高一下学期3月月考数学试题
2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省昭通市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终xOy αO x 边过点，则的值为（ ）()4,3P tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．1D ．77-17-【答案】D【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.tan α【详解】由终边过点，可得，()4,3P 3tan 4α=所以.3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--故选：D2．在中，，为边的中点，则（ ）ABC ()310AE AB AC=+D BC A ．B ．C ．D ．37AE ED = 73AE ED = 23AE ED = 32AE ED = 【答案】C【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.2AB AC AD += 35AE AD=【详解】因为为边的中点，所以，D BC 2AB AC AD +=因为，所以，()310AE AB AC=+35AE AD = 则．23AE ED = 故选：C 3．设(为虚数单位），其中是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i ,xy i x y +A ．5B C ．D ．2【答案】A 【详解】由，得，()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++∴，解得，∴．故选A ．63325x x y +=⎧⎨-=+⎩34x y =-⎧⎨=⎩i 34i 5x y +=-+=4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速0lnMv v m =()m/s v ()0m/s v 度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.()kg m ()kg M Mm 已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷40018流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相23900m/s 对速度为（ ）（参考数据：，）ln 20.7≈ln 5 1.6≈A ．B ．C ．D ．1200m/s 1500m/s1800m/s2100m/s【答案】C【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，0v v 则，00ln400219001ln 40038v v v v =⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩故()()09002700552ln 5ln 232ln 54ln 2ln 50ln 4003v ==+-+-，27002700180)0(4ln 57ln 24 1.670.7m/s =≈=-⨯-⨯故选：C.5．已知集合，，则（ ）2{|log (5)}M x y x ==-1|,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭M N ⋃=A ．B ．，C ．，D ．(,5)-∞[2)∞+[25)(5,)+∞【答案】B【分析】化简集合，，然后进行并集的运算即可．M N 【详解】由有意义可得，得，所以，2log (5)y x =-50x ->5x >{}|5M x x =>由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，0x >12y x x =+≥=1x ={|2}N y y = ，．[2M N ∴⋃=)∞+故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的定义域，基本不等式，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．y x =sin y x=3y x =-12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误y x =B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.sin y x =C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.3y x =-D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值3()f x ax cx d =++非整数值时，取值精确到0.01．x3.27 1.570.61-0.59-0.260.420.35-0.56-0y101.63-10.04-0.270.260.210.200.22-0.03-0下列关于函数的叙述不正确的是（ ）A ．为奇函数B ．在上没有零点()f x ()f x ()f x [0.55,0.6]C ．在上单调递减D ．()f x (,0.35]-∞-a<0【答案】B【分析】根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后(0)0f d ==结合各函数值得变化趋势，确定的正负．a 【详解】由，则，故，(0)0f =0d =3()f x ax cx =+所以且定义域为R ，故为奇函数，A 正确；3()()f x ax cx f x -=--=-()f x 又，，(0.56)0.030f =>(0.59)0.260f =-<所以在上必有零点，B 错误；()f x [0.56,0.59]根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D 正确，0.35x >x a<0所以在上单调递减，C 正确．(,0.35]-∞-故选：B ．8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的是（ ）A ．函数的最小正周期为()f x 2πB ．函数的最大值为2()f x C ．函数在上单调递增()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为()f x 12π()sin 2g x x=【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A 和B ，()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos 2sin 2cos 22cos 2322x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，的最大值为1，故A 错误，B 错误，()f x 22ππ=()f x 对于C ，当时，，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C 正确；sin y x =,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为()f x 12π，故D 不正确，πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d+>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc>0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的()()2cos 20f x x x ωωω=+>2π()f x 图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）x 3π()g x A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,04π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．是奇函数D ．在区间上的值域为()g x ()g x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,2【答案】AB【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，2π即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后ω()g x 根据余弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以()()2cos 20f x x x ωωω=+>，因为函数的()12cos 22sin 226f x x x x πωωω⎫⎛⎫=2+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()()2cos 20f x x x ωωω=+>零点依次构成一个公差为的等差数列，2π，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，∴12222ππω⋅=1ω∴=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x x 3π得到，即，所以为偶函数，故2sin 22cos 236()2sin 22g xx x x πππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()2cos 2g x x =-()g x C 错误；对于A ：当时，因为在上单调递减，所以在上,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos y x =,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；对于B ：，故是的一个对称中心，故B 正确；2cos 22cos 0442g πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 对于D ：因为，所以，所以，所以，故D 错误；2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]1,2g x ∈-故选：AB11．已知，，，则（ ）0a >0b >21a b +=A ．B ．CD54a b +<1a b ->-12b ≤≥【答案】BCD【分析】先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证,a b 明判断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；2,100a b b =>>-01b <<01a <<A ．因为，取等号时满足，故A 错误；221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭31,42a b ==B ．因为，故B 正确；22215151112424a b b bb ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．因为，取等号时C 正确；12b ==≤1,2a b ==D ．因为，只需证，20b -<≥()2132a b ≤-()232a b ≤-即证，即证，即证，()()22312b b -≤-24410bb -+≥()2210b -≥显然成立，且时取等号，故D 正确；()2210b -≥31,42a b ==故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设，然后分析形如的式子的2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭sin cos a b θθ--几何意义去进行求解并判断.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()f x 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．若，则__________．π2sin()45α-=-cos()4πα+=【答案】##-0.425-【分析】根据诱导公式进行求解.【详解】.ππππ2cos sin sin 42445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.25-14．函数的图象经过函数的图象在轴右边的第一个对称点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭tan y x =y 则______.ϕ=【答案】34π【分析】根据过点，代值即可求得参数.()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】由题可知，过点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故可得，解得，sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4k k Zπϕπ+=∈解得；又因为，,4k k Zπϕπ=-∈()0,ϕπ∈故可得.34πϕ=故答案为：.34π【点睛】本题考查正切函数的对称点，以及由正弦型函数过一点求参数值，属综合基础题.15．若，则___________．sin cos 1sin cos 2αααα+=-tan 2α【答案】34【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求cos αtan α出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．tan α【详解】解：sin cos 1sin cos 2αααα+=-，∴sin 11cos sin 21cos αααα+=-即，tan 1tan 112αα-+=tan 3α∴=-22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--故答案为：34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．16．如图，设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且ABC cos cos sin a C c A b B +=若点D 是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时，.6CAB π∠=ABC 2DC =3DA =____．sin D =【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．2sin()sin sin 1.2A C B B B π+=⇒=∴=由余弦定理可得AC 2=13﹣12cosD ，由△ABC 为直角三角形，可求，,2ABC S AC S △BDC =3sinD ，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为C 值.()+3sinD D D φ=-详解： ，由正弦定理得到cosC cos sin a c A b B +=2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC 的面积为21312cos AC D =-212AC AC AC D ==()+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，sin()1,sin cos D D φφ-====点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．四、解答题17．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测A B C P αβγ得，，，，，.计划沿直线开通一条穿山15α=45β= 30γ=5km 2AD =1km2EB =1km BC =AC隧道，试求出隧道的长度.DE【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得PBC 12sin15PB =PAB的长度3AB =+DE 【详解】在中，，，.PBC 30C γ∠==15CPB βγ∠=-= 1BC =由正弦定理，sin sin BC PBCPB C =∠∠即，所以.1sin15sin30PB=12sin15PB = 在中，因为，，PAB 15A α∠==45ABP β∠== 所以.180120APB A ABP ∠=-∠-∠=由正弦定理，sin sin BP ABA APB =∠∠所以，2sin1202sin 15AB =3==+所以DE AB AD EB =--51322=+-=所以隧道的长度为.DE 18．已知函数的部分图像如图所示.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数的解析式，并写出的单调减区间；()f x ()f x （Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.ABC ∆,,A B C A 14,cos sin 21225A f B Cπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ()sin(26f x x =+π2π[π,π],.63k k k ++∈Z 【详解】试题分析：（1）根据函数的图象确定得到π()sin(26f x x =+结合图象可得的单调递减区间为π2π[π,π],.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知,1sin 2A =根据角为锐角,得到.A π6A =进一步应用三角函数诱导公式、同角公式、两角和差的三角函数公式即可得解.（1）由周期得 12πππ,2362T =-=2ππ,T ω==所以当时，，可得π6x =πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为所以故 π,2ϕ<π.6ϕ=π()sin(26f x x =+由图象可得的单调递减区间为π2π[π,π.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知，, 即,ππsin(2()12126A -+=1sin 2A =又角为锐角,∴.A π6A =，.0πB <<.【解析】三角函数式的图象和性质，三角函数的同角公式、诱导公式、两角和差的三角函数公式.19．的内角的对边分别为，，.ABC ,,A B C ,,a b c 2a b =1cos 3C =(1)求；tan B(2)为边上一点，，的面积.M AB 2AM MB =CM =ABC【答案】(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合由两角和的正弦公式展开，将sin sin()A B C =+代入，由即可求解；1cos 3C =sin tan cos BB B =（2）由同角三角函数基本关系求出，的值，再由正弦定理结合可得，sin B cos B 2ab =c =在中由余弦定理得的值，进而可得的值，再由三角形面积公式即可求解.CMB a b 【详解】（1）因为，由正弦定理化边为角可得：，2a b =sin 2sin A B =因为，所以sin sin()A B C =+sin()2sin sin cos cos sin B C B B C B C+==+由，得1cos C 3=sin C==所以，即12sin sin 3B B B=sintan cos B B B ==（2）由，可得，22sin tan cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩sin B =cos B =在中，由正弦定理得，且ABCsin sin c bC B ==2a b=所以，sin sin b C c B ===在中，由余弦定理得：，CMB 2222cos 59MB BCMB BC B CM +-⋅==，222112cos 5933c a c a B CM ⎛⎫+-⨯⋅⋅== ⎪⎝⎭所以，22259a a ⎫+-⋅=⎪⎪⎭所以，可得25959108a =a =b =11sin 22ABC S ab C ==⨯= 20．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C △△a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得b sin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c a c a B化简整理为，解得22230--=c c 1=+c所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=21．已知函数.()sin 2+sin(2)3f x x x π=-(1)求的最大值及相应的值；()f x x (2)设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，g()()4x f x π=,,P M N ()y gx =求的值.cos MPN ∠【答案】(1)；1,Z12x k k ππ=+∈【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.PM MN PN ===MPN △【详解】（1）解：由题意，函数()1sin2sin22f x x x x =+-，1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数的最大值为，此时，即.()f x ()max 1f x =2232x k πππ+=+,Z12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数 ，()sin 243g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭过作轴于，D MD x ⊥D因为 所以，可得，1PD DM ==90PMN ∠=PM MN PN ==在直角中，可得MPN △cos PM MPN PN ∠===22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝，求cos C 的值；52(2)若sin A cos 2＋sin B ·cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．2B 2A 92【答案】(1) (2) a ＝3，b ＝3.15-【详解】( (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝.由余弦定理得cos C ＝＝＝－.(2)由sin A cos 2＋sin B cos 2＝2sin C ，可得sin A ·＋sin B ·＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝ab sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。
高一下学期第一次月考数学试卷 (20)
高一学年三月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2} 2.下列函数为奇函数的是 ( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x3.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝ ( )A ．－1213B ．－513 C.513 D .12134.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则 ( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b5.向量a ＝(1，－1)，b ＝ (－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝ ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 6.已知三角形ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，4b =，则a = （ ）A ．2B ．C ．．7.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b = （ ）A ．2 C ．．3 8.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ( ) A ．8B ．10C ．12D ．149. 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （ ）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ． (1)2n n -10.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．12D ．1312. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 14.在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.15.设数列n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a +++=__________.16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．18.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且4a =，c =，sin 4sin A B =.（1）求边b的长；（2）求角C的大小.19.（本题满分12分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为12,cos,4b c A-==-（I）求a和sin C的值;（II）求πcos26A⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.（本题满分12分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4Aπ=，22b a-=122c.（1）求tan C的值；（2）若ABC∆的面积为3，求b的值.21.（本题满分12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为12，满足S3＝15，a1＋2b1＝3，a2＋4b2＝6.(1)求数列{a n}，{b n}的通项a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22.（本题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0， 3422+=+n n n S a a . （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=错误!未找到引用源。
甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(含答案解析)
甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．23n k+ C ．()(2222n +++ 二、多选题9．ABC 的内角A 、B A ．710．对任意向量a 、bA ．2ω=B ．函数()f x 的单调增区间为C ．函数()f x 的图象关于7,012π⎛ ⎝D ．函数()f x 的图象可由2cos y =12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，三、填空题四、解答题17．已知θ是第三象限角，(1)求sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求3πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知向量(2,2)a =-，(1)若||3a tb +=，求t 的值；(2)若a tb - 与c垂直，求t 19．如图，缉私艇在A 处通过卫星发现正东方相距船正以102nmile/h 的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？20．已知函数()3sin 2cos23f x x x =++．(1)求()f x 的单调递增区间及对称中心坐标；(2)将()y f x =的图象上的各点__________得到y =程()g x m =有解，求实数m 的取值范围．参考答案：8．D【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解9．AB【分析】由正弦定理可得b 【详解】在△ABC 中，a =由正弦定理可得sin sin a b A =因为0sin 1B <≤，所以0<所以b 可以为7，8，故选：AB.10．ABC2。
重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)
重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】先解出集合B ，再直接计算交集.【详解】因为{}11A x x =-≤≤，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<≤．故选：B ．2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．【解析】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．已知()lg ,0,0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且(0)2,(1)4f f =-=，则((2))f f -=A ．-1B ．2C ．3D ．-3【答案】A【详解】∵(),0,0x lgx x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且且()()02,14f f =-=，()0102(1)4f a b f a b -⎧+∴⎨-+⎩＝＝＝＝ ，解得113a b ，，== ∴(),011,03x lgx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，2121102101013f f f f lg -∴-=+=-==-=-（）（），（（））（）．故选A ．4．设2334a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b<c<a B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】A【解析】由幂函数23y x =的单调性，求得a c >，又由指数函数2()3xy =的单调性，求得c b >，即可得到答案.【详解】由幂函数23y x =在(0,)+∞为单调递增函数，因为3243>，所以23233()2()34>，即a c >，又由指数函数2()3x y =为单调递减函数，因为3243>，所以23342()2()33>，即c b >，综上可知，实数,,a b c 的大小关系为b<c<a ，故选A.【点睛】本题主要考查了指数式的比较大小问题，其中解答中熟练应用指数函数和幂函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．函数()11x x e f x e +=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由()f x 的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象. 【详解】由()12111x x x e f x e e +==+--知：1y =为()f x 的一条渐近线，可排除A 、B ； 11)1)((1x x x x e e f x e f e x --++=--=---=且定义域为0x ≠，则()f x 为奇函数，可排除C.故选：D.6．已知π(0,)2α∈，π2cos()33α+=-，则cos α=（ ）A B C D 【答案】B【分析】由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，求得πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由πcos cos 33παα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求得结果．【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 3α⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以ππππππcos cos cos cos sin sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132=-⨯=． 故选：B ．7．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,周期23T ππω=≥,解得:6ω≤,令322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈可得115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈，由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤，分析即得解【详解】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,0ω>∴ 周期22()233T ππππω=≥⨯-=,解得: 6ω≤又函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足:322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈ 解得：115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈ 由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤即356,442k k ωω≥+≤+又06ω<≤，故0k = ∴则ω的取值范围是:3425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B8．已知函数()10,0 lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，函数()()()()24g x f x f x t t R =-+∈，若函数()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4C ．[){}3,4lg5⋃D ．(]3,4-【答案】A【分析】做出()f x 的图象，判断()f x m =的根的情况，根据()0g x =的根的个数判断240m m t -+=的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.【详解】解：作出函数()10,0lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图，令()f x m =，则()0g x =化为240m m t -+=， 由图象可知当m 1≥时，()f x m =有两解，∵()g x 有四个零点，∴240m m t -+=在[1，＋∞）有两个不等实数根，∴2164021140t m t ∆=->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得34t ≤<， ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选：A.【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x x =结论错误的是（ ）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=0 【答案】A【解析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断B ，C ，D 是否正确，而选项A ，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可． 【详解】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+， 则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ； 再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x ，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[，B 正确，排除B ；故选：A ．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【答案】A【解析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t . 【详解】06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-， 由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-.11．如图，设A ，B 两点在河的两岸，测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为（ ）A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m 【答案】A【分析】求出角B 后，根据正弦定理可解得结果. 【详解】1804510530B ∠=--=， 由正弦定理得sin sin AB ACACB B=∠∠，∴250sin 25021sin 2AC ACBAB B⨯⋅∠===∠，故A ，B 两点的距离为502m . 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.12．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +【答案】A【解析】把向量AE 分解到,AB AD 方向，求出分解向量的长度即可得答案 【详解】设BE m =，则22AE BF BE m ===， 在Rt ABE ∆中，可得5AB m =．如图，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则222555m EH m m ==，且//EH AD ，则222545(2)55AH m m m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以45AH AB =，25HE AD =．所以42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+．故选：A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及勾股定理。
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年重庆高一下册3月月考数学试题一、单选题1．sin 74sin 46sin16sin 44-= （）A ．12B ．12-C ．2D ．【正确答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44== ，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-==故选：A本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题2．函数()24sin 1f xx x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数()24sin 1f xx x =+的定义域为R ， ()()()()224sin 4sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，∴函数()f x 是奇函数，排除AC ；当π2x =时，2π4102π12f ⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时图像在x 轴的上方，排除B.故选：D 3．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【正确答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解【详解】由题意，4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos 5α∴=-sin 4tan cos 3∴==-ααα故选：B4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+，则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.【详解】()f x 是奇函数等价于cos(2)cos(2)x x ϕϕ-+=-+，即cos(2)cos(π2)x x ϕϕ-+=--，故2π22π,Z x x k k ϕϕ-+=--+∈，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.则“π2ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.5．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．79-B ．79C．9-D．9【正确答案】A【分析】利用凑角方法，并利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】∵π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2sin2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.6．若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（）A ．52B ．18C ．716D ．2332【正确答案】D【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=-则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+-=-=故选:D7．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得ω的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围，得到答案.【详解】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤.故选：A8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x +=--，若(1)1f >，(2023)2sin f t =，则实数t 的取值范围是（）A ．π2π2π,2π,33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．π5π2π,2π,66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ZD ．5π2π,2π,66k k k π⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z 【正确答案】D【分析】根据()f x 为奇函数，(2)(2)f x f x -=--推出()f x 是周期函数，周期为4，利用周期得(2023)(1)(1)2sin f f f t =-=-=，根据(1)1f >推出1sin 2t <-，再利用单位圆可求出结果.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)(2)f x f x -=--，又因为(2)(2)f x f x +=--，所以(2)(2)f x f x +=-，(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，周期为4，所以(2023)(45061)(1)f f f =⨯-=-=(1)f =-，因为(1)1f >，所以(2023)1f <-，即2sin 1t <-，1sin 2t <-，根据单位圆中的三角函数线可得：5ππ2π2π66k t k -+<<-+，Z k ∈，故选：D二、多选题9．下列各式中，值为12的是（）A ．2sin15cos15B ．2π2cos112-C D ．2tan22.51tan 22.5-【正确答案】AD【分析】利用二倍角公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A ，12sin15cos15sin302==，A 正确；对于B ，2ππ12cos 1cos 1262-=>，B 错误；对于C 1cos152=> ，C 错误；对于D ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⨯=⨯=--，D 正确．故选：AD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．直线4π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则10a <-.【正确答案】AC【分析】利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A ，利用函数的单调性即可验证选项B ，利用图像平移的特性验证选项C ，将问题转化为求最值即可得D 选项.【详解】函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：4π8ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：由于π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B 错误；对于C ：将函数π()sin(2)6f x x =-的图像上的所有点向左平移π6个单位，得到函数sin 2sin(2)666y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故C 正确；对于D ：函数()π6f x a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得π1sin(262a x <--，即求出函数()π1sin(2)62g x x =--的最小值即可，由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当0x =时取得最小值1-，故1a <-，故D 不正确．故选：AC ．12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值4D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =【正确答案】BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭上有最大值2，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线π6x =对称，则π()4f =__________.【分析】根据函数的最小正周期得到=2ω，利用对称轴得到ϕ，然后代入计算即可求解.【详解】因为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π=2T ω=，又因为直线π6x =是函数的一条对称轴，所以ππ2+=π,Z 62k k ϕ⨯+∈，解得：ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则函数π()2sin(2)6f x x =+，所以ππππ()2sin(22cos 4466f =⨯+==故答案为15．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-16．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，关于函数()sgn(π)sin f x x x =-有如下四个命题：①()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减；②()1lg2lg 2f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的值域为[]11-，；④()f x 的图象关于直线πx =对称.其中所有真命题的序号是__________.【正确答案】②③④【分析】根据函数的概念求出sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，画出函数的图象，结合图象逐项进行判断即可.【详解】依题意可得sin ,π()sgn(π)sin 0,πsin ,πx x f x x x x x x -<⎧⎪=-==⎨⎪>⎩，作出()f x 的部分图象，如图所示，由图可知，()f x 在ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，1(lg 2)(lg )2f f =-，()f x 的值域为[1,1]-，()f x 的图象关于直线πx =对称，故所有真命题的序号是②③④.故②③④.四、解答题17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=.(1)求sin 2α的值;(2)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)2425【分析】（1）由40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5α==.所以24sin 22sin cos 25ααα==；(2)sin cos 42210πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.18．已知()()()πsin 2πcos 2πcos tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知()ππ4,225f αα-<<=，求tan α．【正确答案】(1)4π1()32f =-；(2)3tan 4α=±【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值；（2）由()45f α=得到4cos 5α=，再根据角的范围分情况求得结果.【详解】（1）解：()()()sin sin sin tan f ααααα-⋅-=⋅＝cos α∴4π1()32f =-（2）因为()45f α=，所以4cos 5α=当π02α≤<时，3sin 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==，当π02α-<<时，3sin 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以3tan 4α=±．19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=.(1)求sin()αβ+的值；(2)求tan β的值.【正确答案】(1)5(2)2【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.（2）利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】（1）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈，又因为cos()5αβ+=-，所以sin 5)(αβ+==.（2）由（1）有：sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+，又4tan 3α=，所以42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯.20．已知函数()π2sin23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若123f β⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)79-【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦可求得π23x +的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）由已知可得出π1sin 33β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得πcos 23β⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意得()31πcos2sin2sin2cos2sin2sin 222223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]20,2πx π3+∈，令ππ0232x ≤+≤，解得ππ612x -≤≤，令3ππ22π23x ≤+≤，解得7π5π126x ≤≤，所以函数()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）知π1sin 233f ββ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22ππππcos 22cos 12cos 13632βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11399β⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭.21．已知函数21()cos cos 2f x x x x =+-．(1)解不等式1()2f x ≥，其中ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(2)在锐角ABC 中，π3A =，求()()f B f C +的取值范围．【正确答案】(1),63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，可得ππ5π2266x <+≤求解即可；（2）利用已知条件求出角B 的取值范围，利用三角恒等变换化简得出()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()()f B f C +的取值范围.【详解】（1）()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1()2f x ≥ ，即sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，ππ5π2266x ∴<+≤，解得ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式1()2f x ≥的解集为ππ,63⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由题意可得π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩且π3A =，可得ππ62B <<，∵π,π3A A B C =++=，∴2π3C B =-，πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ62B <<，则ππ5π2666B <-<，∴1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．故()()f B f C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．设a ∈R ，函数()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证.123π2x x +<【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x +<.【详解】（1）()2cos cos 1f x x x a =--++，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭即21t t a +=+，10a +≥或114a +<-即[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，21t t a +=+无解；114a +=-即54a =-时，21t t a +=+仅有一解12t =-，此时x 仅有一解2π3；1104a -<+<即514a -<<-时，21t t a +=+有两解12t =-±1cos 2x =-()f x 有两个零点；综上，[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭时，()f x 无零点，54a =-时，()f x 有一个零点，5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 有两个零点；（2）()f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ==，则12,t t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得12cos 0,cos 0x x <<，则122cos cos 0x x >，则2212cos cos 1x x +<，则2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，则123π2x x +<.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
2022-2023学年云南省红河州个旧市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省红河州个旧市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{20}A xx =+>∣{2,1,0,1}B =--A B = A ．B ．C ．D ．[]2,1-(]2,1-{}2,1,0,1--{}1,0,1-【答案】D【分析】先求出集合A ，利用交集定义能求出.A B ⋂【详解】解：∵，，{20}{2}A xx x x =+>=>-∣∣{2,1,0,1}B =--∴.{1,0,1}A B =- 故选：D2．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（ ）6π3πA ．B ．C ．D ．4π23π6π3π【答案】D【分析】根据面积公式可得出半径，进一步求出弧长．【详解】由扇形面积公式得212S r α=，21326r ππ=⋅⋅，2r ∴=，263l r ππα∴==⨯=故选：D ．3．已知函数f （x ）=3x +2x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．）B ．C ．D ．(2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)【答案】B 【分析】判定函数在定义域上为增函数,再求,,即可判断零点的位()32x f x x=+()10f -<() 00f >置在区间(-1,0)【详解】由函数,易证在定义域R 上为增函数,又因为,,()32xf x x =+()11203f -=-<() 010f =>可得函数的零点所在的区间为(-1,0).()32x f x x=+故选:B.【点睛】本题考查了函数零点位置的判断,判断函数的单调性是解题的关键,属于一般难度的题.4．设，则a ，b ，c 大小关系为（ ）0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a>>【答案】C【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案．a b c 【详解】，，200. 1.211.2a >== 1.200.90.91b =<=，b a ∴<又在上单调递增，0.2y x =(0,)+∞，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b a c ∴<<故选：C ．5．已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）θ()1,M m sin θ=2sin cos sin cos θθθθ-+A ．0B ．C ．D ．54543【答案】D【分析】首先根据三角函数的定义求，再求正切，最后根据的齐次分式化简求值.m sin ,cos θθ【详解】由条件可知，所以，r =0m <sin θ==解得：，2m =-所以，tan 2m θ==-.2sin cos 2tan 15sin cos tan 1θθθθθθ--==++故选：D6．已知，，则的值为（ ）2tan()5αβ+=1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．32223【答案】C【分析】由，然后利用两角差的正切公式可计算出的值.()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】.()tan tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()21tan tan 3454212211tan tan 544παββπαββ⎛⎫+---⎪⎝⎭===⎛⎫+⋅++- ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是明确已知角与所求角之间的关系.7．设向量，，则是的条件．11(,)a x y =22(,)b x y =1122x y x y =//a b A ．充要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据向量共线得坐标表示，从充分性和必要性两方面进行判断即可.【详解】若则，1122x y x y =12210//x y x y a b -=∴，若，有可能或为0，//a b2x 2y 故是的充分不必要条件.1122x y x y =//a b故选：.C 【点睛】本题考查充分比不要条件的判断，涉及向量共线的坐标表示，属基础题.8．如图，已知，，共线，且向量，则（ ）A B C 4AC BC =A ．B ．4155OB OA OC=+1455OB OA OC=+C ．D ．3144OB OA OC=+ 1344OB OA OC=+ 【答案】D【分析】由已知得，再利用向量的线性可得选项.34AB AC=【详解】因为，，，三点共线，所以，4AC BC = A B C 34AB AC=OB OA AB =+ 34OA AC =+ ()34OA OC OA =+- 3344OA OC OA =+-1344OA OC =+ 所以.1344OB OA OC=+故选：D.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d +>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc >0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD 10．有如下命题，其中真命题为（ ）A ．若幂函数的图象过点，则()y f x =12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()132f >B ．函数（且）的图象恒过定点()11x f x a -=+0a >1a ≠()1,2C ．函数在上单调递减()21f x x =-()0,∞+D ．己知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是．a b 3π42a = 3b = a b 【答案】BD【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B 选项，根据指数函数恒过定点即可得到；C 选项，根据二次函数的单调性可以判断；D 选项，由投影向量知识可算得.(0,1)【详解】对A 选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解y x α=12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭122α=得，则，，故A 选项错误；1α=-1y x -=11(3)32f =<对B 选项，函数的图象恒过定点，故B 选项正确；1()1(0,1)x f x a a a -=+>≠(1,2)对C 选项，函数在上单调递增，故C 选项错误；()21f x x =-()0,∞+对D 选项，在方向上的投影向量,故D 选项正确.a bcos 23b b a b θ⎛⋅=⨯⨯= ⎝故选：BD.11．下列结论错误的是（ ）A ．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R ；()20y ax bx c a =++≠20ax bx c ++>B ．不等式在R 上恒成立的条件是且；()200ax bx c a ++≤≠a<0240∆=-≤b ac C ．若关于x 的不等式的解集为R ，则；210ax x +-≤14a -≤D ．不等式的解为.11x >1x <【答案】AD【分析】根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A 、B 、C 正误即可，对于D 将不等式化为求解集即可.10xx ->【详解】A ：函数不存在零点，若则解集为R ，若则解集为空集，错误；0a >a<0B ：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x 轴有一个交点，故，a<02Δ40b ac =-≤正确；C ：当时，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得0a =1x ≤0a ≠0140a a <⎧⎨∆=+≤⎩，正确；14a -≤D ：，解得，错误；1110x x x --=>01x <<故选：AD12．若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）1()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕπ=+>><<A ．()2sin 23()3f x x π=+B ．的图象的一个对称中心为()f x 7(,0)2π-C ．的单调递增区间是，()f x 5[3,3]44k k πππ-π-Zk ∈D ．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象π()2sin()3g x x =+23()f x 【答案】AB【分析】根据图像求出的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证：()f x 对于A ，根据图像求出的解析式进行判断；()f x 对于B ，利用代入法进行判断；对于C ，求出单增区间进行判断；对于D ，利用图像变换判断.【详解】由题图可知，函数的最小正周期，故，解得2A =()f x 4()34T π=⨯π-=π24312T ωωππ===π，所以，又函数的图象经过点，所以，43ω=2()2sin()3f x x ϕ=+()f x (,2)4π(2sin(2)2434f ϕππ=⨯+=即，因为，所以，所以，解得，所以sin()16πϕ+=02πϕ<<2663ϕπππ<+<62ππϕ+=3πϕ=，故A 正确；()2sin 23()3f x x π=+因为，所以的图象的一个对称中心为，故B 正2377()2sin[()2sin(2)0223f πππ-=⨯-+=-π=()f x 7(,0)2π-确；令，，解得，，所以的单调递增区间2222332πππk πx k π-≤+≤+Z k ∈5ππ3π3π44k x k -≤≤+Z k ∈()f x 是，，故C 错误；5[3,3]44k k πππ-π+Z k ∈把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的π()2sin()3g x x =+2332sin()23y x π=+图象，故D 错误．故选：AB ．【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题.sin y x =cos y x =三、填空题13．命题“”的否定是_______.2,10x R x ∃∈+<【答案】.2,10x R x ∀∈+≥【分析】根据特称命题的否定为全称命题，直接写出答案即可.【详解】易知命题“”的否定是“”.2,10x R x ∃∈+<2,10x R x ∀∈+≥故答案为：.2,10x R x ∀∈+≥14．已知向量，，若，则__________．(1,2)=- a (,2)b x = a b ⊥|2|a b -=【答案】【分析】根据向量垂直的坐标表示求得参数，再根据向量的模的计算可得答案.【详解】由，，，得，解得a b ⊥(1,2)=- a (,2)b x = 40x -=4,x =所以，，所以(4,2)b = 2(2,6)a b -=-- |2|a b -=故答案为：.15．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩(),∞∞-+m 【答案】(0,3]【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的1y mx m =+-(),0∞-m 取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩(),-∞+∞∴函数在区间上为增函数，1y mx m =+-(),0∞-∴，解得，001212m m >⎧⎨-≤+=⎩03m <≤∴实数的取值范围是．m (0,3]故答案为．(0,3]【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每()f x (),-∞+∞一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16．已知函数，若函数无零点，则实数的取值范围是3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<()y f x k =-k ________．【答案】3lg2k <【详解】试题分析：∵函数，故函数在上是增函数，在3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<()f x 32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数．故当时，有最小值为．由题意可得，函数的图象与直线32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，32x =()f x 3lg 2()f x 无交点，∴．故实数的取值范围是．y k =3lg2k <k 3lg2k <【解析】1．函数零点；2．函数的单调性．【思路点睛】本题考查函数零点的定义，函数的单调性以及最小值，体现了转化的数学思想，利用函数的单调性求出函数的最小值，由题意可得，函数的图象与直线无交点，故只()f x ()f x y k =要小于的最小值即可．k ()f x 四、解答题17．化简求值：(1)已知化简．()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f α(2)．20338πsin log lg 25lg 4275-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)()cos f αα=-(2)234【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可；（2）应用指对数的运算性质化简求值.【详解】（1）.()()()()()3πsin πcos 2πcos sin cos sin 2cos πsin sin cos sin π2f αααααααααααα⎛⎫---+ ⎪⋅⋅-⎝⎭===-⋅⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）.202338π219123sin log lg 25lg 41lg1001227532424--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C ，，a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得bsin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c ac a B 化简整理为，解得22230--=c c 1=+c 所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=19．已知，且.将表示为的函数，若记此函数为()()2cos ,1,cos ,m x x n x y =+=- m n ⊥ y x ，()f x （1）求的单调递增区间；()f x （2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不()f x 6π变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.()g x ()g x []0,x π∈【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【详解】试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函f x （）数的递增区间即可；（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即g x （）可．试题解析：（1）由得，mn ⊥ 22cos cos 0m n x x x y ⋅=+-=所以. 22cos cos 1cos22sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭由得，222,262k x k k Zπππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Zππππ-+≤≤+∈即函数的单调递增区间为2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意知()2sin 16g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为， []50,,,666x x ππππ⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎣⎦故当时， 有最大值为3； 62x ππ-=()g x 当时， 有最小值为0.66x ππ-=-()g x 故函数在上的最大值为3，最小值为0.()g x []0,x π∈20．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：()11,A x y ()22,B x y ()1212,d A B x x y y =-+-()cos ,A B =()1cos ,A B -(1)若，，求A ，B 之间的曼哈顿距离和余弦距离；()1,2A -34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),d A B (2)已知，，，若，，()sin ,cos M αα()sin ,cos N ββ()sin ,cos Q ββ-()1cos ,5M N =()2cos ,5M Q =求的值tan tan αβ【答案】(1)，1451(2)3-【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到，，计算得到答案.1sin sin cos cos 5αβαβ+=2sin sin cos cos 5αβαβ-=【详解】（1），()3414,12555d A B =--+-=，故余弦距离等于()34cos ,55A B ==()1cos ,1A B -=（2）()cos ,M N =；1sin sin cos cos 5αβαβ=+=()cos ,M Q =+2sin sin cos cos 5αβαβ=-=故，，则.3sin sin 10αβ=1cos cos 10αβ=-sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==-21．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y （单位：万元）与年产量x （单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫25150,02064003011700,20x x x y x x x ⎧+≤<⎪=⎨+-≥⎪⎩情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.(1)求年利润t （单位：万元）关于年产量x 的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)25150500,020********,20x x x t x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)8000台，1040万元【分析】（1）分别求出和时的解析式，即可得到年利润t （单位：万元）关于年产020x ≤<20x ≥量x 的函数解析式；（2）分别求出和时的最大值，比较大小，即可得到最大年利润.020x ≤<20x ≥【详解】（1）当时，；020x ≤<()2230051505005150500t x x x x x =-+-=-+-当时，.20x ≥6400640030030117005001200t x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.25150500,020********,20x x x t x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，020x ≤<()225150500515625t x x x =-+-=--+故当时，t 取得最大值，为625，15x =当时，因为，20x ≥6400160x x +≥=当且仅当，即时等号成立，6400x x =80x =所以，6400120012001601040t x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭即当时，t 取得最大值，为1040，80x =综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.22．已知函数．2()(2)3f x x a x a =--+-（1）若f （a ＋1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5－a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）1或；（2）；（3）存在， ，.32-(,6]-∞2n =1m =-【分析】（1）根据已知条件，得到解方程即可()()()221(2)1322(2)3a a a a a a a a +--++-=--+-求出结果；（2）由于的对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求()f x 22a x -=出最小值即可；（3）根据题意转化为是方程的两个根，结合韦达定理得到，,m n 2(2)3x a x a x --+-=2m n mn +=+分离常数，根据m 、n 为整数即可求解.【详解】（1）因为，且，2()(2)3f x x a x a =--+-()(1)2f a f a +=所以，()()()221(2)1322(2)3a a a a a a a a +--++-=--+-整理得，解得或；2230a a +-=1a =32-（2）的对称轴为，2()(2)3f x x a x a =--+-22a x -=因为，[]2,3x ∈①若，即，则在上单调递增，所以222a -≤6a ≤()f x []2,3x ∈，符合题意；2min ()(2)22(2)35f x f a a a ==--+-=-②若，即，则在上单调递减，在单调递增，所以2232a -<<68a <<()f x 22,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭2,32a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，则，与矛盾，22min 222816()((2)352224a a a a a f x f a a a ----+-⎛⎫==--+-==- ⎪⎝⎭6a =68a <<不符合题意；③，即，则在上单调递减，232a -≥8a ≥()f x []2,3x ∈所以，则，与矛盾，不符合题意；2min ()(3)33(2)31225f x f a a a a ==--+-=-=-7a =8a ≥综上，因此实数a 的取值范围为；6a ≤(,6]-∞（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]，①若，则在上单调递增，所以，即是方程，22a m -≤()f x [],m n ()()f m mf n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,m n 2(2)3x a x a x --+-=即的两个根，由韦达定理得，所以，所以2(1)30x a x a --+-=13m n a mn a +=-⎧⎨=-⎩2m n mn +=+，当时，不存在，舍去，()12m n n -=-1n =m 当时，，所以当时，；当时，，1n ≠21111n m n n -==+--0n =2m =2n =0m =又因为，所以，，经检验，此时，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是m n <2n =0m =3a =[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若，则在上单调递减，在上单调递增，所以22a m n -<≤()f x 2,2a m -⎛⎫ ⎪⎝⎭22a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即，()()22a f m fn n f m n ⎧-⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨=⎪⎪=⎩22222(2)322(2)3(2)3a a a a m n a n a n m a m a n ⎧--⎛⎫--⋅+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪--⋅+-=⎨⎪--⋅+-=⎪⎪⎩所以，即有两个不相等的实数根，且2228164(2)3(2)3a a m n a n a nm a m a n ⎧-+-≥⎪--⋅+-=⎨⎪--⋅+-=⎩2(2)30x a x a n --⋅+--=，由于为整数，则为整数，则2m n a +=-,m n a 231=211n n a n n n +-=+---当时，，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍0n =3,1a m ==-去；当时，，经检验符合题意；2n =3,1a m ==-故，；1m =-2n =③若，则在上单调递减，所以，22a n -≥()f x [],m n ()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩即，则，不合题意舍去.22(2)3(2)3m a m a n n a n a m ⎧--⋅+-=⎨--⋅+-=⎩m n =综上：存在这样的为整数，且，.,m n 1m =-2n =【点睛】动轴定区间型二次函数最值得方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点值对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终的结果.。
2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________.（用角度制表示）2023︒【答案】223︒【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.【详解】由，20233605223=⨯+︒︒︒得与角终边相同的最小正角为.2023︒223︒故答案为：.223︒2．半径为7的扇形弧长为，则扇形所对圆心角的弧度数为__________.π【答案】##π71π7【分析】由题意可得弧长,则由弧长公式即可得.π,7l R ==l R α=【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，由题意，αR l π,7l R ==由弧长公式得，所以.π7α=π7α=故答案为：.π73．设向量，且，则实数的值是__________.()(),1,4,2a n b ==-- a b ⊥ n 【答案】##12-0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，，()(),1,4,2a n b ==--a b ⊥ 得，解得.420a b n ⋅=--=12n =-故答案为：.12-4．若角的终边过点，则__________.α()1,2-πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.cos α【详解】角的终边过点，α(1,2)-由三角函数的定义得cos α==由诱导公式得ππsin sin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.,a b θπ2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦a b +【答案】⎡⎣【分析】根据.a +【详解】a b +=== 因为，所以，所以，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]22cos 1,3θ+∈所以.a b ⎡+∈⎣故答案为：.⎡⎣6．方程在区间上的解集为__________.sin 1cos2x x =-[]0,2π【答案】或或或或{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以2cos212sin αα=-sin 1cos2x x =-22sin sin 0x x -=，，又，从而求出结果.sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈【详解】由，得到，即，sin 1cos2x x =-2sin 1(12sin )x x =--22sin sin 0x x -=解得或，又，,sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈当时，或或，sin 0x =0x =πx =2πx =当时，或，所以或或或或，1sin 2x =π6x =5π6x =0x =π6x =5π6x =πx =2πx =故答案为：或或或或.{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =7．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.60,5,B AC BC a =︒==ABC a【答案】(]0,5⋃【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.a A =ABC 【详解】由，得，sin sin BC AC A B=sin sin AC A a AB ⋅==又，所以，π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则当时，三角形只有一个解，ππ0,32A ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭此时，{}sin 1A ⎛∈⋃ ⎝所以.(]0,5a ∈⋃故答案为：.(]0,5⋃8．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．a b 3a = 6b = 2a b - a 【答案】3【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.26a b -= 1cos 2,2a b a -=【详解】因为向量与的夹角为60°，，，a b 3a = 6b = 所以1cos 603692a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=26a === ，()2222991cos 2,6318182a b aa b a a b a -⋅-⋅⨯--====⨯则在方向上的数量投影为.2a b -a 12cos 2,632ab a b a -⨯-=⨯= 故答案为：3.9．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()()1122,,,A x y B x y αβ､1221x y x y =的最大值为__________.121222x x y y -+-【答案】【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ1221x y x y =πβα-=化简，即可求解.1212π22in(4x x y y α-+-+=【详解】令，且，且，[)11cos (0,2πsin x y ααα=⎧∈⎨=⎩[)22cos (0,2πsin x y βββ=⎧∈⎨=⎩βα>所以，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ因为，可得，可得，1221x y x y =cos sin cos sin αββα=sin()0βα-=又因为，所以，即αβ≠πβα-=πβα=+所以12122cos cos 22sin sin 2x x y y αβαβ=-+--+-，π2cos cos 2sin sin 3cos 3sin 4ααααααα=+++=+=+所以的最大值为121222x xy y -+-故答案为：10．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，ABCD 2,60AB ABC ︒=∠=AC BD ，O E AC 若，则的最小值为___________72AB BO ⋅=- BE DE ⋅ 【答案】194-【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用3BA BC ⋅= 3BC = (),01AE t AC t =≤≤ 向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次,BA BC ,BE DE 2773BE DE t t ⋅=--01t ≤≤函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由，知，即，72AB BO ⋅=- 72BA BO ⋅= ()1722BA BA BC ⋅+=所以，得，则，即.27BA BA BC +⋅= 3BA BC ⋅= cos 603BA BC ⋅︒= 3BC = 设，则，得，(),01AE t AC t =≤≤ ()BE BA t BC BA -=- ()1BE t BA tBC=-+ ，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC=-=-+-+=-+- ()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭01t ≤≤12t =BE DE ⋅ 值为.194-故答案为：.194-【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函,BA BC,BE DE 数的最值问题，突破难点.11．已知函数，若存在实数满足[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩k ()()f a f b ==互不相等，则的取值范围是__________.()()(,,f c f d k a b c d==,)+++a b c d 【答案】{}15(7,)62⋃【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.()()f a f b ==()()f c f d k==【详解】函数的图象如下图所示：[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩存在实数满足互不相等，不妨设，则由[0,1)k ∈()()f a f b ==()()(,,f c f d k a b c d==,)a b c d <<<图可知关于对称，所以；,a b 12x =1a b +=当时，，，则，此时；0k =2c =3d =5c d +=6a b c d +++=当时，因为解得或，故而，，且由图可得01k <<2log (2)1x -=52x =4x =532c <<34d <<，即，可得，22log (2)log (2)c d --=-122d c =--122d c =+-所以122c d c c +=++-1242c c =-++-设，则，在上单调递减，所以，所以2t c =-1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14c d t t +=++1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13(6,2c d +∈，综上所述；15(7,)2a b c d +++∈{}15(7,)62a b c d +++∈⋃故答案为：.{}15(7,)62a b c d +++∈⋃12．为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问2222cos a ab C b c -+=题：若三个正实数，满足，，，则,,x y z 2225x xy y ++=2236y yz z ++=2249z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC A B C a b c ABC O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐOA x =OB y =OC z =ABC 由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ABC AOBBOCAOCS SSS=++△△△△xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC A B C a b c 在内取点，使得，ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 25c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=5c ∴=，∴，222222cos 36a y z yz BOC y yz z =+-∠=++=6a =，∴，222222cos 49b z x zx AOC z zx x =+-∠=++=7b =则，2225cos 27a b c ACB ab +-∠==则，所以π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭sin ACB ∠==由，ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 得，112π12π12πsin sin sin sin2232323ab ACB xy yz zx ∠=++即，所以.)xy yz xz =++xy yz xz ++=故答案为：【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键.ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ二、单选题13．在中， “”是“”的 ABC A B <sinA sinB <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则ABC A B < a b <由正弦定理可得，，2sin a R A =2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，充分性成立sinA sinB ∴<，sinA sinB < 由正弦定理可得，2asinA R =2b sinB R =，则22a b R R ∴<a b<三角形中大边对大角，则，必要性也成立A B <故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．已知，下列命題中错误的是（ ）()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于直线对称；()y f x =π3x =-B ．函数在上为严格增函数；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数的图象关于点对称；()y f x =5π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数在上的值域是.()y f x =4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A ，因为为最小值，πsin 312πf -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图象关于直线对称，故A 正确；()y f x =π3x =-对于B ，因为，所以，ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ,23212x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以函数在上为严格增函数，故B 正确；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦对于C ，因为，5ππsin 132f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以点不是函数的对称中心，故C 错误；5π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1πππ,236x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，故D 正确.()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：C.15．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则的2(0,0)OA mOB nOC m n =+>> 21m n +最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．4【答案】C【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.21m n +=【详解】因为A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，2(0,0)OA mOB nOC m n =+>>所以21m n +=21214(2)448n m m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立．4=n m m n 11,24m n ==故选：C【点睛】（1）A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则有；OA OB OC λμ=+=1λμ+（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β使得，则的最小值为（ ）()()0f f αβ+=m A ．B ．C ．D ．3π25π6π7π6【答案】D【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，ππ5,62ε⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()[f α∈π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β使得，又由，得到，即可求解.()f β∈π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ6m -≥【详解】由函数，因为，可得，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ5,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π,6ππ3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦-所以函数，即，()[f x ∈()[f α∈又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β()()0f f αβ+=即在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β()f β∈因为，则，π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πππ,636m β⎛⎤-∈- ⎝⎦结合三角函数的性质，可得，解得，ππ6m -≥7π6m ≥所以实数的最小值为.m 7π6故选：D.三、解答题17．已知锐角内角的对应边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos220A A +=(1)求的值；A ∠(2)若，求面积的最大值.a =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.12bc ≤【详解】（1）因为，所以，cos 220A A +=22sin 30A A -+=解得，sin A =sin A =又为锐角三角形，所以.ABC π3A =（2）在中，由余弦定理可得，即，ABC 2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-（当且仅当时取等号），，22122bc b c bc ∴+=+≥b c =12bc ∴≤的面积为ABC 11sin 1222bc A ≤⨯=，故当为等边三角形时，有最大面积为π3A =ABC 18．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n==-=⋅ (1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦x【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 13π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x =()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为；()f x 2ππ2T ==由，解得：，，π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为.π2π4x +=3π8x =()f x 119．已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，π3记，矩形的面积为.COB θ∠=ABCD S(1)当时，求矩形的面积的值.π6θ=ABCD S (2)求关于角的解析式，并求的最大值.S θS【答案】(1)S =(2)；时，ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6θ=max S =【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，sin BC α=cosAB αα=S θ代入求值；π6θ=（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.S 【详解】（1）在中，，，在中，Rt OBC △cos OB θ=sin BC θ=Rt OAD △tan 60DAOA =︒=∴，∴，OA BC θ===cos AB OB OA θθ=-=∴2cos sin sin cos AB BC Sθθθθθθ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭=1sin 2cos2)2θθ=-1sin 222θθ=.12cos 22θθ⎫=+⎪⎪⎭ππ2063θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，π6θ=ππ266S ⎛⎫=+ ⎪⨯⎝⎭（2）由（1）知ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由得，所以当，即时，.π03θ<<ππ5π2666θ<+<ππ262θ+=π6θ=max S ==20．已知函数，且.()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；a ()y f x =(2)若，求的值域；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x =(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若n ()y f x =[]0,πn n 不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为9a =-()f x πT =(2)1,1316⎡--⎢⎣(3)存在正整数，理由见解析506n =【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a sin cos sin 2x x x、、π故得函数的最小正周期；()f x（2）根据，得到，设，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++πsin cos 4x x x t⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，转化为二次函数求解；t ⎡∈⎣（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y f x =得解.【详解】（1）函数，()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++∵，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，πππsin cos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-所以，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++因为的周期是都，sin cos sin 2x x x、、π又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.()f x πT =（2）若，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，则，πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣则，2sin22sin cos 1x x x t ==-所以，()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣所以其值域为；1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．506n =()0f x =[]0,πn 当时，．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则，2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+令，得或，24950t t -+=1t =54t ⎡=∈⎣此时，或或，其中π0,2x =00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭0π2x x =-0πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当时，．π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++设，则，(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+令，249130t t --+=解得或，1t =(134t =-∉故在没有实根．()f x π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上，在上有4个零点，()0f x =[)0,π又的最小正周期为，而，()f x πT =202545061=⨯+所以函数在有2025个零点．[]0,506π21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x(1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞(3)存在，.2,Z m k m T π=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数.()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即，2T π=()y f x =[)0,∞+()()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则，3[,2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pf x P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则，3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，……，22[,2)y P P ∈当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n ny P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nPP P P P P P -≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥所以当时，，且.[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2x f x kx=⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos T kx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有，cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21TT ⋅=±当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21TT ⋅=12T T =2xy =1y x =12T T =此时恒成立，则，即，()cos cos kx kT kx+=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m T π=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21TT ⋅=-12T T =-2xy =1y x =-12TT =-所以存在，符合题意，其中满足.2,Z m k m T π=∈T 21TT ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一下学期3月月考数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分） (2017高一上·廊坊期末) 已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分）若•+||2=0，则△ABC为（）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰三角形或直角三角形
3. （2分） (2016高一下·永年期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若c=3，，且a+b=4，则△ABC的面积为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 若tanθ+ =6，则sin2θ=（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共12题；共12分)
5. （1分） (2019高一上·公主岭月考) 已知角终边上一点，则 ________.
6. （1分） (2019高三上·镇江期中) 已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为________.
7. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知角的终边上有一点P（），且，则
________．
8. （1分） (2017高一上·红桥期末) 在半径为12mm的圆上，弧长为144mm的弧所对的圆心角的弧度数为________．
9. （1分） (2019高二上·长春月考) “ ”是“ ”的________条件. （选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）
10. （1分）(2017·东城模拟) 已知△ABC三内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且，又边长b=3c，那么sinC=________．
11. （1分） (2017高一上·江苏月考) 化简： =________．
12. （1分）已知，且，则 ________.
13. （1分） (2019高一上·河东期末) 已知，则的值为________．
14. （1分）(2016·上海文) 若函数的最大值为5，则常数 ________．
15. （1分）已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值是________
16. （1分）(2018·安徽模拟) 四边形中， ,当边最短时，四边形的面积为________．
三、解答题 (共5题；共55分)
17. （10分）(2019·金山模拟) 已知△ 中，，， . 求：
（1）角的大小；
（2）△ABC中最小边的边长.
18. （10分） (2019高一下·成都月考) △ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知△ABC的面积为 .
（1）求；
（2）若，求的值．
19. （10分） (2019高一上·鹤岗期末) 已知角的终边与单位圆交于点．
（1）写出、、值；
（2）求的值．
20. （10分） (2017高一下·宜昌期末) 在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差数列．△ABC的面积为．
（1）求：ac的值；
（2）若b= ，求：a，c 的值．
21. （15分） (2016高一下·昆明期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A= ，b2﹣a2= c2 ．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共12题；共12分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、19-2、
20-1、20-2、
21-1、21-2、。