《反比例函数》拓展：解题技巧
与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧
摘要：反比例函数这一章是九年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点．由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点． 一、给出自变量x 的取值范围，让我们判断函数值y 的范围；
如果每位学生都能把函数的图像正确的画出来，我们解决这种问题就相对比较直观，也比较简单，但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握，因此这种题目很容易出错．也是学生最容易失分的地方，下面我就对这类问题分以下几种情况来逐一介绍：
1、反比例函数y=x
k (k ＞0),当x ＞a 或x ＜b （a 、b 是非零常数）时，求y 的取值范围．这种问题只需要把这里的a 或b 代入函数的解
析式中，得到y 的值a k 或b k ，对应的y 的取值范围就是y ＜a k 或y ＞b k
，
由于反比例函数y=x
k
当k ＞0时，y 随x 的增大而减小．例如：函数
y=x
2
,当x ＞-1时，y 的取值范围就是y ＜-2；当x ＜2时y 的取值范围就是y ＞1．
2、反比例函数y=x
k
(k ＜0),当x ＞a 或x ＜b （a 、b 是非零常数）时，求y 的取值范围．我们同样把这里的a 或b 代入函数的解析式中，
得到y 的值a k 或b k ，对应的y 的取值范围就是y ＞a k 或y ＜b k
，由于反
比例函数y=x k 当k ＜0时，y 随x 的减小而增大．例如：函数y=x
2
,
当x ＞-1时，y 的取值范围就是y ＞2；当x ＜2时y 的取值范围就是y ＜-1．
3、反比例函数y=x
k （k ≠0），当a ＜x ＜b ，a 、b 同号时，求y 的取值范围．我们还是把这里的a 、b 代入函数的解析式中，得到y 的
值a k 、b
k ，然后对a k 、b k
按小到大排序，排好序后他们之间用“＜y
＜”连接即可．若a k ＞b k ，则y 的取值范围就是b k ＜y ＜a
k
．例如：函
数y=x
2
，当-3＜x ＜-1时求y 的取值范围，把-3和-2代入解析式得
到的y 的值为32-和-2,则y 的取值范围就是-2＜y ＜3
2
-．
4、反比例函数y= x
k
（k ≠0），当a ＜x ＜b ，a*b ＜0时，求y 的
取值范围．同样先是把这里的a 、b 代入函数的解析式中，得到y 的值a k 、b k ，然后对这里的a k 、b
k 进行大小比较，y 的取值范围是“大于大的，小于小的”．若a k ＜b k 则y 的取值范围就是y ＜a k ，y ＞b
k ．例如：函数y=x
2，当-2＜x ＜2时求y 的取值范围，把-2和2代入解析式得到的y 的值为-1和1,则y 的取值范围就是y ＜-1，y ＞1． 二、已知反比例函数图像上的若干个点，知道横坐标的大小关系，让我们来判断纵坐标的大小关系；
对于这种问题，如果能正确的画出反比例函数的图像，并会熟练的分析反比例函数的图像，那么这类问题也很容易解决，但面对一些实际情况，我们只能寻找一些学生更容易例接受的方式，下面我就对这些问题稍作分析：
1、反比例函数y=x
k
(k ＞0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜X 3……＜X n （X 1、X 2、X 3……X n 同号），求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系．这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k ＞0时，y 随着x 的增大而减小），很容易得到
Y 1＞Y 2＞Y 3＞……＞Y n ．例如：已知函数y=x 2，点A(1,Y 1),B(2
1,Y 2),C(2, Y 3)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3的大小关系．由于2
1＜1＜2，按照上面方法很容易得到Y 2＞Y 1＞Y 3．
2、反比例函数y=x
k (k ＜0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜X 3……＜X n （X 1、X 2、X 3……X n 同号），求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系．这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k ＜0时，y 随着x 的增大而增大），很容易得到
Y 1＜Y 2＜Y 3＜……＜Y n ．例如：已知函数y=
x
2 ，点A(1,Y 1),B(21
,Y 2),C(2,
Y 3)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3的大小关系．由于2
1
＜1＜2，按照
上面方法很容易得到Y 2＜Y 1＜Y 3．
3、反比例函数y= x
k ( k ＞0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜…＜X k ＜0＜X k+1＜…＜X n ,求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系．这个问题就不能像上面一样直接比较，A 1、A 2……A n 这些点的横坐标中间被“0”隔开，做这类问题要分两块来进行解决．我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了．反比例函数y= x
k
，当k ＞0时，它的图像在一、三象限，并且在函数图象的每一支上，y 随着x 的增大而减小．但不论怎样，第一象限内图像的每一个点对应的y 值都比第三象限内图像的每一点对应的y 值要大．因此我们恒有A k+1……A n 这些点所对应的y 值要比A 1……A k 点对应的y 值要大．Y 1，Y 2……Y k 的大小顺寻很容易判断是：Y 1＞Y 2＞……＞Y k ；Y k+1, Y k+2 ……Y n 的大小顺序是：Y k+1＞ Y k+2 ＞……＞Y n ．综上我
Y 2＞……＞Y k ；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y=x
k ，k ＞0时，图像上任意的点，横坐标为正的点对应的y 值比横坐标为负的点对应的y 值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可．例如：已知函数y=x
2，点A(-1,Y 1),B(-2
1,Y 2),C(2, Y 3)，D(2.5,Y 4)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系．解析：k=2是大于零的，A,B,C,D 四点的横坐标有正有负，横坐标为正的点对应的y 值比横坐标为负的点对应的y 值要大，因此肯定有Y 3，Y 4要大于Y 1，Y 2，当k ＞0时在反比例函数图像的每一支上，y 随着x 的增大而减小，因此有Y 4 ＜Y 3, Y 2＜Y 1 ,进而Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系是：Y 2＜Y 1＜Y 4 ＜Y 3．
4、反比例函数y= x
k ( k ＜0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜…＜X k ＜0＜X k+1＜…＜X n ,求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系．同样A 1、A 2……A n 这些点的横坐标中间被“0”隔开，首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了．反比例函数y= x
k
，当k ＞0时，它的图像在二、四象限，并且在函数图象的每一支上，y 随着x 的增大而增大．但不论怎样，第二象限内图像的每一个点对应的y 值都比第四象限内图像的每一点对应的y 值要大．因此我们恒有A 1……A k 这些点所对应的y 值要比A k+1……A n 点对应的y 值要大．Y 1，Y 2……Y k 的大小顺寻很容易判断是：Y 1＜Y 2＜……＜Y k ；Y k+1, Y k+2 ……Y n 的大小顺序是：Y k+1＜ Y k+2 ＜……＜Y n ．综上我
Y 2＜……＜Y k ；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y=x
k ，k ＜0时，图像上任意的点，横坐标为负的点对应的y 值比横坐标为正的点对应的y 值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可．例如：已知函数y=
x
2
，点A(-1,Y 1),B(-2
1
,Y 2),C(2, Y 3)，D(2.5,Y 4)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系．解析：k=-2是小于零的，A,B,C,D 四点的横坐标有正有负，横坐标为负的点对应的y 值比横坐标为正的点对应的y 值要大，因此肯定有Y 1，Y 2要大于Y 3，Y 4，当k ＜0时在反比例函数图像的每一支上，y 随着x 的增大而增大，因此有Y 1 ＜Y 2, Y 3＜Y 4 ,进而Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系是：Y 3＜Y 4＜Y 1 ＜Y 2．。
2023年北师大版九年级上册数学第六章反比例函数方法技巧专题 反比例函数的常考类型及解法技巧
∴CCMO
＝
DE DF
＝
13，
∴OM＝23OC＝23，∴点E的横坐标为－23．
把x＝－23代入y＝－2x，得y＝3，
∴点E的坐标为
－
2 3
，3
．
把点E
－
2 3
，3
代入y＝－x＋b，得b＝73．
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【方法技巧专题】 反比例函数的常考类型及解法技巧
10．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC
在
x
轴
上
，
对
角
线A
C
，
O
B
交
于
点
M
，
函
数
y
＝
k x
(x＞0)的图象经过点A(3，4)和点M．
(1)求k的值和点M的坐标； (2)求▱OABC的周长．
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【方法技巧专题】 反比例函数的常考类型及解法技巧
解：(1)把点A(3，4)代入y＝kx(x＞0)，得k＝12， ∴y＝1x2． ∵M为对角线的交点， ∴点M的纵坐标为12×4＝2，代入y＝1x2，得x＝6， ∴点M的坐标为(6，2)．
【方法技巧专题】 反比例函数的常考 类型及解法技巧
【方法技巧专题】 反比例函数的常考类型及解法技巧
类型1 求反比例函数的表达式
①已知反比例函数图象上的一点坐标，即可求出表 达式； ②利用反比例函数的定义、性质建立关于未知字母 的方程或不等式，求得未知字母的值或范围，进而 可求出表达式．
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【方法技巧专题】 反比例函数的常考类型及解法技巧
B．y＝6x D．y＝3x
第5题图
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反比例函数快速解题技巧
反比例函数快速解题技巧反比例函数是数学中常用的一种概念，它的函数形式为y=1/x，是一个反正切函数，在解决数学问题中有着重要的作用。
本文将介绍反比例函数的解题技巧，希望能够帮助大家快速解决数学问题。
一、反比例函数的基本概念反比例函数是由反正切函数发展而来的一种函数，它的函数形式为y=1/x，可以用来描述反比例关系，即当x增大时，y值减小；当x减小时，y值增大。
它可以用来表示费用与收入之间的关系，例如投资获得的收入，投入资金越多，收入越低；或者表示某些物质在一定时间内随温度变化的关系，例如温度升高，热量减少。
反比例函数y=1/x的图像是一条以原点O（0，0）为中心的椭圆，即椭圆的焦点在原点，函数的极限值为无穷大。
二、反比例函数的解题技巧1、利用反比例函数计算x和y的值当我们需要计算一个反比例函数的x和y的值时，只需要根据函数y=1/x的形式，将给定的x或y值代入函数中，就可以求得另一个未知的值。
例如，当给定函数y=1/x，x=2时，可以求得y的值为1/2；当给定函数y=1/x，y=1/3时，可以求得x 的值为3。
2、利用反比例函数解决费用和收入的问题有时候，我们需要根据收入和费用之间的关系求出收入或费用的值，这时候可以利用反比例函数来解决。
例如，某企业投资20000元，可以获得3000元的收入，则收入与投资之间呈现反比例关系，可以写出函数y=1/x，其中x代表投资金额，y代表收入，那么此时可以求得当投资10000元时，可以获得多少收入，只需要代入x=10000，就可以求得收入y=1/10000=0.0001。
3、利用反比例函数解决温度变化问题有时候，我们需要根据某种物质在一定时间内随温度变化的关系求出温度的变化量，这时候可以利用反比例函数来解决。
例如，某物质在温度从50度增加到70度时，热量减少了50千焦，则热量与温度之间呈现反比例关系，可以写出函数y=1/x，其中x代表温度，y代表热量，那么此时可以求得当温度从50度增加到80度时，热量减少了多少，只需要代入x=80，就可以求得热量y=1/80=0.0125。
反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解
第七章、反比例函数 (1)一、反比例函数知识要点点拨 (1)二,、典型例题 (2)三、反比例函数中考考点突破 (8)四、达标训练 (10)(一)、基础.过关 (10)(二)、综合.应用 (11)五、分类解析及培优 (13)(一)、反比例函数k的意义 (13)(二)、反比例函数与三角形合 (14)(三)、反比例函数与相似三角形 (15)(四)、反比例函数与全等三角形 (15)(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15)(六)、反比例函数与一次函数相交题 (19)1、联手演绎无交点 (20)2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20)3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20)4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20)(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21)(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23)六、拓展练习 (26)练习(一) (26)练习（二） (28)练习(三) (32)本章参考答案 (35)第七章、反比例函数反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。
由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。
一、反比例函数知识要点点拨1、反比例函数的图象和性质：图象性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2、反比例函数与正比例函数(0)y kx k =≠的异同点：函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k>时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k>时，y 随x 的增大而增大； 当0k<时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小； 当0k<时，y 随x 的增大而增大．二,、典型例题例 1下面函数中，哪些是反比例函数？（1）3x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.81=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，xky =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．xyOxyO例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．答：说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 例 3 已知反比例函数62)2(--=ax a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为62)2(--=ax a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.2,5a a所以5=a ，解析式为xy 25-=． 例4 （1）若函数22)1(--=mx m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）A ．±1B ．1C ．3D ．－1（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若ABC∆的面积为S ，则：A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定解：（1）依题意，得⎩⎨⎧-=-≠-,12,012m m 解得1-=m ．故应选D ． （2）由双曲线xy 1=关于O 点的中心对称性，可知：OBC OBA S S ∆∆=．∴12122=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB S S OBA ． 故应选A ．例5 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值． 解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，所以)0(,212211≠==k k xk y x k y ． 所以xkx k y y y 2121+=+=．将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5313,42121k k k k 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.821,81121k k 所以xx y 821811+=． 所以当1-=x 时，4821811-=--=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了21k k 、的值．例 6 根据下列表格x 与y 的对应数值．x …… 1 2 3 4 5 6 … y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．解：（1）图像如右图所示．（2）根据图像，设)0(≠=k xky ，取6,1==y x 代入，得16k=． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6>=x xy ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性． 例 7（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又xy 3=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．（2）若0>k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线xky =的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0<k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C 正确．应选C ．例8， 已知函数24231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m xm y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式．解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242-=-m ，所以21=m 或.21-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小 ，所以031>+m ，所以31->m ，所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65xy =说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xky = )0(≠k ，当0>k 时，y 随x 增大而减小，当0<k 时，y 随x 增大而增大．例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米，所以1005=xy ，所以xy 20=．（2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ． （3）当3=x 时，326320==y （厘米） （4）用描点法画函数图像，列表如下：x … 0.5 2 5 10 15 …y … 40 10 4 2 311 …描点画图如图所示．例 10 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）．说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．解 据S F W ⋅=，得15=S F ⋅，即S F 15=，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）．例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.SFp =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例． 设下底面是0S ，则由上底面积是032S ，由SFp =，且0S S =时，200=p ，有.20020000S S pS F =⨯==因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当032S S =时，).Pa (3003220000===S S SF p 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．例12 如图，P 是反比例函数xky =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．解 设P 点坐标为),(y x ．因为P 点在第二象限，所以0,0><y x ． 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为y x ,-．又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为xy 2-=． 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于xky =中的k ． 例13. 当n 取什么值时，122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y 随x 增大而增大还是减小？分析 根据反比例函数的定义)0(≠=k xky 可知，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数，必须且只需022≠+n n 且112-=-+n n ．解 122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222n n n n ∴⎩⎨⎧-==-≠≠.10,20n n n n 或且即 1-=n ． 故当1-=n 时，122)2(-++=n nx n n y 表示反比例函数：xy 1-=．01<-=k ， ∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．三、反比例函数中考考点突破1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数x k y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >>2、（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( )xyBA oA.-5B.-10C.5D.10 3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．4DBAyxOC4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。
反比例函数如何快速解题技巧(一)
反比例函数如何快速解题技巧(一)反比例函数如何快速解题引言反比例函数是高中数学中的一个重要概念，它是指两个量之间的关系呈现出一种倒数的关系。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来快速解题。
技巧一：求解比例常数对于反比例函数y = k/x （k为常数），我们可以通过已知的点的坐标来求解比例常数k。
假设已知的点为(x1, y1)和(x2, y2)，则可以将这两个点的坐标代入反比例函数中，得到两个等式：y1 = k/x1和 y2 = k/x2。
我们可以通过将这两个等式相除，得到x1/x2 = y2/y1，进而可以求解比例常数k。
技巧二：绘制反比例函数的图像绘制反比例函数的图像有助于我们更直观地理解和解题。
对于反比例函数y = k/x，我们可以画出一个含有坐标轴的直角坐标系，然后选取一些x的取值并代入函数中，求得对应的y值，然后将这些点连成光滑的曲线。
通过观察图像的形态，我们可以判断出函数的特点，进而进行解题。
技巧三：反比例函数的性质反比例函数有一些特殊的性质，我们在解题过程中可以充分利用这些性质来快速解决问题。
一些常见的性质包括：1.极限：当x趋近于无穷大或无穷小时，反比例函数的取值趋近于0。
2.单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的，当x增大时，函数值减小。
3.对称性：反比例函数关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
4.渐近线：反比例函数的图像有两条直线，即x轴和y轴的渐近线。
技巧四：利用反比例函数解实际问题反比例函数在解决实际问题时有着广泛的应用，如工程学、物理学等领域。
在解题过程中，我们需要将实际问题转化为反比例函数的形式，然后通过计算和推理得出最终答案。
例如，在物理学中，我们可以利用反比例函数来计算电阻和电流之间的关系。
结论通过使用以上的技巧，我们可以更快速地解题和理解反比例函数的特性。
反比例函数是高中数学中的一个重要内容，掌握这些技巧将有助于我们更好地应用于实际问题的解决。
希望读者能够在学习和应用中取得进步！。
中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。
反比例函数解题思路十大技巧(一)
反比例函数解题思路十大技巧(一)反比例函数解题思路十大1. 理解反比例函数的定义和性质•反比例函数的定义：y = k/x，其中k为常数，且x ≠ 0。
•反比例函数的特点：当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
2. 确定问题中的已知条件•在解题前，要先明确问题中已知的条件。
这些条件可以是具体的数值，也可以是给定的关系。
3. 建立反比例函数的数学模型•依据已知条件，建立反比例函数的数学模型，并确定函数中的常数。
•可以利用已知条件的数值关系，代入函数模型中，求解常数。
4. 绘制反比例函数的图像•利用函数模型，画出反比例函数的图像，可以帮助我们更好地理解函数的特点。
5. 求解未知数•根据已知条件，利用建立的反比例函数模型，求解未知数的数值。
•可以通过代入法、消元法、代数运算等方式来求解未知数。
6. 分析反比例函数的变化趋势•分析反比例函数在不同区间的变化趋势，帮助我们更好地理解问题的解。
•注意关注函数的定义域和值域，以及各种特殊情况（如：x等于0时，函数是否有定义）。
7. 解决实际问题•将反比例函数的解应用到实际问题中，解决相关的数学或实际问题。
•需要将问题抽象成反比例函数模型，然后根据已知条件求解未知数的数值。
8. 验证解的正确性•求得未知数的数值后，要验证解是否符合原方程。
•可以将解代入原方程，验证等式是否成立。
9. 总结思考•完成解题过程后，要总结思考所采用的方法和技巧，提高解题能力和理解能力。
•可以思考不同问题的相似性，总结出更通用的解题思路。
10. 小结文章要点•在文章中，要对反比例函数的定义、性质、解题思路等进行全面的总结。
•强调理解问题、建立数学模型、具体求解和验证解得过程。
以上是解题反比例函数的十大思路，掌握这些技巧，相信可以在解题过程中轻松应对各种问题。
希望这篇文章能对你的学习有所帮助！。
反比例函数综合题型解题技巧
反比例函数综合题型解题技巧
解决反比例函数综合题型，可以按照以下步骤进行：
1. 确定问题类型：首先要确定题目给出的问题是什么类型的反比例关系。
常见的反比例关系有直接反比例关系和平方反比例关系。
2. 建立函数关系：根据题目中给出的条件，建立函数关系。
直接反比例关系可以表示为y=k/x，其中k是常数。
平方反比例关系可以表示为y=k/x，其中k是常数。
3. 求解未知量：根据题目中给出的已知量，解出未知量。
通常需要利用方程式来求解。
4. 检查结果：将求得的未知量代入原函数关系中，检查是否满足题目中给出的条件。
以下是一些常见的反比例函数综合题型及其解题技巧：
1. 简单的反比例函数求解：例如题目给出y和x的关系式为
y=k/x，已知x=2时，y=5，求k的值。
根据函数关系，代入已知量，得到5=k/2，解方程得到k=10。
2. 求解反比例函数的参数：例如题目给出y和x的关系式为
y=k/x，已知x=3时，y=4，求k的值。
根据函数关系，代入已知量，得到4=k/3，解方程得到k=36。
3. 反比例函数的综合题：例如题目给出y和x的关系式为y=k/x，已知x=2时，y=5，求当y=8时，x的值。
根据函数关系，代入已知量，得到5=k/2，解方程得到k=10。
代入求得的k值，得到8=10/x，解方程得到x=1.25。
通过以上步骤，可以解决反比例函数综合题型，并得到正确的解答。
重要的是理解反比例函数的特性和建立函数关系，然后利用已知量求解未知量。
反比例函数压轴题的解题技巧
反比例函数压轴题的解题技巧
解题思路：
1. 确定函数形式：反比例函数可以表示为 y = k/x，其中 k 为常数。
2. 分析函数性质：反比例函数的特点是当 x 取较大或较小的值时，y 值趋于0或无限大。
此外，反比例函数的图像是一个经过原点的双曲线，关于x轴和y轴对称。
3. 求解常数 k：根据已知条件，求解常数 k 的值。
常见的方法是利用给定的两个点的坐标，代入函数表达式求解。
4. 绘制函数图像：根据已知条件和求解得到的函数表达式，绘制函数的图像。
可以选择绘制函数的关键点，如原点、与坐标轴的交点等。
5. 利用函数图像解题：根据函数图像，分析函数的性质和特点，应用到具体的问题中。
常见的问题类型包括求函数的最值、解方程、求解特殊点等。
注意事项：
1. 在求解常数 k 时，要注意避免除以0的情况。
如果出现除以0的情况，则需要排除该点。
2. 在绘制函数图像时，要注意选择合适的坐标范围，以充分显示函数的特点和性质。
3. 在利用函数图像解题时，要根据具体的问题选择合适的方法和步骤。
例题：
已知反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (2, 3) 和 (4, 1)，求函数的表达式及其图像。
解题步骤：
1. 代入已知点的坐标，得到两个方程：
3 = k/2
1 = k/4
2. 解方程组，得到 k = 6。
3. 函数表达式为 y = 6/x。
4. 绘制函数图像，选择一些关键点，如原点、与坐标轴的交点。
5. 利用函数图像解题，根据图像可以得出函数的性质和特点。
反比例函数应用题解法
反比例函数应用题解法反比例函数是数学中常见的一类函数，它的定义式可以表述为y=k/x，其中k为常数。
在实际中，反比例函数可以用来解决很多实际问题，下面就来介绍一些反比例函数的应用题解法。
1. 水缸注水问题题目描述：有一水缸，容积为20升，里面盛有10升的水。
现有一管子，管子每分钟可以注入1升水。
问，如果以最大速度注水，那么需要多长时间才能把水缸装满？解题思路：该问题中注入水的速度是一个固定的值，因而符合反比例函数的特点。
我们设时间为x分钟，那么注入的水应该为 x*1升，而当前水缸中剩余的水为 20-10=10升-x*1升。
由于反比例函数的定义式为 y=k/x，因此我们可以列出如下的式子：x*1=20/(10-x*1)化简后可得：x^2-x+10=0解方程可得 x=3.316或x=0.684由于时间不能为负数，因此我们取大于0的根x=3.316，即水缸注满所需的时间为3.316分钟。
2. 元宝淘金问题题目描述：淘金工人会挖掘出一些元宝，而各个元宝的价值不同。
如果每个元宝价值越高，需要消耗的物力（工人的体力、时间等）就越多，这个关系可以用反比例函数表示。
现在有一组元宝，其价值和消耗值如下表所示：价值（元）| 消耗值（功）---------|---------200 | 10400 | 5800 | 2.51600 | 1.25现在需要找出最有价值的那个元宝，即价值消耗比最大的元宝。
解题思路：由于元宝的价值和消耗值之间呈反比例关系，因此我们可以通过计算各个元宝的价值消耗比来比较各个元宝的价值。
我们可以采用以下的公式计算元宝的价值消耗比：价值消耗比 = 元宝价值 / 元宝消耗值根据这个公式，我们可以得到各个元宝的价值消耗比：元宝1：20元宝2：80元宝3：320元宝4：1280由此可见，元宝4的价值消耗比最大，因此它是最有价值的元宝。
反比例函数是数学中常见的函数之一，它在实际中的应用非常广泛。
通过对反比例函数的认识和应用，在解决实际问题时能更加高效。
反比例函数求k解题思路十大技巧
反比例函数求k解题思路十大技巧
1.确定问题类型：反比例函数问题通常包含两个变量，一个变量是所求的值，另一个变量是已知的值。
2. 确定已知条件：确定已知条件如何影响所求值，包括两个变量的数值和单位。
3. 构建反比例函数方程：将已知条件代入反比例函数方程，以求解未知变量。
4. 确认方程的正确性：通过检查已知条件是否满足反比例函数方程，来确保方程的正确性。
5. 确定所需解决的问题：有些反比例函数问题需要解决最大或最小值问题，而另一些则需要解决比较问题。
6. 确定问题解决的方法：根据所需解决的问题类型，选择适当的数学方法，例如图形法、代数法或表格法。
7. 绘制函数图像：绘制反比例函数的图像，以便更好地理解问题和解决问题。
8. 确定变量范围：确定变量的取值范围，以确保解决方案的正确性。
9. 检查解决方案：通过检查解决方案是否满足问题的要求，来确保解决方案的正确性。
10. 汇总解题思路：总结反比例函数求解的步骤和技巧，以帮助记忆和应用。
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