图与网络分析64777
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第八章图与网络分析-PPT精选文档
v1 v3 v5 v2 v4 v6
图及 其分 类
X:{v1, v3, v5} Y:{v2, v4, v6}
定义5
以点v为端点的边的个数称为点v 的度 （次），记作 d (。 v) 图中d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两度）
顶点 的次
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂 点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的 点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。
定义7
图G=(V,E)，若E′是E的子集，V′是V的子集，且E′ 中的边仅与V′中的顶点相关联，则称G′=(V′,E′)是G 的一个子图。特别是，若V′=V，则G′称为G的生成 子图(支撑子图)。
子图
v1 e1 e6
v2 e7
e2
e8 e9
v3 e3 v1
e1 e6
v2 e7
e8 v7 v5 (b)
定义8
无向图G=(V,E)，若图G中某些点与边的交替序列 可以排成(vi0,ei1,vi1,ei2,…,vik-1,eik,vik)的形式，且 eit=(vit-1,vit)(t=1,…,k)，则称这个点边序列为连接vi0 与vik的一条链，链长为k。 点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。
对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等 链、圈，此时不考虑边的方向。而当链(圈)上的 边方向相同时，称为道路(回路)。 对于无向图来说，道路与链、回路与圈意义相同。
v2 v4 v6
图及 其分 类
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
( v2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
( v5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
图及 其分 类
X:{v1, v3, v5} Y:{v2, v4, v6}
定义5
以点v为端点的边的个数称为点v 的度 （次），记作 d (。 v) 图中d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两度）
顶点 的次
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂 点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的 点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。
定义7
图G=(V,E)，若E′是E的子集，V′是V的子集，且E′ 中的边仅与V′中的顶点相关联，则称G′=(V′,E′)是G 的一个子图。特别是，若V′=V，则G′称为G的生成 子图(支撑子图)。
子图
v1 e1 e6
v2 e7
e2
e8 e9
v3 e3 v1
e1 e6
v2 e7
e8 v7 v5 (b)
定义8
无向图G=(V,E)，若图G中某些点与边的交替序列 可以排成(vi0,ei1,vi1,ei2,…,vik-1,eik,vik)的形式，且 eit=(vit-1,vit)(t=1,…,k)，则称这个点边序列为连接vi0 与vik的一条链，链长为k。 点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。
对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等 链、圈，此时不考虑边的方向。而当链(圈)上的 边方向相同时，称为道路(回路)。 对于无向图来说，道路与链、回路与圈意义相同。
v2 v4 v6
图及 其分 类
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
( v2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
( v5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
新编第6章图与网络分析精选文档PPT课件
有向图
由点和弧组成的图称为有向图。
有向图是一个有序二元组(V，A)，记为 D＝(V，A)，其中 V＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点 的集合，A＝{a1，a2，……aq}是 q 条弧的集合，并且 ai 是一个有序二元组，记为 aij=(vi,vj)≠ (vj,vi)，vi,vj∈V，并称 aij 是以 vi 为始点，vj 为终点的弧， i, j 的顺序不能颠倒，图中弧的方 向用箭头标识。
上图中的{ v1，v2，v3 }，{ v2，v4，v5}，{ v1，v2，v4，v5}都是链。 闭链或圈：两个端点重合的链，称为圈。上图中的{ v1，v2，v3 ， v1}就是圈。 简单链与初等链：若链μ中，若含的边数均不相同，则称之为简
单链；若链μ中，顶点 vi1,vi2,…，vik 都不相同，则称此链为初等链。 除非特别交代，以后我们讨论的均指初等链。
V＝(v1，v2，v3，v4，v5) E＝{e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8}
e1
v2
e2
v1
e6
e4
e5
e3 v3
e7
2020/7/31
v4
e8
v5
4
无向图
点集 V 中元素的个数成为图 G 的点数，记为 p(G)=| V |。如上图中，p(G)=5。 边集 E 中元素的个数成为图 G 的边数，记为 q(G)=| E |。如上图中，q(G)=8。 边 e＝[vi，vj]∈E，称 vi，vj 为 e 的端点，e 为 vi，vj 的关联边。上图中，v1，v2 为 e2 的端点，e2 为 v1，v2 的关联边。 若边 ei，ej 有一公共端点，则称 ei，ej 相邻。如上图中中，e7，e8 相邻。 若点 vi，vj 有边相连，即[vi，vj]∈E，则称 vi，vj 相邻。如上图中中，v3，v5 相 邻。
8图和网络分析-文档资料77页
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c16,c42,c47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}, p2=2
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个
矩阵 A(aij)nn ，其中：
aij 01
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
v1 4
v2
例
36
72
v6 4
3
3
v3
5
2
v5
v4
权矩阵为：
(一)、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs) 0，这表示从vs到 vs的最短距离 为0，其余节点均给T标号，P (v i) (i 2 ,3 , ,n )。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中
v2 2
3
v1
1
2
5 v3 4
v4
4
2
v6
2 v5
（5） P(v3) 4 （6） T ( v 5 ) m i n [ T ( v 5 ) , P ( v 3 ) l 3 5 ] m i n [ 5 , 4 4 ] 5 （7） P(v4)5 P(v5) 5 （8） T ( v 6 ) m T ( v 6 ) i ,P ( n v 4 ) l 4 [ ] 6 m ,5 i 4 n ] 9 [
第八章 图与网络分析
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这 种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以 wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。
(21，V1) v2
32 63
(44,V1) v4 27
37 (78,V3)
例9：（图8－31）
步骤 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 最短 前向 路 结点
1
2 3
0*
∞
4*
∞
6 6*
∞
∞ 9 9 9*
∞
∞ 8 8*
∞
∞ ∞ ∞ 13 13 *
∞
∞ ∞ ∞ 14 14 14*
∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17
0
4 6 8 9 13 14 15 v1 v1 v2 v2 v5 v5
w(T)=Σwij
(vi,vj)∈T
如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最小者，则称T*是G的 最小生成树（最小支撑树，简称最小树） w(T*)=min w(T)
2）求最小树的方法： 方法一(避圈法) 开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从未被 选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的边不构成圈。 方法二(破圈法) 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。在余下 的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为止，这时的图便是 最小树。 例 用破圈法求下图的最小树
2、中国邮路问题：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求一 条回路过每边至少一次，且满足总权最小。
8.2 树（是最简单又十分重要的图）
例如：比赛中的相遇情况、组织结构图、家庭树
1、定义：一个无圈的连通图称为树。
第6章 图与网络分析――基础知识PPT课件
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
将研究对象用点表示。对象与对象之间用边表示。依题意，找出不相邻的顺序。
B
C
ACBFED
A
D
36
F
E
类型2. 求最小部分树。避圈法和破圈法
基本定理：图中任一个点i，若j是与i相邻点 中距离最短的，则边[i，j]一定含在该图的 最小部分树内。
推论：把图的所有点分成集合V和它的补集两 个集合，则两集合之间连线的最短边一定 包含在最小部分树内。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
39
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
40
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
点边交替序列，点边均不重 复。
点边交替序列，起点和终点 不重复。 点边交替序列，起点和终点 重复。
运筹学图与网络分析
第5章 图论与网络分析
网络分析
➢ 图的基本概念 ➢最小支撑树问题 ➢ 最短路径问题 ➢网络最大流问题
图论起源：哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发;走过七 座桥;且每座桥只走过一次;最后回到出发点
结论：每个结点关联的边数均为偶数
§1 图的基本概念
1图
由点和边组成;记作G=V;E;其中 V=v1;v2;……;vn为结点的集 合;E=e1;e2;……;em 为边的集合; 点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
例 ： G1为不连通图; G2为连通图
G1
G2
5 支撑子图
图G=V;E和G'=V ' ;E ';若V =V ' 且E ' E ;则 称G' 为
G的支撑子图;
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
两条以上的边都是权数最大的边;则任意去掉其 中一条： ③若所余下的图已不含圈;则计算结束;所余下的图 即为最小支撑树;否则;返问①;
例 求上例中的最小支撑树
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
解：
v3 3.5 v4 v1
5
v2
75 4
55
3
v5
2
v3 3 5 v4
算法2避圈法：从某一点开始;把边按权从小到大 依次添入图中;若出现圈;则删去其中最大边;直至 填满n1条边为止n为结点数 ;
网络分析
➢ 图的基本概念 ➢最小支撑树问题 ➢ 最短路径问题 ➢网络最大流问题
图论起源：哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发;走过七 座桥;且每座桥只走过一次;最后回到出发点
结论：每个结点关联的边数均为偶数
§1 图的基本概念
1图
由点和边组成;记作G=V;E;其中 V=v1;v2;……;vn为结点的集 合;E=e1;e2;……;em 为边的集合; 点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
例 ： G1为不连通图; G2为连通图
G1
G2
5 支撑子图
图G=V;E和G'=V ' ;E ';若V =V ' 且E ' E ;则 称G' 为
G的支撑子图;
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
两条以上的边都是权数最大的边;则任意去掉其 中一条： ③若所余下的图已不含圈;则计算结束;所余下的图 即为最小支撑树;否则;返问①;
例 求上例中的最小支撑树
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
解：
v3 3.5 v4 v1
5
v2
75 4
55
3
v5
2
v3 3 5 v4
算法2避圈法：从某一点开始;把边按权从小到大 依次添入图中;若出现圈;则删去其中最大边;直至 填满n1条边为止n为结点数 ;
图与网络分析
end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
《图与网络分析》课件
广度优先搜索
2
历图中的节点。
通过按逐层扩展的方式，搜索和遍历图 中的节点。
最短路径算法
1
Dijkstra算法
寻找两个节点之间最短路径的一种算法，适用于无负权重边的情况。
2
Floyd算法
寻找所有节点之间最短路径的一种算法，适用于有向图和无向图。
最小生成树算法
1
Prim算法
找出连接所有节点的最小成本树的算法。
Kruskal算法
2
找出连接所有节点的最小成本树的另一 种算法。
应用案例
1 社交网络分析
通过图与网络分析方法， 揭示社交网络中的关键人 物和社群结构。
2 物流网络优化
使用图与网络分析技术来 优化物流网络的路径和资 源分配。
3 路网分析
通过图与网络分析，提高 交通规划和城市布局的效 率。
网络分析的思路
顶点
网络中的数据节点或实体。
边
连接顶点的关系或连接。
权重
边的属性或度量，用于表示连接的强度或重要性。
图的分类与存储结构
有向图
边具有方向性，表ห้องสมุดไป่ตู้顶点之间 的单向关系。
无向图
边没有方向性，表示无序关系。
加权图
边具有权重，表示连接的强度 或重要性。
图搜索算法
1
深度优先搜索
通过探索尽可能深入的路径，搜索和遍
网络分析的思路是通过对网络结构和属性的分析，揭示出潜在的模式、关系和洞察力，帮助我们洞悉复杂系统 的运作。
《图与网络分析》PPT课 件
欢迎来到《图与网络分析》PPT课件！本课程将帮助您深入了解图网络分析的 概念和应用。准备好探索各种令人兴奋的网络分析方法和工具了吗？让我们 开始吧！