胡寿松《自动控制原理》课后习题及详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才出品】
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状态变量图分别如图 9-5 所示。
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图 9-5
9-6 已知系统传递函数为
试求可控标准型（A 为友矩阵）、可观测标准型（A 为友矩阵转置）、对角型（A 为对角
阵）的动态方程。
解：系统传递函数可分解为
G(S)
S2 S2
则系统动态方程可控标准型为
由对偶原理知其可观标准型为
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状态变量图分别如图 9-1 和图 9-2 所示。
图 9-1
图 9-2
9-4 已知系统结构图如图 9-3 所示，其状态变量为 x1，x2，x3。试求动态方程，并画 出状态变量图。
与题中给出的 G s 表达式对比可得： a 5,b 5,c 5
则系统约当型状态方程为
9-8 已知矩阵
试求 A 的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将 A 对角化。 解：A 的特征方程为 则 A 的特征值为 特征向量为
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使 A 对角化矩阵为
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x
0 0
1 2
x
0 1
u,
y
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 x
设采样周期 T=1s，试求离散化动态方程。
解：系统的状态转移矩阵为
离散化状态方程为 其中，
所以
。
9-17 试判断下列系统的状态可控性：
解：（1）系统可控性矩阵为
则 rankS 2 3 n ，系统不完全可控。
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且对角型为
9-9 已知矩阵
试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数（即状态转移矩阵）。 解：（1）幂级数法。状态转移矩阵可展开为
且有
故有 eAt
et
0
0
et
。
（2）拉氏变换法。由题可知
则有 。
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（2）系统可控性矩阵为
则 rankS 2 3 n ，系统不完全可控。
（3）系统可控性矩阵为
则 rankS 3 n ，系统完全可控。
（4）系统可控性矩阵为
则 rankS 2 3 n ，系统完全不可控。
解：（1）由系统传递函数可得
取状态变量为： x1 m , x2 m , x3 m
所以 则系统动态方程为
（2）由微分方程组可得
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取状态变量为： x1 ia , x2 m , x3 m
则系统动态方程为
解：由系统结构图可知
图 9-3 系统结构图
整理得系统动态方程为
变换形式可得系统动态方程为
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状态变量图分别如图 9-4 所示。 图 9-4
9-5 已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程
写出其向量—矩阵形式并画出状态变量图。 解：向量—矩阵形式如下
9-10 试求下列状态方程的解：
解：由题已知可得系统状态转移矩阵为
则状态方程的解为
其中 x0 为系统的初始状态。
9-11 已知系统状态方程为 初始条件为 x1（0）=1，x2（0）=0。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：由题可得 则系统的状态转移矩阵为
且状态方程的解为 得系统在单位阶跃输入作用下的响应为
试列写可控标准型（A 为友矩阵）离散动态方程，并求出 u（k）=1 时的系统响应。给 定 y（0）=0，y（1）=1。
解：由 z 变换和 z 反变换可得离散系统动态方程为
则系统可控标准型离散动态方程为
由已知条件 y 0 0, y 1 1可得
9-16 已知连续系统动态方程为
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9-12 已知线性系统状态转移矩阵
试求该系统的状态阵 A 。
解：该系统的状态阵 A 为
9-13 已知系统状态方程 试求系统传递函数 G（s）。
解：由式 G s c sI A1 b 可得系统传递函数为
（3）由题可知 状态变换关系为 得变换矩阵为
9-2 设系统微分方程为
式中 u 为输入量，x 为输出量。
（1）设状态变量
试列写动态方程；
（2）设状态变换
试确定变换矩阵 T 及变换后
的动态方程。
解：（1）由题可知系统动态方程为
（2）由题得变换矩阵及其逆矩阵为
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6S 4S
8 3
1
2S 5 S2 4S
3
1
3 2
1 1 S 1 2
1 S 3
其可控标准型为
由对偶原理知其可观标准型为
对角型为
9-7 已知系统传递函数
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试求约当型（A 为约当阵）动态方程。 解：设传递函数分解为部分分式
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第 9 章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数为
（1）设状态变量
输出量 y=θm，试建立其动态方程；
（2）设状态变量
试建立其动态方程；
确定两组状态变量间的变换矩阵 T。
9-14 试求习题 9-5 所示系统的传递函数矩阵。 解：由题 9-5 可知
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由式 G s C sI A1 B 可得系统传递函数为
9-15 已知差分方程 y（k+2）+3y（k+1）+2y（k）=2u（k+1）+3u（k）
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则变换后系统动态方程为
9-3 设系统微分方程为 式中 u、y 分别为系统的输入、输出量。试列写可控标准型（即 A 为友矩阵）及可观测 标准型（即 A 为友矩阵转置）状态空间表达式，并画出状态变量图。 解：由题给出微分方程得系统传递函数为
状态变量为： x1 z, x2 z, x3 z
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图 9-5
9-6 已知系统传递函数为
试求可控标准型（A 为友矩阵）、可观测标准型（A 为友矩阵转置）、对角型（A 为对角
阵）的动态方程。
解：系统传递函数可分解为
G(S)
S2 S2
则系统动态方程可控标准型为
由对偶原理知其可观标准型为
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状态变量图分别如图 9-1 和图 9-2 所示。
图 9-1
图 9-2
9-4 已知系统结构图如图 9-3 所示，其状态变量为 x1，x2，x3。试求动态方程，并画 出状态变量图。
与题中给出的 G s 表达式对比可得： a 5,b 5,c 5
则系统约当型状态方程为
9-8 已知矩阵
试求 A 的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将 A 对角化。 解：A 的特征方程为 则 A 的特征值为 特征向量为
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使 A 对角化矩阵为
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x
0 0
1 2
x
0 1
u,
y
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0 x
设采样周期 T=1s，试求离散化动态方程。
解：系统的状态转移矩阵为
离散化状态方程为 其中，
所以
。
9-17 试判断下列系统的状态可控性：
解：（1）系统可控性矩阵为
则 rankS 2 3 n ，系统不完全可控。
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且对角型为
9-9 已知矩阵
试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数（即状态转移矩阵）。 解：（1）幂级数法。状态转移矩阵可展开为
且有
故有 eAt
et
0
0
et
。
（2）拉氏变换法。由题可知
则有 。
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（2）系统可控性矩阵为
则 rankS 2 3 n ，系统不完全可控。
（3）系统可控性矩阵为
则 rankS 3 n ，系统完全可控。
（4）系统可控性矩阵为
则 rankS 2 3 n ，系统完全不可控。
解：（1）由系统传递函数可得
取状态变量为： x1 m , x2 m , x3 m
所以 则系统动态方程为
（2）由微分方程组可得
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取状态变量为： x1 ia , x2 m , x3 m
则系统动态方程为
解：由系统结构图可知
图 9-3 系统结构图
整理得系统动态方程为
变换形式可得系统动态方程为
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9-5 已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程
写出其向量—矩阵形式并画出状态变量图。 解：向量—矩阵形式如下
9-10 试求下列状态方程的解：
解：由题已知可得系统状态转移矩阵为
则状态方程的解为
其中 x0 为系统的初始状态。
9-11 已知系统状态方程为 初始条件为 x1（0）=1，x2（0）=0。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：由题可得 则系统的状态转移矩阵为
且状态方程的解为 得系统在单位阶跃输入作用下的响应为
试列写可控标准型（A 为友矩阵）离散动态方程，并求出 u（k）=1 时的系统响应。给 定 y（0）=0，y（1）=1。
解：由 z 变换和 z 反变换可得离散系统动态方程为
则系统可控标准型离散动态方程为
由已知条件 y 0 0, y 1 1可得
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9-12 已知线性系统状态转移矩阵
试求该系统的状态阵 A 。
解：该系统的状态阵 A 为
9-13 已知系统状态方程 试求系统传递函数 G（s）。
解：由式 G s c sI A1 b 可得系统传递函数为
（3）由题可知 状态变换关系为 得变换矩阵为
9-2 设系统微分方程为
式中 u 为输入量，x 为输出量。
（1）设状态变量
试列写动态方程；
（2）设状态变换
试确定变换矩阵 T 及变换后
的动态方程。
解：（1）由题可知系统动态方程为
（2）由题得变换矩阵及其逆矩阵为
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1 1 S 1 2
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其可控标准型为
由对偶原理知其可观标准型为
对角型为
9-7 已知系统传递函数
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第 9 章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数为
（1）设状态变量
输出量 y=θm，试建立其动态方程；
（2）设状态变量
试建立其动态方程；
确定两组状态变量间的变换矩阵 T。
9-14 试求习题 9-5 所示系统的传递函数矩阵。 解：由题 9-5 可知
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由式 G s C sI A1 B 可得系统传递函数为
9-15 已知差分方程 y（k+2）+3y（k+1）+2y（k）=2u（k+1）+3u（k）
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则变换后系统动态方程为
9-3 设系统微分方程为 式中 u、y 分别为系统的输入、输出量。试列写可控标准型（即 A 为友矩阵）及可观测 标准型（即 A 为友矩阵转置）状态空间表达式，并画出状态变量图。 解：由题给出微分方程得系统传递函数为
状态变量为： x1 z, x2 z, x3 z