随机过程论文
随机过程在生物系统中的研究
随机过程在生物系统中的研究在我们生活的这个丰富多彩的世界里，生物系统的复杂性和多样性令人惊叹。
从微观的细胞内分子相互作用，到宏观的生态系统中物种的分布和演化，处处都隐藏着各种规律和模式。
而随机过程这一数学工具，正逐渐成为我们理解生物系统内在机制的一把钥匙。
随机过程，简单来说，就是研究随机现象随时间演变的过程。
在生物系统中，许多现象都具有随机性和不确定性。
例如，基因突变的发生就是一个随机事件，每个基因在复制过程中都有一定的概率发生突变。
再比如，细胞内蛋白质分子的浓度会因为合成和降解的随机过程而不断变化。
在细胞生物学中，随机过程有着广泛的应用。
细胞内的基因表达是一个复杂的调控过程，涉及到多个步骤，包括转录、翻译和蛋白质的修饰等。
这些过程中的每一个环节都存在一定的随机性。
通过建立随机模型，我们可以更好地理解基因表达的噪声如何影响细胞的功能和表型。
研究发现，基因表达的随机性在细胞分化、免疫反应等过程中都发挥着重要作用。
比如，在免疫细胞的发育过程中，基因表达的随机波动可能导致细胞向不同的方向分化，从而产生多样化的免疫细胞类型，以应对各种病原体的入侵。
另一个例子是细胞信号转导通路。
当细胞接收到外部信号时，信号分子会通过一系列的化学反应在细胞内传递信息。
这些反应的速率和概率都存在一定的随机性。
利用随机过程的理论，我们可以分析信号在细胞内传播的可靠性和准确性，以及随机波动如何影响细胞的决策过程。
例如，在细胞的应激反应中，信号转导通路的随机性可能决定了细胞是生存还是凋亡。
在种群生态学中，随机过程同样不可或缺。
物种的种群数量往往会受到各种随机因素的影响，如环境的随机变化、自然灾害、疾病的爆发等。
传统的种群模型通常假设种群的增长是确定性的，但实际情况并非如此。
通过引入随机过程，我们可以更真实地模拟种群的动态变化。
例如，在一个有限的栖息地中，种群数量可能会因为随机的出生和死亡事件而发生较大的波动。
这种波动对于物种的生存和灭绝有着重要的影响。
《随机过程》论文
随机过程应用于无人飞行器的撞地概率摘要:在误差随机过程为平稳正态过程的假设下,研究了无人飞行器撞地概率的计算问题。
在已知地形数据的情况下,从理论上推导出无人飞行器只受到垂直干扰时的撞地概率的计算公式;并在仅利用地形特征参数的情况下,得到了较为简洁的计算公式,在进行无人飞行器航迹规划过程中可以实现撞地概率的实时计算。
给出了无人飞行器既受到垂直干扰又受到水平干扰时的撞地概率的计算公式,并对它们的计算作了简化,得到了一个近似计算公式。
讨论了撞地概率计算公式的应用问题,分析了误差随机过程的标准差、飞行器机动带宽及地形标准差对撞地概率的影响。
关键词:无人飞行器;误差随机过程;自相关函数;撞地概率无人飞行器(无人飞机、导弹等飞行器)有许多优点,在现代战争中发挥着愈来愈重要的作用,它们可以作超低空飞行突破敌人的防空阵地而不被敌方雷达发现,并对敌方阵地进行侦察或攻击。
但是无人飞行器在作超低空飞行时,撞地概率增大,无人飞行器的撞地概率是反映其性能的重要指标之一。
因此,在进行无人飞行器的航迹规划时需要考虑撞地概率。
国内外已有一些文献讨论过这一问题。
在考虑了地形随机输入和低空风随机干扰共同作用的情况下,针对导弹长时间超低空地形跟踪飞行这一特点,研究了撞地概率的计算方法,分析了导弹主要参数静稳定性动力系数a和高度反馈系数K h对撞地概率的影响。
撞地概率受到多种因素的影响,根据来源可以分为两类,一类是无人飞行器自身的控制系统及导航系统性能对航迹的影响,其次是自然因素如气候等对无人飞行器产生的干扰。
为简便起见,本文未考虑可以通过控制系统及导航系统能够修正的系统偏差,只考虑随机干扰,也不区分它们的来源,并且假设随机干扰为平稳正态随机过程,在此基础上,针对地形数据已知和只知地形特征两种情形下,从理论上推导出了无人飞行器仅受到垂直干扰及既受到垂直干扰又受到水平干扰时的撞地概率的计算公式,并对它们的计算作了简化。
撞地概率计算公式可看作是本文的一种特殊情形。
随机过程期末论文
马尔科夫链在企业人力资源需求方面的应用【摘要】：通过市场调查研究发现，很多现象是可以用随机过程来描述的。
比如说，企业在人力资源需求方面就是一个随着时间不断变化的随机过程。
本文试图将马尔科夫链引入，并运用其原理以及特性，对企业人力资源需求方面进行分析和预测，从而帮助企业明确未来人力需求趋势，做好人才储备工作。
【关键字】：马尔科夫链；人力资源；预测；需求一、马尔科夫链原理简介一个经济系统X(t)是随时间t 变化的随机变量。
人们可根据该经济系统在时刻0t 所处的状态推出它在任何一个较后时刻t(>0t )的状态。
由此原则，可得到这样一个基本方法：系统内X(t)在给定的时刻n t 的状态X(n t )=Xn ，可根据它在任何较早时刻1-n t (<n t )所处的状态X(1-n t )=Xn-1推出，而不依赖于系统在时刻以1-n t 前的历史状态。
满足这一条件的系统所观测结果的随机过程，就称之为马尔科夫过程。
而马尔科夫链是状态离散的一类特殊马尔可夫过程, 即过程的发展可看作是在某些值（称为过程的“状态”）之间一系列转移, 而且具有下面性质：一旦过程处于一给定状态, 则过程未来发展只依赖于这个状态, 而与它过去到达过的状态无关。
假设过程的时间参数集任意n 个时刻为t1<t2<......<tn,系统X(t)在时刻ti 处于状态Xi,即X(ti)=xi(i=1,2,...,n-1),则X （tn ）的条件概率分布只依赖于X （tn-1）=xn-1最近的已知值，即：P{X(tn)≤xn|X(t1)=x1,...,X(tn-1)=xn-1}=P{X(tn)≤xn|X(tn-1)=xn-1} 可以直观地解释为当给定过程“现在”的条件下，它的“将来”与“过去”无关。
二、状态转移矩阵运用马尔科夫链进行预测的关键在于：建立状态转移概率矩阵（指系统在时刻t 所处状态，转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率）。
随机过程课程期末论文总结
随机过程课程期末论文总结随机过程是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机现象的演变规律。
随机过程理论广泛应用于信号处理、金融工程、电气工程等领域，并在实践中取得了很多重要的成果。
本期末论文将对随机过程的基本概念、性质、应用以及未来发展进行总结和展望。
一、随机过程的基本概念和性质1. 随机过程的定义及基本性质随机过程是一组随机变量的集合，其演变满足一定的随机性和连续性条件。
随机过程可以用概率分布、自相关函数和谱函数等来描述其随机性和统计特性。
其基本性质包括平稳性、马尔可夫性、连续性等。
2. 常见的随机过程模型常见的随机过程模型包括白噪声过程、马尔可夫过程、泊松过程、高斯过程等。
每种模型适用于不同的应用场景，有些模型可以用于描述连续时间下的随机过程，有些则适用于离散时间下的随机过程。
二、随机过程的应用1. 信号处理中的应用随机过程在信号处理领域有着广泛的应用。
通过对信号的随机过程分析，可以研究信号的平均功率、自相关函数、谱函数等统计特性，从而实现信号识别、滤波、压缩等技术。
2. 金融工程中的应用随机过程在金融工程中的应用主要用于描述金融资产价格、利率等随机变量的演变规律，从而进行金融风险的度量和管理。
基于随机过程的衍生品定价模型和风险度量模型是金融工程中的重要研究内容。
3. 电气工程中的应用随机过程在电气工程中的应用主要体现在电力系统的输电过程中。
通过对输电线路上的随机过程分析，可以对线路的带宽容量、干扰噪声等进行优化和改进，提高电力传输的效率和可靠性。
三、随机过程的发展趋势1. 随机过程在人工智能领域的应用随机过程可以用于描述许多自然或人造系统中的状态演变，而人工智能系统的学习和决策往往依赖于对状态的模型化和预测。
因此，随机过程的理论和方法在人工智能领域有着潜在的应用前景。
2. 非平稳随机过程的研究传统的随机过程理论通常假设随机现象具有平稳性质，即在整个时间域上具有相同的统计特性。
然而，许多现实中的随机现象往往是非平稳的。
应用随机过程论文
应用随机过程论文题目：马尔科夫发展与应用班级：2012级统计1班姓名：***学号： ***********摘要现实生活中，人脸识别以及股市走势预测等实际问题都具有马尔科夫性，即未来的走势和演变仅仅与当前的状态有关而不受过去状态的影响。
本文介绍马尔科夫过程及马尔科夫链的发展过程与应用，运用其性质建立了以下几个问题的马尔科夫预测模型并做出了预测分析。
关键字马尔科夫过程马尔科夫链人脸识别股市预测目录前言 (1)一.随机过程发展简述 (2)二.马尔科夫过程发展简述 (2)2.1马尔科夫过程简介 (2)2.2 马尔科夫过程的发展 (3)三．马尔科夫过程的应用举例 (5)3.1、股票市场走势预测 (5)3.2、人脸识别模型 (6)四．马尔科夫链的定义和性质 (8)五．马尔科夫链的应用背景 (9)六．马尔科夫链在各个领域的应用 (9)6.1马尔科夫链在教育领域的应用 (9)6.2马尔科夫链在经济领域的应用 (10)6.3马尔科夫链理论在医学卫生领域的应用 (11)6.4马尔科夫链在遗传学领域中的应用举例 (12)七．总结 (13)八．参考文献 (14)前言马尔科夫链预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论与方法，来研究分析某些动态系统的发展变化过程，并预测其发展变化趋势的一种预测方法，它是现代预测方法中的一种，具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要的地位。
在国外，它不仅广泛应用在自然科学领域，还应用在经济领域。
在我国，它主要应用于水文，气象，地震等自然科学技术的预测，近年在产品市场占有率预测和经济决策中也有所应用。
为了有效的利用这个工具，解析一下它的基本原理，研究它的应用，这对深入理解，推广应用马尔科夫链预测法，提高预测质量，发挥该预测法的效力将是有益的。
本文拟从最原始的数学定义出发，逐步讨论它的转移概率矩阵。
我们采用马尔科夫链的建模方法，就马尔科夫模型在股市预测、人脸识别等几个方面的应用进行探讨。
随机过程英文论文
姓名：李范佩专业：031041202 学号：031041202Random Signal Analysischief contents1. Introduction of the random process2. Definition of the random process3. The digital characteristic of the random process4. Stationary random process and ergodic property5. The normal random process6. Markov chain7. Spectrum analysis of the stationary random process8. Analysis of the random signal through the linear system9. Analysis of the random signal through the nonlinear systemIntroductiona. Random process which is aim at the dynamical phenomenon that varies with the time, is the quantitative description for the relationship of the series of random events.b. Application: Atmosphere field, communication engineering,computer science and so on.c. Target: To find the inherent law from the events which is seeming external disorderThe definition of the random processWe suppose the sample space of the random expriment is S= {ξ},if there exists a corresponding function X(ξ,t),t ∈T for each ξ ,thus we can get gens function {X(ξ,t),t ∈T} about ‘t ’ for all the ξ,these function famlily about ‘t ’ are called random process,and recorded X(ξ,t).The random process can be redfined as follow:If X(ξ, ti) is random variable for each preset ti of the time (i = 1,2,3, …),then X(ξ,t) is called random process.Individual comprehension:Random process can be taken for the extension in the time –domain of the random variable. It is the combination of the random variable which is continuous and varying with timeProbability Distribution of Random ProcessThe definition of the probability distributionIf we suppose {X(t),t T } is random process,for arbitrary fixed t1,t2, …,tn ∈T,and real number x1, x2 , …,xn ∈ R,then we mark Fx(x1,x2 , …,xn ,t1,t2, …,tn ) = P{X(t1) ≤ x1, X(t2) ≤x2 , … X(tn) ≤ xn } as the n-dimensional distribution function of the random process {X(t),t ∈ T } .n-dimensional probability density functionfx(x1, x2 , …,xn , t1,t2, …,tn)= is called the n-dimensional distribution function of the random process {X(t),t 121212(,,,;,,,)X n n nF x x x t t t x x x ∂∂∂∂∈ T } .Finite dimensional distribution gens functions or n-dimensional probability density functions can fully determine the whole statistical property of the random process.The Digital Characteristics of The Random ProcessIn practical application we cannot fully determine the finte dimensional distribution gens functions to analyse it.Thus we just exploit the digitalcharacteristics to describe the random process.The digital characteristics includes mathematical expectation, variance, correlation function.a. Mathematical expectation The random process {X(t),t ∈ T }b. mx(t) = E[X(t)] = ,mx(t) shows the average of sample function value in the time t.b. Squared value is called squared value it shows the power of the random signalc. Variance The variance shows the rate of deviation of sample function value related to mx(t) Correlation FunctionIf x ,y obey the same distribution ,then it is called the autocorrelation function,otherwise called cross-correlation.(;)x xf x t dx ∞-∞⎰222()[()](;)x x t E X t x f x t dx ψ∞-∞==⎰22()[()][(()())]x x t D X t E X t m t σ==-12{(),}{(),} are the random process.For arbitray fixed t ,X t t T and Y t t T t T ∈∈∈121212(,)[()()](,;,)xy xy R t t E X t Y t x yf x y t t dxdy∞∞-∞-∞==⎰⎰Correlation function shows the degree of correlation of the sample value in the different time .For t1 = t2,Thus we can conclude that mx(t) and correlation function are the basic digital characteristics.Stationary Random Process and Ergodic PropertyIf the probability property of the random process is independent of the time shifting ,then we remember this random process as stationa ry random process. a. Stationnary random process is also classified into two types,the one is called sensu stricto random process, the other is called generalized random process. b. For the random process X(t),if it ’s n-dimensional probability density function is independent of the time start, just meet the following equation:this random process is called sensu stricto random process.c. For the random process X(t), if it meets these properties:⑴ (constant)2212(,)(,)[(()())][()]()x x x x K t t K t t E X t m t D X t t σ==-==12121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)x n n x n n f x x x t t t f x x x t t t τττ=+++ (())()x E X t m t =。
随机过程中的概率分布计算论文素材
随机过程中的概率分布计算论文素材随机过程中的概率分布计算引言：随机过程是研究随机变量的一种数学模型。
概率分布是描述随机变量取值的可能性的数学函数。
在随机过程中，概率分布的计算对于研究事件发生的概率以及推导相关性质具有重要意义。
本文将探讨随机过程中概率分布的计算方法，并提供一些计算概率分布的素材。
1. 随机过程介绍随机过程是描述随机变量随时间变化的数学模型。
它由一个或多个随机变量组成的序列所构成，通常用X(t)表示，其中t为时间参数。
随机过程可以是离散的，也可以是连续的。
离散的随机过程对应于离散时间，而连续的随机过程对应于连续时间。
2. 概率分布介绍概率分布是描述随机变量取值的可能性的数学函数。
对于离散随机变量，概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）表示；对于连续随机变量，概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。
概率分布函数可以用来计算随机变量落在给定区间的概率。
3. 概率分布的计算方法在随机过程中，计算概率分布的方法取决于具体的随机过程模型。
以下是一些常见的概率分布计算方法的素材。
3.1 泊松分布泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ是单位时间（或单位空间）内随机事件的平均发生次数，k 是随机事件发生的次数。
3.2 正态分布正态分布是一种常见的连续概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布以其钟形曲线而闻名，对应于许多现实世界中的自然现象。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2) * ((x - μ) / σ)^2)其中，μ是平均值，σ是标准差，e是自然对数的底数。
3.3 指数分布指数分布是描述随机事件之间时间间隔的概率分布。
随机过程——精选推荐
随机过程《随机过程》论⽂平稳的随机过程学号：11404111姓名：郭冬冬班级：11级1班指导教师：王颖俐专业：数学与应⽤数学系别：数学系完成时间：2015年1⽉摘要：本⽂主要通过⾃⼰的调研，结合本学期所学的课程《随机过程》总结出⼀些随机过程在通信中的具体应⽤。
随着科学的发展，随机过程与通信系统的关系越来越紧密，并且应⽤场合越来越多，如何在通信系统中正确应⽤随机过程的知识也越来越重要，随机过程中的⼀些概念在通信系统中应⽤中都具有⼀定的物理意义，掌握其物理意义对于更好地理解随机过程有很⼤的帮助作⽤。
接着结合⾃⼰的研究⽅向，进⼀步列举了⼀些随机过程在通信系统中的具体应⽤。
有许在随机过程的分类有许多的体现。
按照随机过程的参数集和状态空间是连续还是离散可以分为四类：⼀是参数离散、状态离散的随机过程，或叫做离散随机过程。
如贝努⼒过程等；⼆是参数离散、状态连续的随机过程，或（连续）随机序列。
如DAC（数模变换）过程中对随机信号进⾏采样；三是参数连续、状态离散的随机过程。
如程控设备转接语⾳电话的次数，跳频设备在通信过程中改变频率的次数等；四是参数连续、状态连续的随机过程。
如扫频仪的扫频信号进⾏扫频，各类信号中的纹波电压等。
多随机过程的数字特征的应⽤，⽐如随机过程的数学期望、⽅差、⾃协⽅差与⾃相关函数、互协⽅差与互相关函数等，如测量两条光纤信道的质量⾼低，我们可以通过OTDR多次发送光信号，在接收端来检测其损耗值，通过求损耗值的数学期望来选择质量好的光纤信道；如测试两种稳压芯⽚的性能，我们会多次记录对同⼀电压的采样值，通过求其采样值的⽅差，我们就可以简单的做出判断，因为⽅差函数描述了采样电压在各个时刻对其均值的偏离程度。
关键词：随机过程，平稳过程1.平稳过程平稳随机过程是⼀类应⽤⾮常⼴泛的随机过程，它在研究中有着极其重要的意义。
定义：若⼀个随机过程X(t)发热任意有限维分布函数与时间的起点⽆关,即对于任意的正整数n和所有的实数△，有fn(x1,x2, …,xn;t1,t2,…,tn) =fn(x1,x2,…,xn;t1+△,t2+△,…,tn+△)则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
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湖南大学应用随机过程课程论文题目：马尔科夫过程的发展和应用学院名称：金融与统计学院专业班级：11级统计二班学生姓名：任瑞雪201119032011.随机过程发展简述在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。
一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，A.A.马尔科夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔科夫链（见马尔科夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。
虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。
1931年，A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，A.R.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。
这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。
稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。
60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。
2.马尔科夫过程发展2.1马尔科夫过程简介马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。
设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时,时刻t(t>t)所处的状态与过程在t时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。
无后效的随机过程称为马尔科夫过程。
马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。
我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。
马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。
2.2 马尔科夫过程的发展Markov process是一类随机过程。
它的原始模型马尔科夫链，由俄国数学家A.A.马尔科夫于1907年提出。
该过程具有如下特性：在已知目前状态(现在)的条件下，它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变(过去)。
例如森林中动物头数的变化构成——马尔科夫过程。
在现实世界中，有很多过程都是马尔科夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔科夫过程。
关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔科夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔科夫过程的研究。
流形上的马尔科夫过程、马尔科夫向量场等都是正待深入研究的领域。
马尔科夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链由俄国数学家A.A.马尔科夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔科夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔科夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n ≥0}就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔科夫过程。
还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔科夫过程来近似。
关于马尔科夫过程的理论研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。
1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔科夫过程开辟了新的道路。
1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔科夫过程的研究中，E.E.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。
50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔科夫过程（亨特过程）与位势的关系。
目前，流形上的马尔科夫过程、马尔科夫场等都是正待深入研究的领域。
强马尔科夫过程在马尔科夫性的定义中，“现在”是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。
例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻τ以前的事件和以后的事件的条件独立性,这里τ为停时,并且认为τ是“现在”。
如果把“现在”推广为停时情形的“现在”，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关，这种特性就叫强马尔科夫性。
具有这种性质的马尔科夫过程叫强马尔科夫过程。
在相当一段时间内，不少人认为马尔科夫过程必然是强马尔科夫过程。
首次提出对强马尔科夫性需要严格证明的是J.L.杜布。
直到1956年，才有人找到马尔科夫过程不是强马尔科夫过程的例子。
马尔科夫过程理论的进一步发展表明，强马尔科夫过程才是马尔科夫过程真正研究的对象。
扩散过程历史上，扩散过程起源于对物理学中扩散现象的研究。
虽然现在扩散过程的最一般的定义是轨道连续的马尔科夫过程，但在1931年柯尔莫哥洛夫对于扩散过程的奠基性研究中，却是按照转移函数来定义扩散过程的。
50年代，费勒引进了推广的二阶微分算子，用半群方法解析地研究了状态空间E =【r1,r2】的扩散过程，解决了在r1和r2 处应附加哪些边界条件,才能使向后方程有一个且只有一个转移密度函数解的问题，而且找出了全部这样的边界条件。
对于状态空间是开区间或半开半闭区间的情形也作了研究。
登金、H.P.麦基恩及伊藤清等人对于扩散过程轨道的研究，阐明了费勒的结果的概率意义，从而使一维扩散过程有了较完整的理论。
多维扩散过程是和一个椭圆型偏微分算子联系在一起的，它还有许多未解决的问题，但核心问题之一是多维扩散过程的存在性和惟一性问题；借助于偏微分方程和概率论方法已经得到一些结果。
有趣的是，概率论得到的结果反过来也可以解决微分方程的求解问题，例如，可以把方程的解用一个马尔科夫过程表现出来。
近年来，人们重视从轨道变化的角度来研究扩散过程。
常用的方法是随机微分方程和鞅问题的求解。
流形上的扩散过程理论是近十年来日益受人们重视的新领域，它是用随机微分方程研究扩散过程的必然延伸。
3.马尔科夫分析法的应用马尔科夫分析法（markov analysis）又称为马尔科夫转移矩阵法，是指在马尔科夫过程的假设前提下，通过分析随机变量的现时变化情况来预测这些变量未来变化情况的一种预测方法。
马尔科夫分析起源于俄国数学家 A.A.马尔可夫对成链的试验序列的研究。
1907年马尔科夫发现某些随机事件的第n次试验结果常决定于它的前一次(n-1次)试验结果。
马尔科夫假定各次转移过程中的转移概率无后效性（见马尔可夫决策过程），用以对物理学中的布朗运动作出数学描述。
1923年由美国数学家N.维纳提出连续轨道的马尔科夫过程的严格数学结构。
30～40年代由A.H.柯尔莫戈罗夫、W.费勒、W.德布林、P.莱维和J.L.杜布等人建立了马尔科夫过程的一般理论，并把时间序列转移概率的链式称为马尔科夫链。
马尔科夫分析已成为市场预测的有效工具，用来预测顾客的购买行为和商品的市场占有率等。
单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
市场占有率的预测可采用马尔科夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
俄国数学家马尔科夫在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第N次结果只受第N－1次结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。
在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。
马尔科夫分析法的一般步骤为：1、调查目前的市场占有率情况；2、调查消费者购买产品时的变动情况；3、建立数学模型；4、预测未来市场的占有率。
马尔科夫分析法在市场预测方面的应用：马尔科夫分析法是研究随机事件变化趋势的一种方法。
市场商品供应的变化经常受到各种不确定因素的影响而带有随机性，企业要根据对市场占有率的预测结果采取各种措施争取顾客，如果这种随机性具有无后效性，则用马尔科夫分析法可以对其未来发展趋势进行市场趋势分析，从而采取相应措施提高市场占有率。
提高市场占有率一般可采取三种策略：（1）设法保持原有顾客；（2）尽量争取其他顾客；（3）既要保持原有顾客又要争取新的顾客。
第三种策略是前两种策略的综合运用，其效果比单独使用一种策略要好，但其所需费用较高。
如果接近于平稳状态时，一般不必花费竞争费用，所以既要注意市场平稳状态的分析，又要注意市场占有率的长期趋势的分析。
争取顾客、提高市场占有率的策略和措施一般有：（1）扩大宣传。
主要采取广告方式，通过大众媒体向公众宣传商品特征和顾客所能得到的利益，激起消费者的注意和兴趣。
（2）扩大销售。
除联系现有顾客外，积极地寻找潜在顾客，开拓市场。
如向顾客提供必要的服务等。
（3）改进包装。
便于顾客携带，增加商品种类、规格、花色，便于顾客挑选，激发顾客购买兴趣。
（4）开展促销活动。
如展销、分期付款等。
（5）调整经营策略。
根据市场变化，针对现有情况调整销售策略，如批量优待、调整价格、市场渗透、提高产品性能、扩大产品用途、降低产品成本等，以保持市场占有率和扩大市场占有率。