平方差公式PPT
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平方差公式PPT教学课件
0-1律：
A∪O = A，A∩O = O； A∪E = E，A∩E = A； E
1
...
1
还原律：(Ac)c = A；
1 ... 1
对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，定义模糊矩阵A 与B 的合成为：
B
0.2 0.3
00..21, C0.源自 0.300..21(
A∩B
)
°
C
0.1 0.2
00..11 00..53
00..21
0.1 0.2
00..11
( A ° C )∩( B ° C )
0.3 0.2
00..21
0.2 0.3
00..21
0.2 0.2
00..11
( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C )
模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转 置矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质：
性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT，
( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .
13、（5+a）( ) =25-a²
小结
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括
推广 !
一个长方形的长为 （√19 + √7）厘米，宽 为（√19 - √7） 厘米， 它的面积是多少？
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式说》课件
围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
《平方差公式》课件完整版PPT初中数学1
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
特点：两 平方，一
正一负
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2
× √ -(x×2+y2) y2-x√2 √(x+5y)(x-5y)
能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
请模仿上面解题过程，计43;1)(99-1)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
2 公式法法因式分解
③（a＋ 3)(a－3）；
=(1[()a(+bb+)2+ac)]([2(a+－bb)-)c]
=100×98，所以992-1能否被100整除.
公 式 ①已知 a²-b²=3，求 (a-b)³(a+b)³的值.
a²-b²=(a+b)(a-b)
（1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
你知道992-1能否被100整除吗？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
两①个(x-数y+z的)(x平+y方+z差) ，②等(于3m这+两n-p个)(数3m的-n和+p与) 这两个数的差的乘积.
所解以:原，式（＝2（n+21n)+21-+25）能(被2n4+整1-除5) .
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
如果可以，请你计算出结果.
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
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= × × × × ⋯×
×
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2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
平方差公式因式分解课件
平方差公式的证明
以几何解释和代数推导的方式，详细介绍平方差公式的证明，并提供一些实例来巩固理解。
平方差公式的应用
展示平方差公式在解决实际数学问题中的应用，包括面积计算、数列求和和方程式的变形等。
因式分解实例1：4x^2 - 9y^2
通过实际例子演示如何应用平方差公式进行因式分解，帮助学生更好地理解 和掌握这一概念。
平方差公式的探究
发掘更深层次的平方差公式相关概念，讨论剩余和约分等概念，并展示它们 是如何相互影响的。
平方差公式的历史背景
介绍平方差公式的历史渊源和相关数学家，帮助学生了解数学知识的发展和演变。
平方差公式在实际生活中的应用
探索平方差公式在实际生活中的实际应用，如建筑设计、物理力学和经济分析等领域。
平方差公式因式分解ppt 课件
本课件将带您了解平方差公式因式分解的概念、应用和推广。深入浅出，轻 松掌握这一数学难题，让您的数学技巧更上一层楼！
平方差公式介绍
通过直观的示意图，了解平方差公式是什么，并掌握其重要性以及在因式分解中的作用。
பைடு நூலகம்
什么是因式分解？
深入分析因式分解的定义，展示因式分解在数学中的重要性，以及为什么它 是数学解决难题的基础。
因式分解实例5：9a^2 - 16b^2
最后一个实例将帮助学生巩固平方差公式因式分解的知识，并解决更具挑战 性的方程式问题。
平方差公式的推广
探讨平方差公式的推广应用，如立方差公式和高次幂差公式，并帮助学生扩 展他们的数学思维。
平方差公式的变形1：(a+b)^3
了解如何将平方差公式应用于(a+b)^ 3的展开，并解决更复杂的代数问题。
平方差公式的变形2：(a+b)^4
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(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是 16k6-9y4
请你判断下列计算对不对？为什么？
• (x2+2)(x2-2)=x4-2
( × ) x4- 4
• (4x-6)(4x+6)=4x2-36
( × ) 16x2-36
• (2x+3)(x-3)=2x2-9
( × ) 不可用公式
• (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( √ )
方形的长是(_a_+_b_),宽是_(a_-_b_) ,面积是_(a_+_b_)_(a_-_b_)_. (3)比较(1)(2)的结果即可得到:
(a+b)(a-b)=a2-b2
练习一: (口答)
(1) (x+y)(x-y)= x2-y2 (2) (c+d)(c-d)= c2-d2 (3) (p+q)(p-q)= p2-q2 (4) (r+s)(r-s)= r2-s2 (5) (u+v)(u-v)= u2-v2 (6) (k+t)(k-t)= k2-t2
练习四: 将下列各式变形为可利用平方差 公式计算的形式：
1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (a-2b-3)(a+2b-3) [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
(1) (-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
b2-a2
没有相同项
(3) (a+b)(a-c) 否 (4) (2+a)(a-2) 是
没有相反项a2-4(5) ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y) 是
4
4
1 x2 4y2 16
(6) (1-x)(-x-1) 是 x2-1
多项式与多项式相乘
(a
② ①
m)(b
n)
①
ab
②
an
③
bm
④
mn
③④
计算下列多项式的积:
(1) (x+2)(x-2)= x
2
4
;
(2) (m+3)(m-3)= m2 9 ;
(3) (x+y)(x-y)= x2-y2 ;
(4) (m+n)(m-n)= m2-n2 ;
(5)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 = (2x)2-12; 观察思考： ①等式左边相乘的两个多项式有什么特点？ ②等式右边的多项式有什么规律？ ③你能归纳出上述等式的规律吗？
例2: 计算
(1) ( －3X＋2)(－3X－2) 解:原式 = (-3x)2－22 = 9x2－4
a -3x b2
(2) ( －3X－2)(3X－2) 解:原式 = (-2)2－(3x)2 = 4－9x2
a -2 b 3x
(3) (2－3X)(3X＋2) 解:原式 = 22－(3x)2 = 4－9x2
练习二: (口答)
(1) (x+1)(x-1)= x2-1 (2) (x-4)(x+4)= x2-16 (3) (3+y)(3-y)= 9-y2 (4) (y-5)(y+5)= y2-25 (5) (m+7)(m-7)= m2-49 (6) (8-m)(8+m)= 64-m2 (7) (t+9)(t-9)= t2-81
猜想: (a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab+b2 =a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 平方差
图形验证:
如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a＞b).则
a
b
a-b
a-b
a+b
b
(1)图中阴影部分的面积为__a_2_-b_2___. (2)将阴影部分拼成右图的一个长方形,这个长
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]
练习五 计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
(4) 10 1 10 1 7 7
例4: 利用平方差计算: (a+b)(a-b)=a2-b2 a,b也可以表示
(1) (2a+b)(2a-b)(4a2+b) 多项式
(2) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(3) (a+2b+2c)(a+2b-2c)
解:原式=[( 2a+b )+( 2c )][( 2a+b )-( 2c )] =(a+2b)2-(2c)2 =a2+4ab+4b2-4c2
(3) 1 a 1 b 1 a 1 b
3 2 3 2
1 a2 1 b2 94
(4) 2 x3 3 y 2 x3 3 y
5 4 5 4
4 x6 9 y2 25 16
试一试: (5) (1-2a)(1+2a) 1-4a2
(能口答吗?) (6) (b+2a)(2a-b) 4a2-b2
a2 b 3x
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的实质:
一条件： 两个多项式相乘,只要既有相同项,又有相反项,并且 不含有其他的项,就可以使用此公式.
两无关：
(1) 与项的书写位置无关;
(2) 与相同项的符号无关,相同项可以是同 “＋”,
也可以是同“－”。
判断下列式子是否可用平方差公式。
• (mn-1)(mn+1)=mn2-1
( × ) m2n2-1
【例3】用平方差公式计算：
(1) 102×98
(2) 30.2×29.8
(3) 79×81
(4) 10 1 9 6
77
解:(1) 原式=(100+2)(100-2)
=1002-22 =10000-4 =9996
(2) (30+0.2)(30-0.2) (3) (80-1)(80+1)
【例1】运用平方差公式计算：
(2x2 1)(2x2 1)
6
6
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
解:
(2x2 1)(2x2 1)
6
6
= ( 2x2 )2 -
(
1 6
)2
4x4 1 36
练习三: 用平方差公式计算
(1) (3x+2)(3x-2) 9x2-4
(2) (2y+5)(2y-5) 4y2-25