工程制图第一章 平面的投影
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清华大学工程制图课件02.平面的投影
10
3） 一般位置平面
b c a a b c
投影特性：
三个投影都是空间 图形的类似形。
b
a c
11
归纳
平面的投影特性： 投影面垂直面 一个投影积聚成直线（∠投影轴）
两个投影为类似形
投影面平行面
两个投影积聚成直线（ ∥ 投影轴）
一个为实形 一般位置平面 三个投影都为类似形
12
3.平面上的直线和点 1）平面上的直线 判断直线在 平面内的方法
* 12. 过点C作一线段MN与直线 AB 和 OX 轴都相交。
大多数同学：
作图不规范，特别是线条没有粗细之分！
王辉,
李兆基科技大楼A925室 18911028644 wanghuisx@
（一）平面的投影
平面的投影特性 平面上的直线和点
（二）直线与平面及两平面的相对位置
求交问题的本质是求共有点 几何元素相对 投影面的位置
均不具 有积聚 性投影 一般位置的相交问题 至少其一 具有积聚 性投影 特殊位置的相交问题
26
特殊位置的相交问题 例：求直线与平面的交点K
b k ● m c c n
• 分析
• 作图 ① 求交点 ② 判别可见性
a
K ●
m
a
b k
n
27
b
c a b d d
n c
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离 为10mm。
a
m 10 b b m a
n c
c n
15
2） 平面上的点
几何定理：若点在平面内，则该点必属于平面内一直线。
面上取点的方法：
面上取线，线上定点 例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 ② b d k ● ① c k● a b c
3） 一般位置平面
b c a a b c
投影特性：
三个投影都是空间 图形的类似形。
b
a c
11
归纳
平面的投影特性： 投影面垂直面 一个投影积聚成直线（∠投影轴）
两个投影为类似形
投影面平行面
两个投影积聚成直线（ ∥ 投影轴）
一个为实形 一般位置平面 三个投影都为类似形
12
3.平面上的直线和点 1）平面上的直线 判断直线在 平面内的方法
* 12. 过点C作一线段MN与直线 AB 和 OX 轴都相交。
大多数同学：
作图不规范，特别是线条没有粗细之分！
王辉,
李兆基科技大楼A925室 18911028644 wanghuisx@
（一）平面的投影
平面的投影特性 平面上的直线和点
（二）直线与平面及两平面的相对位置
求交问题的本质是求共有点 几何元素相对 投影面的位置
均不具 有积聚 性投影 一般位置的相交问题 至少其一 具有积聚 性投影 特殊位置的相交问题
26
特殊位置的相交问题 例：求直线与平面的交点K
b k ● m c c n
• 分析
• 作图 ① 求交点 ② 判别可见性
a
K ●
m
a
b k
n
27
b
c a b d d
n c
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离 为10mm。
a
m 10 b b m a
n c
c n
15
2） 平面上的点
几何定理：若点在平面内，则该点必属于平面内一直线。
面上取点的方法：
面上取线，线上定点 例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 ② b d k ● ① c k● a b c
土木工程制图讲义点线面投影篇1
二，点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
（简称正面或V面）
◆水平投影面(horizontal projection
plane) （简称水平面或H面）
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
b
YH
OZ轴相交于bz，延长后量
取b" bz=15，得点b"。
特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点
1A. 点点在的一空个间坐向标后为移零动y，=0 2其. 点投的影该有面何投变影化与其？本身
重合 A a 3. 另两个a、a在投影轴上
V a当当●≡VVAAA面面点点上上移移YY动动==00到到
Z
a
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
a
●
●
X
Y
O
a●
A a ●
Y a Z
●
X
a
●
≡
ax
°b' O
H
°b≡ B
X a●
O
（2）在投影轴上的点
1. 点的两坐标为零 y=0 ；z=0
a ●
●a
2. 两个投影与轴重合 A a a
3. 另一个投影 a 在原点上
a点向下移动到OX 轴上，反映点的空间
位置有何变化？
Z=0；Y=0；A点 在投影轴上。
Z
V
a'
az
b'
建筑工程制图与识图第一章投影基本知识2
B
直线上的点具有两个 特性： 1、从属性 若点在直 线上，则点的各个投影 必在直线的各同面投影 上。
利用这一特性可以在 直线上找点，或判断已 知点是否在直线上。
山东英才建筑工程学院
2.4.2 直线上点的投影
b c C X a c b c O A a
B
2、定比性 属于线段 上的点分割线段之比等 于其投影之比。即 AC/CB = ac/cb = ac/cb = ac/cb 利用这一特性，在 不作侧面投影的情况下， 可以在直线上找点或判 断已知点是否在直线上。
X O
a
YW
A X
a
b
Y
a
b YH
投影特性： 1) a b = AB 2) ab OX ; a b OZ 3) 反映、角的真实大小
山东英才建筑工程学院
（3）侧平线
Z a A b X a b a b X a Z a
b
O
O
a
YW
b
B Y
投影特性： 1) ab = AB 2) ab OZ ; ab OYH 3) 反映 、 角的真实大小
YH
山东英才建筑工程学院
（3）侧垂线
Z Z a ab A X O B X O YW b ab
a
b
a
b
Y
a
b
YH
投影特性：1) ab 积聚 成一点 2) ab OYH ; ab OZ 3) ab = ab =AB
山东英才建筑工程学院
3、一般位置直线 ——与三个投影面都倾斜的直线。
山东英才建筑工程学院
例1-7在直线AB上求做一点C，使 AC:CB=2:3。
b’ c’ a’
工程制图知识点
第一章(投影和视图）§ 1—2 正投影的基本性质1。
积聚性2. 真实性3。
类似性4。
平行性单面投影:点不定位，体不定形。
三视图间的投影规律主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等第三章(线面关系)一、直线与平面平行几何条件：1。
若直线平行于平面上任意直线,则线、面平行。
2。
若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内作一直线平行于已知直线。
二、两平面互相平行几何条件：两平面内各有一对相交直线分别对应平行.三、直线与平面相交交点的性质：1. 是直线与平面的公有点；2。
是可见与不可见的分界点。
从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到交点的一个投影，再根据从属关系求出交点的另一个投影.当直线垂直于特殊位置平面时,平面的积聚性投影垂直于直线的同面投影.四、平面与平面相交1. 交线是两平面的公有线。
(凡两平面的公有点都在交线上)2. 交线的投影是直线，可由其上两个（公有)点的投影确定.3。
求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）。
实际交线应在两平面投影的公共范围之内。
两特殊位置平面互相垂直时，它们具有积聚性的同面投影互相垂直.当两特殊位置平面相互平行时，它们具有积聚性的同面投影互相平行.第四章（换面法）一、新投影面的选择原则1。
新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置.(平行于新的投影面、垂直于新的投影面)2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系.二、新旧投影之间的关系一般规律：1）点的新投影和保留旧投影的连线垂直于新轴.2）点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的距离.三、作图规律：由点的不变投影向新投影轴作垂线,并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
四、换面法的六个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线2。
将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用：一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。
《平面的投影》课件
平面的投影
这份PPT课件将帮助您全面了解平面的投影，包括它的定义、分类、特点、 投影方法、应用场景和错误类型等内容。
什么是投影？
投影的定义
投影是指由于光线或任何其他射线在遇到物体 后向另一个表面传导所形成的图形。
常见的投影方式
包括平面投影、立体投影、透视投影、等角投 影等。这里我们重点介绍平面投影。
投影中的错误
1
投影中常见的错误
包括形状、尺寸、位置、比例和方向等方面，容易导致误解或产生错误的结果。
2
如何避免投影中的错误
遵循标准规范，加强沟通和理解，注重细节，确保投影结果准确无误。
结语
总结
本课程介绍了平面投影的定义、分类、特点、投影 方法、应用场景和错误类型。了解平面投影对提高 工作效率和准确性十分必要。
学习平面投影重要性
针对工程制图、建筑设计和工业生产等行业，掌握 平面投影技术可以提高工作效率和准确性，具有十 分重要的价值。
3 正交投影的应用举例
建筑设计、机械加工图、工程制图等领域广泛应用。
斜投影
斜投影的特点 斜投影的投影方法
斜投影的应用举例
图形投影后有较强的视觉效果，与投影方向有关。
平移图形使其重心处于投影平面上，之后向该平 面引垂线，再由垂线顶点进行投影，得到图形的 斜投影。 室内设计、漫画插画、动画制作等领域中常见。
平面的投影
பைடு நூலகம்
平面投影的定义
当一个平面被光源所照射，它在投影平面上所成的 图形称为该平面的平面投影。
平面投影的分类
包括正交投影和斜投影两种。
正交投影
1 正交投影的特点
图形投影后呈现平行四边形或矩形，与投影方向无关。
2 正交投影的投影方法
这份PPT课件将帮助您全面了解平面的投影，包括它的定义、分类、特点、 投影方法、应用场景和错误类型等内容。
什么是投影？
投影的定义
投影是指由于光线或任何其他射线在遇到物体 后向另一个表面传导所形成的图形。
常见的投影方式
包括平面投影、立体投影、透视投影、等角投 影等。这里我们重点介绍平面投影。
投影中的错误
1
投影中常见的错误
包括形状、尺寸、位置、比例和方向等方面，容易导致误解或产生错误的结果。
2
如何避免投影中的错误
遵循标准规范，加强沟通和理解，注重细节，确保投影结果准确无误。
结语
总结
本课程介绍了平面投影的定义、分类、特点、投影 方法、应用场景和错误类型。了解平面投影对提高 工作效率和准确性十分必要。
学习平面投影重要性
针对工程制图、建筑设计和工业生产等行业，掌握 平面投影技术可以提高工作效率和准确性，具有十 分重要的价值。
3 正交投影的应用举例
建筑设计、机械加工图、工程制图等领域广泛应用。
斜投影
斜投影的特点 斜投影的投影方法
斜投影的应用举例
图形投影后有较强的视觉效果，与投影方向有关。
平移图形使其重心处于投影平面上，之后向该平 面引垂线，再由垂线顶点进行投影，得到图形的 斜投影。 室内设计、漫画插画、动画制作等领域中常见。
平面的投影
பைடு நூலகம்
平面投影的定义
当一个平面被光源所照射，它在投影平面上所成的 图形称为该平面的平面投影。
平面投影的分类
包括正交投影和斜投影两种。
正交投影
1 正交投影的特点
图形投影后呈现平行四边形或矩形，与投影方向无关。
2 正交投影的投影方法
工程制图第一章 点的投影
第一章 点、直线和平面的投影
§1.1 点的投影
§1.2 直线的投影 §1.3 平面的投影
§1.4 直线与平面、平面与平面的相对位置
§1.5 换面法
本章要求
1. 重点掌握点、直线和平面在三投影面体系中的
投影规律及其作图方法和步骤；
2. 根据点、直线和平面的多面投影想象他们的三 维空间的位置； 3. 培养空间想象和分析能力。
点A的水平投影 ——a 点A的正面投影 ——a 点A的侧面投影 ——a
3.三投影面体系中点的投影规律
1. aa X轴，aaz =aay =Aa =XA 2. aaZ轴，aax =aay =Aa =ZA 3. aax=aaz =Aa =YA
[例题1]
已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
般注 不： 画因 出为 平平 面面 边是 框无 。限 大 的 ， 所 以 一
4.点的直角坐标与三面投影的关系
V Z a az
y
X ax
A
z a
x O
a W
ay Y
1. aaz =aay =Aa =xA 2. aax =aaz =Aa =yA 3. aax =aay =Aa=zA
投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点
Bb
二、特殊点的投影
V b a X b a H c c
O
a
b
Cc c
Aa
[例题2]
已知点A的坐标（10,15,20)，求点A的投影。 Z a
20
10
X
O
YW
15
a
YH
三、 两点的相对位置
空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。
a
a
a' b' a''
§1.1 点的投影
§1.2 直线的投影 §1.3 平面的投影
§1.4 直线与平面、平面与平面的相对位置
§1.5 换面法
本章要求
1. 重点掌握点、直线和平面在三投影面体系中的
投影规律及其作图方法和步骤；
2. 根据点、直线和平面的多面投影想象他们的三 维空间的位置； 3. 培养空间想象和分析能力。
点A的水平投影 ——a 点A的正面投影 ——a 点A的侧面投影 ——a
3.三投影面体系中点的投影规律
1. aa X轴，aaz =aay =Aa =XA 2. aaZ轴，aax =aay =Aa =ZA 3. aax=aaz =Aa =YA
[例题1]
已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
般注 不： 画因 出为 平平 面面 边是 框无 。限 大 的 ， 所 以 一
4.点的直角坐标与三面投影的关系
V Z a az
y
X ax
A
z a
x O
a W
ay Y
1. aaz =aay =Aa =xA 2. aax =aaz =Aa =yA 3. aax =aay =Aa=zA
投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点
Bb
二、特殊点的投影
V b a X b a H c c
O
a
b
Cc c
Aa
[例题2]
已知点A的坐标（10,15,20)，求点A的投影。 Z a
20
10
X
O
YW
15
a
YH
三、 两点的相对位置
空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。
a
a
a' b' a''
大学工程制图 第一章(4-5讲)
V c' C b1' A X1 bB c a' b' X
c1 ' V1 a1'
a H
V/H 体系变为V1/H 体系
新投影面必须满足下列两条原则：
① 新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。 ② 必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。
二、点的换面规律
V V1 a1
a A
一般位置平面既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质
b'
b' c'
z b"
c'
b" a' c" x O a"
c"
B
a'
yW
A
a 投影特性：
C
b
a" c a c yH
b
(1) 一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。 (2) 其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。
一、平面的投影特性——空间平面
z p' p' p"
P
p"
x
O
yW
p
p
yH
投影特性：(1) V面投影p'反映P的实形
(2) H、W面投影积聚成直线 (3) p∥Ox； p"∥Oz
一、平面的投影特性
2）水平面：只平行于H面，垂直于V面和W面的平面
p' z p' p" x p p yH O yW
p"
P
投影特性：(1) H面投影p反映P的实形
a1
X
A
a H
V X H
a
二、点的换面规律
c1 ' V1 a1'
a H
V/H 体系变为V1/H 体系
新投影面必须满足下列两条原则：
① 新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。 ② 必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。
二、点的换面规律
V V1 a1
a A
一般位置平面既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质
b'
b' c'
z b"
c'
b" a' c" x O a"
c"
B
a'
yW
A
a 投影特性：
C
b
a" c a c yH
b
(1) 一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。 (2) 其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。
一、平面的投影特性——空间平面
z p' p' p"
P
p"
x
O
yW
p
p
yH
投影特性：(1) V面投影p'反映P的实形
(2) H、W面投影积聚成直线 (3) p∥Ox； p"∥Oz
一、平面的投影特性
2）水平面：只平行于H面，垂直于V面和W面的平面
p' z p' p" x p p yH O yW
p"
P
投影特性：(1) H面投影p反映P的实形
a1
X
A
a H
V X H
a
二、点的换面规律
工程制图1-8
平面的投影一、各种位置平面的投影在三投影面体系中，平面对投影面的相对位置可分为以下三种：投影面的垂直面、投影面的平行面和一般位置平面。
前两种称为特殊位置平面。
（一）投影面的垂直面垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面的垂直面。
垂直于H 面的平面，称为铅垂面；垂直于V面的平面，称为正垂面；垂直于W面的平面，称为侧垂面。
表2-3给出了这三种投影面垂直面的实例、立体图、投影图和投影特性。
由此可以概括出投影面垂直面的投影特性：1. 在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线（与平面在该投影面的迹线重合），该投影与投影轴的夹角，分别反映平面对另外两个投影面的真实倾角。
2. 其余两投影是与空间平面图形相类似的平面图形。
表1投影面垂直面的投影特性（二）投影面的平行面平行于某一投影面的平面，称为投影面的平行面。
平行于H面的平面，称为水平面；平行于V面的平面，称为正平面；平行于W面的平面，称为侧平面。
表2给出了这三种投影面平行面的实例、立体图、投影图和投影特性。
由此可以概括出投影面的平行面的投影特性：1.平面在所平行的投影面上的投影反映实形。
2.平面在另外两投影面上的投影均积聚成一直线，且平行于相应的投影轴（与该平面的相应迹线重合）。
表2投影面平行面的投影特性（三）一般位置平面如图1所示，一般位置平面ABC对各个投影面都处于倾斜的位置，所以各个投影都不会积聚成直线，也不反映出实形以及平面对投影面倾斜角度的真实大小，各个投影都是空间原图形的类似形。
[例1] 如图2所示，过点A作一正垂面，使其与H面成30°。
解：根据正垂面的投影特性，正垂面的正面投影积聚成一直线，该直线与OX轴的夹角为30°,先作正面投影，再作水平投影（用△ABC表示），如图2b所示。
(a) (b) (c)图1 一般位置平面(a) (b)图2 过点A的正垂面[例2] 如图3a所示，己知水平面ABC距H面距离为10mm，其水平投影为abc，求其正面投影。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
画法几何及工程制图-电子教案
ab
X
O
YW
a
b
Y
投影特性： 1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
一般位置直线
Z b B a X A a b X b a O b YW
b
Z
a
O
b
a Y a
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
YH
1.3.3 直线上的点
b
c
C X a A 直线上的点具有两个特性： a
B
O c b c
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判 断已知点是否在侧平线上。
5. V
特殊位置点的投影 Bb a
b Cc c
Aa H
X b
O
a
X b a
c c
O
投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
1.2.3 两点的相对位置和重影点
1.两点的相对位置
2.重影点
1. 两点的相对位置
Z
Z a b a b b X
a b O
a
A
X b a B O
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用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上 的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行 二直线；任意平面图形。
用几何元素表示平面
b a a b a c a a b c c b a a b c c
c
d
b
b
c
c
a
b d
平面的投影过程
平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点 组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。 V
§1.3 平面的投影
基本要求 平面的投影表示法 各种位置平面的投影特性
平面上的点和直线
基本要求
1. 掌握平面的几何元素表示法。 2. 熟练掌握各种位置平面的投影特性和作图方 法，由已知平面的两个投影求第三投影 3. 掌握平面内点和直线的几何条件和作图方法
4. 掌握平面内的投影面平行线
一、平面的投影表示法
m'
r'
e'
n'
15
s'
n
10
r
e m
s
本节结束
1.投影面垂直面
b QV a c A B
（2）正垂面
b' a' c' a" c" a c b"
Q
C
投影特性: b (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
1.投影面垂直面
S B SW b" a'
（3）侧垂面
b' c"
b"
β
c'
b
c
a"
C A
c" a"
投影特性: a (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
2.投影面平行面
a' A b' c' B
（1）水平面
(1) 取属于平面的直线 e'
F E
f'd'Dde
f
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
(2) 取属于平面的点
e' d'
E D F
f'
d
f
e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
[例题1] 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属 于该平面。
e'
d'
不属于 e d
[例题2]
已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。
d'
d
[例题3] 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。 e'
e
[例题4] 已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC 的V投影a′b′c′，试完成其V投影 d' a' e' b'
c'
x a b e d o
2.投影面平行面
c'
B b' a' A a b C c b"
（3）侧平面
b'
a'
b" a"
c"
a"
c'
c"
a b c
投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形
3. 一般位置平面
b'
a'
b' B
b" a' c'
b" a" c"
平行于某一投影面
一般位置平面
与三个投影面都倾斜的平面
1.投影面垂直面
P a'
（1）铅垂面
b' b" a" c' c"
B
A a C PH c
a
b
b
投影特性: c (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
A b
a" C c" c b c a
a
投影特性: (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
(2) 不反映、、 的真实角度
小结 :: 各种位置平面的投影特性 小结 各种位置平面的投影特性
1. 投影面垂直面
在其垂直的投影面上的投影积聚为一线段，另 两个投影反映原形的类似形。
Z
b' B c' b"
先画出各顶点的投 影,后将各点同面 投影依次连接，即 为平面的投影。
C
a' X O
A
a
b
a"
c
c"
Y
z
b' c' a' a" b b" c"
x
a
o
yw
c
yH
二、平面对一个投影面的投影特性
b'
b' c' a' a' b c a b a c c'
平面垂直于投影面 投影积聚为一直线 积聚性
2. 投影面平行面
在其平行的投影面上的投影反映实形。另两个 投影积聚为线段，并平行于相应的投影轴。
3. 一般位置平面
三个投影都不反映实形，而是实形的类似形。
4. 特殊位置平面的迹线表示法
平面和投影面的交线，称为平面的迹线。
平面和H面的交线，称为水平迹线PH，和V面的交线， 称为正面迹线PV，和W面的交线，称为侧面迹线PW。
平面平行于投影面 投影反映平面实形 实形性
b'
c' a' b c a
平面倾斜于投影面 投影为类似图形 类似性
三、各种位置平面的投影特性
投影面垂直面
统称特殊位置平面 铅垂面（垂直于H面） 正垂面（垂直于V面） 侧垂面（垂直于W面） 垂直于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面平行面
水平面（平行于H面） 正平面（平行于V面） 侧平面（平行于W面）
c
2. 平面上的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线 例题5 例题6
属于平面的水平线和正平线
PV
P
PH
[例题5] 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正
平线，过点A作属于该平面 的水平线。
m
n'
n
m
[例题6] 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V
面10，试求点E的投影。
a b' c b"
a"
c"
b"
a"
c" b a c
C
b a
c
投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形
2.投影面平行面
b' a'
（2）正平面
b'
b"
a' a" c"
B A
b"
a" c'
c'
C c b a
c"
c
b
a
投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形
如下图，用迹线表示了投影面平行面和投影面垂 直面。
四、 平面上的点和直线
1. 平面上的点和直线
2. 平面上的投影面平行线
1. 平面上的点和直线
(1)平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两 点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 (2)平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直 线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面 内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图， 可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平 面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形 的投影。
用几何元素表示平面
b a a b a c a a b c c b a a b c c
c
d
b
b
c
c
a
b d
平面的投影过程
平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点 组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。 V
§1.3 平面的投影
基本要求 平面的投影表示法 各种位置平面的投影特性
平面上的点和直线
基本要求
1. 掌握平面的几何元素表示法。 2. 熟练掌握各种位置平面的投影特性和作图方 法，由已知平面的两个投影求第三投影 3. 掌握平面内点和直线的几何条件和作图方法
4. 掌握平面内的投影面平行线
一、平面的投影表示法
m'
r'
e'
n'
15
s'
n
10
r
e m
s
本节结束
1.投影面垂直面
b QV a c A B
（2）正垂面
b' a' c' a" c" a c b"
Q
C
投影特性: b (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
1.投影面垂直面
S B SW b" a'
（3）侧垂面
b' c"
b"
β
c'
b
c
a"
C A
c" a"
投影特性: a (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
2.投影面平行面
a' A b' c' B
（1）水平面
(1) 取属于平面的直线 e'
F E
f'd'Dde
f
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
(2) 取属于平面的点
e' d'
E D F
f'
d
f
e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
[例题1] 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属 于该平面。
e'
d'
不属于 e d
[例题2]
已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。
d'
d
[例题3] 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。 e'
e
[例题4] 已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC 的V投影a′b′c′，试完成其V投影 d' a' e' b'
c'
x a b e d o
2.投影面平行面
c'
B b' a' A a b C c b"
（3）侧平面
b'
a'
b" a"
c"
a"
c'
c"
a b c
投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形
3. 一般位置平面
b'
a'
b' B
b" a' c'
b" a" c"
平行于某一投影面
一般位置平面
与三个投影面都倾斜的平面
1.投影面垂直面
P a'
（1）铅垂面
b' b" a" c' c"
B
A a C PH c
a
b
b
投影特性: c (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
A b
a" C c" c b c a
a
投影特性: (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
(2) 不反映、、 的真实角度
小结 :: 各种位置平面的投影特性 小结 各种位置平面的投影特性
1. 投影面垂直面
在其垂直的投影面上的投影积聚为一线段，另 两个投影反映原形的类似形。
Z
b' B c' b"
先画出各顶点的投 影,后将各点同面 投影依次连接，即 为平面的投影。
C
a' X O
A
a
b
a"
c
c"
Y
z
b' c' a' a" b b" c"
x
a
o
yw
c
yH
二、平面对一个投影面的投影特性
b'
b' c' a' a' b c a b a c c'
平面垂直于投影面 投影积聚为一直线 积聚性
2. 投影面平行面
在其平行的投影面上的投影反映实形。另两个 投影积聚为线段，并平行于相应的投影轴。
3. 一般位置平面
三个投影都不反映实形，而是实形的类似形。
4. 特殊位置平面的迹线表示法
平面和投影面的交线，称为平面的迹线。
平面和H面的交线，称为水平迹线PH，和V面的交线， 称为正面迹线PV，和W面的交线，称为侧面迹线PW。
平面平行于投影面 投影反映平面实形 实形性
b'
c' a' b c a
平面倾斜于投影面 投影为类似图形 类似性
三、各种位置平面的投影特性
投影面垂直面
统称特殊位置平面 铅垂面（垂直于H面） 正垂面（垂直于V面） 侧垂面（垂直于W面） 垂直于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面平行面
水平面（平行于H面） 正平面（平行于V面） 侧平面（平行于W面）
c
2. 平面上的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线 例题5 例题6
属于平面的水平线和正平线
PV
P
PH
[例题5] 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正
平线，过点A作属于该平面 的水平线。
m
n'
n
m
[例题6] 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V
面10，试求点E的投影。
a b' c b"
a"
c"
b"
a"
c" b a c
C
b a
c
投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形
2.投影面平行面
b' a'
（2）正平面
b'
b"
a' a" c"
B A
b"
a" c'
c'
C c b a
c"
c
b
a
投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形
如下图，用迹线表示了投影面平行面和投影面垂 直面。
四、 平面上的点和直线
1. 平面上的点和直线
2. 平面上的投影面平行线
1. 平面上的点和直线
(1)平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两 点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 (2)平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直 线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面 内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图， 可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平 面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形 的投影。