高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1.1空间向量与平行关系含解析第一册
课时分层作业(六）（建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0,0)，n＝（－2,0,0)B．a＝（1,3,5)，n＝（1，0，1）C．a＝（0,2,1),n＝(－1,0，－1）D．a＝（1,－1,3），n＝（0，3，1）D［若l∥α,则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D。
]2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5），n ＝(－6，－2,10),则（)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对B[因为m＝(3,1，－5)，n＝（－6，－2，10),所以有n＝－2m，即m与n共线（平行），可知平面α和平面β相互平行．答案选B。
]3．平面α的法向量u＝（x，1，－2）,平面β的法向量v＝错误!，已知α∥β,则x＋y＝(）A．错误!B．错误!C．3 D．错误!A[由题意知,∵α∥β，∴u＝λv,即错误!解得λ＝－4，y＝－错误!，x＝4，∴x＋y＝4－错误!＝错误!.]4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2）,α的一个法向量为n＝(3，1,2）,则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1，1）B．错误!C．错误!D．错误!B［对于B，错误!＝错误!，则n·错误!＝(3,1，2）·错误!＝0，∴n⊥AP→，则点P错误!在平面α内．]5.如图,在正方体ABCD.A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点,则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(）A．(1，－2,4）B．（－4，1,－2）C．（2，－2，1）D．(1,2，－2)B［设正方体棱长为2，则A(2，0，0）,E(2,2,1），F(1,0,2），∴错误!＝（0，2,1），错误!＝（－1，0,2)设向量n＝（x，y，z)是平面AEF的一个法向量则错误!，取y＝1，得x＝－4，z＝－2∴n＝(－4，1,－2）是平面AEF的一个法向量因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.］二、填空题6．若直线l的方向向量为a＝（1，－2，3）,平面α的法向量为n＝(2，x，0)，若l∥α，则x的值等于________．1［由l∥α可知a·n＝0,即2－2x＝0，所以x＝1。
]7．已知错误!＝（2，2，1）,错误!＝(4，5，3）,则平面ABC的单位法向量是________．错误!或错误!［设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，则错误!解得错误!或错误!所以平面ABC的单位法向量是错误!或错误!］8．若A错误!,B错误!，C错误!是平面α内的三点,设平面α的法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝________。
2∶3∶(－4）[因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，又因为a·错误!＝0，a·错误!＝0，所以错误!解得错误!所以x∶y∶z＝错误!y∶y∶错误!＝2∶3∶(－4)．］三、解答题9。
如图,已知在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；(2）平面MNP∥平面CC1D1D.[证明]（1）以D为坐标原点,DA，→,错误!，错误!的方向分别为x，y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2,则A（2,0,0）,C(0,2,0），D(0，0,0)，M(1，0，1)，N（1,1,0），P（1，2,1)．由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以错误!＝(2,0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于错误!＝(0，1，－1），则错误!·错误!＝0×2＋1×0＋（－1)×0＝0,所以错误!⊥错误!。
又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2)由于错误!＝（0，2，0），所以错误!∥错误!，所以MP∥DC.由于MP⊄平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.又由(1）知，MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，所以由两个平面平行的判定定理,知平面MNP∥平面CC1D1D.10。
如图，在正方体ABCD。
A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点，当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO?［解］ 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,设正方体的棱长为2，则O （1，1,0）,A (2,0，0），P (0，0,1），B （2，2,0），D 1(0,0,2)．设Q （0，2,c ），∴OA →＝（1,－1,0)，错误!＝(－1，－1,1），错误!＝(－2,0，c )，错误!＝(－2，－2,2）．设平面PAO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z ），则错误!⇒错误!令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，∴平面PAO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．若平面D 1BQ ∥平面PAO ，则n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量． ∴n 1·错误!＝0,即－2＋2c ＝0，∴c ＝1，这时n1·错误!＝－2－2＋4＝0,符合题意．∴故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.11．(多选题）如图，在平行六面体ABCD.A1B1C1D1中,点M，P,Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是（）A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1ACD［连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点,故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1。
故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故A正确．显然A1M 与B1Q为异面直线．故B错误．由A知A1M∥D1P。
由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内．且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．]12.如图所示,在正方体ABCD。
A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定B［分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴,建立空间直角坐标系,如图所示．∵A1M＝AN＝错误!a，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴M错误!，N错误!，∴错误!＝错误!.又C1(0，0，0），D1（0，a,0)，∴C1D1→＝（0，a,0)，∴错误!·错误!＝0,∴错误!⊥错误!。
∵错误!是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.]13．（一题两空)如图，在长方体ABCD。
A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：（1)直线AB的方向向量有________个；（2）平面AA1B1B的法向量有________个．（1）8(2)8[(1）直线AB的方向向量有：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，错误!，共8个．（2)平面AA1B1B的法向量有：错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!，共8个．]14.如图，在长方体ABCD。
A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为________．12[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系（图略）,设|AB｜＝a，点P坐标为(0，0，b)则B1（a,0,1)，D（0,1,0），E错误!错误!＝（a,0,1），错误!＝错误!错误!＝（0，－1，b),∵DP∥平面B1AE，∴存在实数λ,μ，设错误!＝λ错误!＋μ错误!，即(0，－1，b)＝λ(a,0,1）＋μ错误!＝错误!。
∴错误!∴b＝λ＝错误!,即AP＝错误!.]15.如图，四棱锥P。
ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形,∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．[解]分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系,如图，则P（0，0，1)，C(1,1,0）,D(0，2,0)，设E（0,y，z),则析新人教A版选择性必修第一册错误!＝（0,y，z－1），错误!＝（0,2，－1），∵错误!∥错误!,∴y(－1)－2（z－1）＝0，①∵错误!＝（0，2，0）是平面PAB的法向量，错误!＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB，可得错误!⊥错误!,∴（－1，y－1，z）·(0，2,0）＝2（y－1）＝0，∴y＝1，代入①式得z＝错误!。
∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB。
- 11 -。
新人教版高中数学选择性必修第一册1
C．(－5，16，－24) D．(－5，16，－24)或(7，－16，24)
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解析：设
B(x
，
y
，
z)
，
→ AB
＝ (x － 1 ， y ＋ 2 ， z) ， 依 题 意 有
x－－31＝y＋4 2＝1z2， （x－1）2＋（y＋2）2＋z2＝[（－3）2＋42＋122]×4，
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析：因为 C 为线段 AB 上的一点，且 AC＝13 AB，
所以A→C
＝13
→ AB
.由此可求得点 C 的坐标．
设点 C(x，y，z)，则A→C ＝(x－4，y－1，z－3).
又A→B ＝(－2，－6，－2)，
所以(x－4，y－1，z－3)＝13 (－2，－6，－2)， 解得 x＝130 ，y＝－1，z＝73 .所以 C130，－1，37 .
因为 SA⊥平面 ABCD， 所以A→S ＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
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1234
(2)求平面SAB的一个法向量； 解：因为 AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 ABS， 所以 AD⊥平面 SAB， 所以A→D ＝12，0，0 是平面 SAB 的一个法向量．
A．P(1，－1，1)
√B．P1，3，32
C．P1，－3，32
D．P－1，3，－32
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1234
解析：对于选项 A，P→A ＝(1，0，1)，P→A ·n＝5，所以P→A 与 n 不垂直， 排除 A； 同理可排除C，D. 对于选项 B，P→A ＝1，－4，12 ，P→A ·n＝0，因此 B 正确．
空间向量与平行关系课件
(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_
新人教版高中数学选择性必修第一册1
03
课堂巩固 自测
1234
1．已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的一个方向向 量，若 l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
√ C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝125
解析：由题意得32 ＝x4 ＝5y ，所以 x＝6，y＝125 .
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所
以
→ AE＝－1，0，12 Nhomakorabea，
→ FC1
＝
－1，0，12
，
→ EC1
＝
0，1，12
，
→ AF
＝
0，1，12，
所以A→E＝F→C1，E→C1＝A→F，
所以A→E∥F→C1，E→C1∥A→F
又因为F∉AE，F∉EC1， 所以AE∥FC1，EC1∥AF， 所以四边形AEC1F是平行四边形．
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1234
3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若
α∥β，则k＝( )
A．2
B．－4
√C．4
D．－2
解析：因为 α∥β，所以－12
＝－24
－2 ＝k
，所以 k＝4.
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1234
4.如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，点 M，N 分别是面 对角线 A′B 与面对角线 A′C′的中点．求证：MN∥侧面 AD′； MN∥AD′，并且 MN＝12 AD′. 证明：设A→B ＝a，A→D ＝b，A→A′ ＝c，
则A→M ＝12 (a＋c)，A→N ＝c＋12 (a＋b)， 所以M→N ＝A→N －A→M ＝12 (b＋c)， 即M→N 与 b，c 共面．
高中数学第一章空间向量与立体几何41第1课时用空间向量研究直线平面的平行关系课件新人教A版选择性必修
题:
(1)如何用u1,u2表示l1∥l2?
提示:l1∥l2⇔u1∥u2.
(2)如何用u1,n1表示l1∥α?
提示:l1∥α⇔u1⊥n1.
(3)如何用n1,n2表示α∥β?
提示:α∥β⇔n1∥n2.
2.填表:
位置关系
向量表示
面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的
平面完全确定,可以表示为集合{P|a· =0}.
3.做一做:已知平面α内一点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列
点在平面α内的是(
A.(1,-1,1)
B.
)
3
1,3, 2
C.
3
1,-3, 2
解析:设在平面 α 内的为点 P.
线的向量垂直,计算出平面的一个法向量.
解:由题意知AD,AB,AS两两垂直.以A为原点,AD,AB,AS所在直线分别为x
轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
1
,0,0
2
,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD,
∴=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.
量与平面的法向量垂直.
2.利用空间向量证明面面平行,求出两平面的法向量,若两法向量是共线
⊥n1.
(2)设向量n2为平面B1C1F的法向量,要让平面ADE∥平面B1C1F,需证明
n1∥n2.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1第1课时空间中点直线和平面的向
【对点训练】❶ 如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的 平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
[分析] 先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平 面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．
直线和平面．
念．(数学抽象)
2．理解直线的方向向 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行
量与平面的法向量． 关系．(直观想象)
3．能用向量语言表述 3．会用待定系数法求平面的法向量．(数学运算
直线与直线、直线与平 )
面、平面与平面的平行 4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线
关系．
面、面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
思考1：直线的方向向量是不是唯一的？ 提示：直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题， 可以选取坐标最简的方向向量．
知识点3 空间中平面的向量表示式
1．平面 ABC 的向量表示式 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使O→P＝O→A ＋xA→B＋yA→C．③ 我们把③式称为空间平面 ABC 的向量表示式．
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1， ∴n＝(1，－1，－1)． ∵M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴M→N⊥n． 又∵MN⊄平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD．
[规律方法] 利用空间向量证明线面平行的方法 (1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线 向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从 而可证直线与平面平行． (2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量 共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行． (3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向 向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
高中数学选择性必修一课件：1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示,空间中直线、平面的平行
D．(－2,3，－6)
素养点睛：考查数学抽象、直观想象的
核心素养．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【答案】(1)7102 (2)A
【解析】(1)∵b＝(－1,3)是直线 l2 的一个法向量，∴c＝(3,1)是直线
l2 的一个方向向量．∴cos〈a，c〉＝|aa|·|cc|＝
7 5×
与平面α共面的所有向量，是正确的．
(2)当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
2．已知向量 a＝(1,2,5)，b＝(3，x，y)，分别是直线 l1，l2 的方向向
量，若 l1∥l2，则
()
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝15
C．x＝38，y＝130 【答案】A
得向量A→D＝(x，－3，z－5)，向量B→C＝(－1,3,0)． 因为直线 AD∥BC，所以有向量A→D∥B→C，即有A→D＝λB→C， 从而 x＝－λ，－3＝3λ，z－5＝0，得 x＝1，z＝5.
故点 D 的坐标为(1,0,5)．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【例题迁移 1】 (变换条件)将本例条件“AD 交坐标平面 Ozx 于点
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
用向量表示平面的位置
1．通过平面 α 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定 条件 平面 α 内两条___相__交___直线的方向向量 a，b 和交点 O 形式 对于平面 α 上任意一点 P，存在有序实数对(x，y)使得O→P＝
_x_a_＋__y_b__
高中数学新教材选择性必修第一册第一章《1.4空间向量
第一章 1.4.1空间向量的应用1.掌握空点、、面的向量表示间线.线与义会数2.理解直的方向向量平面的法向量的意；用待定系法求平面的法向量.证线与线线与与问3.能用向量法明直直、直平面、平面平面的平行题.知识点一 直线的方向向量与平面的法向量怎样来线间思考 用向量表示点、直、平面在空中的位置？(2)直：线①直的方向向量：和直平行或共的非零向量线这条线线.②于直对线l 上的任一点P ，存在实数t ，使得AP ―→＝t AB ―→，此方程直称为线的向量方程参数.答案 (1)点：在空中，我取一定点间们O 作基点，那空中任意一点为么间P 的位置就可以用向量OP ―→表示来.我把向量们OP ―→点称为P 的位置向量.(3)平面：①空中平面间α的位置可以由α不共向量确定内两个线.于平面对α上的任一点P ，a ，b 是平面α不共向量内两个线，存在有序则实数对(x ，y )，使得OP ―→＝x a ＋y b .②空中平面间α的位置可以用垂直于平面的直的方向向量表示还线.梳理 (1)直的方向向量和平面的法向量线直的方线向向量能平移到直上的线_____向量，叫做直的一方向向线个量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的____________，叫做平面α的法向量非零方向向量n(2)空中平行系的向量表示间关直设线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则平行线线l ∥m ⇔_____⇔a ＝k b (k ∈R )面平行线l ∥α⇔a ⊥μ⇔_____＝0面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔____________垂直线线l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔_______面垂直线l ⊥α⇔a ∥μ⇔___________面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔________a ∥b a ·μμ＝k v (k ∈R )a ·b ＝0a ＝k μ(k ∈R )μ·v ＝0知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分是直别线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，向量则v1，v2足什系应满么关.答案 由直方向向量的定知若直线义线l1∥l2，直则线l1，l2的方向向量共，即线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).(2)若已知平面外一直的方向向量和平面的法向量，向量足线则这两满哪条说线与些件可明直平面平行？线与进线答案 可探究直的方向向量平面的法向量是否垂直，而确定面是否平行.处间两关键么(3)用向量法理空中平面平行的是什？关键两个来说两.答案 是找到平面的法向量，利用法向量平行明平面平行类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系例1 (1)设a，b分是不重合的直别线l1，l2的方向向量，根据下列件判条断l1，l2的位置系：关①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解 ①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.∴μ·v ＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v ，∴α⊥β.②∵μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)，∴μ＝－32v ，∴μ∥v ，∴α∥β.(2)设μ，v 分是不同的平面别α，β的法向量，根据下列件判条断α，β的位置系：关①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)； ②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；解①∵μ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，－12，(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列件判平条断面α与l 的位置系：关①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)；②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0).解 ①∵μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－∴μ＝14a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.跟踪训练1 根据下列件，判相的、面位置系：条断应线关(1)直线l 1与l 2的方向向量分是别a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)；解 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)直线l1与l2的方向向量分是别a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠k b(k∈R)，∴a，b不共也不垂直，既线即l1与l2相交或面，但不垂直异.别μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；(3)平面α与β的法向量分是解 ∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴μ·v≠0且μ≠k v(k∈R)，既线α和β相交但不垂直.∴μ与v不共也不垂直，即(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分是别a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解 ∵a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a ，∴μ∥a ，即l ⊥α.类型二 求平面的法向量例2 如，图ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 平面与SBA 的法向量.平面设SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，解 ∵AD 、AB 、AS 是三垂直的段，条两两线∴以A 原点，以为AD ―→、AB ―→、AS ―→的方向分别为x ，轴y ，轴z 轴的正方向建立坐系，标则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，则n ·DC ―→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS ―→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0， ∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－12，12. 上，综平面SCD 的方向量为n ＝(1，－12，12)，平面SBA 的法向量为AD ―→＝(12，0,0).跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1―→是平面ACD 1的一法向量个.证明 正方体的设棱长为1，同理DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1， 分以别DA ―→，DC ―→，DD 1―→位正交基底建立如所示的空直角坐系，为单图间标 则DB 1―→＝(1,1,1)，AC ―→＝(－1,1,0)，AD 1―→＝(－1,0,1)，于是有DB 1―→·AC ―→＝0， 所以DB 1―→⊥AC ―→，即DB 1⊥AC ，而从DB ―→是平面ACD 的一法向量个.类型三 利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分是别BB1、DD1的中点，求：证(1)FC1∥平面ADE；证明 建立如所示空直角坐系图间标Dxyz ，有则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC ―→1＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1).设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2).因为FC ―→1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC ―→1⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，证明 因为C 1B ―→1＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一法向量个.由n 2⊥FC ―→1，n 2⊥C 1B ―→1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC ―→1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C1B ―→1＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.跟踪训练3 如，四图棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 底与面成的角为45°，底面ABCD 直角梯形，为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝ AD ＝1，在问棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，明理由说.12解 分以别AB ，AD ，AP 为x ，轴y ，轴z 建立空直角坐系，轴间标∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，∴存在E 点，点当E 为PD 中点，时CE ∥平面设E (0，y ，z )，则PE ―→＝(0，y ，z －1)，PD ―→＝(0,2，－1)，∵PE ―→∥PD ―→，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①∵AD ―→＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE ―→＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE ―→⊥AD ―→，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，1.若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，直则线l 的一方向向量个为( )A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A 解析 因为AB ―→＝(2,4,6)，所以与AB ―→共的非零向量都可以作直线为线l 的方向向量.2.已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若直两线l 1∥l 2，则x ，y 的分是值别( )A.6和－10B.－6和10C.－6和－10D.6和10解析 由直两线l 1∥l 2，得向量两a ，b 平行，A 即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分是别6和－10.解析 能作平面为α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共，线(－2,3，－1)＝－μ.D 3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一法向量，下列向量中能作平面个则为α的法向量的是( )A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1)D.(－2,3，－1)C 4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2，则m 为( )A.－4B.－6C.－8D.8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2，∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.解析 不妨正方体的设棱长为1，建立空直角坐系，间标各点坐：则标为A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，平面设ACD 1的一法向量个a ＝(x ，y ，z )，5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一法向量个为________.则a ·AC ―→＝0, a ·AD ―→1＝0.因为AC ―→＝(－1,1,0)，AD ―→1＝(－1,0,1)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，a ＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)规律与方法(1)空中一直的方向向量有无间条线数个.(2)方向向量在判、面位置系起到重要的作用断线线线关时.(4)利用待定系法求平面的法向量，求出向量的、、坐是具有数横纵竖标某系的，而不是具体的，可定某坐常，再表示其他坐种关值设个标为数标.(3)段中点的向量表式：于线达对AP ―→＝t AB ―→，当t ＝12，我就得到段中时们线点的向量表式达.点设M 是段线AB 的中点，则OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，就是这段线AB 中点的向量表式达.(5)明面平行的方法证线个v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上①设n是平面α的一法向量，至少有一点A∉α，则l∥α.线与内条线线“如果平面外直平面的一直平行，②根据面平行的判定定理：么这条线这个”，要明一直和一平面平行，也可证条线个那直和平面平行内个与线线.以在平面找一向量已知直的方向向量是共向量个两个线③根据共面向量定理可知，如果一向量和不共的向量是共面向么这个与这两个线证量，那向量不共向量确定的平面必定平行，因此要明平面外一直和一平面平行，只要明直的方向向量能条线个证这条线够内两个线线.用平面不共向量性表示即可(6)明面面平行的方法证证转为线证个内两条①面面平行的明可化面平行的明，即如果一平面的线别么这两个.相交直分平行于另一平面，那平面平行②利用平面的法向量，明面面平行，即如果证a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.第一章 1.4.2空间向量的应用断简单线线线关.1.能用向量法判一些、面、面面垂直系语线与线线与与2.能用向量言表述直直、直平面、平面平面的垂直关.系证间线关关.3.能用向量方法明空面垂直系的有定理知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那直是否垂直？用向量法判直垂直的一般方法么两线断两条线是什？么答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是直的方向向量，所以两线l 1与l 2垂直.(2)判直的方向向量的量是否零，若量零，直垂断两线数积为数积为则两线直，否不垂直则.判直是否垂直的方法：断两条线(1)在直上分取点两线别两A 、B 与C 、D ，计算向量AB ―→与CD ―→的坐，若标AB ―→·CD ―→＝0，直垂直，否不垂直则两线则.知识点二 向量法判断线面垂直梳理 直设线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔____＝0⇔__________________a·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，32，直则线l 平面与α的位置系是的？如何用向量法判直平面的位置关怎样断线与系？关判直平面的位置系的方法：断线与关(1)直的方向向量平面的法向量共线与线⇒l ⊥α.(2)直的方向向量平面的法向量垂直线与⇒直平面平行或直在平面线与线内.(3)直的方向向量平面的相交直的方向向量垂直线与内两线⇒l ⊥α 答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直的方向向量平面的法向量线与平行，所以直线l 平面与α垂直.梳理 直设线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔____________.a＝kμ(k∈R)知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z 2)，用向量坐法表示平面标两α，β垂直的系式是什？关么答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔__________________.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0类型一 证明线线垂直例1 已知正三柱棱ABC —A 1B 1C 1的各都棱长为1，M 是底面上BC 的边中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求：证AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 坐原点，为标OB 为x ，轴OC 为y ，轴OO 1为z 建立如所示的空直角坐系轴图间标. ∵M 为BC 中点，由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，0， N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，34，0. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，34，14，AB ―→1＝(1,0,1)，∴MN ―→·AB ―→1＝－14＋0＋14＝0. ∴MN ―→⊥AB ―→1，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1 已知如，在直三柱图棱ABC—A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求：证AC ⊥BC 1.证明 ∵直三柱棱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 垂直两两.如，以图C 坐原点，为标CA 、CB 、CC 1所在直分线别为x 、轴y 、轴z 建立空直角坐系轴间标.则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，∵AC ―→＝(－3,0,0)，BC ―→1＝(0，－4,4)，∴AC ―→·BC ―→1＝0.∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如所示，在正方体图ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求：证A1O⊥平面GBD.证明 方法一 如以图D 坐原点，为标DA 、DC 、DD 1所在的直分线别为x ，轴y ，轴z 建立空直角坐系轴间标.正方体设棱长为2，则O (1,1，0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴OA 1⊥平面GBD . ∴OA ―→1＝(1，－1,2)，OB ―→＝(1,1,0)，BG ―→＝(－2,0,1)，而OA ―→1·OB ―→＝1－1＋0＝0，OA ―→1·BG ―→＝－2＋0＋2＝0.∴OA ―→1⊥OB ―→，OA ―→1⊥BG ―→，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，而OB ∩BG ＝B ，平面设GBD 的一法向量个为n ＝(x ，y ，z )，令x ＝1，得z ＝2，y ＝－1，∴平面GBD 的一法向量个为(1，－1,2)， ∴A 1O ―→∥n ，∴A 1O ⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后，BG ―→＝(－2,0,1)，BD ―→＝(－2，－2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ BG ―→·n ＝0，BD ―→·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋z ＝0，－2x －2y ＝0，然显A 1O ―→＝(－1,1，－2)＝－n ，跟踪训练2 如，方体图长ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求：直证线PB1⊥平面P AC.证明 如建系，图C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC ―→＝(1,0，－1)，P A ―→＝(0,1，－1)，PB ―→1＝(1,1,1)，B 1C ―→＝(0，－1，－2)，B 1A ―→＝(－1,0，－2).PB ―→1·PC ―→＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB ―→1⊥PC ―→，即PB 1⊥PC .又PB ―→1·PA ―→＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以PB ―→1⊥P A ―→，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC .类型三 证明面面垂直例3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝证90°，∠ADB＝30°，E、F分是别AC、AD的中点，求：平面BEF⊥平面ABC.证明 以B 原点建立如所示的空直角坐系，为图间标平面设ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，设A (0,0，a )，易得则B (0,0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)， 故AB ―→＝(0,0，－a )，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0.则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB ―→＝0，n 1·BC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －az 1＝0，x 1＋y 1＝0，设n2＝(x2，y2，z2)平面为BEF的一法向量，个取x1＝1，∴n1＝(1，－1,0)平面为ABC的一法向量个.同理可得n2＝(1,1，－3).∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－3)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.。
新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1 空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册
的,但空间向量的模是可以比较大小的
探究点二
空间向量的线性运算
问题5根据已知向量,如何用空间向量的加减运算表示其他向量?
【例 2】 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设1 =a, =b,
=c,N,P 分别是棱 BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:
1
1
+ 2 =-a+b+2c.
规律方法
空间向量线性运算的技巧与思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧:
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运
算的关键,灵活运用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运
表示?
【例 4】 已知 A,B,C 三点不共线,点 O 是平面 ABC 外的任意一点,点 M 满足
=
1
1
+
3
2
+
1
.
6
(1)判断, , 三个向量是否共面;
(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.
解 (1)共面.证明如下:
因为 =
1
2
1
+
3
1
+ ,所以
【例 1】 给出下列说法:①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量
的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,1 与1 是相等向量;④在空间
四边形 ABCD 中,与是相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模
一定相等的向量一共有 4 个.其中说法正确的所有序号为 ②③
新教材高中数学第1章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选择性必修第一册
1 向量的线性运算 选定空间不共的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图 形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将 不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标 要求．
3．有关公式 (1)模：|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23； (2)夹角：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb| ＝ a21＋a1ab221＋＋aa232b2＋b21a＋3bb322＋b23； (3)两点间距离： |AB|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
三、运用向量方法研究平行与垂直 1．线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．
5．面面平行 (1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直 (1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．
四、用向量方法求空间角和距离 1．求两异面直线所成的角 利用公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，但务必注意两异面直线所成角 θ 的范围 是0，π2，故实质上应有 cosθ＝|cos〈a，b〉|. 2．求线面角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向 向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法 向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角 φ，即可求出直线与平面 所成的角 θ，其关系是 sinθ＝|cosφ|.
AB ＝ | A→B | ＝
5．点到直线的距离 点 A 是直线 l 外一点，若 AB 是直线 l 的垂线段，则 AB 的长度就是点 A 到直线 l 的距离，这一距离也等于|A→B|. 6．点到平面的距离的求法 点 P 到它在一个平面 α 内射影的距离，称为点 P 到这个平面 α 的距离．若 A 为平面 α 内任一点，n 为平面 α 的法向量，则点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→|An·|n|.