稳恒电流
稳恒电流与电场
J E
dU dI ds dl
dI 1 dU ds dl
电导率
电流密度与电场强度点点对应关系 四、焦耳楞次定律的微分形式: 我们熟悉的焦耳楞次定率 其微分形式是
2 2
2 U p I 2R R 2
we E
2
dl p I R j ds小 J dI 1、电流密度矢量： ds 2、电流场： 电流线：曲线的切线方向和该点 的电流密度方向一致
I
三、欧姆定律的微分形式： J E
欧姆定律
电阻
s
J ds
s
J cosds
dU dI R
dl
dI
dU
dl R ds
ds
R
r2
r1
r2 dr ln 2ra 2a r1
r2
r1
单位长度漏电阻
r2 R ln 2 r1
'
7
解、设径向漏电流为I,两导体间任意点的电流密度
I J 2ra
而
J E
I E 2ra
内外导体之间的电位差
U
r2
r1
r2 I Edr ln 2a r1
r2 U R ln I 2a r1
r2 R ln 2 r1
'
8
稳恒电流 与电场
1
稳恒电流与电场
一、稳恒电流与稳恒电场形成电流的条件：
1、电流：电荷有规则移动形成电流 2、形成电流的条件：有可以自由移动的电荷； 存在电场。 3、电流强度： 电流的方向：本身是标量， 规定正电荷流动的方向为正 电流强度的大小： I 单位：安培
dq dt
高中物理：稳恒电流
I
一段不闭合电路
q (t)
E (t)
I FK
I (t)
要维持稳恒电流， 电路必须闭合。 而 E d l 0
L
+
必须有非静电力 FK 存在， 才
R
能在闭合电路中形成稳恒电流。
+q
Ii 0
i
i =1, 2,
— 基尔霍夫第一定律 （Kirchhoff first law）
规定从节点流出： I > 0 ，流入节点：I < 0 。 由基尔霍夫
第一定律可知
二端 网络 电路I
稳恒情况 必有 I = 0 I入 I出 电路II
稳恒情况必 有 I入 = I出
7
§6.4 电动势、温差电现象
（图示）
2
大块导体
定义：电流密度
I
dI Pபைடு நூலகம்
ev
v
j
dS
dI j ev d S
ev
dI 大小： j j d S d 对任意小面元 d S ， I j d S j d S
dI
P 处正电荷定向移动 速度方向上的单位矢量
方向 // v
j
j nqv
I
v q定向移动速度
7.4 10 mm/s
2
对Cu：j 1 A/mm 2 时， v
∵电流有热效应，故应限制 j 的大小： 例如对Cu导线要求： j 6 A/mm 2 （粗）
j 15 A/mm （细）
2
对于超导导线，
稳恒电流知识介绍
非静电力场强 二.电动势
EK
FK q
把单位正电荷经电源内部由负极移向正极
过程中 非静电力所作的功
EK dl EK dl
L
第三章 稳恒电流 steady current(自学)
从场的角度认识 内容要点 §1 电流和电流密度 一.电流强度 大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量
I dq dt
方向：正电荷运动的方向 单位：安培
二.电流密度 current density
1.电流密度 J dI dS
dI
ds
ds
导体中某点的电流密度，数值上等于和该点正电荷定 性移动方向垂直的单位面积上的电流强度。
稳恒电场对运动电荷作功 稳恒电场的存在 总伴随着能量的转移
§3 欧姆定律的微分形式
导体中任一点电流密度的方向(正电荷运动的
方向)和该点场强方向相同
有关系式
J E
§4 电动势 electromotive force (emf)
一.电源及电源的作用 source of emf
非静电力 non-electrostatic force
对于稳恒电路 导体内存在电场 稳恒电场 由不随时间改变的电荷分布产生
2.和静电场比较
相同之处
电场不随时间改变
满足高斯定理 满足环路定理 是保守场
可引入电势概念
LE dl 0
回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
在稳恒电路中 沿任何闭合回路一周的电势 降落的代数和等于零
不同之处
产生稳恒电流的电荷是运动的电荷 电荷 分布不随时间改变
方向：该点正电荷定向移动的方向。
2.电流密度和电流强度的关系
I SJ ds
dI Jds J ds
大学物理稳恒电流 电流密度
大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。 方向：正电荷运动的方向。
I dq dt
单位：A
二、电流密度
电流强度对电流的描述比较粗糙：
对于横截面不相等的导体， I 不能反映不同截面处及同 一截面不同位置处电流流动的情况。
电流密度矢量—描写空间各点电流大小和方向的 物理量。
方向：该点正电荷定向运动的方向。
第11章 真空中的稳恒磁场
1、静止电荷周围存在电场，电场对处于其中的电荷施加 电场力。 2、当电荷运动时，它周围不仅有电场，还有磁场。 3、磁场对运动电荷施加作用力，对静止电荷毫无影响。
学习提示：
稳恒磁场与静电场的性质完全不同，但在研究方法 上有许多类似之处，学习过程中注意与静电场进行对 比。
§11-1 稳恒电流 电流密度 一、电流强度
大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积
上的电流强度。
dS
n
j
j
dI dS
dI
dS cos
单位：A/㎡
三、电流密度和电流强度的关系 (1)通过面元dS的电流强度
dI jds cos
(2)通过电流场中任一面积S的电流强度
四、稳恒电流
定义：电流强度I等于常量，这种
电流叫做稳恒电流。
特点：通过导线中任意两个横截面
1.电流（现象）
电流—带电粒子的定向运动。 载流子—电子、质子、离子、空穴。 电流形成条件(导体内)： (1)导体内有可以自由运动的电荷； (2)导体内要维持一个电场。 (导体内有电荷运动说明导体内肯定有电场，这和静电 平衡时导体内场强为零情况不同。)
2.电流强度
电流的大小强弱，通过 电流强度来度量
的电流强度相等
I1 I2
稳恒电流
b
[例]计算如图电路中的 I 和电源1的端电压 已知 1 20 V ， 2 15 V R1 R2 2 ，r1 r2 0.5
1 2 解：I R1 R2 r1 r2
20 15 1A 2 2 0.5 0.5
I
r R1 1 r2 R2 2
E dl
含源电路：
b j b b Vab E dl dl Ek dl a a a
c
j ( E Ek )
1 2 I a R r c r R2 1 1 2
b
b I ( R1 R2 r1 r2 ) Ek dl Ek dl
磁力与q、v、 v与磁场方向的夹角 有关，
F qv sin
定义：
B
F qv sin
或
----磁感应强度大小
B 沿 Fmax v 方向 叠加原理 B Bi
i
Fmax B 特斯拉(T) qv
1T = 10 Gs
高斯
4
三.磁感应线(磁场线、B 线 ) B 线切向----磁场方向 B 的大小 dN
----电源内电势升高的方向
若非静电力存在于整个电流回路，
说明：
L
EK dl
----非静电场是非保守性场 电动势和电势是两个不同的物理量
电动势：与非静电力的功相联系 电势：与静电力的功相联系
三. 欧姆定律 1. 欧姆定律的微分形式
dI jdS dl dl R dS 1 dV dV jdS dS R dl
标量
静电场和稳恒电流的相关知识
静电场和稳恒电流的相关知识1. 静电场1.1 定义静电场是指在空间中某点由于静止电荷产生的电场。
静电场的基本特性是对放入其中的电荷有力的作用。
1.2 静电场的基本方程静电场的基本方程为高斯定律，它描述了静电场与静止电荷之间的关系。
高斯定律表明，通过任何闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的净电荷成正比。
1.3 电场强度电场强度是描述静电场强度的物理量，定义为单位正电荷在电场中所受到的力。
电场强度的方向与正电荷所受力的方向相同，大小与电荷所受力的大小成正比。
1.4 电势电势是描述静电场能量状态的物理量，定义为单位正电荷在电场中的势能。
电势的大小与电场中的位置有关，其方向从高电势指向低电势。
1.5 静电场的能量静电场的能量是指静止电荷在静电场中的势能总和。
静电场的能量与电荷的分布和电势有关。
2. 稳恒电流2.1 定义稳恒电流是指在电路中电流的大小和方向不随时间变化的电流。
稳恒电流的形成条件是电路中的电压源和电阻保持不变。
2.2 欧姆定律欧姆定律是描述稳恒电流与电压、电阻之间关系的定律。
欧姆定律表明，在稳恒电流条件下，电流的大小与电压成正比，与电阻成反比。
2.3 电阻电阻是描述电路对电流阻碍作用的物理量。
电阻的大小与材料的种类、形状和温度有关。
2.4 电路的基本元件电路的基本元件包括电源、导线、电阻、电容和电感。
这些元件共同决定了电路中的电流、电压和能量传输。
2.5 稳恒电流的计算稳恒电流的计算可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律进行。
基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律，用于描述电路中电流和电压的分布。
3. 静电场和稳恒电流的关系3.1 静电场的产生静电场的产生是由于电荷的分布和运动。
当电荷静止时，产生的电场为静电场；当电荷运动时，产生的电场为磁场。
3.2 稳恒电流的磁场稳恒电流在空间中产生的磁场为圆形磁场，其大小与电流的大小和距离有关。
稳恒电流的磁场与静电场无关。
3.3 静电场和稳恒电流的相互作用静电场和稳恒电流之间存在相互作用。
稳恒电流
3. 稳恒电场与静电场比较
①共同点
它们的电荷分布都不随时间而变化，所 以具有静电场的性质，高斯定理和安培环路 定理均成立适用。 ②异同点
静电场中，导体最终要达到静电平衡， 内部场强为零，没有电流。 稳恒电场是凭借外界作用建立起来的， 导体内场强不为零，以形成稳恒电流。
二、电流强度和电流密度矢量
1. 电流强度 I（描述电流的大小强弱） ①定义： lim q dq
t 0
t
dt
单位： 库仑
秒
安培 ()
毫安(m)、微安( ) 常用单位：
1 10 m 10
3 6
②物理意义： 电流强度是标量，它表示单 位时间内通过导体内某一截面的 电量多少。它反映的是截面的整 体情况，不能反映出导体中各点 的电荷运动情况。
4. 电流的连续性方程
根据电荷守恒，单位时间内穿入、穿出 闭合曲面的电流等于该曲面内电量变化速率 的负值： q I in I out j t 有
S
dq j dS dt
S
上式称为电流连续性方程。它表明电流 密度矢量的通量等于该面内电荷减少的速率. 电流稳恒条件
I
2. 电流密度矢量 j
①引入 在粗细不均匀，材料也不均匀的 导线中，或在大块导体中，每一点的 电流方向不一样。这时电流强度这一 物理量就显得不太方便。有必要引入 一新的、方便的物理量。
②定义：
d j n0 dS
I
S
S
单位：
ห้องสมุดไป่ตู้
m2
S
大小： 通过这点垂直于电流方向的单 位面积的电流强度。
方向：n0 为该点电流方向，即场强方
向的单位矢.
稳恒电流
的分布密切相关。
设想在导体的电流场内取一小电流管，设其长度为 l ，垂直截 面为
S
U
R
。把欧姆定律用于这段电流管，则有
I
R
l S
I
1 U S l
j E / E
I 1 U S l
这就是电流密度的欧姆定律。称它为欧姆定律的微分形式。
+
–
静电力欲使正电荷 从高电位到低电位。 非静电力欲使正电 荷从低电位到高电 位。
▲ ▲
▲
3、电源的表示法
电势高的地方为正极， 电势低的地方为负极。
4、电流流向 电源内部电流从负极 板到正极板叫内电路 电源外部电流从正极 板到负极板叫外电路 5、ε、K 的引入
+
–
+ * 正极
_ ri
°
负极
电源
连续性方程积分形式 式中负号表示“减少”。
左侧：单位时间内由S 面流出的电量； 右侧：单位时间内 V 中电量的减少量。
dq 当 0时 , 有 j dS 0 ，则流入S面内电荷量多于流出量。 S dt dq 当 0时 , 有 j dS 0 ，则流出S面内电荷量多于流入量。 S dt
■
用电流强度描述导体中电荷的宏观流动太“粗糙”。
（1）不能描述电流沿截面的分布情况；
（2）不能描述电流的方向，即正电荷移动的方向。
■ 为了描述导体中各点电流的大小和方向，人们引入一个更
“精细”的物理量——电流密度。
5、电流密度定义：
电流密度矢量：单位时间内通过垂 直与电流方向单位面积的电量为导 体中某点电流密度矢量 j 的大小， dq dI j 的方向与正电荷在该点漂移运 j n0 n0 dS dt dS cos 动的方向相同， ■ 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。 ■ 类似静电场，对电流场也可以通过引入“电流线”来进行形 象描述。电流线即电流所在空间的一组曲线，其上任一点 的切线方向和该点的电流密度方向一致。一束这样的电流 线围成的管状区域称为电流管。 6、电流强度和电流密度矢量关系
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第二讲：稳恒电流
考纲：
欧姆定律电阻率和温度的关系
电功和电功率
电阻的串、并联
电动势闭合电路的欧姆定律
一段含源电路的欧姆定律※基尔霍夫定律
电流表电压表欧姆表
惠斯通电桥
补偿电路
第一部分：相关物理量的计算
一、电阻的计算
例1．在00C下，两根长、粗相同的均匀导线1和2。
导线2的电阻率比导线1的电阻率大，是它的k倍，它们的电阻率温度系数分别为α1和α2。
求由这两根导线串联、并联后组成的部分电路的电阻率温度系数。
例2．半径分别为a、b（a<b）的两个同心金属球面中间填充了电导率为σ、介电常数为ε的均匀介质。
以这两个金属球面为两极，试求两极间的电阻，并讨论b时的情况；
∞
→
例3．半径分别为a、b，长为L（a<b<<L）的两薄壁金属圆筒同轴放置，其间充以电阻率为ρ的均匀介质。
内、外圆筒间加电压U。
忽略边缘效应。
求流经内、外圆筒的电流强度I；
二、电流（或电流密度）的计算
例4．半径为R的薄壁球形导体，球心在O点，球面上有A、B和C，三条半径OA、OB和OC相互垂直。
球面上A、B两点有细导线，并由这两根细导线接至电源。
已知通过电源的电流为I0进入球面A点，再由球面B点流出，如图所示。
求C处的电流密度（在球面上垂直于电流方向单位长度上流过的电流）。
例5．在一块很大的电阻材料的水平面上，竖直地、并排插四根金属针，相邻针间距离均为d，针与表面接触良好。
外边两针接电源，中间两针接电压表，如图所示。
设流过电源的电流为I，电压表示数为U，求材料的电阻率ρ。
三、欧姆定律和焦耳定律的应用
例7．气体放电管在通过被激放电情况下，流经的电流强度I与两极间的电压U 存在非线性关系，因而它是一个非线性元件。
为了简化，把气体放电管中流经的电流强度I与管子两极间的电压U视为存在图中所示的理想化关系。
现在将这个气体放电管与一阻值为R=107Ω的电阻器串联，接到充电至U C0=300V、电容为C=10-3F的电容器上。
求在电容器完全放电时间内气体放电管释放的热量。
例8．半径分别为a、b，长为L（a<b<<L）的两薄壁金属圆筒同轴放置，其间充以电阻率为ρ的均匀介质。
内、外圆筒间加电压U。
忽略边缘效应。
（1）求流经内、外圆筒的电流强度I；
（2）若圆筒的轴线方向加上磁感应强度大小为B的匀强磁场，求此时流经内、外圆筒的电流强度I’。
设介质相对磁导率为1，载流子带电量为e，载流子数密度为n。
忽略电流自身产生的磁场。
提示：电介质相对介电常数为1时，不产生极化电荷。
与此相应，磁介质相对磁导率为1时，不产生磁化电流。
四、简单电路中的相关计算
例9．如图所示的电路中，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6…=R98=10Ω，R100=5Ω，电源电动势ε=10V，内阻不计。
（1）求R2上的电功率；
（2）试找出各电阻上电功率分配的规律。
例10．滑线变阻器用来限流和分压，其原理电路分别如图a和b所示。
已知电源端电压为U（不计内阻），负载电阻为R0，滑线变阻器的全电阻为R，总匝数为N，A、C端的电阻为R AC。
（1）在图a中，当移动端C滑动时，电流I的最小改变量为多少？设变阻器每匝阻值<<R。
（2）在图a中，为使在整个调节范围内电流I的最小改变量不大于电流I的0.1%，滑线变阻器的匝数N不得小于多少匝？
（3）在图b中，滑线变阻器的额定电流不得小于多少？
（4）在图b中，设R0>>R，证明：负载端电压与R AC有简单的正比关系。
第二部分：复杂电路的分析与计算
一．一段含源电路的欧姆定律
例1、一电路如图所示，已知R1=R2=R3=R4=2Ω，R5=3Ω，ε1＝12V，ε2＝8V ，ε3＝9V ，r1= r2= r3=1Ω，求U ab、U cd。
二．基尔霍夫定律
三．电桥及其平衡
例3．如图所示为一桥式电路，其中检流计的内阻为Rg，此电路的A、C两点接上电动势为E（内阻忽略）的电源。
试求检流计G中流过的电流Ig。
例4．正四面体ABCD，每条边长的电阻均为R，取一条边的两个顶点，如图中A、B，问整个四面体的等效电阻R AB为多少？
四．等势点的断开与短接
例5．（波兰全国中学生物理奥赛题）如图所示电路中，每个小方格每边长上的电阻值均为R，试求A、B间的等效电阻。
例6．如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架，试求AC间的电阻R AC、AB间的电阻R AB与AG间的电阻R AG。
例7. 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻。
例8．三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中A、B两点间的等效电阻R AB。
例9．如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流。
例10．田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R，试求网络中A、B两点间的等效电阻R AB。
例11．有无限多根水平和竖直放置的电阻丝，交叉处都相连，构成无限多个小正方形，如图所示。
已知每个小正方形边长的电阻值均为R。
试求：（1）图中A、B两点的等效电阻；（2）若A、B间电阻丝的电阻为r(r不等于R)，其余各段仍为R，再求A、B两点间的等效电阻。
例12．有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。
所有六边形每边的电阻为R，求：
（1）结点a、c间的电阻；
（2）结点a、b间的电阻。
例13．如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB 间的电阻R AB。
例14．如图所示，每个电阻的阻值都为R，求A、B两点间的总电阻。
六．Y-Δ等效变换
例15．如图所示的有阻金属丝网络中，每一段金属丝的电阻值均为r，试求MF 两点间的等效电阻。
七、谢尔宾斯基镂垫
例16．波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形。
他将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图3的图形。
经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫。
它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形。
如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空。
数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学”的新学科。
近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展。
我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长l0的电阻均为r；经一次分割得到如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4
所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一．
⑴试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。
⑵试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。