菱形基础知识点及同步练习、含答案汇编

学科：数学

菱形

【基础知识精讲】

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

定理1：四边都相等的四边形是菱形．

定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【重点难点解析】

1．菱形的性质

(1)菱形具有平行四边形的一切性质；

(2)菱形的四条边都相等；

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

(4)菱形是轴对称图形．

2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．

A．重点、难点提示

1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；

3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；

4．体会特殊与一般的关系．

B．考点指要

菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：

①菱形的四条边都相等；

②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）

③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）

菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）

菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形．

【难题巧解点拨】

例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD

于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．

思路分析

由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．

证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．

（这是略证，并不是完整的证明过程）

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠CEA=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EF∥AG，且EF=AG，

∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．

已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．

思路分析

利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．

解：在菱形ABCD中，

∵AB=BC=CD=DA，

又AB+BC+CD+DA=20cm，

∴AB=BC=CD=DA=5cm，

又∵AC=5cm，

∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，

∴△ABC和△DAC都是等边三角形，

（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）

∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．

例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．

证法一：∵AF∥BE，

∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）

又∵∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE．（等角对等边）

同理，AB=AF，BE=EF，

∴AB=BE=EF=AF，

∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）

证法二：∵AF∥BE，

∴∠FAE=∠AEB，

又∵∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．

又∵∠FBA=∠FBE，

∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）

同理，BO=OF，

∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）

例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．

思路分析

本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：

解法一：如图4-27，

∠B：∠A=1：2，

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，

∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=60°，∠A=120°， 过A 作AE ⊥BC 于E ，

∴∠BAE=30°，

1AB 2

1

BE ==∴，

（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=

∴，

（勾股定理） 32AE BC S ABCD =?=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） 解法二：如图4-28，

∠B ∶∠A=1∶2，

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，

∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=60°，∠A=120°，

连结AC 、BD 交于点O ，

?=∠=

∠∴30B 2

1

ABD ，AC ⊥BD ． （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直） 在Rt △ABO 中，1AB 2

1

AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=

∴，

∴AC=2，32BD =， 323222

1

BD AC 21S ABCD =??=?=

∴菱形． 答：菱形的面积为32．

【典型热点考题】

例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．

点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，

∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，

∴△ABC与△CDA为等边三角形．

∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，

∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．

∴ AE=AF．

又∵∠EAF=60°，

∴△EAF为等边三角形．

∴∠AEF=60°，

∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，

∴ 60°+18°=60°+∠CEF，

∴∠CEF=18°．

例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．

点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．

证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，

∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．

∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．

∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE

∴ AE=AG，∴

∴四边形AEFG为平行四边形．

又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．

点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．

例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA

证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．

∴∠DAE=2∠ABD．

∵∠DAE=2∠BAE，

∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．

∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，

∴∠BOE=2∠BAE．

∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，

∴ AO=BE．

说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．

例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，

∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，

∴∠1=40°，∠2=50°，

∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，

故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．

【同步达纲练习一】 一、选择题

1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°

2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )

(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 52

1

二、填空题

3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.

5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.

6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.

三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．

8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．

【同步达纲练习二】

1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3

B ．3:3

C ．1：2

D ．1:3

2．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直

B ．互相平分且相等

C ．互相平分且垂直

D ．互相平分、垂直且相等

（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）

4．已知菱形的面积等于2

cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．

8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．

参考答案

【同步达纲练习一】

一、1．B ； 2．D ；

二、3．80°；4．2

2

2b a ，ab 2

1

；

5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．

三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线， 有 DM=BM ，DN=BN ，

又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，

∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.

8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高． 又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ， ∴ 821==

AB OA 厘米，62

1

==BD OB 厘米． 由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．

又∵

OA BD DH AB ?=?21

21， ∴8122

1

1021??=??DH ，DH=9.6厘米．

【同步达纲练习二】

1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10；

7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，

∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°，

又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF

又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，

∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形． 证法二：同证法一得DF=DA=AE ，

∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形．

证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，

∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，

又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ，

又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形，

∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．

8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．

又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴四边形AFCE是菱形．