波动的基本概念 简谐波

如果传播的扰动是简谐振动，则这样的波称为简谐 波，也称作正弦波或余弦波。
一、一维平面简谐波的波函数
以横波为例， 设平面波沿 x方向以 速度 u 传播，
介质均匀、无限大，无吸收。
y ur
在 x = 0 处质点振动方程为
o
x
y(0, t )
=
A co（s ω
t＋
ϕ
）
0
X处质点的振动比O点落后： ∆t = x
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · t = 3T/4 ··· · ········ ············· t=T
§5.2 简谐波
说明Δt时间内，整个波形以u的速度
沿传播方向移动了一段距离
∆x = u∆t
y(x, t )
=
A cos[ω(t
m
x
− x0 ) u
+ ϕ0]
（4）
v
=
dy dt
=
− Aω sin(ωt
+ ϕ0
m
kx)
平衡位置在x 处的质点t 时刻的振动速度，不要 与波速u混淆。
a
=
d2
y (x,t)
dt 2
=
− Aω2
u
简谐波的波函数：
y( x, t )
=
Acos[ω（t
−
x u
）＋ϕ0
]
沿X轴反向传播时:
y(x,t)
=
A
c
o
s
[ω（
t＋
x u
）
+
ϕ
0
]
简谐波的波函数：
y(x, t ) =
A cos[ ω ( t
−
x u
)
+
ϕ
0
]
ω
(t
−
x u
)
+
ϕ0
为X处的质点在t时刻的相位。
ϕ
=
ω(t
−
x u
)
+ ϕ0
x = ut − (ϕ − ϕ 0 ) u ω
如果已知平衡位置在x0 处，初相为φ0的质点振动方程，
y = Acos(ωt + ϕ0 )
则波函数为
y(x, t )
=
A cos[ω(t
m
x
− x0 ) u
+ ϕ0]
y
=
Acos[2π ( t
T
m
x
− x0
λ
) +ϕ0]
y
=
A cos[ωt
m
2π λ
(x
−
x0
)
+ϕ0 ]
y = A cos[ωt m kx + ϕ0 ]
¾ 特征：传播时介质的密度发生变化，有疏有密。 纵波只能在有压缩和拉伸的弹性媒质中传播（固、气、液）
波的传播不是质点的传播，而是振动状态 (或相位)的传播。
三、波的几何描述
波线：表示波的传播方向的直线（或曲线)（也称波射线） 波面：媒质中振动相位相同的点组成的面称波面,
也称同相面. 波前：某时刻处在最前方的波面称波前 平面波 波面为平面
频率 ν = 1
T
角频率 ω = 2πν
波的周期和频率只与振源有关，与介质的性质无关
4.波数k: 在2π长度内所包含的完整波的个数
k = 2π λ
波速、波长、周期、频率、波数之间的关系
u= λ
T
= λν
,k =
2π λ
=ω
u
一维简谐波函数的几种常用的表示
y(x,t) = Acosω（t − x）
u= λ
2、波长λ ：
y(x,t) =
A cos[ω ( t
−
x u
)
+
ϕ
0
]
u x
∆ϕ
= ϕ2
− ϕ1
=ω
x2 − u
x1
=
2π
λ
λ
=
x2
−
x1
=
2π
u
ω
=
uT
λ称为波长：同一波线上相差为2π的质点间的距离，
波长是一个周期内简谐振动传播的距离。
它由波源和介质共同决定 波长反映了波的空间周期性
3.周期T: 波传播一个波长的时间.亦即振源振动的周期
该相位所在位置随 时间的变化关系
该相位的移动速度： d x = u （即波的传播速度） dt
可见，简谐波的波速就是振动相位的传播速度，所 以u也称为相速度，简称相速。
简谐波的传播也是介质振动位相的传播。
二、描述波的特征量
1、波速 u ：振动状态（相位）传播的速度。 它由介质的性质决定，与波源情况无关。
5-01波的
产生.exe
机械波产生的条件 波源----做机械振动的物体
弹性介质----传播机械振动的介质
弹性介质——以弹性力相联系的一群质点 。其中一 个质点在外力作用下振动，引起其他质点也相继振动.
横波：振动方向和传播方向垂直。外形上有峰有谷。 横波只能在有切变弹性的媒质中传播 （固体）
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
解:（2） T、ω、 λ、u ;
y
ur
t =0
0 12 345
x
（×0.1m）
t = 0.05s
λ = 0.4 m
u = ∆ x = 0.1 = 2 ms−1 ∆ t 0.05
T = λ = 0.4 = 0.2s
讨论：
y(x, t ) =
A cos[ ω (t
m
x
− u
x0
)
+
ϕ
0
]
（1）给定时间t ， y ∼ x 给出 t 时刻空间各点位移分布。
y 波形曲线
y(x,t) = y(x + λ,t)
0
λ
x （波具有空间的周期性）
（2）给定x ，y ∼ t 给出 x 点的振动函数。
y 振动曲线
0
T
y(x,t) = y(x,t + T )
λ2
λ
y( x,T )与y( x, 0)波形相同
t＝5T/4时，波形向X正向平移一段距离
y
t=T
∆x = u∆t = u( 5 T − T ) = 1 λ
ur
4
4
t =5T/4
x
0
λ
（2）
4
例6 r A(0,0)
（1）已知t=0时的波形图，求0点的初相
y
y
ϕ =π
t >0
ur
2
t=0 x
0
λ
2λ
（2）已知坐标原点的振动曲线，求波的初相
行波的波函数
对于某一特定时刻, 式中的y只是x的函数，它表示各 质点的位移与其空间位置的关系，表示这一关系的曲线叫 做波形曲线。
0· · · · 4· · · · 8· · · ·1·2· · · 1·6· · ·2·0· · ·2·4 t = 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t = T/4
u
T
T
=
2π
ω
y(
x,
t
)
=
A
cos
2π
(
t T
−
x
λ
)
y(
x,t
)
=
Acos( ωt
−
2π
λ
x
)
y(x,t) = Acos(ωt − kx)
说明： ωt
0
ωt − 2π
λ
x1
ωt −ϕ(x) x
沿波传播方向每增加λ 的距离，相位落后2π。
∴
x点比0点位相落后
ϕ(x) =
2π x
λ
y( x,t ) = A cos( ωt − 2 π x ) λ
t′ = x− x0 u
ϕ
=
2π λ
(x
−
x0
)
y ( x,t ) = Acosω(t m x − x0 )
u
y
( x, t )
=
A cos[ωt
m
2π λ
(x
−
x0
)]
例题1. 一平面简谐波沿X轴负向
传播,波速u=10m/s,x=0处质点的
振动曲线如图,则波函数为
(
)
y/m
2
0
1 2 3 4 t/s
yu
o x0
x
(a)
(b)
(c)
(a).
y
=
A cos[ω (t
−
x
− x0 u
)
+
ϕ0 ]
(b).
y
=
A cos[ω (t
+
x
− x0 u
)
+ ϕ0 ]
(c).
y
=
A cos[ω (t
−
x u
)
+
ϕ0 ]
例3：数组 (t = 2 , x = 1, y = −0.5)满足一维弹性纵波的 数学方程 y = 0.5cosπ (t − x)[SI。] 请说出该数组的物 理意义，并在给定的坐标中标出相关质点的实际位 置。 y
0
1
x
例4：数组 (t = 3 , x = 1, y = +0.5)满足一维弹性横波的