小升初几何图形部分(教师版)
苏教版六年级数学下册小升初专项卷 图形与几何 附答案
苏教版六年级数学下册小升初专项卷3．图形与几何一、填空。
（每空3 分，共27 分）1．在同一平面内，如果直线b和c都与直线a垂直，那么直线b和c的位置关系是（）。
2．一个圆形花坛的直径是6 米，现在沿花坛的外围铺上一条宽1 米的水泥路，水泥路面的面积是（）平方米。
3．一个立体图形，从前面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭一个这样的立体图形至少要（）个小正方体。
（至少有一个面相接）4．豆豆有9 根a厘米长的小棒和6 根b 厘米长的小棒（a 与b不相等，均不为0），他用其中的12 根搭成一个长方体框架，长方体框架的棱长和是（）厘米。
（接口处忽略不计）5．右图中三角形ABC的面积是30 平方厘米，平行四边形BCDE的面积是（）平方厘米。
6．下面的立体图形①、②、③的底面积相等，④、⑤的底面积都是①的3倍，③的高是其他立体图形的3倍。
和②的体积相等的是立体图形（）和（）。
7．如右图，半径为20 厘米的圆的外面和里面各有一个正方形，外面正方形的面积是（）平方厘米，里面正方形的面积是（）平方厘米。
二、选择。
（将正确答案的字母填在括号里）（每小题3 分，共15 分）1．一种牛奶采用长方体纸盒密封包装，从外面量，长7 厘米，宽4 厘米，高10 厘米。
下面哪个盒上的标注是真实的？（）。
A．260±10 毫升B．270±10 毫升C．280±10 毫升D．280 毫升2．如右图，一张顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1+ ∠2=（）°。
A．140B．180 C．200D．2203．把绕点O 顺时针旋转90°后得到的图形是（）。
4．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）。
A．2π ∶1B．1 ∶1C．1 ∶π D．π ∶15．下列说法中，正确的有（）个。
①用同样大小的正方体木块摆成了A、B两个不同的物体（如右图），观察这两个物体，从前面看到的形状是一样的。
【小升初冲刺】数学专项复习：二、图形与几何5.平行四边形的面积--基础(教师版+学生版)通用版(含答
5.平行四边形的面积【知识点睛】平行四边形面积=底×高，用字母表示：S=ah．（a表示底，h表示高）【小题狂做】一．选择题（共11小题）1．（2019春•浦东新区月考）有个平行四边形，它的两条邻边分别长5分米和7分米，如果其中一条边上的高是6分米，那么这个平行四边形的面积是（）平方分米A．30B．25C．42D．无法判断【解答】解：5×6＝30（平方分米）答：这个平行四边形的面积是30平方分米．故选：A．2．（2018秋•西城区期末）正确计算下面平行四边形面积的算式是（）A．12×10B．12×9C．9×10D．9×7.5【解答】解：正确计算下面平行四边形面积的算式是9×10或12×7.5；故选：C．3．（2018秋•南通期末）将一个长10厘米，宽6厘米的长方形木框拉成一个高是8厘米的平行四边形，这个平行四边形的面积是（）平方厘米．A．80B．60C．48D．30【解答】解：S＝ab＝6×8＝48（平方厘米）；答：这个平行四边形的面积是48平方厘米．故选：C．4．（2018秋•醴陵市期末）如果图中h＝5cm，则b的长度可能是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：因为在直角三角形中斜边一定大于直角边，已知平行四边形的高是5厘米，那么b的长度一定大于5厘米，所以b的长度是6厘米．故选：D．5．（2018秋•白云区期末）一个平行四边形的面积是10.5cm2，底是2cm，对应的高是（）cm．A．2B．2.625C．5.25D．10.5【解答】解：10.5÷2＝5.25（厘米）答：对应的高是5.25厘米．故选：C．6．（2019•吴川市模拟）如图阴影部分面积是15平方米，平行四边形的面积是（）平方米．A．15B．30C．60【解答】解：15×2＝30（平方米）答：平行四边形的面积是30平方米；故选：B．7．（2018秋•河北区期末）如图的平行四边形中，以36cm为底的高是（）cm．A．20B．24C．30D．36【解答】解：如图的平行四边形中，以36cm为底的高是20厘米；故选：A．8．（2018秋•河西区期末）一个平行四边形的面积是35dm2，底是5dm，高是（）dm．A．175B．7C．87.5D．14【解答】解：35÷5＝7（分米），答：高是7分米．故选：B．9．（2018秋•单县期末）一个平行四边形的底和高分别和一个长方形的长和宽相等，这个平行四边形的面积和长方形的面积相比，（）A．长方形的面积大B．平行四边形的面积大C．一样大【解答】解：一个平行四边形的底和高分别和一个长方形的长和宽相等，这个平行四边形的面积和长方形的面积相等．故选：C．10．（2018秋•崂山区期末）下面的四个平行四边形，根据已知条件（）的面积可以算出．A．B．C．D．【解答】解：A、5×6＝30（平方厘米）B、只告诉平行四边形的边长，没有对应的高，所以不能求面积；C、底和高不是对应的，所以不能求面积，D、只告诉高，没告诉底，不能求面积；故选：A．11．（2018•秀屿区）一个平行四边形两边的长分别是10厘米和7厘米，其中一条边上的高是8厘米．这个平行四边形的面积（）平方厘米．A．56B．70C．80D．不能确定【解答】解：7×8＝56（平方厘米）答：这个平行四边形的面积是56平方厘米．故选：A．二．填空题（共7小题）12．（2019春•浦东新区月考）有一块平行四边形形状的菜地，底边长30米，这条底边上的高长14米，那么这块菜地的面积是420平方米．【解答】解：30×14＝420（平方米）答：这块菜地的面积是420平方米．故答案为：420．13．（2019春•南京月考）10根长都是3厘米的小棒可以围一个面积最小是36平方厘米的长方形．【解答】解：10÷2＝5（根）4×3×（1×3）＝12×3＝36（平方厘米）答：可以围成一个面积最小是36平方厘米的长方形．故答案为：36．14．（2018秋•黄埔区期末）如图，把平行四边形沿着高分成两个部分，通过平移的方法可以把这两部分拼成一个长方形．它的长等于平行四边形的底，它的宽等于平行四边形的高，因此，平行四边的面积＝底×高．【解答】解：由分析得：把平行四边形沿高剪开分成两个部分，通过平移的方法可以把这两部分拼成一个长方形．长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高计算．故答案为：高，平移，底、高、底×高．15．（2018秋•抚宁区期末）如果把一个平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形，它的面积不变；把一个平行四边形木框逐渐拉成一个长方形，周长不变，面积变大．【解答】解：（1）如果把一个平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形，它的面积不变．（2）因为把平行四边形木框拉成长方形，四个边的长度没变，则其周长不变；但是它的高变长了，所以它的面积就变大了．故答案为：不变，不变，变大．16．（2018秋•石林县期末）如图，阴影部分的面积是32.5dm2，那么平行四边形的面积是65dm2．【解答】解：32.5×2＝65（平方分米）答：平行四边形的面积是65平方分米．故答案为：65．17．（2018秋•台安县期末）一块平行四边形菜地，底是32.5分米，高是15.4分米．如果每平方米能收8千克青菜．这块菜地一共可以收40.04千克青菜．【解答】解：32.5×15.4÷100＝500.5÷100＝5.005（平方米）8×5.005＝40.04（千克）答：这块菜地一共可以收40.04千克青菜．故答案为：40.04．18．（2018秋•武昌区期末）如图是一个平行四边形，它包含了三个三角形，其中两个白三角形的面积15平方厘米和25平方厘米，中间涂色的三角形面积是40平方厘米．【解答】解：15+25＝40（平方厘米）；答：中间涂色的三角形的面积是40平方厘米．故答案为：40．三．判断题（共1小题）19．（2018秋•南通期末）两个等底等高的平行四边形，形状不一定完全相同，面积一定相等．√（判断对错）【解答】解：因为平行四边形的面积公式为：平行四边形的面积＝底×高，所以只要是等底等高的平行四边形面积一定相等，形状不一定相同；故判断为：√．四．应用题（共2小题）20．（2018秋•崂山区期末）一块平行四边形稻田的底是400米，高是200米，这块稻田面积是多少公顷？【解答】解：400×200＝80000（平方米）80000平方米＝8公顷答：这块稻田的面积是8公顷．21．（2018秋•盘龙区期末）一块平行四边形的地，底长250米，高68米，共收油菜籽3400千克．平均每公顷产油菜籽多少千克？【解答】解：250×68＝17000（平方米）＝1.7（公顷），3400÷1.7＝2000（千克）；答：平均每公顷产油菜籽2000千克．。
2021年重点中学小升初22次课程15-蝴蝶、鸟头定理及应用(教师版)
在小学的学习中几何是一个很重要的部分,每一个几何图形都非常美妙,几何图形的美妙不仅来源于它的外形,更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律,这节课我们就一起来看看几个美妙的几何模型内模型一:任意四边形中的比例关系(“蝴蝶模型”)：ODCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯；②4132::s s s s =； ()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.蝴蝶、鸟头模型及应用知识结构模块一：蝴蝶模型及应用知识精讲内容分析蝴蝶、鸟头模型及应用鸟头定理蝴蝶模型模块二: 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)：AB CDObaS3S2S1S4①2213::S S a b=（用相似证明面积比等于边长比的平方）②221324::::::S S S S a b ab ab=；ABCDS的对应份数为2()a b+梯形蝴蝶模型给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。
【例1】如图，已知梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，底边BC长10米，三角形AED的面积是5平方米，求阴影部分面积。
【难度】★【答案】20平方米【解析】根据梯形的面积公式，AD=45×2÷6-10=5（米），根据梯形蝴蝶模型，:1:4AED BECS S∆∆=，所以阴影面积为；5×4=20平方米【总结】梯形中蝴蝶模型应用【例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）例题解析三角形BGC 的面积；（2）AG ：GC=？【难度】★【答案】（1）6；（2）1：3【解析】（1）根据蝴蝶模型，123,=6BGC BGC S S ∆∆⨯=⨯那么 （2）根据蝴蝶模型：AG ：GC=（1+2）：（3+6）=1：3 【总结】一般四边形中蝴蝶模型应用【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【难度】★ 【答案】21公顷【解析】根据蝴蝶模型，::6:7AOB BOC AOD DOC S S S S ∆∆∆∆==，所以最大的一个三角形为 △BOC ，7(5213)2167BOC S ∆=-⨯=+（公顷） 【总结】一般四边形中蝴蝶模型应用【例4】如图，232,4S S ==，求梯形面积。
人教版数学小升初衔接练习+解析(图形与几何—图形的运动)
人教版数学小升初衔接练习+解析（图形与几何—图形的运动）试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共5小题.每小题2分）1．快速旋转小棒.下面（）小旗转动一周会形成如图的图形.A．B．C．2．将一个周长为12厘米的正方形变换成一个面积是36平方厘米的正方形.是按（）的比例放大的.A．1：3 B．2：1 C．3：1 D．4：1 3．下面的图形是按一定比例缩小的.则x＝（）.A．10 B．8 C．7.5 D．74．下列说法正确的是（）A．把一个三角形按1：2的比缩小后.它每个角的度数.每条边的长度都缩小为原来的一半B．平行四边形的各边长度确定后.它的周长和面积就确定了C．三角形各边长度确定后.它的周长和面积就确定了D．ab﹣8＝12 （a、b都不为0）.则a和b成反比例5．下列图形中.不是轴对称图形的是（）A． B．C．二．填空题（共8小题.每小题2分）6．在平面图形中.属于轴对称图形的有（至少写2个）；一个长方体的长、宽、高分别为9厘米、6厘米和5厘米.这个长方体的棱长总和是厘米.7．正方形有条对称轴.圆有条对称轴．8．小李去北京动物园游玩.回家后把一张照片（如图所示）在电脑上按一定的比例放大.放大后的照片长是14.4cm.放大后的宽是cm.9．折叠一张长方形纸ABCD.如图.折叠时.C点和A点重合.产生折痕为EF.量得AE长22厘米.如果长方形的宽是20厘米.折叠后图形的面积比原来长方形面积少了平方厘米.10．如果三角形ABC按一定的比缩小成三角形DEC.那么BC长cm.11．右边是一个零件的设计图.每个小格都是边长为1cm的正方形.这个零件的体积是cm³.如果把设计图按2：1放大.那么这个零件的体积就是cm³.12．如图.有一张长方形纸片ABCD.AB＝10cm.AD＝6cm.将纸片折叠.使AD边落在AB边上.折痕为AE.再将三角形AED以DE为折痕向右折叠.AE与BC交于点F.则三角形CEF的面积为cm2．13．如图.把一张长方形纸折叠后.∠1＝50°.∠2＝．三．判断题（共5小题.每小题2分）14．放大后的长方形与原长方形对应线段的比是2：1.放大后的长方形面积与原长方形的面积比也是2：1. （）15．边长3米的正方形按2：1的比放大后.它的周长与原来的周长的比是2：1．（）16．旋转不改变图形的大小和形状.只改变图形的位置．（）17．线段、长方形、正方形、等腰梯形、圆都是轴对称图形．（）18．婷婷中午12点睡觉.下午闹钟2点准时响起.则时针在这段时间旋转了60°．（）四．操作题（共5小题.每小题5分）19．在方格中画出如图的图形.（1）平行四边形向左平移8格后的图形；（2）梯形绕点O逆时针旋转90°后的图形；（3）三角形按3：1放大后的图形.20．（1）将图中三角形向右平移3格后的图形画出来.（2）将图中三角形的各边按2：1扩大后的图形画出来. 21．观察方格图.完成下面的任务.（1）画出下面对称图形的另一半.（2）与点B对称的点C的位置是（. ）.（3）以BC为底边.画一个与三角形ABC面积相等、形状不同的三角形BCD.（4）画一个与三角形ABC面积相等的梯形EFGH.22．按要求画图.（1）画出将图形A先向下平移3格.再向右平移4格后的图形；（2）画出将图形A绕点O顺时针旋转90°后的图形；（3）以虚线MN为对称轴.画出图形B的轴对称图形.23．图中的每小格表示边长1厘米的正方形．（1）将图中长方形绕D点顺时针旋转90°.画出旋转后的图形．（2）将长方形按2：1放大.画出放大后的图形.并使A点的位置在（10.5）.放大后的长方形面积与原长方形面积的比是：．（3）在放大后的长方形内画一个最大的半圆.这个半圆的面积是平方厘米．（4）图中的A点在D点的偏方向．五．解答题（共8小题.每小题5分）24．按要求画图.（1）先画出图①的对称轴.再把图①绕点B逆时针旋转90度. （2）把图②各边按2：1的比放大后画在图②的东面.（3）点D的位置用数对表示是（. ）.以点D为圆心画一个半径是3厘米的圆.（每小格的边长表示1厘米）25．按要求完成下面各题.每个小方格边长是1cm.（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分.把其中阴影部分的三角形向平移cm.平行四边形就变成了长方形. （2）把三角形ABC绕点C顺时针旋转90.画出旋转后的图形.旋转后与原三角形B点相对应的点的位置用数对表示是.（3）画出图M中图形的另一半.使它成为一个轴对称图形. （4）在合适的位置画出（3）题中对称图形按1：2缩小后的图形.26．下面小方格边长表示1厘米.请按要求完成下面各题.（1）把图中的三角形绕点C逆时针旋转90°.画出旋转后的图形；旋转后.A点对应的位置用数对表示是.（2）按2：1的比将原三角形放大.画出放大后的图形.放大后的三角形面积与原来面积的比是.27．在方格子里按要求完成以下各题.（1）将平行四边形ABCD先向上平移4格后.再向右平移5格.画出平移后的图形.用数对表示出经过两次平移后点A对应点的位置是（. ）.（2）将平行四边形ABCD绕A点顺时针旋转90°.画出旋转后的图形.28．画一画．（1）小旗子绕O点逆时针旋转90°后的图形．（2）小旗子按2：1扩大后的图形．29．按要求填空并在方格纸上画出图形.（每个小正方形表示1平方厘米）（1）图①中.O点的位置用数对表示是（. ）.把图①绕O点逆时针旋转90°.把图①按2：1的比放大.（2）图②中.以B点为观测点.C点在B点的偏方向上.图②中.过点A作BC边上的高.（3）图③中.已经涂了4个方格.请你再涂一个方格.使得5个方格组成的图形是轴对称图形.并画出它的对称轴.30．如图.在3×3的正方形网格中.已有两个小正方形被涂黑.再将图中其余小正方形涂黑一个.使整个图案构成一个轴对称图形．31．（1）把圆平移到圆心是（6.8）的位置上．（2）把长方形绕A点顺时针旋转90°．（3）画出轴对称图形的另一半．答案解析一．选择题（共5小题.每小题2分）1．解：如图：快速旋转小棒.上面小旗转动一周会形成如图的图形.故选：B.2．解：12÷4＝3（厘米）即周长是12厘米的正方形边长是3厘米；因为36＝6×6所以面积是36平方厘米的正方形边长是6厘米；6：3＝2：1答：是按2：1的比例放大的.故选：B.3．解：根据题意.5：4＝x：64x＝30x＝30÷4x＝7.5故选：C.4．解：由分析可得.选项A、B、C都是错误的.只有选项D正确. 故选：D.5．解：根据轴对称图形的意义可知：选项A不是轴对称图形.选项B、C都是轴对称图形；故选：A．二．填空题（共8小题.每小题2分）6．解：（9+6+5）×4＝20×4＝80（厘米）属于轴对称图形的有长方形、正方形；一个长方体的长、宽、高分别为9厘米、6厘米和5厘米.这个长方体的棱长总和是80厘米.故答案为：长方形、正方形；80.7．解：两组对边中点连线所在的直线以及两条对角线所在的直线就是其对称轴.如下图：正方形有四条对称轴；圆的直径所在的直线都是圆的对称轴.圆有无数条直径.就用无数条对称轴．故答案为：4.无数．8．解：14.4÷6＝2.44×2.4＝9.6（cm）答：放大后的宽是9.6cm.故答案为：9.6.9．解：20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米）答：折叠后图形的面积比原来长方形面积少了220平方厘米. 故答案为：220.10．解：设BC的长为x厘米.9：6＝x：86x＝9×8x＝x＝12答：BC长12厘米.故答案为：12.11．解：3.14×2×2×6×＝12.56×2＝25.12（立方厘米）2×2＝4（厘米）.高是6×2＝12（厘米）3.14×4×4×12×＝3.14×16×4＝3.14×64＝200.96（立方厘米）答：这个零件的体积是25.12cm³.如果把设计图按2：1放大.那么这个零件的体积就是200.96cm³.故答案为：25.12.200.96.12．解：4×4÷2＝8（cm2）；故答案为：8．13．解：由图可知∠1+∠2+∠3＝180°.所以∠2+∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°.又因为∠2＝∠3.130°÷2＝65°所以∠2＝65°故答案为：65°．三．判断题（共5小题.每小题2分）14．解：2×2＝4答：放大后的长方形与原长方形对应线段的比是2：1.放大后的长方形面积与原长方形的面积比也是4：1.故答案为：×.15．解：根据正方形的周长公式：C＝4a.可知正方形的周长比等于边长比.所以放大后的周长比等于边长比.原题说法正确.故答案为：√.16．解：旋转后图形的形状、大小不变.只是位置发生变化.所以原说法正确；故答案为：√．17．解：根据轴对称图形的意义可知：线段、长方形、正方形、等腰梯形、圆都是轴对称图形.说法正确；故答案为：√．18．解：婷婷中午12点睡觉.下午闹钟2点准时响起.则时针在这段时间旋转了60°.说法正确；故答案为：√．四．操作题（共5小题.每小题5分）19．解：如图：20．解：画图如下：21．解：（1）作图如下：（2）与点B对称的点C的位置用数对表示是（7.2）.（3）以BC为底边.画一个与三角形ABC面积相等、形状不同的三角形BCD（画法不唯一）.作图如下：（4）画一个与三角形ABC面积相等的梯形EFGH（画法不唯一）. 作图如下：故答案为：7.2.22．解：①把图形A先向下平移3格（蓝色部分）.再向右平移4格（红色部分）.②把图形A绕O点顺时针方向旋转90°.画出旋转后的图形（黄色部分）.③以虚线MN为对称轴.画出图形B的轴对称图形.（蓝色部分）. 如图：23．（1）将图中长方形绕D点顺时针旋转90°.画出旋转后的图形（图中红色部分）：（2）将长方形按2：1放大.画出放大后的图形.并使A点的位置在（10.5）（图中绿色部分）.放大后的长方形面积与原长方形面积的比是4：1．（3）在放大后的长方形内画一个最大的半圆（图中蓝色部分）.这个半圆的面积是：3.14×32÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）（4）图中的A点在D点的西偏北方向．故答案为：4.1；14.13；西.北．五．解答题（共8小题.每小题5分）24．解：（1）先画出图①的对称轴（下图红色虚线）.再把图①绕点B逆时针旋转90度（下图）.（2）把图②各边按2：1的比放大后画在图②的东面（下图）. （3）点D的位置用数对表示是（14.7）.以点D为圆心画一个半径是3厘米的圆（下图）.故答案为：14.7.25．解：（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分.把其中阴影部分的三角形向右平移6cm.平行四边形就变成了长方形（下图）. （2）把三角形ABC绕点C顺时针旋转90.画出旋转后的图形.旋转后与原三角形B点相对应的点的位置用数对表示是（17.6）. （3）画出图M中图形的另一半.使它成为一个轴对称图形（下图）.（4）在合适的位置画出（3）题中对称图形按1：2缩小后的图形（下图）.故答案为：右.6；（17.6）.26．解：（1）（2）如图：（1）旋转后.A在第三列第四行.所以数对为（3.4）；（2）放大后.底和高都扩大为原来的2倍.根据S＝ah.面积扩大为原来的2×2＝4倍.面积比为：4：1.故答案为：（3.4）；4：1.27．解：（1）将平行四边形ABCD先向上平移4格后.再向右平移5格.画出平移后的图形（下图）.用数对表示出经过两次平移后点A对应点的位置是（9.7）.（2）将平行四边形ABCD绕A点顺时针旋转90°.画出旋转后的图形（下图）.故答案为：9.7.28．解：作图如下：29．解：（1）O点的位置是第4列.第6行.作图如下：（2）图②中.以B点为观测点.C点在B点的西偏南45°方向上.如上图；（3）如上图（画法不唯一）.30．解：如图所示：31．解：（1）由数对与位置找到平移后的圆心点是（6.8）.以半径为2格长画圆即可得到平移后的位置；（2）根据图形旋转的方法.将与点A连接的两条边顺时针旋转90°.再作这两条边的平行线即可得出旋转后的图形；（3）根据轴对称图形的特征.对称点到对称轴的距离相等.找出三个对称点.然后连接即可．作图如下：.。
小升初数学寒假精品课程-第3讲 平面及组合图形(教师版)
平面及组合图形1、了解平面图形的分类.2、掌握平面图形的周长及面积的计算.3、掌握组合图形面积计算的策略.重点：1、了解平面图形的特征.2、掌握平面图形的周长及面积的公式.难点：1、正确运用公式计算图形的周长及面积.2、掌握组合图形面积计算的策略，运用策略解决组合图形的面积.模块一：图形计数图形的计数，可以采用标序号的方法进行计数，注意组合图形组成的图形.例1.下列各图形中，三角形的个数各是多少？【答案】图（1）中有1＋2＝3（个）；图（2）中有1＋2＋3＝6（个）；图（3）中有1＋2＋3＋4＝10（个）；图（4）中有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）.【解析】因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形（以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形），所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数.【易】练习1.下图中各有多少个正方形？【答案】（1）8个；（2）26个.【解析】图（1）有6＋2＝8（个）；图（2）有15＋8＋3＝26（个）.【中】练习2.数一数，下面各图中有多少个长方形？【答案】（1）30个；（2）90个.【解析】图（1）中有8＋10＋4＋5＋2＋1＝30（个）；【难】练习3.下图中有多少个平行四边形？【答案】30个.【解析】8＋10＋4＋5＋2＋1＝30（个）.图形的计数，可以采用标序号的方法进行计数，注意组合图形组成的图形.模块二：图形属性及数量关系例1.一个梯形如图所示，上底是5cm，下底是8c m.（1）在梯形中画一条线段，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.（2）已知分割成的平行四边形的面积是20 平方厘米，求分割成的三角形的面积.【答案】（1）（2）20÷5×（8－5）÷2＝6（平方厘米）答：分割成的三角形的面积为6平方厘米。
【解析】（1）分割出一个平行四边形，图中已有一组对边平行，因此只需画出一条线与梯形的一条腰平行；其次，另一部分是三角形，由三条边围成，所以只能通过上底的一个顶点画另一条腰的平行线；（2）平行四边形、三角形、梯形的高都相同，由平行四边形的面积和底求出平行四边形的高，其次因为平行四边形的对边相等，所以三角形的底是8－5＝3.【易】练习1.下面图形中哪两个可以拼成平行四边形？哪两个可以拼成三角形？哪两个可以拼成梯形？【答案】可拼成平行四边形的有：①③、①④、③④；可拼成三角形的有：①③、①④、③④；可拼成梯形的有：①④、③④.【解析】根据平行四边形、三角形、梯形的图形特征，可以一一试验得出结果.【易】练习2.图是一个直角三角形，用两个这样的三角形拼图形.（1）拼成周长较短的三角形.（2）拼成周长最长的平行四边形.请画出草图表示你的拼法.【答案】【解析】（1）拼成的三角形有两种情况，取周长最短的即可.（2）要使拼成的平行四边形周长最短，那么拼在一起的边要最短.掌握图形的属性特征，并要考虑到情况的所有可能性.例2.计算下面平行线间各图形的面积，说一说你有什么发现.【答案】①梯形：（2＋6）×5÷2＝20（cm2）；②平行四边形：4×5＝20（cm2）；③三角形：8×5÷2＝20（cm2）；④三角形：8×5÷2＝20（cm2）.发现：计算后的面积都一样.【解析】先直接数出各图形的底为多少厘米，然后根据各图形的面积公式计算即可.【易】练习1.计算下面图形的周长和面积（单位：cm）（1）（2）【答案】（1）18×24÷2＝216（cm2）；（2）（8＋17）×10÷2＝125（cm2）.【解析】根据三角形和梯形的面积的公式进行计算.【易】练习2.先在各图中量出计算面积时需要的数据，再求出面积.（1）（2）（3）【答案】（1）梯形上底：0.8 cm，下底：1.3 cm，面积：（0.8＋1.3）×1.3÷2＝1.43（cm2）；（2）三角形最长边长：2.4 cm，对应的高：0.9 cm，面积：2.4×0.9÷2＝2.28（cm2）；（3）平行四边形底：2.1 cm，高：1.4 cm，面积：2.1×1.4＝2.94（cm2）.【解析】数据测量要准确，再根据各图形的面积计算公式进行计算.【中】练习3.在下图的方格中分别画出面积是12 平方厘米的三角形、平行四边形和梯形各1 个.（每小格的边长为 1 厘米）【答案】【解析】根据三角形、平行四边形、梯形的面积公式，确定各个图形底和高的值.掌握各图形的面积计算公式，特别要注意三角形的面积计算不要忘记除以2.模块三：几种重要的模型例1.下图是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而成的，求阴影部分的面积.（单位：厘米）【答案】S阴影＝[（8－3）＋8]×5÷2＝65÷2＝32.5（cm2）答：阴影部分的面积为32.5平方厘米。
小升初专项培优测评卷(18)立体图形的认识与测量(一)(教师版)
小升初专项培优测评卷（十八）参考答案与试题解析一．填一填（共13小题）1．（2019•仙桃）李叔叔把一根铁丝截成一些小段后，正好焊接成一个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体框架，这个长方体的体积是3cm，这根铁丝原有cm．【分析】根据正方体的体积公式：3=，把数据代入公式即可求得体积；根据长方体的棱长总和=（长+v a宽+高）4⨯，把数据代入公式即可求出这根铁丝的长度．【解答】解：54360⨯⨯=（立方厘米），++⨯(543)4=⨯124=（厘米）48答：这个长方体的体积是360cm，这根铁丝原有48cm．故答案为：60，48．【点评】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、以及正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．2．（2019•石家庄）将36厘米长的铁丝，做成一个正方体框架，这个正方体的体积是立方厘米，表面积是平方厘米．【分析】用一个长36厘米的铁丝做成一个正方体框架，铁丝的总长度就是正方体的棱长之和，铁丝的长度已知，从而可以求出正方体的棱长，进而求其表面积和体积．【解答】解：正方体的棱长：36123÷=（厘米），正方体的表面积：⨯⨯336=⨯96=（平方厘米），54正方体的体积：⨯⨯333=⨯93=（立方厘米）；27答：这个正方体的体积是27立方厘米，表面积是54平方厘米．故答案为：27，54．【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用．3．（2019•郑州）右图可以折成一个正方体，面1与面相对；面2与面相对．【分析】根据正方体的特征，6个面都是完全相同的正方形，再根据展开图的形状得，面1与面3相对；面2与面6相对．【解答】解：面1与面3相对；面2与面6相对；故答案为：3，6．【点评】此题主要考查正方体的特征及展开图的形状．4．（2019秋•淄博期末）一个长方体的表面展开图如图．这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米．【分析】由题意可知，这是一个有一组对面是正方形的长方体，这个长方体的长是321-=厘米，宽1厘米，高是2厘米，根据长方体的表面积公式()2s ab bh ah=++⨯计算出表面积、依据体积公式v abh=，计算出体积即可．【解答】解：看图已知长方体的长为1厘米，宽为321-=厘米，高是2厘米，长方体的表面积：⨯+⨯+⨯⨯，(112121)2=⨯，52=（平方厘米）；10长方体的体积：112⨯⨯，=（立方厘米）；2答：这个长方体的表面积是10平方厘米，体积是2立方厘米．故答案为：10，2．【点评】本题运用长方体的表面积公式，体积公式进行计算即可．5．（2019•中山市）用两个完全相同的小长方体拼起来．（每个小长方体长3，宽2，高1)，再重新切成两个完全相同的小长方体，现在每个小长方体的表面积比原来每个最多大．【分析】要使拼成的长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面对着合起来，则拼组后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和，减少了2个21⨯面的面积；此时长方体的长宽高分别是：6、2、1；再把拼成的长方体切成两个小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面，则切割后的每个小长方体的长宽高分别是：6、2、0.5；由此利用长方体表面积公式即可求得其切割前后表面积，进而解决问题．【解答】解：(6260.520.5)2(323121)2⨯+⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯，=⨯-⨯，162112=-，3222=，10答：现在每个小长方体的表面积比原来每个最多大10．故答案为：10．【点评】解答此题的关键是，拼组时，将两个长方体最小的两个面重叠在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最大．切割时，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面．6．（2019•徐州）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加160立方厘米．原长方体的表面积是平方厘米．【分析】由题意，长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽⨯高240=平方⨯=立方厘米，则宽⨯高20厘米．同理可知长⨯高30=平方厘米，根据长方体的表面积=（长⨯宽+长⨯高+宽=平方厘米，长⨯宽40⨯高）2⨯．列式解答．【解答】解：（长⨯宽+长⨯高+宽⨯高）2⨯=÷+÷+÷⨯(4029031604)2=++⨯(203040)2=（平方厘米）180答：这个长方体的表面积是180平方厘米．故答案为：180．【点评】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的表面积公式解答即可．7．（2019•郴州模拟）一节长2米的通风管，它的横截面是边长4分米的正方形．做10节这样的通风管至少需要铁皮平方米．【分析】因为通风管只有侧面没有底面，所以用这个长方体的底面周长乘高求出做一节通风管需要铁皮的面积再乘10即可．【解答】解：4分米0.4=米0.44210⨯⨯⨯1.6210=⨯⨯3.210=⨯32=（平方米）答：做10节这样的通风管至少需要铁皮32平方米．故答案为：32．【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．8．（2019•沛县）大小两个正方体的棱长比是3:2，那么大小正方体的表面积比是 ，体积比是 ．【分析】正方体的表面积=棱长⨯棱长6⨯，正方体的体积=棱长⨯棱长⨯棱长，再依据“大小两个正方体的棱长比是3:2”，即可分别求出它们的表面积和体积之比．【解答】解：因为大小两个正方体的棱长比是3:2；大小正方体的表面积比是223:29:4=；大小正方体的体积比是333:227:8=．故答案为：9:4，27:8．【点评】此题主要考查正方体的表面积和体积公式．9．（2019•绵阳）一个长方体木块长、宽、高分别是5cm 、4cm 、4cm ．如果用它锯成一个最大的正方体，体积比原来减少了 20 %．【分析】抓住正方体的特征，这个最大的正方体的棱长就是这个长方体最短的棱长，即4cm ，利用长方体体积公式V abh =和正方体的体积公式3V a =代入数据，即可解决问题．【解答】解：54480⨯⨯=（立方厘米）44464⨯⨯=（立方厘米）(8064)80-÷1680=÷0.2=20%=，答：体积要比原来减少20%．故答案为：20．【点评】找出这个最大正方体的棱长是解决本题的关键．10．（2019•金牛区）一个长方体，它的“前面”和“上面”面积之和是209平方厘米．长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是立方厘米．【分析】设长方体的长、宽、高分别为a、b、h，由题意得：209+=，已知长、宽、高都是质数，ah ab由此可以求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V abh=，把数据代入公式解答．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、h，由题意得：ah ab+=209=⨯2091119=+19172所以长、宽、高分别是11、17、2，⨯⨯=（立方厘米），11172374答：这个长方体的体积是374立方厘米．故答案为：374．【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出长、宽、高．11．（2019•东莞市）一个棱长8分米的正方体水缸，水深6分米，如放入一块石头完全浸入水中，水溢出18升，则石头的体积是3dm．【分析】由题意得石头的体积等于上升的水的体积加上溢出水的体积，根据长方体的体积计算公式：长方体体积=长⨯宽⨯高计算即可．【解答】解：18升18=立方分米⨯⨯-+88(86)18=+12818=（立方分米）146答：这块石头的体积是146立方分米．故答案为：146．【点评】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积=长⨯宽⨯高；在解答时要注意：单位的统一．12．（2019•新安县模拟）把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是立方厘米．【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而用408÷得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积=棱长3”，代入数值，进行解答即可．【解答】解：3[40(42)]÷⨯，125=（立方厘米）； 答：每个正方体的体积是125立方厘米．故答案为：125．【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答．13．（2019秋•靖州县期末）根据如图提供的信息，填空回答问题．（1）这个玻璃缸的容积（玻璃厚度忽略不计）是 毫升；石头的体积是 立方厘米；（2）取出石头以后，缸里还剩下水 毫升．【分析】（1）根据正方体的体积公式V a a a =⨯⨯，求出玻璃缸的容积；因为放进石头后，缸里的水还剩35，所以石头的体积是玻璃缸的容积的：32155-=，由此用乘法列式求出石头的体积； （2）用玻璃缸的容积减去石头的体积就是缸里还剩下水的体积．【解答】解：1分米10=厘米（1）1010101000⨯⨯=（立方厘米）1000立方厘米1000=毫升31000(1)5⨯- 210005=⨯ 400=（立方厘米）答：这个玻璃缸的容积是1000毫升；石头的体积是 400立方厘米．（2）1000400600-=（立方厘米）600=（毫升）答：取出石头以后，缸里还剩下水600毫升．故答案为：1000；400，600．【点评】关键是明白石头的体积等于石头排开的水的体积．二．选一选（共9小题）14．（2019•永州模拟）表面积是2)cm96cm的正方体，它的体积是(3A．16B．32C．64【分析】根据正方体的表面积公式：2=，已知表面积求出棱长，再根据正方体的体积公式：3S a6=，V a把数据代入公式解答．【解答】解：正方体每个面的面积是：96616÷=（平方厘米）因为4416⨯=，所以正方体的棱长是4厘米，⨯⨯=（立方厘米）44464答：它的体积是64立方厘米．故选：C．【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、表面积公式的灵活运用．15．（2019•岳阳模拟）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体()A．体积相等，表面积不相等B．体积和表面积都不相等C．表面积相等，体积不相等D．体积和表面积都相等【分析】把一个正方体的橡皮泥揉捏成一个长方体，形状发生了变化，体积不变，但表面积变化了．可以通过举例证明．【解答】解：如：棱长2厘米的正方体的体积是：2228⨯⨯=（立方厘米），表面积是：22624⨯⨯=（平方厘米）；把棱长2厘米的正方体可以捏成一个长4厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，这个长方体的体积是：4218⨯⨯=（立方厘米），表面积是：(424121)2⨯+⨯+⨯⨯(842)2=++⨯=⨯142=（平方厘米）；28由此可知，把一个正方体的橡皮泥揉捏成一个长方体，它的体积不变，表面积变大了．故体积相等，表面积不相等．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的体积、表面积的意义，以及它们的体积和表面积的计算公式．16．（2019•鄞州区）下列图形中，不能折成正方体的图形是()A．B．C．D．【分析】此题需利用正方体及其表面展开图的特点解答即可得出答案．【解答】解：A、折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体；B、C、D都可以折成正方体．故选：A．【点评】此题考查了展开图折叠成几何体，此题较简单，能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．17．（2019•盐城）张亮想按照下图在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结．张亮需要多长的带子？()A．46 厘米B．52 厘米C．65 厘D．77 厘米【分析】根据图形可知，所需彩带的长度等于2条长棱+两条宽棱4+条高棱+打结用的25厘米．由此列式解答．【解答】解：122823425⨯+⨯+⨯+=+++24161225=（厘米）77答：张亮需要77厘米长的带子．故选：D．【点评】此题解答关键是弄清是怎样捆扎的，是求哪几条棱的长度再加上打结用的．18．（2019•郴州模拟）下面两个物体的表面积相比()A．甲的表面积比乙大B．乙的表面积比甲小C．甲、乙的表面积相等D．可能是甲的表面积大，也可能是乙的表面积大【分析】根据正方体的表面积、体积的意义，因为甲是由8个小正方体拼成，在大正方体的顶点处的小正方体外露3个面，乙比甲少了一个小正方体，从顶点处去掉一个小正方体，又外露与原来相等的3个面，所以甲的表面积等于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积．据此解答即可．【解答】解：甲是由8个小正方体拼成的，乙比甲少了一个小正方体，因为在大正方体的顶点处的小正方体外露3个面，从顶点处去掉一个小正方体，又外露与原来相等的3个面，所以甲的表面积等于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用．19．（2019•邵阳模拟）一个长方体的表面积是230cm，把它平均分开后正好是两个相等的正方体，每个正方)cm．体的表面积是(2A．15B．18C．13D．50【分析】把长方体平均分开，正好成为两个相同的正方体，也就是说，长方体的表面积是10个小正方体的面的面积，先求出小正方体一个面的面积，每个正方体的表面积就好求了．【解答】解：正方体一个面的面积为：30103÷=（平方厘米）；每个正方体的表面积是：⨯=（平方厘米）；3618答：每个正方体的表面积是18平方厘米．故选：B．【点评】本题考查对长方体和正方体表面积的计算能力以及分析与空间想象能力．20．（2019•东莞市）一个内部长6dm，宽3dm的长方体鱼缸内养了10条金鱼，水面高2.5dm．强强把金鱼)cm．捞出来准备清洗鱼缸，发现水的高度降低到2.4dm．10条金鱼的体积约是(3A．1800B．180C．45D．1.8【分析】这10条金鱼的体积等于下降的水的体积，下降水的高度是2.5 2.40.1-=分米，再用长方体的体积=长⨯宽⨯高列式解答即可．【解答】解：63(2.5 2.4)⨯⨯-=⨯180.1=（立方分米）1.81.8立方分米1800=立方厘米答：10条金鱼的体积约是31800cm．故选：A．【点评】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积=长⨯宽⨯高；在解答时要注意：选择有用的数据进行计算．要注意单位的统一．21．（2019•广州）一个长方体木块，长5分米，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积和是40平方分米，则这个木块的体积是()立方分米．A．20或50B．20或48C．20【分析】根据题意可知：这个长方体的长是5分米，它有一组相对的面是正方形，也就是这个长方体的宽和高相等，其余4个面的面积和是40平方分米，由此可以可以求出一个侧面的面积，用一个侧面的面积除以长即可求出宽和高，再根据长方体的体积公式：V abh=，把数据代入公式解答．另一种情况，这个长方体的长是5分米，宽是5分米，那么高是40452=，÷÷=（分米），根据长方体的体积公式：V abh 把数据代入公式解答【解答】解：第一种情况：这个长方体的长是5分米，宽和高多少2分米，÷÷4045=÷105=（分米），2⨯⨯=（立方分米），22520答：这个木块的体积是20立方分米．第二种情况：这个长方体的长和宽都是5分米，高是2分米，⨯⨯=（立方分米）；55250答：这个长方体的体积是50立方分米．故选：A．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．22．（2019•玄武区）把一根长16米的方木锯成相等的5段，表面积增加了4平方米，这根方木的体积是( )A．64立方米B．32立方米C．8立方米D．48立方米【分析】把一根长16米的方木锯成相等的5段，锯了(51)-次，每次一个锯口，一个锯口增加2个横截面．用增加的面积除以增加的横截面数，就是这根方木的底面积，根据长方体的体积计算公式“V Sh=”即要求出这根方木的体积．【解答】解：4[(51)2]16÷-⨯⨯4[42]16=÷⨯⨯=÷⨯4816=⨯0.5168=（立方米）答：这根方木的体积是8立方米．故选：C．【点评】关键明白：把这根方木锯成相等的5段，锯了(51)-次，每次一个锯口，一个锯口增加2个横截面．三．计算题（共3小题）23．（2019•亳州模拟）计算如图中长方体的表面积和正方体的体积．【分析】根据长方体的表面积=（长⨯宽+长⨯高+宽⨯高）2⨯；正方体的体积=棱长⨯棱长⨯棱长；代入数值进行计算即可求解．【解答】解：（1）长方体的表面积：⨯+⨯+⨯⨯(14514757)2=++⨯(709835)22032=⨯=（平方厘米）；406（2）正方体的体积：0.50.50.50.125⨯⨯=（立方分米）．【点评】本题重点考查了长方体的表面积和正方体的体积计算．熟练记住计算公式是关键．24．（2019春•青羊区期末）下面是一个长方体的展开图，请同学们看图列式计算它的体积和表面积．（单位：厘米）【分析】根据长方体的展开图，可以求出长方体的宽是：11325-⨯=（厘米），然后根据长方体的体积公式V abh =和表面积公式()2S ab ah bh =++⨯即可解答．【解答】解：长方体的宽是：11325-⨯=（厘米）长方体的体积：753⨯⨯353=⨯105=（立方厘米）长方体的表面积：(757335)2⨯+⨯+⨯⨯(352115)2=++⨯712=⨯142=（平方厘米）答：长方体的体积是105立方厘米，表面积是142平方厘米．【点评】本题关键是求出长方体的宽，这就需要学生有一定的空间想象能力，知道哪两个面是相对的面．25．（2019•北京模拟）求组合图形的表面积和体积．（单位：)dm【分析】根据图形的特点可知：它的表面积等于左面大长方体的表面积加上右面小长方体上下、前后四个面的面积，它的体积等于大小长方体的体积和，根据长方体的表面积公式：()2S ab ah bh =++⨯，体积公式：V abh =，把数据分别代入公式解答．【解答】解：(61065105)6226102⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯(603050)224120=++⨯++140224120=⨯++28024120=++424=（平方分米）61056102⨯⨯+⨯⨯300120=+=（立方分米）420答：它的表面积是424平方分米，体积是420立方分米．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．四．走进生活，解决问题（共6小题）26．（2019•咸丰县）把9盒如图所示这样的牙膏捆在一起，怎么捆最节省胶带？至少需要多长的胶带？【分析】把9盒牙膏捆在一起，用2种捆法：第一种捆法：把9个盒子并列排在一起，组成一个长方体，它的宽是9545⨯=厘米，高是5厘米；第二种捆法：把9个盒子分三层排在一起，组成一个长方体，它的宽是3515⨯=厘米；据此分别求出它们侧面的周长，再进行比较即可．⨯=厘米，高是5315【解答】解：第一种捆法：把9个盒子并列排在一起，组成一个长方体，它的宽是9545⨯=厘米，高是5厘米；+⨯(455)2=⨯502=（厘米）100第二种捆法：把9个盒子分三层排在一起，组成一个长方体，它的宽是3515⨯=厘米；⨯=厘米，高是5315 +⨯(1515)2=⨯302=（厘米）6010060>所以第二种捆法最节省胶带．答：把9个盒子分三层排在一起最节省胶带，最少用60厘米．【点评】本题的关键是分情况进行讨论，求出不同排列时组成的长方体的宽和高，求出它的侧面周长，再进行比较．27．（2019•海淀区模拟）如图，这座领奖台由四个相同的长方体拼合而成，它的前后两面涂上白色油漆，踏板和侧面铺上蓝色地毯．（单位：厘米）（1）需要油漆部分的面积是多少？（2）做这个领奖台需要多少木料？【分析】（1）根据长方体的特征：相对的面面积相等，它的前后两面涂上白色油漆，前后面分别4个完全相同的长方形，长是40厘米，宽是20厘米，根据长方形的面积公式解答即可．（2）根据长方体的体积公式：v abh=，求出一个长方体的体积，再乘4求出4个长方体的体积是多少平方厘米即可．【解答】解：（1）402042⨯⨯⨯，80042=⨯⨯，32002=⨯，6400=（平方厘米）；答：需要油漆部分的面积是6400平方厘米．（2）4030204⨯⨯⨯240004=⨯96000=（立方厘米）；答：做这个领奖台需要96000立方厘米的木料．【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．28．（2019•长沙）用240厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是宽、高之和的57，宽是高的23，这个长方体的体积是多少？（接头处忽略不计）【分析】首先用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，又知长是宽、高之和的57，宽是高的23，即宽与高的比是2:3，也就是出是长、宽、高之和的575+，根据一个数乘分数的意义即可求出长，进而求出宽和高，再根据长方体的体积公式：V abh=，把数据代入公式解答．【解答】解：长、宽、高的和：240460÷=（厘米）长：556060257512⨯=⨯=+（厘米）宽：22(6025)3514235-⨯=⨯=+（厘米）高：33(6025)3521235-⨯=⨯=+（厘米）2514217350⨯⨯=（立方厘米）答：这个长方体的体积是7350立方厘米．【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是求出长、宽、高．29．（2019•海安县模拟）在内侧棱长为20厘米的正方体容器里装满水，将容器如图倾斜放置，流出的水正好装满一个内侧长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器．求图中线段AB的长度．【分析】首先根据长方体的容积公式，求出长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器的容积，它的容积等于内侧棱长为20厘米的正方体流出水的体积，如图连接BC，使CD等于AB，用流出水的体积的2倍除以内侧棱长为20厘米的正方体容器底面积，可求出BE的长度，用20减BE的长度即为AB的长度．据此解答即可．【解答】解：如图：-⨯⨯⨯÷⨯2025852(2020)=-⨯÷2010002400=-÷202000400205=-=（厘米）15答：线段AB的长度是15厘米．【点评】此题解答关键是理解，长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器的容积等于内侧棱长为20厘米的正方体流出水的体积，再根据正方体的容积公式解答即可．30．（2019•长清区校级模拟）一个长方体如高减少2厘米就成为正方体，表面积比原来减少72平方厘米．原长方体的体积是多少立方厘米？【分析】根据题意，高截去2厘米，表面积就减少了72平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽(2厘米），即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积公式解答．【解答】解：原来长方体的长和宽是：÷÷7242=÷182=（厘米）；9原来长方体的高是：9211+=（厘米）；原来长方体的体积是：⨯⨯=（立方厘米）．9911891答：原来长方体的体积是891立方厘米．【点评】此题解答关键是理解高截去2厘米，表面积就减少了72平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，底面积不变，进而求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式解答即可．31．（2019•普宁市）一个长方体的玻璃缸容器，长6dm，宽5dm，高4dm，里面的水深3.2dm，再把一个棱长为3dm的正方体铁块放入水中（完全浸没），玻璃容器里的水会溢出多少升？【分析】根据正方体的体积公式：3=，把数据代入公式求出正方体铁块的体积，根据长方体的体积（容V a积）公式：V abh=，求出容器内水的体积，用正方体铁块的体积加上长方体容器内水的体积减去长方体容器的容积就是溢出水的体积．【解答】解：33365 3.2654⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=+-2796120=-123120=（立方分米）3答：玻璃容器里的水会溢出3立方分米．【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式，正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．。
【小升初冲刺】数学专项复习：二、图形与几何4.圆、圆环的周长--基础(教师版+学生版)通用版(含答案
4.圆、圆环的周长【知识点睛】圆的周长=πd=2πr，半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长=πr+2r．圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长=πd1+πd2=2πr1+2πr2．【小题狂做】一．选择题（共6小题）1．（2018秋•成都期末）用2019厘米长的铁丝先围成一个圆，再用这根铁丝围成了一个正方形，圆和正方形周长相比，（）A．一样长B．圆的周长更长C．正方形的周长更长【解答】解：由分析可知圆和正方形周长都是2019厘米长．故选：A．2．（2018秋•阳信县校级期末）小圆的直径等于大圆的半径，大圆的周长是小圆周长的（）A．8倍B．4倍C．3倍D．2倍【解答】解：设小圆半径为r，则大圆的半径就为2r；C小＝2πr；C大＝2π（2r）＝4πr；C大÷C小＝4πr÷2πr＝2；答：大圆的周长是小圆周长的2倍．故选：D．3．（2018秋•东明县校级期末）一个半径为r的半圆形花池，它的周长是（）A．πr+r B．πr C．πr+2r【解答】解：如果半圆的半径是r，那么半圆的周长是：2πr÷2+2r＝πr+2r．故选：C．4．（2018秋•沾化区期末）把一个直径10厘米圆分成两个相等的半圆，两个半圆的周长的和是（）A．31.4B．62.8C．41.4D．51.4【解答】解：3.14×10+10×2，＝31.4+20，＝51.4（厘米）．答：两个半圆的周长和是51.4厘米．故选：D．5．（2018秋•深圳期末）已知半圆的半径是r，则计算它的周长算式是（）A．πr B．C．πr+r D．πr+2r【解答】解：半圆的周长为：πr+2r．故选：D．6．（2018春•南京期末）如图是一个半圆形，半径为r，直径为d，这个半圆形的周长是（）A．πd÷2B．（πd+d）÷2C．πr+d【解答】解：这个半圆的周长是πd÷2+d或πr+d或（πd+2d）÷2．故选：C．二．填空题（共10小题）7．（2019•集美区模拟）两条同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆形，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是4厘米．【解答】解：圆的周长（正方形的周长）：6.28×4＝25.12（厘米）圆的半径：25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（厘米）答：圆的半径是4厘米．故答案为：4．8．（2018秋•中山市期末）如图中，大圆半径等于小圆的直径，大圆的周长是37.68cm．【解答】解：3.14×（6×2）＝3.14×12＝37.68（厘米）答：大圆的周长是37.68厘米．故答案为：37.68．9．（2019•高台县模拟）要剪一个周长是31.4厘米的圆形纸片，至少需要一张边长是10厘米的正方形纸．【解答】解：31.4÷3.14＝10（厘米）答：至少需要一张边长是10厘米的正方形纸．故答案为：10．10．（2018秋•东城区期末）如图，大圆的周长是12.56cm，小圆的周长是 6.28cm．【解答】解：3.14×（12.56÷3.14÷2）＝3.14×2＝6.28（cm）答：小圆的周长是6.28cm．故答案为：6.28cm．11．（2018秋•河北区期末）一个圆的直径是10cm，这个圆的周长是31.4cm．【解答】解：3.14×10＝31.4（厘米）答：这个圆的周长为31.4厘米．故答案为：31.4．12．（2018秋•东明县校级期末）半径为4厘米的圆比直径为6厘米的圆的周长多 6.28厘米．【解答】解：3.14×4×2﹣3.14×6＝3.14×（8﹣6）＝3.14×2＝6.28（厘米）答：半径为4厘米的圆比直径为6厘米的圆的周长多6.28厘米．故答案为：6.28．13．（2018秋•台安县期末）要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两脚之间的距离是5厘米．【解答】解：31.4÷3.14÷2＝10÷2＝5（厘米）答：圆规两脚之间的距离是5厘米．故答案为：5．14．（2018秋•白云区期末）用一根铁丝围成一个圆，半径正好是5dm．如果用这根铁丝围成一个正方形，正方形的边长是7.85dm．【解答】解：2×3.14×5÷4＝31.4÷4＝7.85（dm）；答：正方形的边长是7.85dm．故答案为：7.85．15．（2018秋•石林县期末）画一个周长是21.98厘米的圆，圆规两脚间的距离是 3.5厘米．【解答】解：21.98÷3.14÷2＝3.5（厘米），答：圆规两脚间的距离是3.5厘米．故答案为：3.5．16．（2018秋•榆树市校级期末）一个圆形花坛，直径是10米，这个花坛的一周长是31.4米．【解答】解：3.14×10＝31.4（米）；答：这个花坛的一周长是31.4米．故答案为：31.4米．三．判断题（共2小题）17．（2019•福田区）直径相等的半圆周长是整圆的．×（判断对错）【解答】解：直径相等的半圆周长是整圆周长的一半再加上一条直径，所以原题说法错误．故答案为：×．18．（2018秋•荔湾区期末）半圆的周长不等于圆周长的一半．√（判断对错）【解答】解：半圆的周长如下图所示：圆的周长的一半如下图所示：半圆的周长是圆周长的一半加上直径的长度，所以题干的说话是正确的．故答案为：√．四．计算题（共1小题）19．（2018秋•五华区期末）求出如图的周长（单位：dm）【解答】解：3.14×6÷2+10×2+6＝9.42+20+6＝35.42（dm）答：如图的周长是35.42dm．五．应用题（共2小题）20．（2018秋•黄冈期末）一辆自行车车轮的直径是0.65米，如果平均每分钟转100圈，那么骑25分钟能行多少米？【解答】解：3.14×0.65×100＝2.041×100＝204.1（米）204.1×25＝5102.5（米）答：骑25分钟能行5102.5米．21．（2018秋•河东区期末）求下面正方形中阴影部分的周长．（单位：dm）【解答】解：3.14×2.5×2+2.5×2×4＝15.7+20＝35.7（dm）答：阴影部分的周长是35.7dm．。
小升初图形阴影部分面积教案(包含答案)
小升初图形阴影部分面积（专题）课堂引导：问题: 大家的小学生活马上就要结束了，在小学中我们学习过哪些几何图形呢知识点回顾：正方形的面积＝长方形的面积＝梯形的面积＝三角形的面积＝圆的面积＝大家想一想，我们还有哪些面积公式没有想到扇形的面积＝平行四边形的面积=互动环节：我画大家猜，怎样计算下列阴影部分的面积目的：引导学生初步掌握阴影部分面积的计算方法。
涂色面积=长方形面积+三角形面积涂色部分面积=长方形面积+半圆面积×2涂色部分面积=长方形面积+圆形面积涂色面积=正方形面积+半圆面积涂色面积=外圆面积—内圆面积涂色面积=正方形面积—圆形面积涂色面积=半圆面积—三角形面积涂色面积=外半圆面积—内半圆面积问题：一、序号为1、2、3、6的图形，它们的阴影部分面积是怎样计算大家有没有发现什么规律！引导学生回答出来：涂色部分面积是几个简单图形面积的差二、那么序号为4、5、7的图形，它们的阴影部分的面积又是怎样计算根据题意引导学生回答：涂色部分面积是几个简单图形面积的和经典题型【例题1】：图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
【试一试】：1、边长分别为3厘米与5厘米的两个正方形拼在一起（如图）。
求阴影部分的面积。
2、求图形阴影部分面积（单位：厘米）【例题2】：求组合图形的面积。
（单位：厘米）【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.4÷2=2（米）4×4+2×2×3.14÷2=22.28（平方厘米）【试一试】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。
【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出长方形面积再减去里面圆的面积即可.4÷2=2（米）6×4-2×2×3.14＝11.44（平方厘米）【例题】3、计算如图阴影部分的面积．（单位：厘米）考点组合图形的面积．分析分析图后可知，10厘米不仅是半圆的直径，还是长方形的长，根据半径等于直径的一半，可以算出半圆的半径，也是长方形的宽，最后算出长方形和半圆的面积，用长方形的面积减去半圆的面积也就是阴影部分的面积．解答解：10÷2=5（厘米），长方形的面积=长×宽=10×5=50（平方厘米），半圆的面积=πr2÷2=3.14×52÷2=39.25（平方厘米），阴影部分的面积=长方形的面积﹣半圆的面积，=50﹣39.25，=10.75（平方厘米）；答：阴影部分的面积是10.75．4、求如图阴影部分的面积．（单位：厘米）考点组合图形的面积；梯形的面积；圆、圆环的面积．分析阴影部分的面积等于梯形的面积减去直径为4厘米的半圆的面积，利用梯形和半圆的面积公式代入数据即可解答．解答解：（4+6）×4÷2÷2﹣3.14×÷2，=10﹣3.14×4÷2，=10﹣6.28，=3.72（平方厘米）；答：阴影部分的面积是3.72平方厘米．【试一试】：求阴影部分图形的面积．（单位：厘米）考点组合图形的面积．分析求阴影部分的面积可用梯形面积减去圆面积的，列式计算即可．解答解：（4+10）×4÷2﹣3.14×42÷4，=28﹣12.56，=15.44（平方厘米）；答：阴影部分的面积是15.44平方厘米．点评解答此题的方法是用阴影部分所在的图形（梯形）面积减去空白图形（扇形）的面积，即可列式解答．【例题】5．求阴影部分的面积．单位：厘米．考点组合图形的面积；三角形的周长和面积；圆、圆环的面积．分析（1）圆环的面积等于大圆的面积减小圆的面积，大圆与小圆的直径已知，代入圆的面积公式，从而可以求出阴影部分的面积；（2）阴影部分的面积=圆的面积﹣三角形的面积，由图可知，此三角形是等腰直角三角形，则斜边上的高就等于圆的半径，依据圆的面积及三角形的面积公式即可求得三角形和圆的面积，从而求得阴影部分的面积．解答解：（1）阴影部分面积：3.14×﹣3.14×，=28.26﹣3.14，=25.12（平方厘米）；（2）阴影部分的面积：3.14×32﹣×（3+3）×3，=28.26﹣9，=19.26（平方厘米）；答：圆环的面积是25.12平方厘米，阴影部分面积是19.26平方厘米．点评此题主要考查圆和三角形的面积公式，解答此题的关键是找准圆的半径．【试一试】：求下图阴影部分的面积．（单位：厘米）考点组合图形的面积．分析先求出半圆的面积3.14×（10÷2）2÷2=39.25平方厘米，再求出空白三角形的面积10×（10÷2）÷2=25平方厘米，相减即可求解．解答解：3.14×（10÷2）2÷2﹣10×（10÷2）÷2=39.25﹣25=14.25（平方厘米）．答：阴影部分的面积为14.25平方厘米．点评考查了组合图形的面积，本题阴影部分的面积=半圆的面积﹣空白三角形的面积．【例题】6、求出如图阴影部分的面积：单位：厘米．考点组合图形的面积．专题平面图形的认识与计算．分析由题意可知：阴影部分的面积=长方形的面积﹣以4厘米为半径的半圆的面积，代入数据即可求解．解答解：8×4﹣3.14×42÷2，=32﹣25.12，=6.88（平方厘米）；答：阴影部分的面积是6.88平方厘米．点评解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求出．【试一试】：如图，求阴影部分的面积．（单位：厘米）考点组合图形的面积．分析根据图形可以看出：阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个扇形的面积．正方形的面积等于（10×10）100平方厘米，4个扇形的面积等于半径为（10÷2）5厘米的圆的面积，即：3.14×5×5=78.5（平方厘米）．解答解：扇形的半径是：10÷2，=5（厘米）；10×10﹣3.14×5×5，100﹣78.5，=21.5（平方厘米）；答：阴影部分的面积为21.5平方厘米．点评解答此题的关键是求4个扇形的面积，即半径为5厘米的圆的面积．【例题】7、求阴影部分面积（单位：厘米）8、求阴影部分面积（单位：厘米）【试一试】：求阴影部分的面积。
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时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1 （05年101中学考题）求下图中阴影部分的面积：2 （06年清华附中考题）从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.3 （06年三帆中学考试题）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.4 （06年西城八中考题）右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（ ＝3.14）5 (05年首师附中考题)一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？【附答案】1 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
2 【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.3 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2个面：2平方米。
所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．4 【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长，即7×π×2+π×6=20π。
5 【解】：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。
第二讲小升初专项训练几何篇（二1 与圆和扇形有关的题型【例1】（★★）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。
求扇形所在的圆面积。
【解】：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。
而扇形面积为等腰三角形面积：S＝1/2×10×10＝50。
则：圆的面积为400。
【例2】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。
问：这只羊能够活动的范围有多大？【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，所以羊活动的范围是【例3】（★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。
【解】：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。
左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。
则为：π/4×4×4－π/4×2×2－4×2＝3×3.14－8＝1.42。
【例4】（★★★）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。
（取π＝3）【解】：先看总的面积为1/4的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一个1/4圆，一个45度的扇形。
那么最终效果等于一个正方形扣除一个45度的扇形。
为1×1－1/8×3×1＝5/8【例5】（★★★）如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，【解】：225平方厘米＝225（平方厘米）与立体几何有关的题型小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。
见下图。
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
2 求不规则立体图形的表面积与体积【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【解】：[方法一]：[思路]：整体看待面积问题。
解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，所以，总计9×2+7×4=18+28=46。
[方法二]：[思路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。
[方法三]：直接数数。
[思路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。
【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．【解】：提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。
6个小洞内新增加面积的总和： 1×1×4×6＝24（平方厘米），原正方体表面积：42×6＝96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：43－13×6＝58（立方厘米）．答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。
在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。
那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解】： [方法一]：[思 路]：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。
解：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+(21×21)×4+(41×41)×4，所以总共面积为24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=2941[方法二]：[思 路]：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为21的正方体后，大正方体的表面积又增加4个21×21的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为41厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加了4个41×41的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=2941[总 结]：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化。
3 水位问题【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．62.172立方厘米＝62.172毫升 ＝0.062172升．答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有21容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米⨯2厘米⨯3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？【解】：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.4 计数问题【例11】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？ 【解】：正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。
所以共有正方体 22＋4=26（个）。
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。
【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。
如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【解】： 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。
一个甲种木块的体积是1*1*1=1；一个乙种木块的体积是2*2*2=8；一个丙种木块的体积是3*3*3=27。
3+2=5。
则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。
体积是5*5*5=125。
需要丙种木块1块，乙种木块1+1*2+2*2=7块。
甲种木块的体积是27，乙种木块的体积是8*7=56。
125-27-56=42。
需要甲种木块42/1=42块。
1+7+42=50块。
5 三维视图的问题【例13】现有一个棱长为1cm 的正方体，一个长宽为1cm 高为2cm 的长方体，三个长宽为1cm 高为3cm 的长方体。
下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。
试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
例：【解】：立体图形的形状如下图所示。
（此题十分经典）从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；隐藏着的面积有2cm2。