2021高中数学《数列》教案 苏教版必修5(1)

数列●三维目标1.知识与技术(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方式(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，熟悉数列是反映自然规律的大体数学模型；(2)了解数列的分类，明白得数列通项公式的概念，会依照通项公式写出数列的前几项，会依照简单数列的前几项写出数列的通项公式；(3)培育学生认真观看的适应，培育学生从特殊到一样的归纳能力，提高观看、抽象的能力．2.进程与方式(1)通过对具体例子的观看分析得出数列的概念，培育学生由特殊到一样的归纳能力；(2)通过对一列数的观看、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培育学生的观看能力和抽象归纳能力；(3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方式(列表、图象、通项公式)．3．情感、态度与价值观(1)体会数列是一种特殊的函数，借助函数的背景和研究方式来研究有关数列的问题，能够进一步让学生体会数学知识间的联系，培育用已知去研究未知的能力．(2)在参与问题讨论和解决进程中，培育观看、归纳的思维品质，养成自主探讨的学习适应；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的爱好．●重点、难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：熟悉数列的本质是一类离散函数.关于数列概念那个重点内容的教学，教师应该强挪用函数的背景和研究方式来熟悉、研究数列，如此能够加深学生对函数概念和性质的明白得，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念第一要经历大量的实例观看与分析，关键是让学生明白得数列的顺序性；第二教师启发学生对几个不同数列的共性进行探讨，通过度组讨论，慢慢完善，然后揭露出数列的概念．如何明白得数列的本质是一类离散函数呢？教师第一能够从分析一个简单的数列入手，启发学生发觉数列的函数解析式，进而能够用列表法、图象法来表示，由此发觉数列的图象是一系列孤立的点，可谓瓜熟蒂落；然后因势利导，进行一样化的抽象，通过数列的概念域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的熟悉．●教学建议1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的大体数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观熟悉，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习爱好．2．对数列概念的把握，教学中应注意：(1)数列是依照必然顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、试探的空间和余地；(2)数列是一种特殊函数，其概念域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量按序从小到大依次取值时的对应值．3．重视对学生学习数列的概念及表示法的进程的评判，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是不是充满爱好；在学习进程中，可否发觉数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．4．正确评判学生的数学基础知识和基础技术可否类比函数的性质，正确明白得数列的概念，正确利用通项公式、列表、图象等方式表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方式．●教学流程创设问题情境，引入数列等概念及数列的一般形式.⇒引导学生从生活实际感受数列概念，并给出数列的分类.⇒通过引导学生回答所提问题理解数列的通项公式.⇒结合具体事例总结数列的各种表示方法.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握已知数列前几项求通项公式的方法技巧.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握数列通项的应用技巧.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握求数列最大项与最小项的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第17页)(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．(3)关于函数y ＝3x ，当自变量x 依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，若是将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”……如此下去，即得一列数________．那么，以上问题的结果，有什么一起特点？【提示】 一起特点是：都是一列数；都有必然的顺序． 1．数列依照必然顺序排列的一列数称为数列． 2．项数列中的每一个数都叫做那个数列的项． 3．数列的一样形式可写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }.数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无穷的数列叫做无穷数列.数列的通项公式【问题导思】1．数列1，－12，13，－14，…的第n 项与序号n 之间有何关系？【提示】 第n 项是序号n 的倒数，且奇数项为正，偶数项为负． 2．数列2,4,6,8,10，…与函数y ＝2x 有何关系？【提示】 该数列是函数y ＝2x 的自变量x 依次取1,2,3,4，…时所取得的一列函数值． 若是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么那个公式叫做那个数列的通项公式.数列的表示法数列能够用通项公式、列表或图象来表示.利用观察法求数列的通项公式写出以下数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…；(2)－1，32，－54，78，－916，…；(3)3，3，15，21，33，…；(4)9,99,999,9999，….【思路探讨】 观看→归纳a n 与n 的关系→验证结论→得出答案【自主解答】 (1)依照题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n ，分母比分子的平方小1，因此a n ＝2n 2n2－1.(2)该数列的各项符号是负正交替转变，而各项的绝对值为11，32，54，78，916，….因此a n＝(－1)n2n －12n －1. (3)该数列的各项都能够写成根式3，9，15，21，27，….即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，….因此a n ＝32n －1＝6n －3.(4)因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－1，…，因此a n ＝10n －1. 1．本例中探访数列中的项与项数n 之间的关系时应注意： (1)关于分式应分母分子别离考虑，各个击破； (2)正负项交替显现时要引入操纵符号的因式(－1)n .2．此类问题要紧靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方式，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系，具体方式为：(1)分式中分子、分母的特点； (2)相邻项的转变特点； (3)拆项后的特点；(4)各项的符号特点和绝对值特点．依照数列的前几项，写出以下数列的一个通项公式． (1)45，12，411，414，…；(4)12，－34，58，－716，…； 【解】 (1)注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即45，48，411，414，…，因此有a n ＝43n ＋2(n ∈N *)．(2)6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因此有a n ＝n n ＋12(n ∈N *)． (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因此有a n ＝79(10n －1)(n∈N *)．(4)通过观看符号为一正一负：(－1)n ＋1，分子为2n －1，分母为2n ，因此a n ＝(－1)n＋12n －12n. 通项公式的应用已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？若是是，是第几项？【思路探讨】 (1)别离把n ＝1,2,3代入通项公式即可．(2)令a n 别离等于110和1627，解方程求n ，再查验n 是不是为正整数．【自主解答】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，那么n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8. 又n ∈N *，故n ＝－8舍去，因此110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，那么4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92.又n ∈N *，因此1627不是数列{a n }的项．1．若是已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就能够够写出数列中的指定项．2．判定某数是不是为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)假设n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；假设n 不是正整数，那么不是该数列的项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？假设是，是第几项？假设不是，请说明理由．【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，∴n ＝－2或n ＝343. ∵－2∉N *，343∉N *， ∴68不是该数列的项.数列的最大项、最小项问题已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3，求它的最大项．【思路探讨】 数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．【自主解答】 已知－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.由于函数f (x )＝－2(x －94)2＋1058在(0，94)上是增函数，在[94，＋∞)上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，因此数列{a n }的最大项为a 2＝13.1．解决此题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n ∈N *.2．数列的项与项数之间组成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的概念域．关于通项公式为二次函数的数列，其最值不必然是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．假设例题中通项公式改成“a n ＝－2n 2＋29n ＋3”，结果是什么？【解】 由题意得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818， 又∵n ∈N *，∴当n ＝7时，a n 有最大值108.∴数列a n 中的最大项为a 7＝108.忽略数列的函数特性而致误已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－3n ＋4，求a n 的最小值．【错解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74， 因此a n 的最小值为74. 【错因分析】 将a n ＝n 2－3n ＋4看成关于n 的二次函数，当n ＝32时，取得最小值为74，而数列中n ∈N *，故n 取不到32，最小值并非是在极点处取得． 【防范方法】 解题时不要把数列当做一样的二次函数，数列是特殊的函数，其概念域为正整数集N *(或它的有限子集)，图象不持续，是一群孤立的点．【正解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74， 可知图象的对称轴方程为n ＝32，又n ∈N *，故当n ＝1或n ＝2时，a n 取得最小值．其最小值为22－3×2＋4＝2.1．基础知识：(1)数列的概念；(2)数列的分类；(3)数列的通项公式；(4)数列的表示法．2．大体技术：(1)利用观观点求数列的通项公式；(2)运用通项公式研究数列的项；(3)求数列的最大项与最小项．3．思想方式：(1)函数思想；(2)转化思想.1．假设数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ＋1n ＋1，那么它的前4项为________．【解析】 把n ＝1,2,3,4一一代入即可．【答案】 32，73，134，2152．数列12，－45，910，－1617，…的一个通项公式是a n ＝________. 【解析】 偶数项均为负，奇数项均为正，故应用(－1)n ＋1操纵符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.【答案】 (－1)n ＋1n 2n 2＋13．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，那么35是该数列的第________项．【解析】令2n－1＝35，那么2n－1＝45，∴n＝23.【答案】 234．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)88是不是是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝kn ＋b ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2，∴a n ＝4n －2. (2)令a n ＝88，解得n ＝452∉N *， ∴88不是{a n }中的项.一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1)，那么a 3等于________．【解析】 a 3＝(－1)3＋1(32＋1)＝10.【答案】 102．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观看数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的不同离为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是________． 【解析】 数列中奇数项均为负，偶数项均为正，要用(－1)n 操纵符号，除首项为1外其余各项均为分式，故把1改写成11，从而分母依次为1,3,5,7，…，通项为2n －1，分子依次为1,4,9,16，…，通项为n2.【答案】a n＝(－1)nn2 2n－14．已知数3，3，15，21，…，那么9是数列的第______项．【解析】依照观看可知，通项公式为a n＝32n－1，令32n －1＝9，解得n ＝14.∴9是数列的第14项．【答案】 145．依照图2－1－1中的5个图形，及相应点的个数转变规律，试猜想第n 个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)图2－1－1【解析】 设第i 个图形中有a i 个点(i ＝1,2，…，n )，那么a 1＝1，a 2＝1＋1×2，a 3＝1＋2×3，a 4＝1＋3×4，a 5＝1＋4×5，…，a n ＝1＋(n －1)n .【答案】 1＋(n －1)n6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋17n ＋8，那么数列的最大项的值为________．【解析】 由a n ＝－n 2＋17n ＋8＝－(n －172)2＋3214得，n ＝8或9时，a n 最大，把8或9代入得a 8＝a 9＝80.【答案】 807．已知数列{a n }知足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，那么数列{a n }的一个通项公式为________．【解析】 令n ＝1得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，∴a 1＝1＝1×1；令n ＝2得a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，∴a 3＝15＝3×5；令n ＝3得a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，∴a 4＝28＝4×7，又a 2＝6＝2×3∴a n ＝n (2n －1)【答案】 a n ＝n (2n －1)8．数列{a n }知足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0＜a n ＜12，2a n －1，12＜a n ＜1，若a 1＝67，那么a 20的值为________．【解析】慢慢计算，可得a 1＝67，a 2＝127－1＝57，a 3＝107－1＝37，a 4＝67，a 5＝127－1＝57，…，这说明数列{a n }是周期数列，T ＝3，而20＝3×6＋2，因此a 20＝a 2＝57. 【答案】 57二、解答题9．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)． (1)写出a 2，a 10；(2)7923是不是该数列中的项？假设是，是第几项？ 【解】 (1)在a n 的表达式中，令n ＝2,10，即得a 2＝22＋2－13＝53，a 10＝102＋10－13＝1093. (2)由n 2＋n －13＝7923，即n 2＋n －240＝0， 得n ＝15或n ＝－16.∵n ∈N *，∴n ＝15，即7923是该数列中的项，是第15项． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，可知对称轴方程为n ＝52＝. 又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2(或32－5×3＋4＝－2)．11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 012；(2)假设b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 012＝2×2 012＋1＝4 025.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).依照如下图的5个图形及相应点的个数的转变规律，试猜想第(n )个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)【解析】 此题关键看每增加一个分支后，各分支点数多了多少个．序号n 决定了每一个图的分支数，而每一个分支有(n －1)个点，中心再加一点，故有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋1有些数列的关系以图形的方式给出，要从图形中擅长观看总结出规律，即归纳归纳．另外信息包括在图中，因此要具有较强的信息整合能力．如下图的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski )三角形．在图中的4个三角形中，着色三角形的个数依次组成一个数列的前4项，请写出那个数列的一个通项公式，并在平面直角坐标系中画出它的图象．(1) (2) (3) (4)【解】 这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，那么所求数列的前4项都是3的指数幂，且指数等于相应的序号减1，因此那个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1(n ∈N *)．在平面直角坐标系中的图象如下图．拓展数列是如何显现的呢？我国最先的数学起源，当为结绳和刻划，表现了数的顺序性．这有可能是数列的一个起源吗？1953年春，我国第一次发觉西安半坡遗址(距今5 600～6 700年之间).1954－1957年，中国科学院考古研究所进行了5次规模较大的科学挖掘，取得了大量宝贵的科学资料，其中发觉了半坡先民利用的指甲纹壶(如图)与陶器工艺品中的图案(如图)后者每边都是八个孔的等边三角形，反映了半坡人已经有了数量和几何形状的概念，这与“三角形数”何其相似！这说明半坡人已经有了数列的初步概念，遗憾的是在半坡文明中尚未发觉对数列进行理论研究的足够证据.。