分组分解法
分组分解法练习题及答案
分组分解法练习题及答案精品文档分组分解法练习题及答案1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.22例如:把x-y+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，2222后两项分为一组，得到:x-y+ax+ay=+=+a=，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意:1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组;若分组后公式法22分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a-b+1，在分解时，222222ab-a-b+1=1-=1-=1.重点难点分析1 / 19精品文档重点:掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则:分组后可继续分解.难点:是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调:分组无固定的形式.2.典型例题解析32例1 分解因式2a+a-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2?1，三、四两项的系数之比也是2?1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.32解 a+a-6a-33=-=a-3=222例分解因式4x-4xy+y-16z分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.222解 x-4xy+y-16z2 / 19精品文档222=-16z22=-=22例分解因式ax-ay-x+2xy-y分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式可提.解 ax-ay-x+2xy-y22=-2=a-=22222例把-4xy分解因式22222解 -4xy2222=-2222=[+2xy][-2xy]2222=[-1][-1]2=[-1][-1]=例分解因式x-6分析考虑去掉括号，重新分组.解 x-632=x-3x+2x-63 / 19精品文档32=+2=x+22=4例分解因式a+44分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一22422项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.4解 a+4422=a+4a+4-4a422=-4a22=-22=点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.22322例已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.分析由已知条件，通过因式分解，可得到的值.从而可以化简所求代数式.22解由x+10xy+25y-1=0可得4 / 19精品文档-1=0 即=0当x+5y+1=0时32x+5x2y+x=x=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1322x+5x2y+x=x=2x熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.232例把2x+x-6x-3分解因式.32解 x+x-6x-33=-2=x-32=2222例把abx-aby-axy+bxy分解因式.2222解 abx-aby-axy+bxy2222=+=a+by=点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因5 / 19精品文档式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组;也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.2例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab.2解法一 xy-ax+bx+ay-a+ab2=+=x+a=2解法二 xy-ax+bx+ay-a+ab2=-+=y-a+b=点评本题共有六项，解法一分为两组:前三项为一组，后三项为一组;解法二分为三组:一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.一、填空题221.x+2y-y+2x=.22.因式分解x+xy-3x-3y= .223.因式分解1-a+2ab-b= .6 / 19精品文档54324.因式分解x+x+x+x= .25.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式ab-ab+ab-ab= .229.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3= .2210.分解因式a-b+4a+2b+3= .二、分解因式32211.ab+bc-cd-da 12.x-xyz+xy-xz22213.y-x+6x-914.x-+2xy+y-ax-ay2215.6x-2m+2n 16.4x-4y+4y-1423324参考答案:22一、1. . . .x5.26. . .) .10 10.二、11.原式= 12.原式=x 13.原式=14.原式= 15.原式=2 16.原式=因式分解之分组分解法1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2,ab，ac,bc2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad7 / 19精品文档3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y2224.按公式特点分组a,2ab，b,c a2?4b2?12bc?9c2四(总结规律1.合理分组;2.组内分解3.组间再分解4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
用分组分解法分解因式,分组原则
用分组分解法分解因式,分组原则
分组分解法是一种常用的因式分解方法，适用于多项式中存在两项之间存在公因式的情况。
分组分解法的具体步骤如下：
1. 将多项式中的各项按照公因式进行分组。
2. 对每个分组项内进行因式提取。
3. 将每个分组项提取出来的公因式相乘，并与剩余项相加。
分组原则：
根据分组分解法的原则，我们需要对多项式中的各项进行分组。
一般情况下，我们会将公因式相同的项分在一组，这样在进行因式提取和合并时更加方便。
举例说明：
假设我们要对多项式 2x^2 + 3xy + 4x - 6y 进行因式分解。
1. 根据分组原则，将多项式中的各项进行分组：
(2x^2 + 4x) + (3xy - 6y)
2. 对每个分组项内进行因式提取。
第一组提取出公因式2x，
第二组提取出公因式3y：
2x(x + 2) + 3y(x - 2)
3. 最后将每个分组项提取出来的公因式相乘，并与剩余项相加： 2x(x + 2) + 3y(x - 2) = (2x + 3y)(x + 2)
注意：在进行因式提取和合并时，需要遵循代数的运算法则，注意正负号的处理。
分组分解法
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
分组分解法分组后能直接运用公式
分组分解法分组后能直接运用公式具体来说，分组分解法的步骤如下：步骤一：将问题进行合适的分组。
这一步骤需要根据问题的特点，将元素按照一定的规则进行合理的分组。
分组的目的是为了将原问题分解成若干个较为简单的子问题。
步骤二：运用已知的公式或结论求解每个分组的子问题。
这一步骤需要根据子问题的特点，选择合适的公式、结论或方法来求解。
步骤三：根据子问题的求解结果，得到原问题的解。
这一步骤需要根据子问题的求解结果，通过组合、运算等方法得到原问题的解。
下面以一个具体的例子来说明分组分解法的应用。
例子：设有n个人，要组成m个小组，每个小组的人数可以不同。
求分组方案的总数。
解：首先，我们将n个人进行合适的分组。
假设分成了k个小组，每个小组的人数分别为n1，n2，...，nk。
接下来，我们需要运用已知的公式来求解每个分组的子问题。
我们知道，对于每个小组，可以通过排列或组合的方式来计算出人数的不同情况下的分组方案的总数。
具体而言，对于一个小组，假设人数为ni，可以采用的方案总数为C(ni,1) + C(ni,2) + ... + C(ni,ni)。
然后，我们需要根据子问题的求解结果来得到原问题的解。
根据以上的求解，每个小组的方案总数为C(ni,1) + C(ni,2) + ... + C(ni,ni)，则原问题的解为所有小组方案总数的乘积，即：分组方案的总数 = (C(n1,1) + C(n1,2) + ... + C(n1,n1)) *(C(n2,1) + C(n2,2) + ... + C(n2,n2)) * ... * (C(nk,1) + C(nk,2)+ ... + C(nk,nk))。
通过以上的步骤，我们可以将原问题分解成若干个较为简单的子问题，并根据已知的公式求解每个子问题，最终得到原问题的解。
综上所述，分组分解法能够将原问题分解成若干个较为简单的子问题，并能够运用已知的公式或结论来求解每个子问题，最终得到原问题的解。
分组分解法的九种技巧
分组分解法的九种技巧1.根据功能分组：将问题按照不同的功能进行分组，每个功能组解决其相关的问题。
这种方法适用于多个功能之间有较少的交叉问题。
2.根据角色分组：将问题按照不同的角色进行分组，每个角色组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题涉及到多个不同的参与者。
3.根据时间分组：将问题按照不同的时间段进行分组，每个时间段解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有明确的时间要求或按时间顺序解决的问题。
4.根据地理位置分组：将问题按照不同的地理位置进行分组，每个地理位置组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题涉及到不同的地理区域或位置。
5.根据优先级分组：将问题按照不同的优先级进行分组，每个优先级组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有不同的紧急程度或重要程度。
6.根据类型分组：将问题按照不同的类型进行分组，每个类型组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有多个不同的类型或类别。
7.根据原因分组：将问题按照不同的原因进行分组，每个原因组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有多个不同的根本原因或诱因。
8.根据解决方法分组：将问题按照不同的解决方法进行分组，每个解决方法组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题的解决方法有多种选择或不同的解决路径。
9.根据具体情况分组：根据实际情况和需求，将问题按照自定义的分组方式进行分组，以解决具体的问题。
以上九种分组分解法技巧可以根据问题的具体情况和要求进行灵活组合和运用，以便更好地解决复杂问题。
通过将问题分解成多个较小的子问题，并分别解决，可以提高问题解决的效率和准确性，同时也有助于更好地理解问题的本质和关联。
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
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3ax 4by 4ay 3bx
分解因式．
m 5n mn 5m
2
分解因式．
例1 、
把x³ -x² +x-1分解因式。
例2
把a² +2ab+b² -c² 分解因式。
2 2 把4xy＋1－x －4y 分解因式
2 2 a ＋2ab＋b －ac－bc
2 2 1－x －y ＋2xy
2
(4)(ax by ) (bx ay ) ;
2 2
(5)a b c 2bc 2ac 2ab.
2 2 2
分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种式子变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.回想我们已经学过那些分解因式的方
法？
提公因式法，公式法——平方差公式， 完全平方公式，十字相乘法
(a+b)(m+n) 整 am+an+bm+bn 因 =a(m+n)+b(m+n) 式 =a(m+n)+b(m+n) 式 乘 =am+an+bm+bn 分 =(a+b)(m+n) 法 解 定义：这种把多项式分成几组来 分解因式的方法叫分组分解法
分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？
•这个多项式能否进行因式分解？
练习：
1.ax+ay+x+y 2.5m(a+b)-a-b
（答案、 (x+y)(a+1)、(a+b)(5m-1)
` 定义：利用分组来分解因式的方 法叫做分组分解法。
2ax 10ay 5by bx 分解因式．
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy
(6)
Hale Waihona Puke 2 2 2 2 x -x y+xy -x+y-y
把下列各式分解因式：
(1)1 x x( x 1) x( x 1) x( x 1) ;
2 3
(2)ab(c d ) cd (a b );
2 2 2 2
(3)4 x 3 y x(3 y 4);
把下列各式分解因式：
(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q)
(3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)
例3、
把2x² -5x-ax+3a-3分解因式
解：2x² -5x-ax+3a-3 =(2x² -5x-3)+(-ax+3a) =(x-3)(2x+1)-a(x-3) =(x-3)[(2x+1)-a] =(x-3)(2x+1-a)
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公 因式后，它们的另一个因式正好相同，那么 这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
2 例１把a -ab+ac-bc分解因式
解：a2-ab+ac-bc 2 =(a -ab)+(ac-bc) ——分组 =a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式
=(a-b)(a+c) ——提公因式
4 3 2 x －2x +x -1
x 2x 2x 2x 1
4 3 2
am+bm+an－cm+bn－cn分解因式
2 2 2 45m －20ax +20axy－5ay
四、激活思维训练 ▲知识点：分组后提公因式 【例】把ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)分解因式。
创新能力运用 把下列各式分解因式： （1）ax－ay＋a2＋bx－by＋ab （2）y(y－1)(y－2)－6
a b x y 2ax 2bx
2 2 2 2
小结：1、要准确分组。 2、分解因式，一般应先考虑能否提取 公因式，然后考虑运用公式法和十字 相乘法,在不能运用上述方法分解时,再 考虑用分组分解法
3、分解因式必须进行到每个因式都不 再能分解为止。
.
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应 项系数成比例分组，或按对应项的 次数成比例分组。 分解步骤： (1)分组； (2)在各组内提公因式； (3)在各组之间进行因式分解 (4)直至完全分解