第7章 分治算法

//将当前序列在中间位置的数定义为中间数
//在左半部分寻找比中间数大的数 //在右半部分寻找比中间数小的数 //若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们
//继续找
//若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间
【例2】用递归算法实现二分查找即：有20个已经从小到大排序好的数据，输入 一个数X，用二分查找算法，判断它是否在这20个数中。
3、方程f(x)的根 【问题描述】 求方程f(x)=2x+3x-4x=0在[1，2]内的根。 提示：2x可以表示成exp(x*ln(2))的形式。 【输入格式】 输入：[1，2]的区间值。 【输出格式】 输出：方程f(x)=0的根，x的值精确小数点10位。 【输入样例】 1 2 【输出样例】 1.5071105957 4、求一元三次方程的解 【问题描述】 有形如： ax3+bx2+cx+d=0一元三次方程。给出该方程中各项的系数 (a， b， c， d 均为实数 )，并约定该方程存在三个不同实根 (根的范围在 -100 至 100之间 )，且根与根之差的绝对值 >=1。要求由小到大依次在同一行上 输出这三个实根。 【输入格式】 输入：a，b，c，d 【输出格式】 输出： 三个实根（根与根之间留有空格） 【输入样例】Equ.in 1 –5 –4 20 【输出样例】Equ.out -2.00 2.00 5.00
【上机练习】
1、用非递归方法编写【例2】 2、求N个数A1，A2，A3……AN中的最大值MAX和最小值MIN。 【算法分析】 策略一：把n(n>2)个数据先分成两组，分别求最大值、最小值，然后 分别将两组的最大值和最小值进行比较，求出全部元素的最大值和最小 值。若分组后元素还大于2，则再次分组，直至组内元素小于等于2。 策略二：如果N等于1时，MAX=MIN=A1，如果N=2时，MAX=A1， MIN=A2或MAX=A2，MIN=A1，这是非常简单的，所以此题可把所有的 数作为一个序列，每次从中取出开头两个数，求共MAX，MIN，然后再 从剩余的数中取开头两个数，求其MAX、MIN后与前一次的MAX、MIN 比较，可得出新的MAX、MIN，这样重复下去，直到把所有的数取完 （注意最后一次取可能是只有一个数），MAX，MIN也就得到了。这就 是典型的分治策略。注意：这样做与把所有数字排序后再取MAX、MIN 要快得多。
//递归过程
// 取中间位置点 //找到查找的数，输出结果 //找不到该数 //在后半中查找 //在前半中查找
// 输入排序好的数 // 输要查找的数 // 递归过程
【例3】一元三次方程求解 有形如：ax3+bx2+cx+d＝0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的 系数（a,b,c,d均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至 100之间），且根与根之差的绝对值≥1。 要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精 确到小数点后2位。 提示：记方程f（x）=0，若存在2个数x1和x2，且x1<x2，f（x1）*f（x2）＜ 0，则在（x1，x2）之间一定有一个根。 输入：a，b，c，d 输出：三个实根（根与根之间留有空格） 【输入输出样例】 输入：1 -5 -4 20 输出：-2.00 2.00 5.00 【算法分析】 这是一道有趣的解方程题。为了便于求解，设方程f(x)=ax3+bx2+cx+d＝0， 设x的值域（-100至100之间）中有x， 其左右两边相距0.0005的地方有x1和x2两 个数，即 x1=x-0.0005，x2=x+0.0005。x1和x2间的距离（0.001）满足精度要求 （精确到小数点后2位）。若出现如图1所示的两种情况之一，则确定x为f(x)=0的 根。
【参考程序】 program car1(input,output); const zero=1e-4; var s,a,b,c,c0,c1,t1,t2,t3,t4:real; BEGIN assign(input,’car.in’); reset(input); assign(output,’car.out’); rewrite(output); readln(s,a,b); c0:=0; c1:=s; repeat c:=(c0+c1)/2; 【深入思考】 t3:=c/b; 现在把上述问题稍改一下，已 t1:=t3+(s-c)/a; 知A、B两地相距S=100公里，在A t4:=(c-t3*a)/(a+b); 地有n人，现有一辆汽车，此汽车 t2:=t3+t4+(s-(t3+t4)*a)/b; 除司机外只能载1人，已知汽车的 if t1<t2 then c1:=c else c0:=c; 速度为V1=50公里/小时，人的速度 until abs(t1-t2)<zero; 为V2=5公里/小时。要求设计一种 writeln(t1); 方案，使得最后一个人用最少的时 close(input);close(output) 间到达B。 END.
由此得出算法： 输入方程中各项的系数a，b，c，d ； for x←-100 to 100 do //枚举每一个可能的根 begin x1←x；x2←x+1； //确定根的可能区间 if f(x1)=0 then write(x1:0:2，’ ’) //若x1为根，则输出 else if (f(x1)*f(x2)<0) then //若根在区间[x1，x2]中 begin while x2-x1>=0.001 do //若区间[x1，x2]不满足精度要求，则循环 begin xx←(x2+x1)/2； //计算区间[x1，x2]的中间位置 if f(x1)*f(xx)<=0 then x2←xx //若根在左区间，则调整右指针 else x1←xx； //若根在右区间，则调整左指针 end；//while write(x1:0:2，’ ’)； //区间[x1，x2]满足精度要求，确定x1 为根 end； //then end； //for 其中f(x)的函数说明如枚举法所示。
【例1】快速排序(递归算法)
procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid,p:integer; begin i:=l; j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; repeat while a[i]<mid do inc(i); while a[j]>mid do dec(j); if i<=j then begin p:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=p; inc(i); dec(j); end; until i>j; if l<j then qsort(l,j); if i<r then qsort(i,r); end;//sort
【算法分析】 最佳方案为：甲先乘车到达K处后下车步行，小车再回头接已走到C处的乙， 在D处相遇后，乙再乘车赶往B，最后甲、乙一起到达B地。如下图所示，这时所 用的时间最短。这样问题就转换成了求K处的位置，我们用二分法，不断尝试， 直到满足同时到达的时间精度。
算法框架如下： 1、输入s，a，b； 2、c0:=0；c1:=s；c:=(c0+c1)/2； 3、求t1，t2； 4、如果t1<t2，那么c:=(c0+c)/2 否则 c:=(c+c1)/2； 反复执行3和4，直到abs(t1-t2)满足精度要求（即小于误差标准）。
program ex11_2; var a:array[1..20]of integer; n,i,m,x,y:integer; procedure jc(x,y:integer); var k:integer; begin k:=(x+y)div 2; if a[k]=m then writeln('then num in',k:5); if x>y then writeln('no find') else begin if a[k]<m then jc(k+1,y); if a[k]>m then jc(x,k-1); end; end; begin readln(n); x:=1;y:=n; for i:=1to n do readln(a[i]); readln(m); jc(x,y); readln; end.
第七章 分治算法
所谓分治就是指的分而治之，即将较大规模的问题分解成几个较小规模 的问题，通过对较小规模问题的求解达到对整个问题的求解。当我们将问题分 解成两个较小问题求解时的分治方法称之为二分法。 分治的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这 些子问题互相独立且与原问题相同。找出各部分的解，然后把各部分的解组合 成整个问题的解。 1、解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。分治算法时间是 这样确定的： 解决子问题所需的工作总量（由子问题的个数、解决每个子问题的工作量 决定）合并所有子问题所需的工作量。 2、分治法是把任意大小问题尽可能地等分成两个子问题的递归算法。 3、分治的具体过程（以二分法为例）： begin ｛开始｝ if ①问题不可分 then ②返回问题解 else begin ③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1； ④递归调用分治法过程，求出解1； ⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2； ⑥递归调用分治法过程，求出解2； ⑦将解1、解2组合成整个问题的解； end; end; //结束
2.分治法 枚举根的值域中的每一个整数x(-100≤x≤100)。由于根与根之差的绝 对值≥1，因此设定搜索区间[x1，x2]，其中x1=x，x2=x+1。若 ⑴f(x1)=0，则确定x1为f(x)的根； ⑵f(x1)*f(x2)>0，则确定根x不在区间[x1，x2]内，设定[x2，x2+1]为 下一个搜索区间 ⑶f(x1)*f(x2)<0，则确定根x在区间[x1，x2]内。 如果确定根x在区间[x1，x2]内的话（f(x1)*f(x2)<0），如何在该区间 找到根的确切位置。采用二分法，将区间[x1，x2]分成左右两个子区间： 左子区间[x1，x]和右子区间[x，x2]（其中x=）： 如果f(x1)*f(x)≤0，则确定根在左区间[x1，x]内，将x设为该区间的右 指针（x2=x），继续对左区间进行对分；如果f(x1)*f(x)>0，则确定根在 右区间[x，x2]内，将x设为该区间的左指针（x1=x），继续对右区间进 行对分； 上述对分过程一直进行到区间的间距满足精度要求为止（x2x1<0.001）。此时确定x1为f(x)的根。