高三第一轮复习 等比数列

= .
3
������ ������
而 a3+a6=a3(1+q ), ∴a3=
������������ +������������ ������+������������
n-3
=
������������
������ ������+������
=32.
∴a1=128.而 an=a1q ,
n-1
∵an=a3q , ∴ =32×
5.当 q≠0,q≠1 时,Sn=k-k· qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件, 这时 k=
������������ ������-������
.
6.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等,特别地, 若项数为奇数时,还等于中间项的平方.
对点演练
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q 为( A ) A2 B3 C4 D8 2.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n 项和，且9S3=S6，则数列{
������������������
D. 2017
二、考点探究
������ ������
探究点二 等比数列的性质
������������ ������������ ������������ ������������
练习：1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 = ( A. 2 B. C.
n 2 n 解 : (2) 由 (1) 知 b =n · 2 , ∴ T = 1 × 2 + 2 × 2 + … +n× 2 ①, n a =1.由 2a =S +n,得 解:(1)当 n=1 时n ,2a1=S1+1,∴ 1 n n ∴2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1②, 2an+1=Sn+1+(n+1),两式相减得 2an+1-2 an=an+1+1,即 an+1=2an+1, ������ 2 n n+1 ������(������-������ ) ①-②得-Tn=2+2 +…+2 -n· 2 = -n· 2n+1=(1-n)· 2n+1-2, ������-������{an+1}是首项为 2,公比为 ∴an+1+1=2(an+1),又 a1+1=2,∴数列 ∴Tn=(n-1)· 2n+1+2. 2 的等比数列,∴an+1=2· 2n-1=2n,即 an=2n-1.
������������ > ������, ������������ < ������, 注:①满足 或 时,{an}是递增数列; ������ > ������ ������ < ������ < ������ ������������ > ������, ������������ < ������, ②满足 或 时,{an}是递减数列; ������ < ������ < ������ ������ > ������
6.在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数构成等比 数列,则这两个数为27，81 .
对点演练
7.已知等比数列{an}中,a3=4,a7=16,则 a3 与 a7 的等比中项 为
± 8
.
8.数列{an}的通项公式为 an=an(a≠0 且 a≠1),则其前 n 项和 ������(1-������������ ) Sn= 1-������ .
qm ___
.
基础知识
5.等比数列与函数的关系 等比数列{an}的通项公式可写成 an= ������qn(q≠1),前 n 项和公
������ ������ ������������ n ������������ q������-������ ������-������
式可以写成 Sn=
(q≠1).
������ ������
)
D. 3
2.在等比数列{an}中,已知 ������ a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求 n.
������
二、考点探究
探究点二 等比数列的性质 解法一:设其公比为 解法二:设其公比为 q, q,∵a3+a6=36,a4+a7=18, ∵a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,
③当 q=1 时,数列{an}是常数列; ④当 q<0 时,数列{an}为摆动数列.
基础知识
常用结论 1.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则 {λan}(λ≠0),
������ ������������ ������������ ������������
,{������������ bn}, ������ },{an·
B )
B.
������ ������
例 1 (1)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a5· a7=4������������ ������ ,a2=1,
C.
������
D. 2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3a7=16a5,a3+a5=20,则( A. Sn=2an-1
对点演练
9.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5, 则 ln a1+ln a2+…+ln a20=
50
.
10.在等比数列{an}中,an>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3=
4
.
二、考点探究
则 a1= ( A.
������ ������
探究点一 等比数列的基本运算
2
因此{bn}的通项公式为 bn=2n-1.
二、考点探究
探究点一 等比数列的基本运算
1.等比数列基本运算方法
(1)使用两个公式，即通项公式和前n项和公式.
(2)使用通项公式的变形：an=amqn-m(m,n∈N*).
2.等比数列前n项和公式的应用
在使用等比数列前n项和公式时，应首先判
断公比q能否为1，若能，应分q=1与q≠1两种情
∴a1q2+a1q5=36,① 3 6 a1q +a1q =18,② 1 ②式除以①式得 q= . 于是 a1+ a1=36,
4 32 1 1 2
∴q=
������������ +������������ ������������ +������������
=
������������ ������������
A 7 B 5
探究点一 等比数列的基本运算
练习：1.已知{an}为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8， C -5 D -7
2.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若 a2=2, 2a3+a4=16, 则an等于( C ) A 2n-2 B 23-n C 2n-1 D 2n
二、考点探究
探究点一 等比数列的基本运算
A )
C. Sn=4-2an D. Sn=3-2an
B. Sn=2an-2
(3)[2017· 江苏卷]等比数列{an}的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn. 已知 S3= ,S6= ,则 a8=
������ ������ ������ ������������
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
二、考点探究
则a1+a10=( D )
2 解 : 设 { a } 的公差为 d , n (2)由 b1=1,T3=21 得 q +q-20=0,
n-1 则 a =1 + ( n1) d , b =q . S3=21; n 5 时,由①得nd=8,则 当 q=-
由 q= a2+b 得 3.1, ① 2= 当 4时 ,2 由 ①d+q= 得 d=则 S3=-6. (1)由 a3+b3=5 得 2d+q =6.② ������ = ������, ������ = ������, 联立①和②解得 (舍去)或 ������ = ������ ������ = ������.
15 或5 B A 8 31 或5 C 16
1 a n }的前5项和为(
C )
31 16
D
15 8
������ ������
3.在递减的等比数列{an}中,若 a3=1,a2+a4= ,则 a1= 4
.
对点演练
4.已知等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7=
4
.
5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数 n= 16 .
况求解.
二、考点探究
探究点二 等比数列的性质
例 2(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=6, 则 a13+a14+a15= ( C ) A. 18 B. 28 C. 32 D. 144 ������ (2)在正项等比数列{an}中,a1008a1010= , 则 lga1+lg a2+…+lga2017= ( B ) A. -2016 B. -2017 C. 2016 (3)已知{an}是等比数列,若 a2a5a8=8, 则 a1a9+a1a5+a5a9 A. 有最小值 12 C. 有最小值 4 ( A ) B. 有最大值 12 D. 有最大值 4