任意角的三角函数、诱导公式(学生版)
1.3-1三角函数的诱导公式(1)
x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公 式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公 式 二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－ 与 － 的终边与角 的终边有 何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y
P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－ －) =－tan
tan(－) =－tan
公 式 四
应用 例1 求cos(-20400)的值： 解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500
三角形的诱导公式
tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2－α）=tanα 推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2－α）=tanα 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角 函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦 然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所 在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号 还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就 是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二 象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切 和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦 是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全 部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象 限对应的三角函数为正值。 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
任意角的三角函数及其诱导公式
-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
任意角的三角函数诱导公式
任意角的三角函数、诱导公式[基础归纳]1．设α是一个任意角，它的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为P(x ，y)．(1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．三角函数的定义域如表所示：三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α {α|α≠π2＋kπ，k ∈Z}3.三角函数的值在各象限的符号如图所示．4．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sin_α cos(α＋k·2π)＝cos_α tan(α＋k·2π)＝tan_α (其中k ∈Z)．5．已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示．sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT.6．熟记各特殊角的三个三角函数值 角度α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°弧度α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π22π sin α 0 12 22 321 0 －1 0 cos α 1 32 2212 0 －1 0 1 tan α 0 331 3 不存在 0 不存在 0 （1）．三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．（2）．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x ，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．知识要点二：三角函数值在各象限内的符号 （1）．三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． （2）．对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．知识要点三：诱导公式一的理解及其应用 （1）．公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． （2）．公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）．公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 知识要点四：三角函数线（1）．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．（2）．三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．7．同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系式：tan α＝sin αcos α.8．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋π2，k ∈Z}．知识要点一：公式的推导（1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，yx＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋sin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α＝tan α.（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α.知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠kπ＋π2(k ∈Z)时成立．（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．（3）．使用平方关系sin α＝±1－cos 2α， cos α＝±1－sin 2α，“±”由角α所在象限来确定． （4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．如：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，si n α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α，sin αcos α＝tanα 等．9．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α. 10．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. 11．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．12．诱导公式五 13．诱导公式六 sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2＋α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[典例解析]第一部分：任意角的三角函数【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．思路点拨：先求出点P 到原点的距离，再利用任意角三角函数的定义，求sin α，cos α，tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a|.若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.变式训练11：角α的终边过点P(－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是( )(A)12 (B)－12 (C)－32 (D)32 解析：P(－8m ，－3)，cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45.∴m ＝12. 故选A.【例2】 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4. 解：(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°＞0，cos 191°＜0， ∴tan 191°－cos 191°＞0.(2)∵π2＜2＜π，π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0. ∴sin 2cos 3tan 4＜0.变式训练21：若θ是第二象限角，则sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是什么？解：∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π(k ∈Z)，∴－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，－1＜sin 2θ＜0.∴sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0. ∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)＜0.变式训练22：若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α的终边所在象限． 解：∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k ∈Z)，∴kπ<α<π2＋kπ(k ∈Z)．当k 为偶数，设k ＝2m(m ∈Z)有：2mπ<α<2mπ＋π2(m ∈Z)；当k 为奇数，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)有：2mπ＋π<α<2mπ＋3π2(m ∈Z)．∴α为第一或第三象限角．又∵cos α<0，∴α的终边在第三象限【例3】 求下列各式的值 (1)a 2sin(－1350°)＋b 2tan 405°－(a －b)2tan 765°－2abcos(－1080°)；(2)sin(－11π6)＋cos 125π·tan 4π.解：(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b)2tan(2×360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b)2tan 45°－2abcos 0°＝a 2＋b 2－(a －b)2－2ab ＝0.(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos 125π·tan 0＝sin π6＝12.变式训练31：求值： (1)sin(－1320°)cos 1110°＋cos(－1020°)·sin 750°＋tan 495°；(2)cos(－233π)＋tan 174π；(3)已知tan α＝13，且0＜α＜π2，求sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)的值．解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(3)由tan α＝13可设α的终边上一点为(3x ，x)，x>0，∴sin α＝x 10x 2＝1010，cos α＝3x 10x 2＝31010，∴sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)＝sin α·cos αtan α＝1010×3101013＝910.【例4】 求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1；(2)y ＝lg(3－4sin 2 x) 解：(1)如图(1)．∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为[－π3＋2kπ，π3＋2kπ](k ∈Z)．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x>0，∴sin 2x<34， ∴－32<sin x<32.∴函数定义域为(－π3＋2kπ，π3＋2kπ)∪(2π3＋2kπ，4π3＋2kπ)(k ∈Z)，即(－π3＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z)．变式训练41：利用单位圆解不等式(组)(1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎨⎧2sin x －2>02cos x ≤1.解：(1)原不等式可化为3tan α>－3，即tan α>－33， 则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{α|kπ－π6<α<kπ＋π2，k ∈Z}．(2)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧2sin x>2，cos x ≤12.即⎩⎨⎧sin x>22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k ∈Z}．【例5】 求函数y ＝cos x·tan x 的定义域． 解：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，tan x ≥0，x ≠π2＋kπ，或⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤0，tan x ≤0，x ≠π2＋kπ，⇒x ∈[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z ，即定义域为[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z.第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】 已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＜0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． 当α为第二象限角时，sin α＝1－cos 2α＝ 1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.解：(1)原式＝3cos α－sin αcos α3cos α＋sin αcos α＝3－tan α3＋tan α＝3－33＋3＝(2)原式＝2sin 2α－3si n αcos αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15①两边平方易得sin αcos α＝－1225<0，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－1225)＝75②由①②解得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.变式训练31：已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin xcos x ＋cos 2x ＝125，即2sin xcos x ＝－2425，∴(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝4925.又∵－π2<x<0，∴sin x<0，cos x>0，∴sin x －cos x<0，∴sin x －cos x ＝－75.【例4】 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解：原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练41：若tan θ＝2，则sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________．解析：∵tan θ＝2，∴sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ(1－sin θ)－sin θ(1＋sin θ)(1＋sin θ)(1－sin θ)＝－4.【例5】 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋s in α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练51：证明：1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ.证明：∵1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos θ－sin θ)2cos 2θ－sin 2θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos 2θ－sin 2θ(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ－sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)＋2sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ， ∴1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ. 【例6】 若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．解：因为sin A ＝45，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±35，当cos A ＝35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6；当cos A ＝－35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×(－35)－7＝12－16＝－34.故所求的值为6或－34.变式训练61：已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin Acos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形？解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，所以两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，sin Acos A ＝－1225.(2)由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．第三部分：三角函数的诱导公式 【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．解：(1)法一：sin 1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.(2)法一：cos(－31π6)＝cos 31π6＝cos(4π＋7π6)＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.变式训练11：计算下列各式的值： (1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 解：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 2 15°＋cos 2 15°＝1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值．解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α是第一或第四象限角． ①若α是第一象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝－1－cos 2α＝－32.②若α是第四象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝1－cos 2α＝32. 变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6＋α)＝________.解析：∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.证明：原式左边＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)·cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α·(－sin α)·cos αcos α·(－cos α)·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原式得证．变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明： (1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.证明：(1)∵A ＋B ＋C ＝π， ∴B ＋C ＝π－A ，∴cos A ＋cos(B ＋C)＝cos A ＋cos(π－A)＝cos A －cos A ＝0；(2)∵B ＋C 2＝π－A 2＝π2－A 2，∴sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A 2.。
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
§1.2.3 三角函数的诱导公式(1)学生版
【学习目标】1．通过探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题；3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高解决问题的能力.【重点难点】学习重点：诱导公式的推导和公式的灵活运用.学习难点：诱导公式的灵活运用．【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：若角α与角β终边位置相同，α与β的数量关系是β = ______________________，sinα与sinβ的数量关系是_______________________，cosα与cosβ的数量关系是_______________________，tanα与tanβ的数量关系是_______________________.问题2：角α与角- α的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点P及点P′，则点P的坐标为____________，点P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？问题3：角α与角π- α的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点P及点P′，则点P的坐标为____________，点P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？问题4：角α与角π+α的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点P及点P′，则点P的坐标为____________，点P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？二、知识建构与应用：1．引导学生认识“诱导公式”的由来，是根据终边上的点坐标间的关系得到的，强化对公式的理解；诱导公式一：sin(α＋2k π)＝_____________________________；cos(α＋2k π)＝_____________________________；tan(α＋2k π)＝_____________________________.诱导公式二：sin(α-)＝_____________________________；cos(α-)＝_____________________________；tan(α-)＝_____________________________.诱导公式三：sin(πα-)＝_____________________________；cos(πα-)＝_____________________________；tan(πα-)＝_____________________________.诱导公式四：sin(πα+)＝_____________________________；cos(πα+)＝_____________________________；tan(πα+)＝_____________________________.2．记忆诱导公式的形式，点拨公式的运用；3．前4组诱导公式可以将任意角的三角函数转化成一个[0，π2]范围内的角的三角函数，并指明转化的步骤.三、例题例1 求值： 1560)例2 判断下列函数奇偶性．（1）()1cos f x x =- （2）()sin g x x x =-例3 （1）已知sin(π3 - α) = 33，求cos(2π3+ α)的值；（2）若f (n) = sin n π3(n ∈Z)，求f (1) + f (2) + … + f (2013) 的值.四、巩固练习1．sin(- π4) = __________，cos( - 60°) = __________，tan 7π6= ___________.2．sin150° = __________，tan1020° = ____________.3．化简：sin(π + α)cos( - α) + sin(2π–α)cos(π–α) = ______________. 4．判断函数f(x) = x 2 + |sinx| - 1的奇偶性。
三角函数的诱导公式
角的三角函数值.
思考: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α的的终边与角α的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
－的终边
＋的终边
y
r =1
α O
α的终边
P1(x, y)
cos180 cos 180
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函 数的步骤吗？
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
1. 三角函数诱导公式的推导过程,理解 “函数名不变，符号看象限”
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：
①已知的都是含有角 α 加上一个常量的函数值；
②待求的是含有角α加上一个常量的函数值．
解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简角求值．
π (2)注意 3 ＋α
与
α－53π之间的关系．
π (3)关注 6 ＋α
与76π＋α
之间的关系．
题型三 化简 例 4 化简： (1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
＝－sin4π3 ＝－sinπ＋π3 ＝sinπ3 ＝
3 2.
(2)cos269π＝cos4π＋5π6 ＝cos5π6 ＝cosπ－π6
π ＝－cos 6 ＝－
3 2.
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)
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任意角的三角函数、诱导公式[基础归纳]1．设α是一个任意角，它的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为P(x，y)．(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x；(3)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．2．三角函数的定义域如表所示：三角函数定义域sin αRcos αRtan α{α|α≠＋kπ，k∈Z}3.三角函数的值在各象限的符号如图所示．4．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sin_α cos(α＋k·2π)＝cos_α tan(α＋k·2π)＝tan_α (其中k∈Z)．5．已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示．sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.6．熟记各特殊角的三个三角函数值角度α0°30°45°60°90°180°270°360°弧度α0π2πsin α010－10cos α10－11tan α1不存在0不存在知识要点一：对三角函数定义的理解（1）．三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．（2）．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．知识要点二：三角函数值在各象限内的符号（1）．三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的．（2）．对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．知识要点三：诱导公式一的理解及其应用（1）．公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．（2）．公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.（3）．公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．知识要点四：三角函数线（1）．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．（2）．三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．7．同角三角函数的基本关系式包括：平方关系式：sin2α＋cos2α＝1；商数关系式：tan α＝.8．商数关系tan α＝成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋，k∈Z}．知识要点一：公式的推导（1）．设P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x＝cos α，y＝sin α，＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x2＋y2＝1，即cos2α＋sin2α＝1，且＝＝tan α.（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得．设P(x，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.则sin α＝，cos α＝，tan α＝.易知sin2α＋cos2α＝＝1，tan α＝＝.知识要点二：公式应用时注意的问题（1）．公式成立的条件sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R均成立，tan α＝仅在α≠kπ＋(k∈Z)时成立．（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．（3）．使用平方关系sin α＝±，cos α＝±，“±”由角α所在象限来确定．（4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．如：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝，＝tan α 等．9．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.10．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.11．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_αtan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．12．诱导公式五 13．诱导公式六sin(－α)＝cos_α，cos(－α)＝sin_α. sin(＋α)＝cos_α，cos(＋α)＝－sin_α.即±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α可统一表示成±α(k∈Z)的形式．当k为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[典例解析]第一部分：任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练11：角α的终边过点P(－8m，－6cos 60°)且cos α＝－，则m的值是( )(A) (B)－ (C)－ (D)【例2】判定下列各式的符号：(1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4.变式训练21：若θ是第二象限角，则的符号是什么？变式训练22：若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α的终边所在象限．【例3】求下列各式的值(1)a2sin(－1350°)＋b2tan 405°－(a－b)2tan 765°－2abcos(－1080°)；(2)sin(－)＋cosπ·tan 4π.变式训练31：求值：(1)sin(－1320°)cos 1110°＋cos(－1020°)·sin 750°＋tan 495°；(2)cos(－π)＋tanπ；(3)已知tan α＝，且0＜α＜，求的值．【例4】求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2 x)变式训练41：利用单位圆解不等式(组)(1)3tan α＋>0；(2).∴{α|kπ－<α<kπ＋，k∈Z}．【例5】求函数y＝的定义域．第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)；(2)2sin2α－3sin αcos α.【例3】已知0<α<π，sin α＋cos α＝，求tan α的值．变式训练31：已知－<x<0，sin x＋cos x＝.求sin x－cos x的值．【例4】化简：＋－.变式训练41：若tan θ＝，则－的值为________．【例5】求证：－＝.变式训练51：证明：＝.【例6】若sin A＝，且A是三角形的一个内角，求的值．变式训练61：已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.(1)求sin Acos A；(2)判断△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形？第三部分：三角函数的诱导公式【例1】求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－π)；(3)tan(－945°)．变式训练11：计算下列各式的值：(1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°.【例2】已知cos(π＋α)＝－，求sin(2π－α)的值．变式训练21：已知sin(－α)＝，则cos(＋α)＝________.【例3】求证：＝－tan α.变式训练31：已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，证明：(1)cos A＋cos(B＋C)＝0；(2)sin＝cos.【例4】化简cos(π＋x)＋cos(π－x)(n∈Z)．变式训练41：已知：sin(π＋θ)＝－，求值：＋.【例5】在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．变式训练51：若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限[高考题接触]1、（2012年高考（辽宁文））已知,(0,π),则=（ ）A．1 B．C．D．12、（2012年高考（四川文））如图,正方形的边长为,延长至使,连接、则（ ）A． B． C． D．3、（2012年高考（辽宁理））已知,(0,π),则=（ ）A．1 B．C．D．1[技法巧点总结]1．常见的终边相同的角的表示角α终边的位置角α的集合在x轴的非负半轴上{α|α＝2kπ，k∈Z}在x轴的非正半轴上{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}在y轴的非负半轴上{α|α＝2kπ＋，k∈Z}在y轴的非正半轴上{α|α＝2kπ＋，k∈Z}在x轴上{α|α＝kπ，k∈Z}在y轴上{α|α＝kπ＋，k∈Z}在坐标轴上{α|α＝，k∈Z}2．三角函数定义的拓展已知角α终边上一点P(x，y)，求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r，再利用下式求解：sinα＝，cosα＝，tanα＝，这也可看作三角函数的定义．3．三角函数求值应注意的问题(1)由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．(2)注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号．4．应用同角三角函数基本关系式的常见规律(1)sinα＋cosα、sinα－cosα与sinαcosα的关系(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值．(2)“1”的代换在求值、化简、证明时，常把1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算．使问题得以简化，常见的代换如下：1＝sin2α＋cos2α，1＝tan，1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα.。