空间几何体的结构及其三视图
高中数学 空间几何体的结构及其三视图和直观图
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【解析】 能是D. 【答案】
由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上
部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可
(2013· 潍坊模拟)某四面体的三视图如图7－1－5所
示，该四面体四个面的面积中最大的是(
)
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A．8
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B．6 2
C．10
D．8 2
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【思路点拨】
根据几何体的三视图确定几何体的形
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第一节
空间几何体的结构及其三视图和直观图
典 例 探 究 · 提 知 能 高 考 体 验 · 明 考 情
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空间几何体的结构特征及三视图和直观图
空间几何体的结构特征及三视图和直观图考纲要求1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.考情分析1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考．2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．3.以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.教学过程基础梳理空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．五、三视图几何体的三视图括、、，分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线．双基自测1．(教材习题改编)无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是() A．正方体B．长方体C．圆锥D．球2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④3.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. 3 B．2C．2 3 D．64．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．5.(2011·山东高考改编)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的序号是________．1．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．2．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．典例分析考点一、空间几何体的结构特征[例1](2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12 D．10[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·南昌模拟)如图：在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形BFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中正确说法是()A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④2．(2012·温州五校第二次联考)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形可能是()[冲关锦囊]几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.考点二、几何体的三视图[例2] (2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) 3．(2012·西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 ( )[冲关锦囊]三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．考点三、空间几何体的直观图例3.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )． A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 解析 如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )． A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形一、选择题1．(2012·惠州模拟)下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()3．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台，其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．34.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()解析：三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．答案：B二、填空题6．(2012·长沙模拟)用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．解析：由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.答案：1497．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方形ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此说法不成立，所以应填①⑤.答案：①⑤。
空间几何
三视图:正视图、侧视图和俯视图统称为三视图。
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下面。
一般地，侧视图和正视图的高度一样，正视图和俯视图的长度一样，俯视图和侧视图的宽度一样。
直观图的斜二测画法:
(1)在已知图中找出互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于O点。画直观图时，把它们画成对应的 轴与 轴，两轴相交于 ,且使 = ，它们确定的平面为水平面。
（2）已知图中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段。
（3）已知图中平行于x轴的线段，在直观图中仍保持原来的长度，已知图中平行于y轴的线段，在直观图中为原来长度的一半。
三、空间几何的表面积和体积
圆柱的表面积和体积
设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ,表面积为S，体积为V,有
圆锥的表面积和体积
圆柱：以矩形的一条边为轴，其余三条边围绕着该边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
二、空间几何的三视图和直观图
投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。
中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线交于一点。
空间几何
一、空间几何的结构
多面体：一般地，由若干个平面多边形组成的几何体称为多面体。围城多面体个平面多边形叫做多面体的面，相邻两个多面体的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的的公共点叫做多面体的顶点
旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。这条直线叫做旋转体的轴。
棱柱：一般地，有两个面是互相平行的，其余的面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面组成的几何体称为棱柱。两个平行的面叫做棱柱的底面，简称为底。其余各面叫做侧面，两个相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。底面与侧面的公共顶点叫做棱柱的侧棱。底面是几边形就叫做几棱柱。例如：底面是四边形就叫四棱柱.
空间几何体的结构、三视图、直观图课件
1 V Sh 3
旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球
分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构 识 图 空 间 几 何 体
画 图
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影． 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
正投影：投 射线垂直于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，在作图 中只是作为一种辅助图样．
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
第8讲三视图
第8讲三视图，体积与表面积的计算[知识梳理]1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的表面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．柱、锥、台和球的表面积和体积3．常见几何体的侧面展开图及侧面积题型一空间几何体的三视图(高频考点题，多角度突破)考向一已知几何体，识别三视图1．(东北四市联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1C1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()考向二已知三视图，判断几何体的形状2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()考向三已知三视图中的两个视图，判断第三个视图3．(石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为()【针对补偿】1．(济南模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()2．(北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．32B．2 3 C．22D．23．(南昌一模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2[知识自测]1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π2．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π3．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为______．题型一 空间几何体的表面积与侧面积(基础拿分题，自主练透)(1)(课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______．【针对补偿】1．(全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )A．17π B．18π C．20π D．28π2．(黑龙江省大庆中学期中)一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为()A．6 3 B．8 C．8 3 D．12题型二空间几何体的体积(高频考点题，多角突破)考向一求以三视图为背景的几何体的体积1．(课标Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π考向二不规则几何体的体积3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23 B.33 C.43 D.32考向三 柱体与锥体的内接问题4．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827π C.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【针对补偿】3．(新课标全国Ⅱ卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.134．(山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______．题型三 球与几何体的切接问题 考向一 正方体(长方体)的外接球1．(天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．考向二 直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【针对补偿】5．(广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5πD.55π6[A 基础巩固练]1．(浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 2．(山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x 的值是( )A.7 B ．27 C ．4D ．53．(课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π45．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋125。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——空间几何体的结构、三视图和直观图
考点二 空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视 图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次 为__③__④__(_或__②__⑤__，__答__案__不__唯__一__)_____(写出符合要求的一组答案即可).
_平__行__且__相__等___
相交于_一__点___，但 不一定相等
延长线交于___一__点_
_平__行__四__边__形___
_三__角__形___
__梯__形__
索引
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
图形
互相平行且相等，
母线
__垂__直__于底面
相交于__一__点__
轴截面 侧面展开图
索引
2.(易错题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为___③__⑤___(填写所有正确的序号). 解析 由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
索引
3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体
是( C )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
索引
训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画
出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可 知该几何体为三棱柱.
索引
(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示，
索引
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧 视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯 视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则三棱锥如图1所示；若是②⑤， 则三棱锥如图2所示.
空间立体几何体的结构及其三视图和直观图(学生版)
4
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( )
[典例]将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
5．一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于 8，俯视图是一个面积为 4 3的正三角形，则其侧
视图的面积为( )
A．4 3
B．8 3
C．8 2
D．4
6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
7．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PC 与底面垂直．若该四棱锥的正视图和侧视图都 是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为( )
1
培优资料&秘密
[自测·牛刀小试] 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 2．(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有( )
[例 2] (1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
1．空间几何体的结构特征 ①棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形
多面体 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到
A．1
空间几何体的结构及其三视图
8.1空间几何体的结构一：教学目标1.掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想.二：教学重难点教学重点：柱、锥、台、球的结构特征.教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征.三、知识点精讲知识点1.棱柱的结构特征棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，准确把握，它有两个本质特征：(1)有两个面(底面)互相平行，(2)其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱.知识点2.棱锥的结构特征(1)棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可.因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形.但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥，如图此多面体有一面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体.(2)特殊的棱锥——正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是顶点在底面上的射影必是底面正多边形的中心.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.知识点3.圆柱、圆锥、圆台、棱台的结构特征定义：①以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.②以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做棱台.④用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体叫做圆台.疑难疏引(1)对于棱台,应明确:①棱台的侧棱延长后相交于一点，否则，一定不是棱台；②棱台的上、下底面是相似多边形，且相互平行；③棱台的侧面是梯形；④过棱台的侧棱的截面是梯形．(2)圆柱、圆锥、圆台是从平面图形旋转来定义的，由于用来旋转的平面图形的不同，得到三种不同的旋转体.一定要注意它们旋转形成的过程，不能简单地说以直角三角形的一边为轴旋转形成的几何体叫圆锥，也不能说以直角梯形的一腰为轴旋转形成的几何体叫圆台，必须具体指出哪条边为轴才可以.从圆柱、圆锥、圆台的形成过程可以看出，它们的轴一定垂直于底面.并且平行于底面的截面都是圆；它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．(3)柱、锥、台的关系当圆台的上底逐渐变小，半径趋近于零时，圆台趋向于圆锥；当圆台上底逐渐变大，半径与下底半径相同时，圆台变为圆柱．同样的，棱台、棱锥、棱柱也有这样的关系．知识点4.球的结构特征疑难疏引：(1) 球是一种常见的几何体.球与棱柱、棱锥等多面体不同，它是一种旋转体，是由半圆绕着它的直径旋转来定义的.它只有一个面，即整个球面.从球的概念中，可以知道球面上任何一点到球心(即半圆的圆心)的距离都等于定长；反过来，凡是到球心的距离等于定长的点都在球面上.我们在初中阶段已经知道“在一个平面内和一定点的距离等于定长的点的集合(点的轨迹)是一个圆”，把这个定理推广到空间，就是“和一定点距离等于定长的点的集合是一个球面”.(2) 球和球面是两个不同的概念，球面仅仅指球的表面，而球(球体)不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.因此，用一个平面去截一个球，截面是圆面；而用一个平面去截一个球面，截面是圆.(3) 球的截面性质①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：2d2=(如上图)Rr-(4) 球与其他几何体形成的组合体问题球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化成平面问题.作适当的截面(如轴截面等),对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题.知识点5.简单组合体的结构特征(1)现实生活中，除了柱、锥、台、球等基本几何体外，还有许多几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成，这些几何体叫组合体．(2)我们可以把日常生活中的房屋、机械零件、日常用品等分解成简单几何体，并用简单几何体的性质进行分析度量．方法反馈：1.求几何体表面上两点间的最短距离可以将几何体的侧面展开，利用平面内两点间线段最短来解答。
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三年 考题
考情 播报
13年(2考):新课标全国卷ⅡT9 四川T2 12年(3考):湖南T4 陕西T8 福建T4 11年(4考):广东T9 浙江T7
新课标全国卷T8 江西T9
1.三视图是近几年高考命题的热点 2.常考查柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征 及性质 3.以选择题、填空题的形式考查,有时也会在解答题 中出现,属中低档题
【知识梳理】 1.空间几何体的结构特征
相等 全等
公共点 平行于底面
相似
2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: ①形成:空间几何体的三视图是用平行影得到的,在这种投影 之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的_形__状__ 和_大__小__是完全相同的; ②名称:三视图包括_正__视__图__、_侧__视__图__、_俯__视__图__.
立体几何初步 第一节 空间几何体的结构及其三视图
和直观图
考纲 要求
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所 表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与 直观图，了解空间图形的不同表示形式 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特 征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)
其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
【解题视点】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判 断. (2)根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断.
考点1 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱 柱为直四棱柱;
⑤存在每个面都是直角三角形的四面体;
4.如图所示的直观图,其表示的平面图形是( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【解析】选D.因为BC∥y′轴,故在原图中平行于y轴,而AC∥x′轴,
在原图中平行于x轴,故BC⊥AC,故三角形的形状为直角三角形.
故选D.
5.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示,则其
②错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角 形,但不能保证三角形具有公共顶点.
③正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为 三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱. ④错误.∠A应为45°或135°. ⑤错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状 可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同.
2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )
A.棱台
B.棱锥
C.棱柱
D.都不对
【解析】选A.从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不
一样,可以判断是棱台.
3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视 图不可能是( )
【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均 为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图 不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几 何体为正四棱柱时,俯视图为D.
(2)三视图的画法: ①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_虚__线__. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_正__前__ 方、_正__左__方、_正__上__方观察几何体画出的轮廓线.
3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用_斜__二__测__画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面: 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观 图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使 ∠x′O′y′=_4_5_°__(_或__1_3_5_°__)_,已知图形中平行于x轴的线段, 在直观图中长度_不__变__,平行于y轴的线段,长度_减__半__.
⑥棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是( )
A.①②③④
B.②③④⑤
C.③④⑤⑥
D.①②③④⑤⑥
(2)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆柱的母线;
②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
(2)画几何体的高: 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段, 在直观图中仍平行于z′轴且长度_不__变__.
【考点自测】 1.(思考)给出下列说法 ①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ③一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点 最少的一个棱台有3条侧棱.
④用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x
轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.
⑤正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.
其中正确的是( )
A.①③
B.②⑤
C.①④
D.③
【解析】选D.①错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各 面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相 平行.如图 ,该几何体并不是棱柱.
侧面积为
.
【解析】由题意可知,该直三棱柱的底面边长为2,高为1, 故S侧面=3×2×1=6. 答案:6
6.(2014·永州模拟)利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是
.
【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平 行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱 形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1