公开课高三理科数学第一轮数列求和复习范文(20200820141136)

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】

数列求和的教学反思

数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的

不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399

试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：

数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.

第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和 数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =+++++=+∑L … 4、 222221 1 123(1)(21)6n n k S k n n n n ===++++=++∑L 5、 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+?? ===++++=????∑L 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2 2 1-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例4．求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节 数列求和

第四节 数列求和 授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法： 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

数列求和专题训练 方法归纳

数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．

(新课标)高考数学总复习：考点15-数列求和(含解析)

考点15 数列求和 1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知 {}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =， 则数列1n a ??????的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键． 【规范解答】选C ．设1 n n a q -=，则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---， 即33 918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?=，5 51 1()31211612T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q = ，Sn 为{an}的前n 项和． 记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ． 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识． 【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值． 【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最大． 【答案】4 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0． 证明： {}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

高考数学数列求和练习

数列求和练习1 1. 已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且 a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,s 4-b 4=10. (1)求数列与的通项公式; (2)记S n 、T n 分别为数列{a n }{b n }的前n 项和，求S n 、T n 2. 设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式. 3. 设为数列的前项和，，，其中是常数． （1） 求及； （2） 若对于任意的，，，成等比数列，求的值 {}n a n n S {}n b {}n a {}n b {}n a n n S {}n S n n T 22n n T S n =-n ∈ *N 1a {}n a n S {}n a n 2 n S kn n =+*n N ∈k 1a n a *m N ∈m a 2m a 4m a k

4.等比数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式 及前项和。 5.已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a {}n a 142,16a a =={}n a 35,a a {}n b {}n b n n S

6.已知数列满足， . （1） 令，证明：是等比数列； (2)求的通项公式。 7.若数列的递推公式为1111 3,2()n n a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。 8.已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。 9.数列{a n }中，a 1=1, a n+1=2a n +2n . {}n a *1 1212,,2 n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝ ＝1n n n b a a +=-{}n b {}n a

三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练

考查角度2三种常用的数列求和方法 分组转化法求和 已知等差数列{a n}满足a2=2,a1+a4=5. {a n}的通项公式; (2)若数列{b n}满足b1=3,b2=6,{b n-a n}为等比数列,求数列{b n}的前n T n. 利用已知条件求出等差数列{a n}的通项公式;(2)因为{b n n,所以数列{b n}的前n项和T n可以看成数列{b n-a n} {a n}的前n项和的总和. 设等差数列{a n}的公差为d, {a n}满足a2=2,a1+a4=5, ∴解得a1=d=1, ∴a n=1+(n-1)×1=n. (2)设等比数列{b n-a n}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2. ∴b n-a n=2×2n-1=2n, ∴b n=n+2n, ∴数列{b n}的前n项和 T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=+- -=+2n+1-2. 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比 ,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和. 错位相减法求和 已知{a n}的前n项和S n=4n-n2+4. {a n}的通项公式; (2)求数列-的前n项和T n. 由{a n}的前n项和求出数列{a n}的通项公式;(2)利用错 (当n=1时要单独考虑). 当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 1时,a1=S1=7. ∴a n= - (2)令b n=-,

当n=1时,T1=b1=-=0; 当n≥2时,b n=-= - , ∴T n=0++++…+ -+ - , T n=+++…+ - +, 两式相减得T n=1+++…+ --= - - -=2-, ∴T n=4- - (n≥2 . 当n=1时,满足上式. 综上所述,T n=4- - . 用错位相减法求和时,应注意: ,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式; (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 分类透析三a n=型的裂项相消法求和 已知数列{a n}为单调递增数列,S n为其前n项和,2S n=+n. (1)求{a n}的通项公式. (2)若b n=,T n为数列{b n}的前n项和,证明:T n<. 由递推公式2S n=+n求出{a n}的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明. 当n=1时,2S1=2a1=+1,即(a1-1)2=0,解得a1=1. 又{a n}为单调递增数列,所以a n≥1. 由2S n=+n得2S n+1=+n+1, 所以2S n+1-2S n=-+1, 整理得2a n+1=-+1,所以=(a n+1-1)2. 所以a n=a n+1-1,即a n+1-a n=1, 所以{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n.

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以

专题训练-常见数列的求和

专题训练－常见数列的求和 德阳二中 谢超强 在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。下面介绍既非等差数列又 非等比数列的某些数列前n 项和的求法。 一、分组求和法 某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。 例1：求数列3 11，912 ，2713，…，)3 1n n +（，…的前n 项和。 解：n S ＝311＋912＋271 3＋…＋)3 1n n +（ ＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)3 1 2719131(n ++++ = 3 11) 311(312 )1(--++n n n =)3 1 1(21)1(21n n n -++ 二、聚合法 有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。 例2：求数列 ,2 221,,221,21,11 2 2 -+++++++n 的前n 项和。 解：∵122 1212 22112 -=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321 =)12()12()12()12(3 2 1 -++-+-+-n =n n -++++)2222(3 2 1 = 222 1) 21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法 这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。 例3．求数列 ,) 1(6,,436,326,216+????n n 的前n 项和。

高三数学数列求和专项复习

高中数学数列求和专题复习 1．公式法求和 （ 1 ）等差数列前项和公式 （ 2 ）等比数列前项和公式时 时 （ 3 ）前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值； （ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。 例 1 ．求数列的所有项的和 例 2 ．求和 ( ) 2 ．分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： 的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，… 例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。

例 3 ．已知数列中，，求。 练习 1 、求和： 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知： .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列 3 ．并项法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若 的值 . 例 3 ．数列中，，求。 例 64．数列中，，，求及。 4 ．错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列

练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。 练习 3．求和（）。 5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有： 若是公差为的等差数列，则； ； ； ； * ； 例 1 ．求和。 例 2 ．求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足 （ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式； （ II ）求和

高考数学一轮复习专题：数列求和(教案及同步练习)

1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1) 2. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1) 6. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ① 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ；

②1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n 4 B.n 2＋5n 3 C.2n 2＋3n 4 D ．n 2＋n 答案 A 解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6.

数列求和专题.

**教育五环教学案 日期：授课人：学生：科目：数学今日格言：柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式” 课 题 数列求和专题 教学目标 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 知识点及重难点梳理1．数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为 1 a n a n＋1 的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则 1 a n a n＋1 ＝ 1 d? ? ? ? 1 a n－ 1 a n＋1. 常见的拆项公式： ① 1 n(n＋1) ＝ 1 n－ 1 n＋1 ； ② 1 n(n＋k) ＝ 1 k( 1 n－ 1 n＋k )；

高三数列列项求和和放缩法专题

（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++ 基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等 差，分别求奇数项通项，偶数项通项。 例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____． (2)积型：)(1n f a a n n =?+ 基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反． 例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n n n a a )2 1(1=?+，则数列}{n a 的通项公式为________． 特别地： (1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。 递推公式为：?? ?=+=+c a a a a n n 11 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． (2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。 递推公式为：?? ?=?=+p b b b b n n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． 9.周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例如：已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______. 10.取对数法 形如r n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，2 12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 11.换元法：适用于含有根式递推关系式 类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。 例如.已知数列}{n a 中，111 (14116 n n a a a +=+=，，求数列}{n a 的通项公式.