2016八年级数学上册第二章_实数复习课件
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《实数》示范课教学课件【数学八年级上册北师大】
做一做 (1)分别写出 6 ，π 3.14 的相反数；
(2)求 5 ，1 3 3 的倒数；
(3)求 3 64 的绝对值．
解：(1)若a是一个实数,它的相反数为-a；
∴ 6 的相反数是 6 ；π-3.14的相反数是3.14-π.
(2)∴当a≠05时的，倒它数的是倒数15为；a11
； 3
3
的倒数是
正无理数
1 ， 5， 3 8，
42
94，0，
有理数集合
3 2， 7，π， 2， 20，
3
5，0.3737737773
负无理数
无理数集合
无理数和有理数一样，也有正负之分.
议一议
把下列各数分别填入相应的集合内.
3 2， 1 ，
4
7，
π，
5， 2
2，
20， 3
5， 3 8，
4， 9
0， 0.3737737773 (相邻两个3之间的7的个数逐次加1).
1 ， 5， 3 8，
42
94，0，
有理数集合
3 2， 7，π， 2， 20，
3
5，0.3737737773
无理数集合
归纳
实数的定义
有理数和无理数统称为实数，
即实数可以分为有理数和无理数.
正整数
整数 0
有理数
负整数
实数
分数 无理数
正分数 负分数
议一议 下面集合内的数还可以怎样分？
正有理数
负有理数
等这仍些然数适的小用数.位数都是无限的,,又不是循环的,而
议一议
(1) 如下图，OA=OB，数轴上点A对应的数是什么？
它介于哪两个整数之间？
B
1
数学：第二章实数复习课课件北师大版八年级上.ppt
1、 (9)2的平方根 9 2、当a 0时，３a 1有意义
３、（３ 2)3 | 2 | 2
4、36的算术平方根是6
5、（3.14)2的算术平方根是3.14
例2、 3 2 2 2 3 2 3
化里 简面 绝的 对数 值的 要符 看号 它
是负数 等于它的相反数
32 2
2 2 3
是正数
是负数
等于本身
2 3 2 3
3 2
原式 2 2 3 2 3 （ 3 2）
2 2 3 2 3 3 2
2 2 2 2 3 3 3
4 2 3
探索题
(1) 2 2 2 2 33
(2) 3 3 3 3 88
(3) 4 4 4 4 15 15
根据规律请写出 5 5 ； 24
再写出两个等式？
;
5
(9) ( 2 5 )2 7 2 1; 0
13 2 (10) 1 18 4 ;
8
16 3 (11) 12 1 1 9 ;
27 3
解下列方程：
x2 196
x 14
不
要
4x2 25
x5 2
遗 漏
（x 2）2 3 x 2 3或x 2 3
9(3 y)2 4
y 2 1 或y 3 2
a a 0
a2 a = 0
a 0
几 个
a (a 0)
a 2 a a 0
性 质
3 a3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
已知a o,求
a2
3
a3的值
把下列各数分别填入相应的括号内：
3 2,
1 4
,
有52 ,理π数, 和7 , 无3 8理, 数3统, 称230为, 实5数, 94
３、（３ 2)3 | 2 | 2
4、36的算术平方根是6
5、（3.14)2的算术平方根是3.14
例2、 3 2 2 2 3 2 3
化里 简面 绝的 对数 值的 要符 看号 它
是负数 等于它的相反数
32 2
2 2 3
是正数
是负数
等于本身
2 3 2 3
3 2
原式 2 2 3 2 3 （ 3 2）
2 2 3 2 3 3 2
2 2 2 2 3 3 3
4 2 3
探索题
(1) 2 2 2 2 33
(2) 3 3 3 3 88
(3) 4 4 4 4 15 15
根据规律请写出 5 5 ； 24
再写出两个等式？
;
5
(9) ( 2 5 )2 7 2 1; 0
13 2 (10) 1 18 4 ;
8
16 3 (11) 12 1 1 9 ;
27 3
解下列方程：
x2 196
x 14
不
要
4x2 25
x5 2
遗 漏
（x 2）2 3 x 2 3或x 2 3
9(3 y)2 4
y 2 1 或y 3 2
a a 0
a2 a = 0
a 0
几 个
a (a 0)
a 2 a a 0
性 质
3 a3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
已知a o,求
a2
3
a3的值
把下列各数分别填入相应的括号内：
3 2,
1 4
,
有52 ,理π数, 和7 , 无3 8理, 数3统, 称230为, 实5数, 94
【数学课件】2016年八年级数学上册第二章实数(北师大版学练优)(3)
填一填：写出左圈和右圈中的“？”表示的数： 2 x x 8 64 ？ -8
3 4 3 -4
9 ？ 16
11 ？ -11 ？ 0.6 ？ -0.6 ？ 0？ ？ ？ 没有 ？
121 0.36
0 -4
平方根的定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这
个数x就叫做a的平方根（或二次方根）.
好好学习，天天向上。
平方根的表示方法、读法 根号
a
被开方数
（a是非负数） 读作：正、负根号a
议一议
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根.
二 开平方及相关运算
两种运算有什么不同？ x +1 -1 x 1
2
解：∵ 3 x 1 363,
2
∴ x 1 121,
2
x 1 121,
x 1 11或x 1 11,
∴ x=12 或 x=－10.
课堂小结
平方根的概念
平方根
平方根的性质
开平方及相关运算
课后作业
见《学练优》本课时练习
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
3 4 3 -4
9 ？ 16
11 ？ -11 ？ 0.6 ？ -0.6 ？ 0？ ？ ？ 没有 ？
121 0.36
0 -4
平方根的定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这
个数x就叫做a的平方根（或二次方根）.
好好学习，天天向上。
平方根的表示方法、读法 根号
a
被开方数
（a是非负数） 读作：正、负根号a
议一议
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根.
二 开平方及相关运算
两种运算有什么不同？ x +1 -1 x 1
2
解：∵ 3 x 1 363,
2
∴ x 1 121,
2
x 1 121,
x 1 11或x 1 11,
∴ x=12 或 x=－10.
课堂小结
平方根的概念
平方根
平方根的性质
开平方及相关运算
课后作业
见《学练优》本课时练习
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
北师大版数学八年级上册第二章实数单元复习课课件
④8的立方根是___2____.
图Z2-2
6. (202X湘潭)在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为
_3_（__答__案__不__唯__一__）____.（任意写出一个即可）
7. 下列数中：①-|-3|；②-0.3；③
④
⑦0；⑧1.202 002 000 2…（每两个2之间依次多一个0），⑨
无理数是__③__④__⑧___，整数是__①__⑥__⑦___，负分数是___②__⑨____.（
知识导航
无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
运算：实数的运算法则及运算律对二次根式仍然适用
专题1 平方根、立方根
1. （202X南京）3的平方根是( D )
A. 9
B.
C.
D. ±
2.
的算术平方根的倒数是（ C ）
A.
B. ±
C.
D. ±
3.有理数8的立方根为（ B ）
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. 下列计算正确的是（ D ）
A.
=-3 B.
+(7-c)2=0，求-2a-b-c的立方根.
解：因为|a+3|+
八年级数学上册 第二章 实数 2.7 二次根式(第3课时)教学课件上册数学课件
解：
12/11/2021
第三页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
12/11/2021
第四页，共十一页。
第（ 3 ）题的另解：
24
1 6
3
2
6
6 6
3
2 1 6 3 6
11 2 6
11 2 . 6
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
在上面(第 4)题中，很容易看9出 9化，成最简二次根式后 与 25，18化简后的被开方数能不相可同，因此，结果中
No 切割的方法，先过点B作BE垂直ADCD被分割
为直角三角形ABE、直角三角形BOC和直角梯形(tīxíng)DEOC.。2．二次根式满足加法交换律、加法 结合律、乘法交换律、乘法结合律和分配律.。本课结束
Image
12/11/2021
2 1可 2/11/20以 21 保留99，不必将它化简成二最次简根.式
第五页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
化简1 a b a， b 其 a中 3， b2你 . 是怎么做进 的行 ？.交 与
1 a
b
ab
1 ab b ab a
b ab 2 .
因为 b 2 0，所以原式 b b a .
3乘法交换律： a b b a；
4乘法结合律： a b c a b c ； 5分配律： a b c a b a c.
其中a、b、 12/11/2021 c都是大于或等于 0的实数
第二页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
例 计算(jì suàn)：
12/11/202 14 2 7 8 5 2 2 5 7 3 2 2 3 3 2 5 3 3 2 2 7 3 2 2 .
12/11/2021
第三页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
12/11/2021
第四页，共十一页。
第（ 3 ）题的另解：
24
1 6
3
2
6
6 6
3
2 1 6 3 6
11 2 6
11 2 . 6
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
在上面(第 4)题中，很容易看9出 9化，成最简二次根式后 与 25，18化简后的被开方数能不相可同，因此，结果中
No 切割的方法，先过点B作BE垂直ADCD被分割
为直角三角形ABE、直角三角形BOC和直角梯形(tīxíng)DEOC.。2．二次根式满足加法交换律、加法 结合律、乘法交换律、乘法结合律和分配律.。本课结束
Image
12/11/2021
2 1可 2/11/20以 21 保留99，不必将它化简成二最次简根.式
第五页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
化简1 a b a， b 其 a中 3， b2你 . 是怎么做进 的行 ？.交 与
1 a
b
ab
1 ab b ab a
b ab 2 .
因为 b 2 0，所以原式 b b a .
3乘法交换律： a b b a；
4乘法结合律： a b c a b c ； 5分配律： a b c a b a c.
其中a、b、 12/11/2021 c都是大于或等于 0的实数
第二页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
例 计算(jì suàn)：
12/11/202 14 2 7 8 5 2 2 5 7 3 2 2 3 3 2 5 3 3 2 2 7 3 2 2 .
八年级数学上册第二章实数2.7二次根式第1课时教学课件新版北师大版
或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各
个二次根式是最简二次根式.
二、新课讲解
例2 化简： 解：
二、新课讲解
(1)你是怎么发现 50的被开方数含有开得尽方的因数的？ 你是怎么判断 14 是最简二次根式的？
7 (2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？ 与同伴进行交流.
二、新课讲解
一般地，形如 a（a≧0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
二、新课讲解
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ___6____，4 9 ___6____；
2
2
4 ___3____， 4 ___3____；
9
9
25
5
____7___，
25
5
____7___ .
(2) 72；6 2
(3) 12；2 21 77
(4) 1.5； 6
2
(5) 1 . 5 55
本课结束
49
49
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等， 借助计算器验证，并与相等
二、新课讲解
算术平方根的积 算术平方根的商
二、新课讲解
例1 化简： 解：
二、新课讲解
例1的化简结果 5 6 ， 5 中，被开方数中都不含分母， 3
也不含能开得尽方的因数. 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数
八年级数学北师大版·上册
第二章 实数
2.7 二次根式（第1课时）
一、新课引入
观察下列代数式：
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b) (其中b 24,c 25). 121
个二次根式是最简二次根式.
二、新课讲解
例2 化简： 解：
二、新课讲解
(1)你是怎么发现 50的被开方数含有开得尽方的因数的？ 你是怎么判断 14 是最简二次根式的？
7 (2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？ 与同伴进行交流.
二、新课讲解
一般地，形如 a（a≧0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
二、新课讲解
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ___6____，4 9 ___6____；
2
2
4 ___3____， 4 ___3____；
9
9
25
5
____7___，
25
5
____7___ .
(2) 72；6 2
(3) 12；2 21 77
(4) 1.5； 6
2
(5) 1 . 5 55
本课结束
49
49
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等， 借助计算器验证，并与相等
二、新课讲解
算术平方根的积 算术平方根的商
二、新课讲解
例1 化简： 解：
二、新课讲解
例1的化简结果 5 6 ， 5 中，被开方数中都不含分母， 3
也不含能开得尽方的因数. 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数
八年级数学北师大版·上册
第二章 实数
2.7 二次根式（第1课时）
一、新课引入
观察下列代数式：
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b) (其中b 24,c 25). 121
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 复习课件(共31张PPT)
例4：x取何值时， 4 x 有意义？
4 x 0, x 4
1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数 x叫做a的算术平方根；特别的，0的算术平方根是0； 平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的 平方根； 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的 立方根。
同学们，不管你现在的成绩 怎么样，不管你现在的基础怎么样 ，只要坚定信念，超越自我，你就 有了努力的方向，你就有了奋斗的 目标，你就有了生活的动力，你就 有了成功的希望！
独立
知识的升华
作业
P
1 3 老3师期望:
习 悟 做完题目后,一定要“ ”到点东西,纳入到自
己的认知结构中去.
13. 9( y 3)2 1
解
4
方
解:( y 3)2 1
程：
36
1
y 3
36
y 3 1 6
y 19 或y 17
6
6
14. 2（ 7 x 2）3 125 0
3
解: 27(x 2)3 125
3
(x 2)3 125
3
27
2 125
3、绝对值：整数的绝对值是其本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是 其相反数。
易错 例1、 5 的相反数是
5
，倒数是
5 5 ，绝对值是
5
。
c 例2、 3.14 的值是(
)
A. 3.14- 2 B. 3.14 C. –3.14
D. 无法确定
常考 例3、已知 2 2x 1 y 22 4 z 0，
(4 4 3 3) 1 (4 4 3 3)
北师大版八年级上册数学2.6实数课件
Q c, d互为倒数
cd 1;
Q m, n为相反数
m n 0.
原式 1 0 1 0
0
2.已知a,b,c在数轴上的对应点如图所示。化简
a b2 b c a c a c2
a c -1
a bo
c
3.已知a o,求 a2 3 a3的值
4.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝
带π型；
2, 0.181818 , 0.3737根73号7型77；3
构造型
有理数集合
无理数集合
2、实数 7, 2, 3的大小关系是（B ）
A、 7 3 2
B、 3 7 2
C、 2 7 3
D、 3 2 7
3、若 a 6, b 4，且ab 0,求a b的值.
4 (1)、-2 -（ 3）0 （-1）2013
自学检测4：（3分钟）
1.化简：
2 1 ___2_____1_, 2 2 3 __3___2__2___.
2.大于 13而小于 5 的所有整数为_-3_,-_2_,-_1_,0_,1_,。2
3. 2 3 的绝对值是 2 3；
相反数是 _3____2_____ 。
4.在实数 1 , 2,0,
对值为 4，求 a b m2 2 cd 的值.
m
导引：要求 a b m2 2 cd 的值，需先根据条件确定a m
＋b，cd 和m的值，根据题意容易得a＋b＝0，cd＝
1，m ＝±4，代入求值即可．
解：因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0.
因为c，d互为倒数，所以cd＝1.
因为|m|＝4，所以m＝±4，m2＝16.
知识回顾（1分钟） 1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
八年级数学上册PPT精美课件《实数》小结与复习
8. 9 的算术平方根是 3 ； 9. (-5)3 的立方根是 -5 ； 10. 10-2 的平方根是 ±0.1 .
12. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则 将它们用“ < ”连接是 c < d < b < a .
c
d
其中：
ab a + b
0 ba
d c -d - c
cb b - c
八年级数学上 教学课件
第二章 实数
小结与复习
知识构架 知识梳理
当堂练习
课后作业
知识构架
实数
平方根与 立方根
概念与 性质
平方根 算术平方根 立方根 定义 分类 定义：最简二次根式
二次根式 性质：积（商）的算术平方根
运算：加、减、乘、除、乘方
知识梳理
一 实数的相关概念
1. 实数的分类
有理数(有限或无限
b
a+b = 0) ab = 1)
4. 绝对值（到原点的距离） a (a > 0)
① |a|= 0 (a = 0) |a| 为非负数，即 |a|≥0 -a (a < 0)
② 非负式的常见形式有：|a|； a2； a2； a 5. 实数的大小比较
① 利用数轴（右边的数总比左边大）；
② 作差与 0 比；
⑵商的算术平方根：等于算术平方根的商；
a a a≥0,b＞0
bb
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式； 反例：54
⑵被开方数不能含有分母； 反例：1
2
⑶分母不能含有根号. 反例：1
3
注意：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简
北师版初中八年级上册数学精品授课课件 第二章 实数 本章归纳总结
这个正方形的边长为 5.
18.一个圆的半径为1 cm，和它等面积的正方形的边长是多
少厘米?（结果精确到0.01 cm)
【教材P51 复习题 第18题】
解：设正方形的边长为x cm， 则x2 = 12·π ， 所以x ≈ 1.77， 即正方形的边长约为1.77 cm.
19.一个正方体形状的木箱容积是4m3，求此木箱的棱长
2
2
23．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其
计（算单公位式:m为)，Tπ取2π3.1g4l ，，g其=中9.T8表m示/s2周.假期如（一单台位座:钟s）的，摆l表长示为摆长
0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1 min内， 该座钟大约发出了多少次滴答声?
【教材P52 复习题 第23题】
R
P 1500
1500
所以15Ω < R < 19.27Ω，即甲满足要求.
答：该用电器是甲.
26．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为50 cm） 堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ （结果精确到0.1 cm）
【教材P52 复习题 第26题】
解：如图，由勾股定理可得，
遮雨棚的高 4d 2 2d 2 d 223.（2 cm）
②无4 限循环小数不能认为是无理数.如
,
它是分数，是分数而不是无理数. 0.3 1 3
3.二次根式的运算.
①化简后只有被开方数相同，才能将它们进行合并.
如
，因为它们本身就是最简二次根式，
并且2被开方3数 也5不相同，不能直接合并.
②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律. 如：
6 （ 2 3） 6 2 6 3；
25．用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：
18.一个圆的半径为1 cm，和它等面积的正方形的边长是多
少厘米?（结果精确到0.01 cm)
【教材P51 复习题 第18题】
解：设正方形的边长为x cm， 则x2 = 12·π ， 所以x ≈ 1.77， 即正方形的边长约为1.77 cm.
19.一个正方体形状的木箱容积是4m3，求此木箱的棱长
2
2
23．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其
计（算单公位式:m为)，Tπ取2π3.1g4l ，，g其=中9.T8表m示/s2周.假期如（一单台位座:钟s）的，摆l表长示为摆长
0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1 min内， 该座钟大约发出了多少次滴答声?
【教材P52 复习题 第23题】
R
P 1500
1500
所以15Ω < R < 19.27Ω，即甲满足要求.
答：该用电器是甲.
26．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为50 cm） 堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ （结果精确到0.1 cm）
【教材P52 复习题 第26题】
解：如图，由勾股定理可得，
遮雨棚的高 4d 2 2d 2 d 223.（2 cm）
②无4 限循环小数不能认为是无理数.如
,
它是分数，是分数而不是无理数. 0.3 1 3
3.二次根式的运算.
①化简后只有被开方数相同，才能将它们进行合并.
如
，因为它们本身就是最简二次根式，
并且2被开方3数 也5不相同，不能直接合并.
②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律. 如：
6 （ 2 3） 6 2 6 3；
25．用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：
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( a)
3 3
a
a 3 ______
a
3
3 a ______
3 a a ______
10、一个正数的平方根分别为3a+5和a-1，则这个正 4 数是______________ 。 11、比较大小 3 2 _______ > 2 5
3 3 __________ ___ 9 >
2 3 64 的算术平方根是____ 2 16 的平方根是______
0
3
3 5 3的相反数是________
4、算术平方根是它本身的数是________, 0、 1 平方根是它本身的
、 1、 -1 数是____________,立方根是它本身的数是0 ____________.
图J1－4
阶段综合测试一（月考一）
解：(1)如图 J1－5，AB＝ AD2＋DB2＝ 4＋6＋32＋12＝ 170.
图 J1－5 (2)如图 J1－6，AB＝ AD2＋DB2＝ 2＋6＋32＋12＝ 122.
图 J1－6
阶段综合测试一（月考一）
(3)如图 J1－7，AB＝ AD2＋DB2＝ 4＋6＋32＋12＝ 170.
图2 －6
A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论
[答案] 数轴比较直观地表示了抽象的实数，这种说明问题的 方式体现的数学思想方法是数形结合．故选C.
第二章 |过关测试
3、如图 2－7，方格纸中小正方形的边长为 1，△ ABC 的三个 顶点都在小正方形的格点上，小明在观察探究时发现： ①△ABC 的形状是等腰三角形； ②△ABC 的周长是 2 10＋ 2； ③△ABC 的面积是 5； 4 图2－7 ④点 C 到 AB 边的距离是 10. 5 ①④ 你认为小明观察的结论正确的序号有 ____________.
实数的有关概念
（1）实数的分类 有理数（有限或无限循环小数） 整数
正整数 零
实数
负整数 分数 正分数 负分数
正无理数 无理数（无限不循环小数） 负无理数 正实数
或 实数 零 负实数
注 0既不是正数，也不是负数，但是整数
基础知识训练
1、把下列各数的序号填在相应的集合内。
(1) 3( 2)0.13(3)3 9 ( 4)
< 13 12 _______ 12 11
12、计算：
(1)2 5 (4 20 3 45 2 5 ) ( 5 6 )( 5 6 ) 11 _____
42 24 3 (2)(2 6 3 2 ) 2 ________
3 2 2 (3)(3 2 2 ) 2015 (3 2 2 ) 2016 __________
第二章 |过关测试
考点三
算术平方根的非负性
例 4 若 x、y 为实数，且|x＋2|＋ y－2＝0，则 xy 的值为( D ) A．1 B．－1 C．4 D．－4
x＋2＝0， y－2＝0， x＝－2， y＝2，
[解析] D 依题意，得 xy＝－2×2＝－4.
∴
方法技巧 (1)常见的非负数的形式：|a|，a2 ， a(a≥0)．(2)非负数的性质： 几个非负数之和为 0，则每一个数都为 0.
例 6 计算： 36× 1 3 1 － 64－ × 121 4 11
1 1 解：原式＝6× －4－ ×11 2 11 ＝3－4－1 ＝－2. 易错警示 进行实数运算时，运算结果一定要化成最简，要 避免没有把运算结果化成最简的错误．
第二章 |过关测试
自学检测1
1．下列说法错误的是( D ) A. 16的平方根是± 2 B. 2是无理数 C. －27是有理数 3 2 D. 是分数 2
第二章 |过关测试
(2)实数可以分为有理数和无理数，也可以分为 正实数 、 0和 负实数 . (3)若a、b互为相反数，则有a＋b＝0，|a|＝|b|. 【注意】 相反数等于它本身的数是0，即若a＝－a，则a＝ 0.
3．立方根 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 ＝a ，那么这个数 x 就叫做 a 3 的立方根 (也叫做 ) ，记作 . 三次方根 a 正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是负数 ；0 的立方根是 0 . 4．实数的有关概念 (1)无限不循环 小数叫无理数． 【注意】 常见的几种无理数：①根号型： 2、 8等开方开不尽的；②构 π 造型：如 1.323223…；③与π有关的：如 、π－1 等． 3
第二章 |过关测试
[解析] 结合图形，借助勾股定理可计算出△ABC 的三边长分别为 10， 10，2 2，故①正确，②错误．△ABC 的面积由间接计算得到， 1 1 1 3×3－ ×3×1×2－ ×2×2＝4，故③错误．利用三角形的等积法： 2 2 2 1 4 AB· h＝4，即 × 10h＝4，解得 h＝ 10，故④正确．故选①④. 2 5
2
4
二章 |过关测试
自学检测2
1．如图 2－5 所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 3， 点 B 关于点 A 的对称点为点 C，则点 C 所表示的数为( A ) 图 2－5 A．－2－ 3 B．－1－ 3 C．－2＋ 3 D．1＋ 3
第二章 |过关测试 2．数轴上的点并不都表示有理数，如图2－6，以数轴的单位长 度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长 为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为，这种说明问题 的方式体现的数学思想方法叫做( C )
第二章 实数
（复习课）
1、掌握无理数、算术平方根、平方根、立 方根、实数的概念。 2、会熟练求一个数的算术平方根、平方根、 立方根。 3、能熟练进行二次根式的混合运算。
第二章 |过关测试
知识回顾
1．算术平方根 2 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x ＝a，那么这个 正数x就叫做a的算术平方根，记为 a ，特别地，0的算术平 方根是 0 . 2．平方根 2 x 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ＝a，那么这个 数x就叫做a的 平方根 . 一个正数有两 个平方根，它们互为 相反数 ；0的平方根 是 0 ；负数 没有 平方根 ．
考点攻略
考点一
例题点评
平方根与立方根
例 1 若 5x＋32＝－2，求 x＋17 的平方根．
[解析] 可由5x＋32的值，求出x的值，间接求x＋17的平方根．
3
第二章 |过关测试
解：∵ 3 5x＋32＝－2，
∴5x＋32＝(－2)3＝－8， 5x＝－40，x＝－8， ∴x＋17＝－8＋17＝9. ∴± x＋17＝± 9＝± 3， ∴x＋17 的平方根为± 3. 方法技巧 解答此类问题要注意平方根和立方根的概念和性质的区 别．一个数的立方根只有一个，并且它们同号．一个正数有两 个平方根．
第二章 |过关测试
考点四
实数的运算
1 ＋ 3的运算结果应在( C ) 2
例 5 估计 8× A．1 到 2 之间 B．2 到 3 之间 C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间
[解析] C 原式运算结果为 2＋ 3，因为 3＜2＋ 3＜4， 所以 2＋ 3在 3 到 4 之间．
第二章 |过关测试
5、
x2 。 6、 ( 2 a ) 2 a 2 ，则a满足的条件是_________
-0.1732 _ 7、已知 3 1.732 ，则 0.03 __________
若
1 x2
x2 有意义，则x的范围是_______________ 。
30000 x 173.2 ，则x=____________.
1 5．给出四个数 0， 2，－ ，1，其中最大的是( B ) 2 1 A．0 B. 2 C．－ D．1 2
6．如图 2－4，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是________ 2 ． 图 2－4
第二章 |过关测试
6．已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ 15，乙＝3＋ 17，丙＝1 ＋ 19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？( A ) A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
3
8、已知 3 1285 10.87 ，则
1.285 -1.087 __________ _
则 3 1285000000 1087 ____ __________ 9、
0<x<1 x x ，则实数x的范围是____________.
1 (4) 任何非 0 实数 a 都有倒数是 . 第二章 |过关测试 a 【注意】 零是唯一没有倒数的数，倒数等于本身的数是 1 或－1. (5)绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 ，记作|a|. a a>0 ，
第二章 |过关测试
[解析] A 因为点 A 关于点 B 的对称点为点 C， 则 AB＝BC， AB ＝ 3－1，则将点 B 向右平移( 3－1)个单位长度得到点 C，则点 C 对应的实数为 3＋( 3－1)＝2 方法技巧 实数与数轴体现了数形结合思想的应用，在各类考试中，经常 把实数的大小比较、 实数的相关概念或运算等知识和数轴结合考查． 3－1.
2．下列说法正确的是( D ) π0 3 A. 2 是无理数 B. 是有理数 3 C. 81是无理数 D. －8是有理数 3
第二章 |过关测试 3．写出两个大于－1的负无理数________．
3 2 答案不唯一，如：－ ，－ . 2 2
4、写出一个大于3而小于
的无理数____________
. .
0.2 8 9(5)0.2 1 2 1 2 1 2 9
( 6 ) 0. 3 1 3 1 1 3 1 1 1 3 (7) 1 0(8)3 8 (9)
（2）（5）（8）（9） 有理数有___________________ 无理数有____________________ （1）（3）(4) （6）（7） 2、 3 ________ 5 3、
3 3
a
a 3 ______
a
3
3 a ______
3 a a ______
10、一个正数的平方根分别为3a+5和a-1，则这个正 4 数是______________ 。 11、比较大小 3 2 _______ > 2 5
3 3 __________ ___ 9 >
2 3 64 的算术平方根是____ 2 16 的平方根是______
0
3
3 5 3的相反数是________
4、算术平方根是它本身的数是________, 0、 1 平方根是它本身的
、 1、 -1 数是____________,立方根是它本身的数是0 ____________.
图J1－4
阶段综合测试一（月考一）
解：(1)如图 J1－5，AB＝ AD2＋DB2＝ 4＋6＋32＋12＝ 170.
图 J1－5 (2)如图 J1－6，AB＝ AD2＋DB2＝ 2＋6＋32＋12＝ 122.
图 J1－6
阶段综合测试一（月考一）
(3)如图 J1－7，AB＝ AD2＋DB2＝ 4＋6＋32＋12＝ 170.
图2 －6
A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论
[答案] 数轴比较直观地表示了抽象的实数，这种说明问题的 方式体现的数学思想方法是数形结合．故选C.
第二章 |过关测试
3、如图 2－7，方格纸中小正方形的边长为 1，△ ABC 的三个 顶点都在小正方形的格点上，小明在观察探究时发现： ①△ABC 的形状是等腰三角形； ②△ABC 的周长是 2 10＋ 2； ③△ABC 的面积是 5； 4 图2－7 ④点 C 到 AB 边的距离是 10. 5 ①④ 你认为小明观察的结论正确的序号有 ____________.
实数的有关概念
（1）实数的分类 有理数（有限或无限循环小数） 整数
正整数 零
实数
负整数 分数 正分数 负分数
正无理数 无理数（无限不循环小数） 负无理数 正实数
或 实数 零 负实数
注 0既不是正数，也不是负数，但是整数
基础知识训练
1、把下列各数的序号填在相应的集合内。
(1) 3( 2)0.13(3)3 9 ( 4)
< 13 12 _______ 12 11
12、计算：
(1)2 5 (4 20 3 45 2 5 ) ( 5 6 )( 5 6 ) 11 _____
42 24 3 (2)(2 6 3 2 ) 2 ________
3 2 2 (3)(3 2 2 ) 2015 (3 2 2 ) 2016 __________
第二章 |过关测试
考点三
算术平方根的非负性
例 4 若 x、y 为实数，且|x＋2|＋ y－2＝0，则 xy 的值为( D ) A．1 B．－1 C．4 D．－4
x＋2＝0， y－2＝0， x＝－2， y＝2，
[解析] D 依题意，得 xy＝－2×2＝－4.
∴
方法技巧 (1)常见的非负数的形式：|a|，a2 ， a(a≥0)．(2)非负数的性质： 几个非负数之和为 0，则每一个数都为 0.
例 6 计算： 36× 1 3 1 － 64－ × 121 4 11
1 1 解：原式＝6× －4－ ×11 2 11 ＝3－4－1 ＝－2. 易错警示 进行实数运算时，运算结果一定要化成最简，要 避免没有把运算结果化成最简的错误．
第二章 |过关测试
自学检测1
1．下列说法错误的是( D ) A. 16的平方根是± 2 B. 2是无理数 C. －27是有理数 3 2 D. 是分数 2
第二章 |过关测试
(2)实数可以分为有理数和无理数，也可以分为 正实数 、 0和 负实数 . (3)若a、b互为相反数，则有a＋b＝0，|a|＝|b|. 【注意】 相反数等于它本身的数是0，即若a＝－a，则a＝ 0.
3．立方根 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 ＝a ，那么这个数 x 就叫做 a 3 的立方根 (也叫做 ) ，记作 . 三次方根 a 正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是负数 ；0 的立方根是 0 . 4．实数的有关概念 (1)无限不循环 小数叫无理数． 【注意】 常见的几种无理数：①根号型： 2、 8等开方开不尽的；②构 π 造型：如 1.323223…；③与π有关的：如 、π－1 等． 3
第二章 |过关测试
[解析] 结合图形，借助勾股定理可计算出△ABC 的三边长分别为 10， 10，2 2，故①正确，②错误．△ABC 的面积由间接计算得到， 1 1 1 3×3－ ×3×1×2－ ×2×2＝4，故③错误．利用三角形的等积法： 2 2 2 1 4 AB· h＝4，即 × 10h＝4，解得 h＝ 10，故④正确．故选①④. 2 5
2
4
二章 |过关测试
自学检测2
1．如图 2－5 所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 3， 点 B 关于点 A 的对称点为点 C，则点 C 所表示的数为( A ) 图 2－5 A．－2－ 3 B．－1－ 3 C．－2＋ 3 D．1＋ 3
第二章 |过关测试 2．数轴上的点并不都表示有理数，如图2－6，以数轴的单位长 度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长 为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为，这种说明问题 的方式体现的数学思想方法叫做( C )
第二章 实数
（复习课）
1、掌握无理数、算术平方根、平方根、立 方根、实数的概念。 2、会熟练求一个数的算术平方根、平方根、 立方根。 3、能熟练进行二次根式的混合运算。
第二章 |过关测试
知识回顾
1．算术平方根 2 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x ＝a，那么这个 正数x就叫做a的算术平方根，记为 a ，特别地，0的算术平 方根是 0 . 2．平方根 2 x 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ＝a，那么这个 数x就叫做a的 平方根 . 一个正数有两 个平方根，它们互为 相反数 ；0的平方根 是 0 ；负数 没有 平方根 ．
考点攻略
考点一
例题点评
平方根与立方根
例 1 若 5x＋32＝－2，求 x＋17 的平方根．
[解析] 可由5x＋32的值，求出x的值，间接求x＋17的平方根．
3
第二章 |过关测试
解：∵ 3 5x＋32＝－2，
∴5x＋32＝(－2)3＝－8， 5x＝－40，x＝－8， ∴x＋17＝－8＋17＝9. ∴± x＋17＝± 9＝± 3， ∴x＋17 的平方根为± 3. 方法技巧 解答此类问题要注意平方根和立方根的概念和性质的区 别．一个数的立方根只有一个，并且它们同号．一个正数有两 个平方根．
第二章 |过关测试
考点四
实数的运算
1 ＋ 3的运算结果应在( C ) 2
例 5 估计 8× A．1 到 2 之间 B．2 到 3 之间 C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间
[解析] C 原式运算结果为 2＋ 3，因为 3＜2＋ 3＜4， 所以 2＋ 3在 3 到 4 之间．
第二章 |过关测试
5、
x2 。 6、 ( 2 a ) 2 a 2 ，则a满足的条件是_________
-0.1732 _ 7、已知 3 1.732 ，则 0.03 __________
若
1 x2
x2 有意义，则x的范围是_______________ 。
30000 x 173.2 ，则x=____________.
1 5．给出四个数 0， 2，－ ，1，其中最大的是( B ) 2 1 A．0 B. 2 C．－ D．1 2
6．如图 2－4，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是________ 2 ． 图 2－4
第二章 |过关测试
6．已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ 15，乙＝3＋ 17，丙＝1 ＋ 19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？( A ) A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
3
8、已知 3 1285 10.87 ，则
1.285 -1.087 __________ _
则 3 1285000000 1087 ____ __________ 9、
0<x<1 x x ，则实数x的范围是____________.
1 (4) 任何非 0 实数 a 都有倒数是 . 第二章 |过关测试 a 【注意】 零是唯一没有倒数的数，倒数等于本身的数是 1 或－1. (5)绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 ，记作|a|. a a>0 ，
第二章 |过关测试
[解析] A 因为点 A 关于点 B 的对称点为点 C， 则 AB＝BC， AB ＝ 3－1，则将点 B 向右平移( 3－1)个单位长度得到点 C，则点 C 对应的实数为 3＋( 3－1)＝2 方法技巧 实数与数轴体现了数形结合思想的应用，在各类考试中，经常 把实数的大小比较、 实数的相关概念或运算等知识和数轴结合考查． 3－1.
2．下列说法正确的是( D ) π0 3 A. 2 是无理数 B. 是有理数 3 C. 81是无理数 D. －8是有理数 3
第二章 |过关测试 3．写出两个大于－1的负无理数________．
3 2 答案不唯一，如：－ ，－ . 2 2
4、写出一个大于3而小于
的无理数____________
. .
0.2 8 9(5)0.2 1 2 1 2 1 2 9
( 6 ) 0. 3 1 3 1 1 3 1 1 1 3 (7) 1 0(8)3 8 (9)
（2）（5）（8）（9） 有理数有___________________ 无理数有____________________ （1）（3）(4) （6）（7） 2、 3 ________ 5 3、