,r分别表示以上三个命题. 则得到推理的形式结构为:
(p∧q)→r
由于上式不是重言式, 因而不能由它判断推理的正确性. 原因 在于各命题的内在联系没有表示出来. 为了克服命题逻辑的局限性, 应该将原子命题再细分, 分析出 个体词, 谓词和量词, 以便达到表达出命题的内在联系和命题 之间的逻辑关系. 这就是一阶逻辑所研究的内容.
解
(1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则
x (M(x)→ F(x))
不是 x (M(x) ∧ F(x))
假命题
(2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则
x (M(x)∧G(x))
不是 x (M(x) → G(x))
真命题
(3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则
2. 谓词: 用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词. 例如: (1) 在命题“是无理数”中, “…是无理数”是谓词.
(2) 在命题“x 是有理数”中, “…是有理数”是谓词. (3) 在命题“小王与小李同岁”中, “…与…同岁”是谓词. (4) 在命题“x与y具有关系L”中, “…与…具有关系L”是谓词. 注 ① 常用大写字母F, G, H 等来表示谓词. ② 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项; 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项. ③ F(a): 表示个体常项a具有性质F (F是谓词常项或变项); F(x): 表示个体变项x具有性质F (F同上); F(a,b): 表示个体常项a, b具有关系F (同上); F(x,y): 表示个体变项 x, y具有关系F (同上) . 一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn 的n元谓词. 它可看成以个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数关系. 当P取常项, 且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命 题.
凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以, 6能被2整除.
这个推理是数学中的真命题, 是正确的, 但在命题逻辑中却无 法判断其正确性, 用p,q,r分别表示以上三个命题. 则得到推理的形式结构为:
(p∧q)→r
由于上式不是重言式, 因而不能由它判断推理的正确性. 原因 在于各命题的内在联系没有表示出来. 为了克服命题逻辑的局限性, 应该将原子命题再细分, 分析出 个体词, 谓词和量词, 以便达到表达出命题的内在联系和命题 之间的逻辑关系. 这就是一阶逻辑所研究的内容.
解
(1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则
x (M(x)→ F(x))
不是 x (M(x) ∧ F(x))
假命题
(2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则
x (M(x)∧G(x))
不是 x (M(x) → G(x))
真命题
(3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则
2. 谓词: 用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词. 例如: (1) 在命题“是无理数”中, “…是无理数”是谓词.
(2) 在命题“x 是有理数”中, “…是有理数”是谓词. (3) 在命题“小王与小李同岁”中, “…与…同岁”是谓词. (4) 在命题“x与y具有关系L”中, “…与…具有关系L”是谓词. 注 ① 常用大写字母F, G, H 等来表示谓词. ② 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项; 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项. ③ F(a): 表示个体常项a具有性质F (F是谓词常项或变项); F(x): 表示个体变项x具有性质F (F同上); F(a,b): 表示个体常项a, b具有关系F (同上); F(x,y): 表示个体变项 x, y具有关系F (同上) . 一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn 的n元谓词. 它可看成以个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数关系. 当P取常项, 且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命 题.