最新二阶系统的性能分析1
实验一基于MATLAB的二阶系统动态性能分析
实验一基于MATLAB的二阶系统动态性能分析二阶系统是控制系统中常见的一类系统，在工程实践中有广泛的应用。
为了对二阶系统的动态性能进行分析，可以使用MATLAB进行模拟实验。
首先，我们需要定义一个二阶系统的数学模型。
一个典型的二阶系统可以用如下的常微分方程表示：$$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = u(t)$$其中，$m$是系统的质量，$b$是系统的阻尼系数，$k$是系统的刚度，$u(t)$是控制输入。
在MATLAB中，我们可以使用StateSpace模型来表示二阶系统。
具体实现时，需要指定系统的状态空间矩阵，并将其转换为StateSpace模型对象。
例如：```matlabm=1;b=0.5;k=2;A=[01;-k/m-b/m];B=[0;1/m];C=[10;01];D=[0;0];sys = ss(A, B, C, D);```接下来，我们可以利用MATLAB的Simulink工具来模拟系统的响应。
Simulink提供了一个直观的图形界面，可以快速搭建系统的模型，并进行动态模拟。
我们需要使用一个输入信号来激励系统，并观察系统的响应。
例如，我们可以设计一个阶跃输入的信号，并将其作为系统的输入，然后观察系统的输出。
在Simulink中，可以使用Step函数来生成阶跃输入。
同时，我们可以添加一个Scope模块来实时显示系统的输出信号。
以下是一个简单的Simulink模型的示例：在Simulink模拟中，可以调整系统的参数，如质量、阻尼系数和刚度，以观察它们对系统动态性能的影响。
通过修改输入信号的类型和参数，还可以研究系统在不同激励下的响应特性。
另外，MATLAB还提供了一些工具和函数来评估二阶系统的动态性能。
例如，可以使用step函数来计算系统的阶跃响应，并获取一些性能指标，如峰值时间、上升时间和超调量。
通过比较不同系统的性能指标，可以选择最优的系统配置。
此外，MATLAB还提供了频域分析工具，如Bode图和Nyquist图，用于分析系统的频率响应和稳定性。
自动控制原理第三章3.3
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
自控实验—二三阶系统动态分析
自控实验—二三阶系统动态分析在自控实验中，二、三阶系统动态分析是非常重要的一部分。
通过对系统的动态性能进行分析，可以评估系统的稳定性、响应速度和稳态误差等方面的性能。
本次实验将使用PID控制器对二、三阶系统进行实时控制，并通过实验数据对系统进行动态分析。
首先，我们先了解什么是二、三阶系统。
在控制系统中，系统的阶数表示系统传递函数的阶数，也可以理解为系统动态特性的复杂程度。
二阶系统由两个极点和一个零点组成，三阶系统由三个极点和一个零点组成。
二、三阶系统的动态响应特性与极点位置有关，不同的极点位置对系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能有着不同的影响。
在实验中，我们将使用PID控制器对二、三阶系统进行控制。
PID控制器是一种经典的比例-积分-微分控制器，可以根据误差信号进行调节，通过调整比例系数、积分时间和微分时间来控制系统的响应特性。
实验中，我们将根据二、三阶系统的实时数据进行PID参数调整，以达到控制系统的稳定和快速响应的目的。
在进行实验前，我们首先需要对二、三阶系统进行建模。
二、三阶系统的传递函数通常表示为：二阶系统：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2)三阶系统：G(s) = K / (s^3 + 3ξω_ns^2 + 3ω_n^2s + ω_n^3)其中，K表示系统的增益，ξ表示系统的阻尼比，ω_n表示系统的自然频率。
通过实验数据的统计和分析，我们可以估计出系统的K、ξ和ω_n的值，并据此进行PID参数的调整。
接下来，我们进行实验。
我们首先将PID控制器的参数设为初始值，然后对系统进行实时控制，并记录系统输出的数据。
通过对这些数据进行分析，我们可以得到系统的稳态误差、响应时间和超调量等性能指标。
对于二阶系统，我们将分析以下几个方面的性能：1.稳态误差：通过比较实际输出值与目标值之间的差异，可以得到系统的稳态误差。
常见的稳态误差有零稳态误差、常数稳态误差和比例稳态误差等。
二阶系统动态性能指标
代表
过阻尼二阶系统的动态表现
时化成两个一阶惯性环节串联 三、二阶系统的动态性能指标与系统参数的关系
[例] 控制系统如图，求
R(s) + -
解：
C(s)
欠阻尼系统
第五次 作业
• P134
3-9
作业三 P60 2-12 解 信号流图
1
1
梅逊公式
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
例2（P88 例3-12）图3-24为单位反馈二阶系统的单位阶 跃响应曲线。已知性能指标为：超调量=37%，调节时间 =5s，稳态值=0.95。试确定系统的开环传函。 解 二阶系统的传函为
1
2
闭环闭环主导极点
[例] 闭环控制系统的传递函数为 ，求单位阶跃响应
解：
第六节 稳态误差分析
一、稳态误差的定义 （１）从输入端定义 （２）从输出端定义
R(s) +
C(s)
G(s)
-
H(s)
由终值定理：
开环传递函数
二、控制系统的型别
开环传递函数中积分环节的个数 上很少见
-
++
一.一阶系统的瞬态响应
-
+
=
二.一阶系统的动态性能指标
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 都会使T 减小，使ts 减小。
第四节 二阶系统的动态性指标
一、二阶系统的动态响应
二阶标准型
或称典型二阶系 统传递函数
P75 二阶系统的 结构图
当 ξ=0 时
Ct(t)=L -1[
当 0<ζ<1时
误差带
=37%
根据终值定理
例3（大连理工大学2001年）单位负反馈二阶系统的单位 阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的开环传函。 解 依图可知
二阶系统的性能指标
●二阶系统的性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。
系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。
常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N、稳态误差e ss。
✓上升时间tr (rise time)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。
对无超调(过阻尼)系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。
✓峰值时间tp (peak time)响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
调整时间ts (settling time)响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。
❑评价系统稳定性的性能指标❑最大超调量Mp (maximum overshoot)响应曲线的最大峰值与稳态值之差。
通常用百分数表示：✓振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
评价系统准确性的性能指标✓稳态误差e ss系统进入稳态后期望值与实际值之差。
▪二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。
▪通常根据允许的最大超调量来确定ξ。
ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。
系统的误差分析和计算误差定义：理想输出与实际输出的差。
误差组成与分析在过渡过程中，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。
误差产生的原因：内因：系统本身的结构。
外因：系统输入量及其导数的连续变化。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
二阶系统分析
573.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。
系统闭环传递函数为Ks s T Ks ++=Φ21)(化成标准形式2222)(nn ns s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 121)(22++=Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6）式中，KT T 1=，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。
ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。
二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为02)(22=++=n n s s s D ωξω其特征特征根为122,1-±-=ξωξωλn n若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。
如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数te1λ，te 2λ，, tn eλ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
如果特征根中有多重根λ，则模态是具有tte λ， ,2t e t λ形式的函数。
如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与te )j (ωσ-可写成实函数模态t etωσsin 与t e t ωσcos 。
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为()n T ωξξλ11211---=-= ()n T ωξξλ11222-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换sT s T s s R s s C n1)1)(1()()()(212++==ωΦ进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(211221-+-+=--T T eT T e t h T t T t0≥t （3-7）59过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。
实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析.
自动控制原理实验报告实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级：姓名：学号：实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析一、实验目的1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼状态2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响；3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数有关，与外作用无关”的性质；4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态；5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。
二、实验内容1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。
2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。
3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定性的影响；4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响；5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。
三、实验步骤1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统：ωωξω22)(22nn s G s s n++=可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节ωωξω)()()()(2C C C C s C C 22262154232154232154215426316320nn s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++=++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2（1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。
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二阶系统的性能分析
1
实验三 二阶系统的性能分析
一、实验目的
1、研究二阶系统的两个重要参数阻尼比ξ和自然振荡频率n ω对系统动态性能的影响；
2、比较比例微分控制的二阶系统和典型二阶系统的性能；
3、比较输出量速度反馈控制的二阶系统和典型二阶系统的性能。
二、实验任务
1、典型二阶系统
二阶系统的传递函数为()s Φ=222
2n
n n
s s ωξωω++，仿真框图如图1-1所示。
图1-1 二阶振荡环节仿真框图
（1） 令n ω=10不变，ξ取不同值：1ξ=0，2ξ（01ξ<<），3ξ=1，4ξ>1，观
察其单位阶跃响应曲线变化情况；
ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况；（2）令ξ=0不变，
n
（3） 令ξ=0.2不变，n ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计
算超调量%σ和s t ；
n ω=5 和n ω=10时单位阶跃响应曲线：
n ω=5超调量%σ和s t
n ω=10时超调量%σ和s t ：
求超调量%σ和s t 的方法：以25
425
)(2++=Φs s s 为例说明。
方法一：num=[0,0,25];
den=[1,4,25]; step(num,den)
grid % 绘制网格线。
title('Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25) ') % 图像标题
说明：游动鼠标法：用鼠标左键点击时域响应图线任意一点，系统会自动跳出一个小方框，小方框显示了这一点的横坐标（时间）和纵坐标（幅值）。
按住鼠标左键在曲线上移动，可以找到曲线幅值最大的一点――即曲线最大峰值，此时小方框中显示的时间就是此二阶系统的峰值时间，根据观察到的稳态值和峰值可以计算出系统的超调量。
系统的上升时间和稳态响应时间可以依此类推。
这种方法简单易用，但同时应注意它不适用于用plot()命令画出的图形。
方法二：（不显示阶跃响应曲线，若要显示可在“[y,t]=step(G);”后加plot （t,y））
G=tf([0,0,25],[1,4,25]);
C=dcgain(G)
[y,t]=step(G);
[Y,k]=max(y);
percentovershoot=100*(Y-C)/C
i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)
方法三：
G=tf([25],[1,4,25]);
% 计算最大峰值时间和它对应的超调量。
C=dcgain(G)
[y,t]=step(G);
plot(t,y)
grid
[Y,k]=max(y);
timetopeak=t(k)
percentovershoot=100*(Y-C)/C
% 计算上升时间。
n=1;
while y(n)<C
n=n+1;
end
risetime=t(n)
i=length(t); %用向量长度函数length( )可求得t序列的长度，将其设定为变量i的上限值。
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)
（4）令n ω=10不变，ξ取不同值（01ξ<<），观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计算超调量%σ和s t 。
2、比例微分控制的二阶系统
比例微分控制的二阶系统的结构图如图1-2。
图1-2 比例微分控制的二阶系统的结构图
系统中加入比例微分控制，使系统阻尼比增加，并增加一个闭环零点，可以通过仿真比较典型二阶系统和比例微分控制的二阶系统的单位阶跃响应的性能指标。
上图所示的控制系统，令225
(2)(2)
n n s s s s ωξω=
++，0.1d T =，其中5,0.2n ωξ==，从Simulink 图形库浏览器中拖曳Step （阶跃输入）、Sum （求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope （示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如图1-3所示。
图中Pole-Zero （零极点）模块建立()G s 。
图1-3典型二阶系统和比例微分控制的二阶系统比较仿真框图
3、输出量速度反馈的二阶系统
输出量速度反馈的二阶系统的结构图如图1-4。
图1-4输出量速度反馈的二阶系统的结构图
系统中加入输出量的速度反馈控制，使系统阻尼比增加，可以通过仿真比较典型二阶系统和输出量速度反馈控制的二阶系统的单位阶跃响应的性能指标。
图1-4所示的控制系统，令225
(2)(2)
n n s s s s ωξω=
++，0.1f K =，其中5,0.2n ωξ==，建立仿真框图如图1-5所示。
图中
0.11
0.110.0011
s s s +≈++。
图1-5典型二阶系统和输出量速度反馈控制的二阶系统比较仿真框图
三、实验要求
1、完成实验任务所有的仿真分析；
2、撰写实验报告。
实验报告内容包括：
精品好文档，推荐学习交流
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（2） 实验原理；
（3） 实验任务中要求的所有仿真框图和阶跃响应曲线；
（4） 讨论下列问题：
a) 试讨论欠阻尼时参数n ω对二阶系统阶跃响应曲线及性能指标%σ和
s t 的影响；
b) 答：修改n ω的值观察n ω对二阶系统阶跃响应曲线性能指标%σ和
s t 的影响；
c) 试讨论欠阻尼时参数ξ对二阶系统阶跃响应曲线及性能指标%σ和
s t 的影响；
答：修改欠阻尼时参数ξ的值，观察ξ对二阶系统阶跃响应曲线及性能指标%σ和s t 的影响；
d) 试讨论二阶系统加入比例微分控制后性能指标的变化；
e) 试讨论二阶系统加入带输出量速度反馈控制后性能指标的变化。
（5） 实验体会。
采用上机的方式，自己动手操作，通过MATLAB 软件的使用使我们不仅学习到了知识，更加深刻的了解二级系统的一些性能指标，同时又锻炼了我们的动手能力。