(完整版)初中圆知识点总结与练习

圆

1．圆的定义

（1）在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O

旋转一周， 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，如右图所示。

（2 合，定点为圆心，定长为圆的半径。

说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念

（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中 的CD ）。

（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB ）。 直径等于半径的2倍。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如

右图中的?CD

、?CAD ） 其中大于半圆的弧叫做优弧，如?CAD

，小 于半圆的弧叫做劣弧。

（4）圆心角：如右图中∠COD 就是圆心角。 3．与圆相关的角

（1）与圆相关的角的定义

①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角

②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 （2）与圆相关的角的性质

①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；

⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆的认识

A

O

B

C

D

O

A

r

【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ）

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线平分弦所对的弧

【答案】C

1．点与圆的位置关系

如果圆的半径为r ，某一点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r ? （2）点在圆上d r ? （3）点在圆内d r ? 2．直线和圆的位置关系

设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离

（1）直线和圆相离d r ?，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切d r ?，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交d r ?，直线与圆有两个交点。 3．两圆的位置关系

设R 、r 为两圆的半径，d 为圆心距 （1）两圆外离d R r ?+； （2）两圆外切d R r ?+； （3）两圆相交()R r d R r R r ?<<+?； （4）两圆内切()d R r R r ?->；

（5）两圆内含()d

R r R r ?->。

（注意：如果为0d =，则两圆为同心圆。） 4. 切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 5. 切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

这点和圆心的

连线平分两条切线的夹角。

与圆有关的位置

N

M

O

B

O

即：∵PA、PB是的两条切线

∴PA PB

=

PO平分BPA

∠

【例2】已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )．

A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部

C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部

【答案】D

【例3】已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．【答案】略

【例4】已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．

【答案】直线PB与⊙O相切．提示：连结OA，证ΔPAO≌ΔPBO

【例5】已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1

=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．

【答案】cm

6

2．提示：分别连结O1B，O1O2，O2C．

【例6】如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)．

(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；

(2)问点A出发多少秒时两圆相切?

【答案】(1)当0≤t≤5.5时，d＝11－2t；

当t>5.5时，d＝2t－11．

(2) ①第一次外切，t＝3；②第一次内切，;

3

11

=

t

③第二次内切，t＝11；④第二次外切，t＝13．

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

【例7】在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

垂径定理及推论

O

C D

A B

【答案】4159

【例8】

如图，F

是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是

的中点，AD ⊥BC 于D ，

求证：AD=2

1

BF.

【答案】提示：连接OF ，证明,,ADO FOE BOE V V V 是全等

三角形。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角

∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；

圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦

是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=?

∴90C ∠=? ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，

那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?

【例9】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 【答案】cm.34

【例10】已知：如图，⊙O 的直径AE =10cm ，∠B =∠EAC ．求AC 的长． 【答案】提示：连结CE ．不难得出cm .25=AC

与圆有关的计算

圆周角定理

O

A

E

F C

B

A

O

C

B

A

O

C

A

O

1． 圆周长：2c R p =

2． 弧长：180n R

l p =；

3． 圆面积：2S R p =；

4． 扇形面积：2

12360

n R S lR p =扇形＝；

【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，

贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．

A ．2πcm 100

B ．2πcm 3400

C ．2πcm 800 D

．2πcm 3

800

【

答案】D

【例12】已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C

交半圆O 2于D 点．试比较与

的长．

【答案】

的长等于的

长．提示：连结O 2D ．

1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=? 推论：如果弦与直径垂直相交，

那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，

∴2CE AE BE =?

2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是

这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中

项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2

PA PC PB =?

3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点

到每

圆幂定理

O E

D

C

A

D

C

B

P

A

O

条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线

∴PC PB PD PE

?=?

【例13】如图，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于

A、B

两点，如果PA：

PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________ 【答案】9

1.正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD

?中进行：::1:3:2

OD BD OB=；

2.正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE

?中进行，::1:1:2

OE AE OA=：

3.正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB

?中进行，::1:3:2

AB OB OA=.

【例13】已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足12

<<

a

R

，则这个多边形是（） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形

【答案】C

提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a R

<<2

因为a R

6

=，a R

4

2

=，所以a a a

64

<<

则a a a

654

<<，是正五边形，应选C。

【例1】若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为( )．A．12cm B．cm

2

2C．cm

2

4D．cm

2

8

【答案】D

【例2】若⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引⊙O的切线长为( )．

A．16cm B．cm

3

4C．cm

2

4D．cm

6

4

课后练习题

正多边形与圆

【答案】B

【例3】⊙O 中，∠AOB ＝100°，若C 是

上一点，则∠ACB 等于( )．

A ．80°

B ．100°

C ．120°

D ．130° 【答案】A

【例4】三角形的外心是( )．

A ．三条中线的交点

B ．三个内角的角平分线的交点

C ．三条边的垂直平分线的交点

D ．三条高的交点 【答案】C

【例5】如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦

BC ∥OA ，则的长为( )．

7题图

A ．π32

B ．π3

8

C ．π

D ．3π3

2

+

【答案】A

【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A

点到B 点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列

结论正确的是( )．

8题图

A ．甲先到

B 点 B ．乙先到B 点

C ．甲、乙同时到B 点

D ．无法确定 【答案】C

【例7】如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为( )．

9题图

A ．π

B ．π3

4

C ．2π

D ．4π

【答案】C

【例8】如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC ＝60°，则∠B ＝______． 【答案】30

【例9】如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为________． 【答案】cm.32

【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点，AB ＝12cm ．

求两个圆之间的圆环面积．

【答案】36?cm 2．提示：连接OC,OA.

【例11】如图，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三

个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？

【答案】设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，

则正△O 1O 2O 3外接圆的半径为

334 cm ，所以大圆的半径为334+2=3

6

34+

【例12】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．

（1）求证：BA·BM=BC·BN；

（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．

【答案】（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，

∴△ACB∽△NMB，∴BC AB

BM BN

，∴AB·BM=BC·BN

（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，

∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，

∵OM=OB，∴∠B=1

2

∠MON=30°．

∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6