八年级数学北师版 第1章 勾股定理习题课件勾股定理解题的十种常见题型

Ⅲ.如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm， AC＝3 cm，在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋CP2， 所以 t2＝32＋(t－4)2，解得 t＝285. 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时， t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
7．如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m， 到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上 建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距 离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
8．如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处， 某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边 B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最 后沿第三方向走100 m回到家A处．问小明在河边B处取 水后是沿哪个方向行走的？
并说明理由．
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的． 理由如下： 由题易知AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，所以AB2＋ BC2＝AC2.所以∠ABC＝90°. 又因为AD∥NM，所以∠NBA＝∠BAD＝30°. 所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°. 所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
Байду номын сангаас
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知 BP＝t cm，当△ABP 为直角三角形时，有两种情况：
Ⅰ.如图①，当∠APB 为直角时，点 P 与点 C 重合， BP＝BC＝4 cm，即 t＝4.
Ⅱ.如图②，当∠BAP 为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm， 在 Rt△ACP 中，AP2＝32＋(t－4)2；在 Rt△BAP 中，AB2＋AP2＝BP2， 即 52＋[32＋(t－4)2]＝t2，解得 t＝245. 故当△ABP 为直角三角形时， t＝4 或 t＝245.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm， AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t s.
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况： Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5； Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm， AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16， 所以BC＝4 cm.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm， AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t s.
在△EDB与△FDC中，
∠EBD＝∠C， BD＝CD， 所∠以E△DEBD＝B≌∠△FDFCD，C(ASA)．所以BE＝FC＝3.
所以AB＝7，则BC＝7.所以BF＝4. 在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25， 所以EF＝5.
2 ． 如 图 ， 在 四 边 形 ABFC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.
10．如图，已知长方体的长为4 cm、宽为2 cm、高 为8 cm.一只蟑螂如果沿长方体的表面从A点爬到 B′点，那么最短的路程是多少？
解：根据题意，有以下三种情况： (1)如图①，连接AB′，AB′2＝AB2＋BB′2＝100； (2)如图②，连接AB′，AB′2＝AC2＋B′C2＝116； (3)如图③，连接AB′，AB′2＝AD2＋B′D2＝148 cm； 综上所述，最短的路程应为 如图①所示的情况， 此时AB′2＝100，即AB′＝10 cm， 故最短的路程为10 cm.
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝ 60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32， 求BC和CD的长度．
解：如图，连接 BD，作 BE⊥AD 于点 E.
因为 AB＝AD，∠A＝60°， 所以∠1＝∠ABD＝180°－2 60°＝60°. 易得△BAE≌△BDE.所以 BD＝AB＝8.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股 定理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤： ①找出图中说明结论所要用到的直角三角形； ②根据勾股定理写出三边长的平方关系； ③联系已知，等量代换，求之即可．
解：因为CD⊥AD，所以∠ADC＝90°， 即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2. 又因为AD2＝2AB2－CD2， 所以AD2＋CD2＝2AB2. 所以AC2＝2AB2. 因为∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形． 由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2， 所以AB2＋BC2＝2AB2. 所以BC2＝AB2，即AB＝BC.
又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°. 设 BC＝x，则 CD＝16－x，由勾股定理得 x2＝82＋(16－x)2. 解得 x＝10. 所以 BC＝10，CD＝6.
5．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好 落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF 的长．
解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等， 所以CF＝C′F. 设BF＝x，因为BC＝9， 所以CF＝9－x.所以C′F＝9－x. 由题意得BC′＝3. 在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2， 即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.所以BF的长是4.
10 10 cm
1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°， 点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于 E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：如图，连接BD.因为在等腰直角三角形ABC中，点D为AC 边的中点，∠ABC＝90°， 所以BD⊥AC，BD平分∠ABC.所以∠ABD＝∠CBD＝45°. 又易知∠C＝45°，所以∠ABD＝∠CBD＝∠C. 易知BD＝CD.因为DE⊥DF，BD⊥AC， 所以∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF. 所以∠FDC＝∠EDB.
解：设CD＝x(x＞0)m，则AC＝x m， 作AB⊥l于点B，则AB＝300 m. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300 m，AD＝500 m， 所以BD＝400 m. 所以BC＝(400－x)m. 在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2， 所以x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5. 所以商店C与公交站D之间的距离为312.5 m.
第一章 勾股定理
阶段核心题型专训 勾股定理解题的十种常见题型
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答案显示
15 2 AB＝BC 3 BP2＝BC2＋AP2. 4 BC＝10，CD＝6. 54
6 (1)4(2)t＝4 或 t＝245. (3)t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
7 312.5 m
8 南偏东60°
9 17 cm
3．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 试说明：BP2＝BC2＋AP2.
解：如图，连接BM.因为PM⊥AB， 所以△BMP和△AMP均为直角三角形． 所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2. 同理可得BC2＋CM2＝BM2. 所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2. 又因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2. 所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. 所以BP2＝BC2＋AP2.
9．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm， 在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对 的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食 物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开， 连接SF，过S作SP⊥MN， 由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，SP＝15 cm， 在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289， 所以SF＝17 cm. 因此，蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长为17 cm.