一欧式空间的定义及性质
1 , 1 n , 1
前页 后页 返回
必有非零解，设
n i
1 ,
j
, n 为其一组非零解则有
,
j 1
a j 0, i 1,2,
,n
二、向量的长度、两非零向量的夹角 定义2 设 是欧氏空间的一个向量，非负实数
, 的算术根 , 叫做 的长度.
, ,
前页 后页 返回
(3) , V , k R, , k k , 证 , k k , k , k , (4) i , j V , ai , b j R, i 1,2, , m , j 1,2,
前页 后页 返回
恒正性 : 当 0时, 0
其中 , , 是V3 的任意向量，k 是任意实数.
2、线性空间的内积
定义1 设V是R上线性空间，定义一个V V 到R的代数运算.
, V，用 , 表示这个运算结果， 如果这个代数运算满足： 1.对称性： , ,
例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列
பைடு நூலகம்
( x1 , x2 ,..., xn ), x 所成的集合.在 H 中用
n 1 2 n
然的方式定义加法和标量与向量的乘法:
前页 后页 返回
设
( x1 , x2 ,...), ( y1 , y2 , ), a R.
( x1 y1 , x2 y2 ,...); a (ax1 , ax2 ,...)
例3 令 C [a , b] 是定义在[a, b] 上一切连续实函数所
成的向量空间, f ( x ), g( x ) C [a , b] 我
们规定 f , g f ( x )g( x )dx . 根据定积分的基
a b
本性质可知, 内积的公理 1)---4)都被满足, 因而 作成 C [a , b] 一个欧氏空间.
前页 后页 返回
2) 线性性：
, , ,
k , k , ;
, 0 3) 恒正性：当 0时，
则称这个代数运算为V的一个内积,且称 , 为向量 与 的内积,实线性空间V叫做对这个 内积来说的一个欧几里得空间.(欧氏空间)
规定
向量 ( x1 , x2 ,...), ( y1 , y2 , ) 的内积由公式
, xn yn 给出，那么 H 是一个欧氏空间.
n 1
练习 1 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )为向量空间中任意 两向量, 证明:
前页 后页 返回
R 2 对 , ma1b1 na2b2 作成欧氏空间的充分
向量 的长度用符号 表示： , .
前页 后页 返回
定理7.1.1
在 一 个 欧 氏 空 间 里 ,对 于 任 意 向 量 , . 有 不 等 式
, , , 当且仅当 与 线性相关
2
时，上式才取等号 .
证 如果 与 线性相关 , 则其中有一个可由另一个 线 性 表 示 , 不 妨 设 k , k R . 于 是
1 , n 2 , n n , n
前页 后页 返回
叫做 1 , 2 ,
证明: G 1 ,
, n 的格兰姆（Gram）行列式.
, n =0，必要且只要1 ,
, n
线性相交. 证 必要性： 由 G 1 ,
, n =0知齐次线性方程组
x1 0 1 , n x2 0 n , n x 0 n (*)
1、 向量的内积
, V3 , cos
,cos 在 V3 中，内积具有下列性质：
对称性：
线性性： k k
因此
3
1 1 (0 ) 2 2 2
由定义知，对于非零向量 , ，当且仅当
, 0 时，
2
三 向量的正交 定义 4 欧氏空间的两个向量 与 说是正交的,
如果 , 0 . 记作:
前页 后页 返回
定理 7.1.2
在一个欧氏空间 V 里， 如果向量 与
1 , 2 , ,m 中每一个正交，
那么 与 1 , 2 , 交.
,m 的任意一个线性组合也正
证
设 ki R, i 1,2,
,m ,m
因为 , , i 0, i 1,2,
m m
所以
, ki i ki , i 0
必要条件是 m > 0, n > 0.
1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0
证
0,
0
,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
,n
a ,b
例 设 1 , 2 ,
G 1 , , n
i 1 i i j 1 j
m
n
j
ai b j i , j
i 1 j 1
m
n
, n 是欧氏空间的n个向量，行列式
1 , 1 2 ,1 n , 1
1 , 2 2 , 2 n , 2
和
a a , a a 2 , a
例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于 任意实数
前页 后页 返回
a1 , a2 ,
an , b1 , b2 ,
, bn
有不等式
(a1b1 anbn ) (a1
2
an ) (b1
2
bn ) (7) 式
第 7 章欧氏空间 7.1 欧氏空间的基本概念
授课题目 欧氏空间的基本概念 授课时数 3 学时 教学目标 理解并掌握内积、欧氏空间、长度、夹角、 距离的定义及内积的性质 教学重点 欧氏空间有关概念及内积的性质 教学难点 Cauchy-Schwarz 不等式及应用
前页 后页 返回
一、欧式空间的定义及性质
, ain )( i 1,2, , n) 两两正交,
且 i 的长度 | i | i , A (aij )nn ．求 A 的行列
定义 5 非负实数 叫做向量 与 的距 离, 记为 d ( , ). 向量距离相关性质:
(1)当 时, d ( , ) 0 d ( , ) d ( , ) (2)
3、举例
例1
n R 在 里,对于任意两个向量
前页 后页 返回
( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., yn ) 规定
, x1 y1 x2 y2 ... xn yn 容易验证,关于内积
n R 的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作
, 2 , k 2 k 2 , 2 , k , k , , .
如果 与 线性无 关 , 那么 , 对任 意实 数 k 都 有
k 0. 于是
前页 后页 返回
即 k 2 , 2k , , 0
2
称为柯西(Cauchy)不等式
前页 后页 返回
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
（ 8）
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
,
前页 后页 返回
例 5 令 Rn 是 例 1 中 的 欧 氏 空 间 . Rn 中 向 量
( x1 , x2 ,..., xn )的长度是
2 2 2 由长度的定义, 对 , x1 x2 ... xn
于欧氏空间中任意向量ξ 任意实数 a ,有
与 的夹角
解 因为 ， 1 1 0 0 1 0 0.1=1
12 02 12 02 2 12 02 02 02 2
前页 后页 返回
所以
cos
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
前页 后页 返回
设 与 是欧氏空间的两个非零向量， , 与 的夹角θ 由以下公式定义：cos 定义 3
（ 1，，，）， 010 （ 1，，，） 0 0 1 。求 例 8 在 R 4 中，设
这表明一元二次方程
, x 2 2 , x , 0 无 实 根 , 因
而它的判别式小于 0, 即
4 , 4 , , 0
2
于是 , 2 , ,
这就是著名的柯西-施瓦兹不等式. 也可表示为
前页 后页 返回
(3) d ( , ) d ( , ) d ( , ).
证 (3)
(三角不等式)
d ( , ) ( ) ( ) d ( , ) d ( , )
前页 后页 返回
( )2
第九章欧式空间 (2)
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )
为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
标准正交基， 在这组基下，V中每个向量 可表成
x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ),
1
( )
1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
欧氏空间的定义与基本性质
.
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
1）在 R
3
中向量 与 的夹角
, a rc co s
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先 应证明不等式： 此即,
§9.1 定义与基本性质
( , )
2
两边开方，即得（7）成立.
§9.1 定义与基本性质
4. 欧氏空间中两非零向量的夹角
定义1：设V为欧氏空间， 、 为V中任意两非零 向量， 、 的夹角定义为
, a rc co s ( , )
0 ,
§9.1 定义与基本性质
即 则
( i , j ) 0 , i j,
2
i , j 1, 2 , , m
2
1 2 m
1
2
2
m
2
.
证：若 ( i , j ) 0 , i j 则 1 2 m
m 2
( i , j )
当n
3
时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角
坐标系下的表达式 . ( , ) 即 .
§9.1 定义与基本性质
2）定义
( , ) a 1 b1 2 a 2 b 2 k a k b k n a n b n
易证( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 . 所以 ( , ) 也为内积. 从而 R n 对于内积 ( , ) 也构成一个欧氏空间.
( f , f ) 0 f (x) 0.
欧式空间的定义
欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。
欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。
然后他分析了三维物体的“三维几何”。
所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。
为了发展高维欧几里德空间，空间的性质必须严格表达并扩展到任意维。
虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几里德空间的基本本质，即平面性。
还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量空间作用的仿射空间。
直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有标准的选择，因为它可以移动到任何地方。
这项技术在本文中基本上被忽略了。
欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
欧式空间
1. 定义
= 3 . ( f + g, h )
= = ( f , h) + ( g , h) 4 . ( f , f ) = ∫ f 2 ( x ) dx
a b
∫a ( f ( x ) + g( x ) ) h( x ) dx b b ∫a f ( x )h( x ) dx + ∫a g( x )h( x ) dx
(α , β )′ 满足定义中的性质 1 ～4 . 易证 所以(α , β )′ 也为内积. 从而 R n 对于内积 (α , β )′ 也构成一个欧氏空间. 注意：由于对 ∀α ⋅ β ∈ V , 未必有 (α , β ) = (α , β )′ 所以1），2）是两种不同的内积.
从而 R 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
反之，若等号成立，由以上证明过程知 或者 β
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
2. 内积的性质 当α、β 线性相关时，不妨设 α = k β
(α , β ) (= (β , β ) k β . kβ , β ) k = = 于是， = α β k = β β k β
2 2
∴ (α , β ) = α β. 等号成立.
n
1. 定义
例2．C (a , b) 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g( x ) ，定义 则 C (a , b) ∀ f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R 证：
1 . ( f , g) 2 . ( k f , g )
= α
α ⋅α
(α ⋅ β )
夹角 ： cos < α , β > =
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1249第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广，然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念，而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象，再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的，即||||cos ξηξηθ⋅=⋅，||ξ表示ξ的长度，θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积，因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质：,,V αβγ∀∈,k R ∀∈1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥, 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积，V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
249 例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。