17.1 自由电子气体模型
dN
N
F
0
3
F3
3d
3 4
F
单位体积内, 能量区间 E~E+dE 内的状态数
dNE g(E)dE V
g(E)
dNE VdE
(2me )3/2
2 2 3
E1/2
-- 态密度
电子是按能量规则地从低向高排布， 一个态一个电子（泡利不相容原理）
能量区间 E~E+dE 电子数密度
金属自由电子气体模型
平均场近似下，金属原子的价电子是在均
匀的势场中运动，金属表面对电子可近似看作 无限高势垒。(功函数远大于电子动能)
这些价电子称为自由电子。
U
0
内部 外部
如果考虑立方体形状，N个自由电子好象 是装在三维盒子里的气体。
L L
每个电子都要满足驻波条件
L
nx 2
x
kxL nx
dN E V
g(E)dE 0
E EF E EF
小于费米能量，电子数 = 状态数 小于费米能量态，电子占据几率 1
大于费米能量态，电子占据几率 0
f(E) 1
T=0
0 系统 T = 0
EF E
编者： 安宇
§1 自由电子气体按能量的分布
金属中的电子受到周期排布的晶格上离子 库仑力的作用。
一晶 维格 晶、 体点
阵
U(x)
21
21
考虑电子受离子与其它电子的(2) 电子的运动有隧道效应
(1) 蕊电子 (2) 价电子
价电子的势垒穿透概率较大 在整个固体中运动, 称为共有化电子
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
• 自由电子气体(量子气体), 按能量分布 ?
N个电子如何排布的问题 • 能量最低原则
• 泡利不相容原理
每个(nx, ny, nz) , 占据一个电子 (不考虑自旋)
nx2
n2y
nz2
E
2me L2
2 2
R2
在量子数空间 (nx, ny, nz) > 0, 第一象限内 从原点附近开始, 一个球面接着一个向外填
N 1
3
2me
L E3 3/2
3/2
F
2 3
EF
(3 2 )2/3
2 2me
n2/3
其中 n 金属内自由电子数密度
铜电子数密度 ~ 8.491028/m3
NN n L3 V EF ~ 7.05eV
• 能量区间 E~E+dE 电子数目百分比
N EdE N E N
dN E N
3
2
E 3/2 F
E1/2dE
0 E EF
E EF
• 速率区间 ~ +d 附近电子数目百分比
E
1 2
me 2
EF
1 2
meF2
F ~ 1.57 106 m/s
dN dNE NN
3
F3
2d
F
• 平均速率
0 F
一个整数坐标点 对应一个状态
整数坐标点的个数 与体积数相当 例如, 边长为10 个单位的立方体
状态空间内整数坐标点的个数对应其体积， 所以状态空间内体积就是状态数目。
考虑自旋以后，小于能量 E 的状态数目应为
NE
21 8
4
3
R3
1 3
2me
3/2
L3E 3/2
2 3
所有自由电子按能量从低到高占据可能的状态， 最高能量达到 EF ---费米能量或能级
L
nx 1,2,3,......
kx
2 x
同理对 y,z
x
2L nx
,
px
nx
L
,
y
2L ny
,
py
ny
L
,
z
2L nz
pz
nz
L
E
p2 2me
2 2
2me L2
(nx2
n2y
nz2 )
• 自由电子气体, 电子能量是量子化的
• (nx, ny, nz) 量子数 表示电子状态 • 相同的能量对应许多不同的状态 (简并态)
固体物理考试重点(广工版、复习资料)
一、晶体宏观特征（必考其一）1.晶体的自限性（自范性）：自发形成封闭几何外形的能力。
2.晶面角守恒定律：同一种晶体在相同的温度和压力下，对应晶面之间的夹角不变。
3.晶体的解理性（Cleave property）：晶体受到外力作用时会沿着某一个或几个特定的晶面劈裂开的性质称为解理性。
4-晶体的各向异性（anisotropy）：沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性质。
5.晶体的均匀性（homogeneity ）：内部各部分的宏观性质相同。
6.晶体的对称性（symmetry）：由于内部质点有规则排列而形成的特殊性质。
7.晶体的稳定性：与同种物质的其他形态（气态、液态、非晶态、等离子态等）相比，晶体的内能最小、最稳定。
晶体具有固定的熔点，而非晶体则没有固定的熔点。
二、空间点阵（基元、原胞（primitive cell）> 晶胞（conventional cell）> B 格子、WS 原胞）1.基元：组成晶体的最小结构单元。
2.初基原胞（原胞）：一个晶格最小的周期性单元，称为原胞。
3.惯用原胞（晶胞）：能使原胞同时反映晶体对称性和周期性特征的重复单元,称为晶胞。
4.B格子：如果晶体只由一种原子构成，且基元是一个原子，则原子中心与阵点重合，这种晶格称为布拉菲格子，或称B格子。
5.WS原胞：WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
作法：（1）任选一格点为原点；（2）将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢；（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。
三、第一布里渊区（二维）：从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
注：写出二维坐标系j> b P b2（ b为倒格子基矢）。
四、晶体的对称性、晶系、密堆积、配位数（一至二）；1.晶体的对称性：晶体经过某种对称操作后物体能自身重合的性质，2.晶系：根据晶体空间点阵中6个点阵参数之间相对关系的特点而将其分为7类，各自称一晶系。
Drude模型
aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
(3
4
1 ne
)1/ 3
=1.413×10-10 m
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
金属电子气体理论
一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
金属自由电子气模型ppt课件
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
电子行业金属自由电子气模型
电子行业金属自由电子气模型引言自由电子气模型是描述金属中电子行为的重要理论模型之一。
在电子行业中，金属材料具有良好的导电性和热导性，这一特性正是由于金属中存在着大量的自由电子。
本文将详细介绍电子行业金属中自由电子气模型的基本原理。
自由电子气模型的基本原理自由电子气模型的基本原理是假设金属中的自由电子在晶体中自由运动，并且彼此之间无相互作用。
这个假设是基于金属中的电子大量和密度较大，使得它们之间的相互作用可以忽略不计。
而晶体的周期性结构对电子运动所产生的影响可以用晶格周期势能来描述。
在自由电子气模型中，每个电子都可以被看作是一个自由粒子，其能量由动能和势能共同决定。
由于假设电子之间无相互作用，并且忽略自旋和磁场的影响，可以将自由电子气模型简化为一维、二维或三维的能带结构。
能带结构能带结构描述了金属中电子的能量分布情况。
根据自由电子气模型，电子能量随动量的变化形成能带。
在一维情况下，能带是连续的，电子在能带中可以具有任意动量。
而在二维和三维情况下，能带则呈现出带状结构，电子在能带中只能具有特定的动量。
根据泡利不相容原理, 每个能级只能容纳两个电子（自旋相反）。
因此，在一维情况下，每个能级只能容纳一个电子，而在二维和三维情况下，每个能级可以容纳多个电子。
能带结构可以分为导带和价带。
导带是指位于较高能量的带，其中的电子具有较高的能量，可以随意运动。
价带是指位于较低能量的带，其中的电子具有较低的能量，并且在金属中形成近满带，起到稳定晶体结构的作用。
费米能级费米能级是能带结构中的一个重要参数，它代表了电子在金属中填充的最高能级。
根据赛曼效应，当温度趋近于绝对零度时，费米能级上方的能级将几乎全部被填充，而费米能级以下的能级将几乎为空。
费米能级决定了电子在金属中的运动性质，对导电性和热导性有很大影响。
在金属中，费米能级附近的能级比较稠密，形成了电子态密度的峰值，使得金属能够有效地传导电流和热量。
自由电子气模型的应用自由电子气模型是研究金属导电性和热导性的基础理论之一。
金属自由自由电子气体模型及基态性质解析PPT课件
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
2k 2 m2
1 mv2 2
即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面 波矢k可取任意实数，对于电子来说，波矢k应取什么值呢？
4.波矢k的取值
波矢k的取值应由边界条件来确定
边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方 面要考虑数学上可解。
4π
k2
d
k
E dE ky
dZ
2
V
2π 3
4π
2m
2
m d 2 2m
E
kx
4πV
2π 3
(2 m )3 2 1 2
3
d
3
4πV
2m h2
21
2d
N ( )
dZ
C
1 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
第24页/共30页
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径
k 2mE 的球面，
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开 金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
V
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
k
1 k
1
( 2 )3
L3
(2 )3
V
8 3
L
注意量纲
第14页/共30页
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理
《固体物理》第六章 自由电子气
如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向尔兹曼方程的微分积分方程
I2(kBT)2０ (ee1)22d
计
算I２得 π62(kBT)2， 因
此 将g(E)2CE32代入
3
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得：
.
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得:
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
.
驻波边界条件 常用边界条件
周期性边界条件
x, y,zxL, y,z
x, y,zx, yL,z
x, y,zx, y,zL
k
(r
)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
E
0 F
由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均
能量，这与经典的结果是截然不同的。
.
(2) 当T 0K时 ，
N CE1 2 f (E )dE ０
2 Cf ( E )E 3 2 2 C E 3 2 f dE (分步积分得来)
3
03 0
E
2 C E 3 2 f dE
,kz
2πnz L
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
chapElectron Theory of Solid State固体理论固体电子理论
1、电子在温度T的统计分布：
从量子力学的观点看，电子是费米子(fermion) 应服从Fermi-Dirac统计而不是经典的Maxwell 统计。Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的 平均占据数为：
描述，当时还没有量子力学。
2、Drude model' achievements:
（1）.金属的直流电导率(DC conductivity),给出 欧e)n(vd t) A t
/
A
nevd
在电场作用下，a= -eE m
vd
vi at
a
t
eE
m
所以： j ne( eE ) ( ne2 )E
Sommerfeld模型成功的解决了Drude模型所遇 到的困难，即成功地解决了电子气的比热问题， 但是，Sommerfeld模型还不能解释为什么有些 材料是导体，有些材料是绝缘体，有些材料地导 电性又介于导体与绝缘体之间------半导体，这一 问题的解决要依靠能带理论-------Bloch理论。
Cu : n 8.47 1022 cm3, P (n / NA)RT 3381atm.
可见金属电子气的密度是很大的!
Drude对上述金属电子气的物理性质作了几 个简化假设：
① Independent electron approximation:忽略电子-
电子相互作用。
② Free electron approximation:除了碰撞以外，忽
㈡、Traditional electron conductivity theory---Drude model:
固体物理阎守胜第一章_金属自由电子气体模型
费 米 球
费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度
2 kF EF 2m 2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
由于
N 2
1 4 3 V 4 3 kF 2 3 kF k 3 8 3
N k 3 3 2 n V
3 F 2
自由电子气体模型中仅有的一个独立参量：
k2 E (k ) 2m
2
皆与波矢有关
p k
p k v m m
Born-von Karman边界条件
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L)
2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 dt / ， 大体
相当于相继两次散射间的平均时间。
在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时 薛定谔方程
2 2 e (r , t ) i (r , t ) 2m
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚 性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。 固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子 组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何 形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的 具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动 形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探 索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
(1.1.3)
•自由电子近似使 V (r ) 为常数势，可简单地取为零。 则方程（1.1.3）成为：
2
2m
2 (r ) E (r )
固体物理基本概念题参考解答
固体物理基本概念题参考解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN固体物理概念题1. 自由电子气体模型的三个基本近似是什么？两个基本参数是什么？自由电子近似；独立电子近似；弛豫时间近似自由电子数密度；弛豫时间2. 名词解释：K空间；k空间态密度把波矢k看做空间矢量，相应的空间称为k空间；K空间中单位体积内许可态的代表点数称为k空间态密度。
3. 自由电子模型的基态费米能和激发态费米能的物理意义是什么？费米能与哪些因素有关？物理意义：费米面上单电子态的能量称为费米能，表示电子从低到高填满能级时其最高能级的能量。
基费米能时指T＝0 K时的费米能。
激发态费米能指的是T≠0 K时的费米能。
因素：费米能量与电子密度和温度有关。
4. 何为费米面金属电子气模型的费米面是何形状费米面：在K空间将占据态与未占据态分开的界面。
金属电子气模型的费米面是球形。
5. 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子才能从外界获得能量发生能态跃迁。
因为，在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上。
只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。
对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级，因而才会对金属电导率有贡献。
热导与电导相似。
6. 简述化学势的意义，它与费米能级满足什么样的关系。
化学势的意义是：在体积不变的条件下，系统没增加一个电子所需要的自由能。
在温度接近于0时，化学势和费米能近似相等。
7. 什么是等离子体振荡？给出金属电子气的振荡频率。
等离子体中的电子在自身惯性作用和正负电荷分离所产生的静电恢复力的作用下发生的简谐振荡称为等离子体振荡。
金属电子气的振荡频率8．名词解释：晶格，单胞，原胞，基元，布拉维格子基矢基元：在空间无限重复排列构成晶体的全同原子团晶格：将基元抽象为格点，格点的集合称为晶格晶胞：能够完整反映晶体的化学结构与晶体周期性的重复单元原胞：体积最小的晶胞布拉维格子基矢：原胞的基矢9．在三维情况下有多少种不同类型的晶格满足点对称群的要求？它们可以划分为哪7个晶系？14种布拉维格子，它们可以划分为7个晶系：三斜，单斜，正交，四方，三角，六角，立方。