全国通用2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练文新人教A版

课时分层训练(十九)三角函数的图象与性质
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题 1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6 B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R
C [由cos x －
32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6
，k ∈Z.] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )
A ．1 B.1
2 C ．－1
D ．－12
A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π
2
＝1.]
3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x
B [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；
B 项，y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；
C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；
D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]
4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *
)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *
，∴ωmin ＝2，
故选B.]
5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象
相邻两个对称中心之间的距离为π
2
，则f (x )的一个单调递增区间为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，π6 C.⎝
⎛⎭⎪⎫π6，2π3
D.⎝
⎛⎭⎪⎫π3
，5π6
A [依题意得f (x )＝
32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之
间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x
－π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，故选A.]
二、填空题
6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π
＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π
4
(k ∈Z)．] 7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的
值为________．
2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π
6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________. ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)，
∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.]
三、解答题
9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )的单调递增区间．
[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π2ω＝π
ω
.4分 依题意，得π
ω＝π，解得ω＝1.6分
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2(k ∈Z)，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
(k ∈Z)．
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分
10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2
x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.6分
(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.7分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，
当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8
时，f (x )取最大值2＋1；9分
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋
1，最小值为0.12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π
4个单位后得到
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2
对称
B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数
C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8
，π8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π8，0对称
B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋
2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π
4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x
的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单
调递减，故选B.]
2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．
[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a
恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]
3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6，32，求f (x )的单调递增区间．
[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2，
∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立，
∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π
2
.5分
(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，
即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝32
.6分
又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π
3＋φ＜π，
∴π3＋φ＝2π3，φ＝π
3， ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9分
令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－5π12≤x ≤k π＋π
12
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分。