【运筹学】第七章 网络优化模型
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网络最优化问题?法国国家铁路网每年运载约5000万乘客?通过网络最优化问题来适应乘客的喜好并且调整日运行量来满足需求?每年增加收入1500万美元降低成本的同时提高了服务质量?获得了1997年度弗兰茨
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动， 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话，则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动， 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话，则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
运筹学课件 第七章 网络优化模型
子图
生成子图
e9
v5
v2
e1
e2
e8
v1
e6
e7
v3
e4
e3
v4
e5
v2
v2
v5
e1
v1
e6
e2 v3
v4
e1 v1
e4
e2 v4
e8 v3
e5
e5
6、网络
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
无向网络 有向网络
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
解：构造一棵有 5 个叶子的最优 2 叉树，其叶子的 权分别为 50，20，5，10，15。总权为：
m（T*）= 5×4 + 10 ×4 + 15 ×3 + 20 ×2 + 50 ×1 = 195
100 50 30 15
5 10 15 20 50 C DEB A
A？
N
Y
B？
A
N
Y
E？
B
N
Y
D？
E
N
v3
6
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
v3
6
厂长
EH A BC D F G I J KL M N
人 财总 事 务工 科 科程
师
生 产 副 厂
长
新技
产术 品科生设 供 动 开 产备 应 力 发 科科 科 科
科
经 营 副 厂 长
销检 售验 科科
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树。树中次为1的点称 为树叶，次大于1的点称为分枝点。
运筹与决策PPT：网络优化问题
▪ SUMIF（向量1，v，向量2）
若向量1的第i个分量＝v，则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题，是要在网络中找出一个可 行流方案，使得通过网络的流量最大。
案例2： BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商，其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题，也即网络配送问题， 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1： Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂，生产一种产品，运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连；
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心（DC），再从 配送中心运至仓库（每车至多装50单位）
问题：如何运输才能使费用最小？
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
若向量1的第i个分量＝v，则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题，是要在网络中找出一个可 行流方案，使得通过网络的流量最大。
案例2： BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商，其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题，也即网络配送问题， 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1： Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂，生产一种产品，运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连；
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心（DC），再从 配送中心运至仓库（每车至多装50单位）
问题：如何运输才能使费用最小？
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
管理运筹学第7章网络计划.ppt
—
— A A D C， E
4
10 3 6 8
G
H I J K
制定生 产计划 筹备设 备 筹备原 材料 安装设 备 调集人 员
F
B， G B， G H G
3
2 8 5 2
F
2
L
准备开 I，J， 工生产 K
1
14
A 4
2
D 6
3 E 8
1
C 3
4
F 2
5
G 3
6
K 2
B 10
7
I 8
9 J 5
L 1
10
16
①最乐观时间：指在顺利情况下，完成工序所需的最少时间，用a表示 ②最可能时间：指在正常情况下，完成工序所需的时间，用m表示 ③最悲观时间：指在不利的情况下，完成工序所需的最长时间，用b表示 利用这三个时间，每道工序的期望工时可估计为：
a4 mb t(i, j) 6
ba 6
最低成本日程
费 用 总费用
直接费用
间接费用 优化工期 时间
30
【例2】某工程项目的初始网络计划如图所示。该工程有六道工序， 各工序的正常完成时间以及最短完成时间和直接费用表见表，工 程间接费率为0.25万元/月。试调整网络计划，降低工程总费用。
27
【例1】 在【引例】中为获得18万元的资金奖励，能否把 项目工期缩短为41周？如何对项目进行管理？
22 6
26 G 7
29 8
33 H 9
38 9
42
0 1
0 A 2
2 2
2 B 4
6 3
6 C 10
16
D 16 4 E 4 I 7 6
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
第七章_网络优化模型.
以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即
为最小生成树，否则返回第1步。
管理运筹学
41
最小生成树算法
vs 例：从某供气站要向A、B、C、D
E、F、G小区供气，问如何铺设 煤气管道，使的需要铺设管道 的总长度最短
避圈法（Kruskal）
A 5
管理运筹学
39
最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。
运筹与优化模型
大连海事大学 刘巍
管理运筹学
1
第七章 网络优化模型
•
绪： 图论的起源：
•
从哥尼斯堡七桥问题
•
及
•
哈密顿周游世界游戏
•
谈起
•
管理运筹学
2
哥尼斯堡七桥问題 (Bridges of Koenigsberg)
能不能走过每一个桥刚好一次并且回到原來的地方？
管理运筹学
3
解决七桥问题的欧拉
• 欧拉（Leonard Euler; 1707 1783）， 瑞士人，出身于牧师家庭，13 岁考入 大学，16 岁已经获得硕士学位。1727 年到俄国圣彼得科学院工作。1741 年 转到德国，任柏林科学院物理数学所所 长。1766 年回到俄国，直至去世。他 在 1735 年，由于过度工作的关系，引 至右眼失明。1771 年又因眼疾引致左 眼失明。1783年逝世于俄国的圣彼得堡。
为最小生成树，否则返回第1步。
管理运筹学
41
最小生成树算法
vs 例：从某供气站要向A、B、C、D
E、F、G小区供气，问如何铺设 煤气管道，使的需要铺设管道 的总长度最短
避圈法（Kruskal）
A 5
管理运筹学
39
最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。
运筹与优化模型
大连海事大学 刘巍
管理运筹学
1
第七章 网络优化模型
•
绪： 图论的起源：
•
从哥尼斯堡七桥问题
•
及
•
哈密顿周游世界游戏
•
谈起
•
管理运筹学
2
哥尼斯堡七桥问題 (Bridges of Koenigsberg)
能不能走过每一个桥刚好一次并且回到原來的地方？
管理运筹学
3
解决七桥问题的欧拉
• 欧拉（Leonard Euler; 1707 1783）， 瑞士人，出身于牧师家庭，13 岁考入 大学，16 岁已经获得硕士学位。1727 年到俄国圣彼得科学院工作。1741 年 转到德国，任柏林科学院物理数学所所 长。1766 年回到俄国，直至去世。他 在 1735 年，由于过度工作的关系，引 至右眼失明。1771 年又因眼疾引致左 眼失明。1783年逝世于俄国的圣彼得堡。
运筹学第7章 图与网络优化02-树
管理工程系管理工程教研室主要内容•7.1 图的基本概念•7.2 树•7.3 最短路问题•7.4 最大流问题•7.5 中国邮递员问题管理工程系管理工程教研室管理工程系管理工程教研室无向图G 是一个二元组(V ,E)，即G=(V ,E)，其中V 是G 的顶点集，E 是G 的边集。
V 不为空集，E 可以是空集。
[v i ,v j ]=[v j ,v i ]图及其分类图由点及点之间的连线（不带箭头或带箭头）所组成有向图D 是一个二元组(V ,A)，即D=(V ,A)，其中V 同无向图中的顶点集;A 是顶点在D 中的有向边集，有向边简称为弧。
方向从v i 指向v j 的弧记为（v i ,v j ）,（v i ,v j ）≠（v j ,v i ）•在有向图D中，对于每条弧用边来代替它，就得到一个无向图，称之为D的基础图，或称为D的基本图，记为G(D)。
•对于任何图，若V和E都是有限集合，则称之为有限图，否则称为无限图。
•网络（赋权图）—N=(V,E,W)管理工程系管理工程教研室管理工程系管理工程教研室若边集,则称G 为空图；此时，若|V|=n ，则称为n 阶空图，若|V|=1，则称为平凡图（1阶空图）。
φ=E 六阶空图平凡图图G 或D 中的顶点数记为p (G)或p (D)，边(弧)数记为q (G)或q (D)。
在不会引起混淆的情况下，也分别简记为p ，q 。
若图G 的顶点集V 的元素个数|V|=n,则称G 是n 阶图。
管理工程系管理工程教研室有关名词的概念和记号无向图G=(V ,E)•边e=[v i ，v j ]∈E ，称v i ，v j 是e 的端点，v i ，v j 是相邻的。
e 与点v i （及点v j ）是关联的。
•若某个边e 的两个端点相同，则称e 是环。
•若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
•一个无环、无多重边的图称为简单图。
•如果一个简单图中的各个顶点之间都有边相连，则称这个图为完全图。
运筹学第7章 图与网络优化
若G是不连通图，它的每个连通的部分称为Ｇ的 一个连通分图（简称分图）。 P178
10
厦门大学 郭红丽
支撑子图
设有两个图G1=(V1,E1)，G2=(V2,E2)，若V1=V2及 E1 E2，则称G1是G2的一个支撑子图。
设v ∈ V(G)，用G-v表示从图G中去掉v 及v的关 联边后得到的一个图。
以点v为端点的边的个数称为v的次，记为d(v)。 一些特殊的点：
悬挂点：次数为1的点 孤立点：次数为0的点 奇点：次数为奇数的点（奇次点） 偶点：次数为偶数的点（偶次点） 命题：图中所有端点的次之和是边数的两倍，即 为偶数。
8
厦门大学 郭红丽
链，路，圈，回路
图中任意两点之间由端点和边相互交替构成的一 个点不重复序列称为初等链，也简称为链。
16
厦门大学 郭红丽
另一种寻求连通图G的支撑树的方法称为 “避圈法”，即在图G中任取一条边，接下 来每步选取一条边使它与已选边不构成圈， 直到选够n-1条边为止。
17
厦门大学 郭红丽
破圈法：从圈中去掉任一条边，再对余下 的圈重复相同的步骤，直到将图中所有的 圈都破掉为止。
避圈法：从图中某一点开始生长边，逐步 扩展生成一棵树的方法。其生长边的原则 是：每步选取与入树边不构成圈的那些边。
5
厦门大学 郭红丽
由点和边所构成的图称为无向图，记为G={V, E} 。 由点及弧所构成的图称为有向图，记为D={V, A}。
e1
v1
e2
v2
e5
e6 e3
v4 e7
e4
v3
无向图：点集、边集
v3
a8
a2
v1
a3 a4
a1
v2 a5
10
厦门大学 郭红丽
支撑子图
设有两个图G1=(V1,E1)，G2=(V2,E2)，若V1=V2及 E1 E2，则称G1是G2的一个支撑子图。
设v ∈ V(G)，用G-v表示从图G中去掉v 及v的关 联边后得到的一个图。
以点v为端点的边的个数称为v的次，记为d(v)。 一些特殊的点：
悬挂点：次数为1的点 孤立点：次数为0的点 奇点：次数为奇数的点（奇次点） 偶点：次数为偶数的点（偶次点） 命题：图中所有端点的次之和是边数的两倍，即 为偶数。
8
厦门大学 郭红丽
链，路，圈，回路
图中任意两点之间由端点和边相互交替构成的一 个点不重复序列称为初等链，也简称为链。
16
厦门大学 郭红丽
另一种寻求连通图G的支撑树的方法称为 “避圈法”，即在图G中任取一条边，接下 来每步选取一条边使它与已选边不构成圈， 直到选够n-1条边为止。
17
厦门大学 郭红丽
破圈法：从圈中去掉任一条边，再对余下 的圈重复相同的步骤，直到将图中所有的 圈都破掉为止。
避圈法：从图中某一点开始生长边，逐步 扩展生成一棵树的方法。其生长边的原则 是：每步选取与入树边不构成圈的那些边。
5
厦门大学 郭红丽
由点和边所构成的图称为无向图，记为G={V, E} 。 由点及弧所构成的图称为有向图，记为D={V, A}。
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v1
e2
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e6 e3
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无向图：点集、边集
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最小生成树 权=11
7.1 图与网络的基本概念
5、根树 有向树：若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树， 则称这个有向图为有向树。 根树：有向树T，恰有一个结点入次d-(vi) =0，其余各 点入次d-(vi) =1，则称T为根树
根树中入次d-(vi) =0的点称为根 出次d+(vi) =0称为叶 其他点称为分枝点
无向网络 有向网络
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树
树叶
分枝点
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
2、树的性质 性质7.1 树中任意两点之间有且只有一条链。 性质7.2 如图G中任意两点之间，有且只有一条 链，则该图G是一个树。 性质7.3 一个树，则m=n-1。 性质7.4 树中任意两个不相邻的点之间增加一 条边，则形成唯一的圈。 性质7.5 一个树如果去掉任何一条边，该图就 不再连通。
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
3、图的生成树
生成树（支撑树）：图G的生成子图是一棵树， 则称该树为G的生成树 图G中属于生成树的边称为树枝，不属于生成树 的边称为弦 定理7.3：图G=（V,E）,有生成树的充分必要条 件为G是连通图
4、最小生成树：图G = ( V，E )的生成树所有树枝上的 权数的总和,称为生成树的权。权数最小的生成树称为 最小生成树。 寻找最小生成树的方法：避圈法、破圈法
Σd+(v) =Σd-(v) = m
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图： 链：无向图G =（V, E）前后相继的点边序列称为 链
初等链：点边序列中没有重复的点和重复边的链称 为初等链
( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e8 , v5 )
7.1 图与网络的基本概念
4、次：以点v为端点的边数叫做点v的次，d(v)
奇点：次为奇数
偶点：次为偶数
悬挂点：d(v)=1
孤立点：
d(v)=0
定理7.1：任何图，Σd ( vi ) = 2 m
定理7.2：任何图，奇点有偶数个
7.1 图与网络的基本概念
出次d+(vi) ：有向图中，以vi为始点的边数 入次d-(vi) ：有向图中，以vi为终点的边数
5、连通图： 圈：无向图G =（V, E）中起点和终点重合的 链称为圈
初等圈：没有重复点和重复边的链圈称为初等圈 ( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e5 , v1 )
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图：
对于有向图来说，如果链和圈中边的方向与有 向图中所标方向相同，那么链就称为道路，圈 就称为回路。 连通图：任意两个点之间至少有一条链相连的 图称为连通图
P标号（永久性标号）
S={v1} P(v1)=0, T(vi)=∞
P(v1)=0
2
6
V1
V2
V3
1
10
P(v4)=1
5
9
3
V4
7
V5
6
5
2
3
4
V6
V7
4
V8 8
T(v2)=2 , T(v4)=1 , T(v6)=3
min {T(v2),T(v4),T(v6)}=min {2，1，3} =1
P(v4) =1
min {T(v6),T(v7),T(v3), T(v5)}=min {3, 3, 8, 7}=3
第七章 网络优化模型
图与网络的基本概念 最短路径问题 最大流问题 最小费用最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
A D
C B
A
简捷表示事物之间的
本质联系，归纳事物
C
D
之间的一般规律
B
7.1 图与网络的基本概念
在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(v1)
e2
(v3)孙
赵
e1
e4 e3
(v4)
(v2)钱
李
e5
(v5)
周
(v6)吴
(v7)陈
7.1 图与网络的基本概念
7.1.1 图与网络的概念及分类
1、图：图由点和边组成 G=( V, E )
点集V={ vi } 边集E={ ei }
每一条边和两个端点关联，一条边可以用两个端点 表示（vi，vj）
e
vi
vj
边数：m ( G ) = | E | 点数： n ( G ) = | V |
P(v2) =2
S={v1 ,v4 , v2}
L12=2 L16=3 L42=11 L47=3
S={v1 ,v4 , v2}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
L16=3
3
v4
7
v5
6
L47=3
52
34
L23=8
v6
v7
4
P(v6) =3
v8
L25=7
8
T(v6)=3 T(v7)=3 T(v3)=8 T(v5)=7
7.1 图与网络的基本概念
6、子图与生成子图：
子图：图G=( V, E )，E’是E的子集，V’是V的子 集，且E’ 的边与V’的顶点想关联， G’=( V’, E’) 是图G的一个子图。
生成子图：若V’=V，则G’是G的生成子图
7.1 图与网络的基本概念
6、网络：
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
7.1 图与网络的基本概念
在根树中，若每个顶点的出次d-(vi) ≤m，称这棵 树为m叉树。 若每个顶点的出次d-(vi) =m或0，则称这棵树为完 全m叉树
7.2 最短路问题
v1
2
v2
6
v3
1
10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3பைடு நூலகம்
4
v6
v7
4
v8
8
求从v1到v8的 最短路径
1、狄克斯托算法（Dijkstra）:标号法 标号：T标号（试探性标号）
7.1 图与网络的基本概念
2、无向图和有向图
无向边：
有向边：
无向图：由无向边构成的图
有向图：由有向边构成的图
7.1 图与网络的基本概念
3、简单图和多重图
环：e 9
多重边：e 6 和 e 7
简单图：不含环和多重边
多重图：含多重边
7.1 图与网络的基本概念
判断下列哪些图是简单图，哪些图是多重图？
7.1 图与网络的基本概念
S={v1 ,v4}
L12=2 L14=1 L16=3
S={v1 ,v4}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
52
v6
v7
4
34
v8 8
T(v2)=2 T(v6)=3 T(v7)=3
min {T(v2),T(v6),T(v7)}=min {2，3，3}=2
7.1 图与网络的基本概念
5、根树 有向树：若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树， 则称这个有向图为有向树。 根树：有向树T，恰有一个结点入次d-(vi) =0，其余各 点入次d-(vi) =1，则称T为根树
根树中入次d-(vi) =0的点称为根 出次d+(vi) =0称为叶 其他点称为分枝点
无向网络 有向网络
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
6 v2 2 v1 1 5 v4
84
v3
6
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树
树叶
分枝点
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
2、树的性质 性质7.1 树中任意两点之间有且只有一条链。 性质7.2 如图G中任意两点之间，有且只有一条 链，则该图G是一个树。 性质7.3 一个树，则m=n-1。 性质7.4 树中任意两个不相邻的点之间增加一 条边，则形成唯一的圈。 性质7.5 一个树如果去掉任何一条边，该图就 不再连通。
7.1 图与网络的基本概念
7.1.2 树的概念及性质
3、图的生成树
生成树（支撑树）：图G的生成子图是一棵树， 则称该树为G的生成树 图G中属于生成树的边称为树枝，不属于生成树 的边称为弦 定理7.3：图G=（V,E）,有生成树的充分必要条 件为G是连通图
4、最小生成树：图G = ( V，E )的生成树所有树枝上的 权数的总和,称为生成树的权。权数最小的生成树称为 最小生成树。 寻找最小生成树的方法：避圈法、破圈法
Σd+(v) =Σd-(v) = m
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图： 链：无向图G =（V, E）前后相继的点边序列称为 链
初等链：点边序列中没有重复的点和重复边的链称 为初等链
( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e8 , v5 )
7.1 图与网络的基本概念
4、次：以点v为端点的边数叫做点v的次，d(v)
奇点：次为奇数
偶点：次为偶数
悬挂点：d(v)=1
孤立点：
d(v)=0
定理7.1：任何图，Σd ( vi ) = 2 m
定理7.2：任何图，奇点有偶数个
7.1 图与网络的基本概念
出次d+(vi) ：有向图中，以vi为始点的边数 入次d-(vi) ：有向图中，以vi为终点的边数
5、连通图： 圈：无向图G =（V, E）中起点和终点重合的 链称为圈
初等圈：没有重复点和重复边的链圈称为初等圈 ( v1 , e1 , v2 , e6 , v4 , e3 , v3 , e5 , v1 )
7.1 图与网络的基本概念
5、连通图：
对于有向图来说，如果链和圈中边的方向与有 向图中所标方向相同，那么链就称为道路，圈 就称为回路。 连通图：任意两个点之间至少有一条链相连的 图称为连通图
P标号（永久性标号）
S={v1} P(v1)=0, T(vi)=∞
P(v1)=0
2
6
V1
V2
V3
1
10
P(v4)=1
5
9
3
V4
7
V5
6
5
2
3
4
V6
V7
4
V8 8
T(v2)=2 , T(v4)=1 , T(v6)=3
min {T(v2),T(v4),T(v6)}=min {2，1，3} =1
P(v4) =1
min {T(v6),T(v7),T(v3), T(v5)}=min {3, 3, 8, 7}=3
第七章 网络优化模型
图与网络的基本概念 最短路径问题 最大流问题 最小费用最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
A D
C B
A
简捷表示事物之间的
本质联系，归纳事物
C
D
之间的一般规律
B
7.1 图与网络的基本概念
在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(v1)
e2
(v3)孙
赵
e1
e4 e3
(v4)
(v2)钱
李
e5
(v5)
周
(v6)吴
(v7)陈
7.1 图与网络的基本概念
7.1.1 图与网络的概念及分类
1、图：图由点和边组成 G=( V, E )
点集V={ vi } 边集E={ ei }
每一条边和两个端点关联，一条边可以用两个端点 表示（vi，vj）
e
vi
vj
边数：m ( G ) = | E | 点数： n ( G ) = | V |
P(v2) =2
S={v1 ,v4 , v2}
L12=2 L16=3 L42=11 L47=3
S={v1 ,v4 , v2}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
L16=3
3
v4
7
v5
6
L47=3
52
34
L23=8
v6
v7
4
P(v6) =3
v8
L25=7
8
T(v6)=3 T(v7)=3 T(v3)=8 T(v5)=7
7.1 图与网络的基本概念
6、子图与生成子图：
子图：图G=( V, E )，E’是E的子集，V’是V的子 集，且E’ 的边与V’的顶点想关联， G’=( V’, E’) 是图G的一个子图。
生成子图：若V’=V，则G’是G的生成子图
7.1 图与网络的基本概念
6、网络：
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
7.1 图与网络的基本概念
在根树中，若每个顶点的出次d-(vi) ≤m，称这棵 树为m叉树。 若每个顶点的出次d-(vi) =m或0，则称这棵树为完 全m叉树
7.2 最短路问题
v1
2
v2
6
v3
1
10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3பைடு நூலகம்
4
v6
v7
4
v8
8
求从v1到v8的 最短路径
1、狄克斯托算法（Dijkstra）:标号法 标号：T标号（试探性标号）
7.1 图与网络的基本概念
2、无向图和有向图
无向边：
有向边：
无向图：由无向边构成的图
有向图：由有向边构成的图
7.1 图与网络的基本概念
3、简单图和多重图
环：e 9
多重边：e 6 和 e 7
简单图：不含环和多重边
多重图：含多重边
7.1 图与网络的基本概念
判断下列哪些图是简单图，哪些图是多重图？
7.1 图与网络的基本概念
S={v1 ,v4}
L12=2 L14=1 L16=3
S={v1 ,v4}
P(v1)=0
P(v2) =2
v1
2
v2
6
v3
1 10
P(v4)=1
59
3
v4
7
v5
6
52
v6
v7
4
34
v8 8
T(v2)=2 T(v6)=3 T(v7)=3
min {T(v2),T(v6),T(v7)}=min {2，3，3}=2