浙江省湖州市2022届数学高二下期末综合测试试题含解析

浙江省湖州市2022届数学高二下期末综合测试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-?=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形

C ．菱形

D ．直角梯形

【答案】C 【解析】

试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为

()0,0AB AD AC DB AC -?=∴?=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.

考点：向量在证明菱形当中的应用.

点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.

2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C

的参数方程为sin x y θ

θ

?=??=??（θ为参数），直线l 的方程为4x y +=，

则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A

B

C ．1

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

设曲线C

上任意一点的坐标为

)

,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C

上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】

设曲线C

上任意一点的坐标为

)

,sin θθ，

所以，曲线C 上的一点到直线l

的距离为

d =

=

42sin πθ??-+ ?= 当()232

k k Z π

π

θπ+

=

+∈时，d

取最小值，且min d =

= B. 【点睛】

本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.

3．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A ．14种 B ．16种 C ．20种 D ．24种

【答案】D 【解析】

五人选四人有4

55C =种选择方法，分类讨论： 若所选四人为甲乙丙丁，有22

224A A ?=种； 若所选四人为甲乙丙戊，有112

2228C C A ??=种； 若所选四人为甲乙丁戊，有112

2228C C A ??=种；

若所选四人为甲丙丁戊，有1

2

2C =种； 若所选四人为乙丙丁戊，有1

2

2C =种； 由加法原理：不同组队方式有4882224++++=种.

4．曲线2()(1)x f x e x x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是( ) A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y ++=

【答案】D 【解析】 【分析】

求出原函数的导函数，得到f′（0）＝﹣2，再求出f （0），由直线方程的点斜式得答案． 【详解】 f′（x ）＝()2

2x

e

x

x +- ，∴f′（0）＝﹣2，又f （0）＝﹣1

∴函数2

()(1)x f x e x x =--图象在点（0，f （0））处的切线方程是y+1＝﹣2（x ﹣0），

即210x y ++= 故选：D 【点睛】

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．

5．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且1

2

(0)()(1)2

x f f x f e x x -+

'=-，若存在实数x ，使不等式2

()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,2][2,)-∞-+∞ B ．(,1][4,)-∞-+∞ C ．(,2][4,)

-∞-?+∞

D ．(,1][2,)-∞-+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

对函数求导，分别求出(0)f 和(1)f '的值，得到2

1()2

x

f x e x x =+

-，利用导数得函数()f x 的最小值为1，把存在实数x ，使不等式2()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立的问题转化为

2min ()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，分离参数a ，分类讨论m 大于零，等于零，小于零的

情况，从而得到m 的取值范围。 【详解】

由题可得1

()(1)(0)1x f x f e

f x -+''=-，分别把0x =和1x =代入()f x 与()f x '中得到

1(0)(1)(1)(1)(0)1f f e f f f -?=?

='-'+'?

，解得：(0)1

(1)f f e =??='?； ∴ 2

1()2

x f x e x x =+-，()1x f x e x '=+-，即(0)=0f ' 当0x <时，()10x

f x e x =+-<'，则21()2x f x e x x =+-在(),0-∞上单调递减；

当0x >时，()10x

f x e x =+->'，则21()2x f x e x x =+-在()0,∞+上单调递增；

∴ min ()(0)1f x f ==

要存在实数x ，使不等式2

()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，则不等式2min 3()

m am f x --≥对于任意[0,3]a ∈恒成立，即不等式231m am --≥对于任意[0,3]a ∈恒成立； （1）当=0m 时，显然不等式不成立，舍去；

（2）当0m <时，不等式2

31m am --≥对于任意[0,3]a ∈恒成立转化为24

m a m

-≤对于任意[0,3]

a ∈恒成立，即24

0m m

-≤，解得：2m ≤-；

（3）当0m >时，不等式2

31m am --≥对于任意[0,3]a ∈恒成立转化为24

m a m

-≥对于任意[0,3]

a ∈

恒成立，即24

3m m

-≥，解得：4m ≥；

综述所述，实数m 的取值范围是(,2][4,)-∞-?+∞ 故答案选C 【点睛】

本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。

6．设复数z 满足1i z =-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1 B ．-1

C ．i -

D ．i

【答案】A 【解析】 【分析】

先求解出z 的共轭复数z ，然后直接判断出z 的虚部即可. 【详解】

因为1z i =-，所以1z i =+，所以z 的虚部为1. 故选：A. 【点睛】

本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b . 7．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15

P M =，()1

4P N =，

则()920P M

N =

；（2）若()12P M =，()13P N =，()1

6

P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()1

3P N =，

()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()

5

6

P MN =，则,M N 为

相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1 ，结合相互独立事件,M N 的概率满足()()()P MN P M P N =?，可判断（2）、（3）、（4）、（5 ）的正误. 【详解】

若,M N 为互斥事件，且()()11,54

P M P N ==， 则()119

5420P M

N =+= ，

故（1）正确； 若()()()111,,236

P M P N P MN =

== 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（2）正确；

若()

()()111,,236

P M P N P MN =

==， 则()()()()()1

1,2

P M P M P MN P M P N =-==?

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（3）正确； 若()()()111

,,236

P M P N P MN =

== ， 当,M N 为相互独立事件时，()()

()1121

1,=2233

P N P N P MN =-==? 故（4）错误；

若()()()

115

,,236

P M P N P MN =

== 则()()()()

()1

,16

P MN P M P N P MN P MN =?==-

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（5）正确. 故选D. 【点睛】

本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.

8．若 x y ，满足约束条件0

2323x x y x y ≥??+≥??+≤?

，则z x y =-的最小值是（ ）

A ．0

B ．3-

C ．

32

D ．3

【答案】B 【解析】

可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2

A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值

3-，选B.

9．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）

A ．-55

B ．-61

C ．-63

D ．-73

【答案】D 【解析】 【分析】 令

得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案.

【详解】 令

，得

，而常数项为

，所以展开式中剔除常数

项的各项系数和为，故选D.

【点睛】

本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型.

10．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种

【答案】C 【解析】

试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C ． 考点：分步计数原理

点评：本题需注意方案不分次序，即a ，b 和b ，a 是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可． 11．已知函数()()2

ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．()1,0-

B ．()1,-+∞

C ．()2,0-

D ．()2,1--

【答案】A 【解析】 【分析】

先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数()22x x

g x x lnx

-=-，对函数求导，利用导数方法判断函

数()g x 单调性，再结合图像，即可求出结果.

由()2

20alnx x a x +-+=得22x x

a x lnx

-=-，

令()22x x

g x x lnx

-=-，

则()()()

()

2

122x x lnx g x x lnx -+--'=

， 设()22h x x lnx =+-， 则()21h x x

'=-

， 由()0h x '>得2x >；由()0h x '<得02x <<，

所以()h x 在()02，

上单调递减，在()2，∞+上单调递增； 因此()()24220min h x h ln ==->，

所以220x lnx +->在()0∞+，

上恒成立； 所以，由()0g x '>得1x >；由()0g x '<得01x <<；

因此，()g x 在()01，上单调递减，在()1∞+，

上单调递增； 所以()()11min g x g ==-；

又当()01x ∈，时，2

20x x -<，()220x x g x x lnx

-=<-，

作出函数()g x 图像如下：

因为函数()()2

ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，

所以y a =与()22x x

g x x lnx

-=-有两不同交点，

由图像可得：实数a 的取值范围是10a -<<. 故选A

本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.

12．曲线

2

y

x

=与直线

1

y x

=-及直线1

x=所围成的封闭图形的面积为( )

A．

3

4

B．

5

2

C．42ln2

-D．

1

2ln2

2

-

【答案】D

【解析】

联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为()()()

1,0,1,2,2,1，结合图形可得封闭图形的面积为

2

1

21

12ln2

2

S x

x

??

=-+=-

?

??

?，应选答案D．

二、填空题：本题共4小题

13．设函数

1,0

()0,0

1,0

x

f x x

x

>

?

?

==

?

?-<

?

,2

()(1)

g x x f x

=-，则函数()

g x的递减区间是________．

【答案】[)

0,1

【解析】

()

2

2

,1

0,1

,1

x x

g x x

x x

?>

?

==

?

?-<

?

,如图所示，其递减区间是[)

0,1．

14．已知集合A={|2,

x x x R

<∈}，集合B={|12,

x x x R

<<∈}，则=

A B________．

【答案】 (1,2)

【解析】

分析：直接利用交集的定义求A B

?.

详解：由题得A B

?={|2,

x x x R

<∈}∩{|12,

x x x R

<<∈}=（1,2），故答案为：（1,2）.

点睛：本题主要考查交集的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.

15．已知抛物线2

:4

C x y

=的焦点为F，平行y轴的直线l与圆22

:(1)1

x y

Γ+-=交于,A B两点（点A 在点B的上方），l与C交于点D，则ADF

?周长的取值范围是____________

【答案】()3,4 【解析】 【分析】

过点D 作DM 垂直与抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义得DF DM =，从而得出ADF ?的周长为1AM +，考查直线AM 与圆Γ相切和过圆心F ，得出A 、D 、F 不共线时AM 的范围，进而得出ADF ?周长的取值范围。 【详解】 如下图所示：

抛物线C 的焦点()0,1F ，准线为:1l y =-，过点D 作DM l ⊥，垂足为点M ， 由抛物线的定义得DF DM =，圆Γ的圆心为点F ，半径长为1， 则ADF ?的周长11L AD DF AF AD DM AM =++=++=+， 当直线l 与圆Γ相切时，则点A 、B 重合，此时()1,1A ，2AM =；

当直线l 过点F 时，则点A 、D 、F 三点共线，则213AM FM AF =+=+=。 由于A 、D 、F 不能共线，则23AM <<，所以，314AM <+<，即34L <<， 因此，ADF ?的周长的取值范围是()3,4，故答案为：()3,4。 【点睛】

本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。

16．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则1ξ=的概率是_______；()E ξ=_______． 【答案】

715 3

5

【解析】

【分析】

1ξ=表示两件产品中，一个正品一个次品，可求概率；求出ξ的所有取值，分别求出概率可得()E ξ.

【详解】

11372107(1)15C C P C ξ===,根据题意ξ的所有取值为0,1,2；272107(0)15C P C ξ===，11372107

(1)15

C C P C ξ===，

232101(2)15C P C ξ===，故()7713

0121515155

E ξ=?+?+?=.

【点睛】

本题主要考查随机变量的期望，明确随机变量的可能取值及分布列是求解关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆22

22:1(0,0)x y C a b a b

+=>>的长轴长为4，离心率为12.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当a b >时，设(,0)()M m m ∈R ，过M 作直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，记椭圆C 的左顶点为A ，直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且121

4

k k =-

，求实数m 的值. 【答案】（Ⅰ）22143x y +=或22

134

x y +=；

（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据椭圆的焦点位置的不同进行分类讨论，利用长轴长和离心率可以求出椭圆的标准方程； （Ⅱ）由a b >，可以确定椭圆的标准方程，过M 作直线l 可以分为二类，一类是没有斜率，一类有斜率，

分别讨论，直线l 没有斜率时，可直接求出两点坐标，利用121

4k k =-，可以求出M 点坐标，当存在斜率时，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合等式121

4

k k =-，也可以求出M 点坐标，也就

求出实数m 的值.

【详解】

（I ）当>a b 时，由2

22

24,1,2,a c a c a b =???

=??=-??得2a =

，b =

当a b <时，由22

2

24,1,2,b c b c b a =???

=??=-??

得a =2b =.

所以椭圆C 的方程为22143x y +=或22

134

x y +=.

（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为=(2<<2)x m m -，则

由2

214

3x m x y =???+=??

得两点,m ? ?.

所以21223141(2)4

m k k m ??-- ???+===-， 即220m m +-=得2m =-（舍去）或1m =. 直线l 的斜率存在时，l 的方程设为()(22,0)y k x m m k =--<<≠

设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立22

143

()x y y k x m ?+

=???=-?

，消去y 得 ()2

2

2223484120k x

mk x m k +-+-=（*），

所以2122834mk x x k +=+，22122

412

34m k x x k

-?=+， 而()()12121212122222

k x m k x m y y k k x x x x --=

?=?++++， ()()22121212121

24

4

k x x m x x m x x x x ??-++??

=

=-+++，

化简得

()

2222223121416164

k m m k mk k -=-

++，即2222

20m k mk k +-=，显然20k ≠， 所以220m m +-=，解得1m =或2m =-（舍去）， 对1m =时，方程（*）的>0?，所以1m =， 故综上得所求实数1m =. 【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系，结合已知等式是解题的关键，本题易忽略直线不存在斜率这种情况.

18．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列. （1）求数列的通项公式；

（2）若数列{n b }满足n n

n

b a =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 【答案】 (1) 12n n a (2) 1

2

42n n n S -+=-

【解析】 【分析】

(1)根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比,再代入通项公式即可得到; (2)利用错位相减法可求得n S . 【详解】

设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >,

（1）∵53412231a a a a =+??=?∴423

11112231

a a a a q q q ?=+?

=?,所以22320q q --= ∴q ＝2，1

2

q =-

(舍去) 所以11

12n n n a a q --==；

（2）∵12

n n n n n

b a -==， ∴0121

1232222n n n S -++++=

，① 121112122222

n n n n n

S --=++++，② ①﹣②得

21111

1122222n n n n S -=++++-＝

112112

n -

-=1221222

2n n

n n

n +??--=- ???， ∴1

2

42

n n n S -+=-. 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题. 19．在平面直角坐标系xOy 中，对于点0

0(,)P x y 、直线:0l ax by c ++=，我们称δ=点00(,)P x y 到直线:0l ax by c ++=的方向距离.

（1）设双曲线2

214

x y -=上的任意一点(,)P x y 到直线1:20l x y -=，2:20l x y +=的方向距离分别为

12,δδ，求12δδ的值；

（2）设点(,0)(,0)E t F t -、、到直线:cos 2sin 20l x y αα+-=的方向距离分别为12,ηη，试问是否存

在实数t ，对任意的α都有121ηη=成立？说明理由；

（3）已知直线:0l mx y n -+=和椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，设椭圆E 的两个焦点12F F 、到直线l 的

方向距离分别为12λλ、满足2

12b λλ>，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试比较||AB 的

长与+a b 的大小. 【答案】 (1)4

5

；

(2)t =(3)AB a b >+，证明见详解. 【解析】 【分析】

(1)根据定义表示出12δδ、，然后结合点在双曲线上计算出12δδ的值；

(2)假设存在t 满足条件，计算出12、ηη的值，令121ηη=，即可求解出满足条件的t 的值；

(3)根据新定义得到12λλ的结果，根据条件得到2n 的范围，将2n 的范围代入到2

||AB 中利用基本不等式即可比较出2

||AB 与()2

a b +的大小，即可比较出||AB 与+a b 的大小.

【详解】

(1)由题设可知：设()00,P x y

，所以12δδ=

=

==，

所以22

001245x y δδ-==，

又因为22

0014x y -=，所以2122004455

x y δδ-==；

(2) 假设存在实数t 满足条件，因为

1η=

=

，

2η=

=

，

所以222222212

cos 4sin 4cos 4c 4o 3c 1o s s t t ααα

ηα

ηα--=+-==，所以2

3t =，所以t =

故存在t =

(3)

因为22222121n m c m b λλ-==+>，所以222222n c m b m b ->+， 所以(

)2

22

2

2n b c

m

b >++，所以2222n a m b >+，

又因为(),0,0,n A B n m ??- ???，所以222222222

22

n a m b AB n a m b m m

+=+>++，

所以22

2

2

2

2

222b AB a b a m a b m >+++≥++2am b =， 所以()22

AB a b >+，所以AB a b >+. 【点睛】

本题考查新定义背景下的圆锥曲线的综合应用，难度较难.(1)存在性问题，先假设成立，然后再探究成立的条件；(2)新定义问题，首先要理解定义，其次才是利用所学知识解答问题. 20．将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；

（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；

（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率. 【答案】（1）115；（2）195；（3）19

. 【解析】 【分析】

（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；

（2）若取出的4球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；

（3）由题意得出箱子里红球和白球都是2个，并求出操作三次的情况总数，以及恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的情况数，然后利用古典概型的概率公式可得出答案. 【详解】

（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，

其中4红有441C =种取法，3红1白有31

4624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法.

因此，共有12490115++=种不同的取法；

（2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况.

其中4红有441C =种取法，3红1白有31

4624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法，1红3白有

134680C C =种不同的取法.

因此，共有1249080195+++=种不同的取法；

（3）由题意知，箱子中4个球中红球有2个，白球也为2个，从这4个球中取出2个球，取出2个红球只

有一种情况，取出2个白球也只有一种情况，取出1红1白有11

224C C =种情况，总共有6种情况.

若取出的4个球放入一箱子里，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中去”为一次操作，如果操作三次，共有36216=种不同情况.

恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球共有1

1

32424C C ?=种情况， 因此，恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率为241

2169

=. 【点睛】

本题考查分类计数原理以及概率的计算，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题. 21． (1)设,a b 是两个正实数，且a

b ，求证：3322a b a b ab +>+；

（2）已知,,a b c 是互不相等的非零实数，求证：三个方程220ax bx c ++=，220bx cx a ++=，

220cx ax b ++=中至少有一个方程有两个相异实根．

【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

(1)先证明22a ab b ab -+>，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可. 【详解】

(1)证明：∵a b ≠，∴0a b -≠，

∴2220a ab b -+>，∴22a ab b ab -+>， 而,a b 均为正数，∴0a b +>， ∴()(

)()2

2

a b a ab b

ab a b +-+>+，

∴3322a b a b ab +>+成立．

(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

则21440b ac ?=-≤，22440c ab ?=-≤，2

3440a bc ?=-≤．

相加有2222222220a ab b b bc c c ac a -++-++-+≤，

()()()

222

0a b b c c a -+-+-≤．①

则a b c ==，与由题意a 、b 、c 互不相等矛盾．

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 【点睛】

本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．观察下列等式：

11=；

2349++=； 3456725++++=；

4567891049++++++=；

……

（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 【答案】（1）()2

21n -；（2）证明见解析. 【解析】

分析：（1）第n 个等式为()()()()()2

12...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈.(2)利用个数学归纳法证明猜想.

详解：（1）第n 个等式为()()()()

()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈；

（2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，左边1=，右边211==, 所以当1n =时，原等式成立.

②假设当()*n k k N =∈时原等式成立，即

()()()()()2

12....3221*k k k k k k N ++++++-=-∈,

则当1n k =+时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++

()()()2

2131331k k k k k ??=--+-+++??

()()2

2

244121211k k k k ??=++=+=+-??,

所以当1n k =+时，原等式也成立.

由①②知，（1）中的猜想对任何*n N ∈都成立.

点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，

()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++=()2

211k ??+-??.