重庆市九龙坡区育才中学八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2019-2019学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑）1．（4分）下列各式中，其中（）是分式．A．B．C．D．2．（4分）如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE 和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：43．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣14．（4分）下列式子中，因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2C．x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3 D．a﹣ab2=a（1﹣b2）5．（4分）如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为 1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（）A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m6．（4分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）=x+2的解是（）A．x=﹣2 B．x=3 C．x=3或x=﹣2 D．x=4或x=﹣27．（4分）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC．（m﹣n）2+2mn=m2+n2D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n28．（4分）光明家具厂生产一批学生课椅，计划在30天内完成并交付使用．若每天多生产100把，则23天完成且还多生产200把．设原计划每天生产x把，根据题意，可列分式方程为（）A．B．C．D．9．（4分）关于x的三项式2x2﹣ax﹣7可分解为（2x﹣1）（x+7），则a的值为（）A．﹣13 B．13 C．﹣6 D．610．（4分）为保护森林，中华铅笔厂准备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始每月生产625万支新型铅笔，经两次技术革新后，上升至每月生产900万支新型铅笔，则每次技术革新的平均增长率是（）A．22% B．20% C．15% D．10%11．（4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8，则第6个菱形的周长为（）A．2 B．C．D．12．（4分）若a、b、c为△ABC的三边，且关于x的一元二次方程（c﹣b）x2+2（b ﹣a）x+2（a﹣b）=0有两个相等的实数根，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题题卡中对应的横线上13．（3分）在比例尺为1：200的地图上，测得A、B两地间的图上距离为7厘米，则A、B两地间的实际距离为米．14．（3分）因式分解：x2﹣2x=．15．（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣2m2=0的一个根，则m 的值为．16．（3分）若x2﹣6xy+9y2=0且xy≠0，则的值为．17．（3分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式a+ab+b ﹣2的值等于．18．（3分）春天到了，生物兴趣小组的学生收集了很多蝴蝶标本．若每位同学将自己收集的标本向其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，则这个小组有名同学．19．（3分）对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}=4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}=的解为．20．（3分）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=．三、解谷题：（本大题共6个小题，共54分）请把答案写在谷题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.21．（6分）已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，若CD=2，BF=，BC=3，，求DE及CE的长．22．（10分）解一元二次方程：（1）x2+6x=1（2）（x+2）2=8x23．（10分）解分式方程：（1）（2）24．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程x2+x=1的解．25．（10分）诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二（1）班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．（1）班委会通过多方比较，决定用500元在A商店租赁服装，用300元在B商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？（2）因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了5a%（a＜60），道具套数比（1）中的道具套数增加了2a%．初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A商店、B商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a%的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a的值．26．（10分）在菱形ABCD中，∠C=60°，E为CD边上的点，连接BE．（1）如图1，若E为CD的中点且BE=3，求菱形ABCD的面积．（2）如图2，点F在BC边上，且DE=CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN=DM，求证：AN=DM+BM．四、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤27．（12分）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“能”或“不能”）被17整除，36125（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AC：y=﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点A，点B在x轴的负半轴，且BC=．（1）求直线AB的解析式．（2）若点D在直线AC上，其横坐标为，而点E、F分别是直线AB和x轴上的动点，当CE+EF+FD最小时，求此时点E、F的坐标．（3）在（2）的结论下，点M、N分别是直线AB、AC上的动点，若以点E、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点M、N的坐标．2019-2019学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑）1．（4分）下列各式中，其中（）是分式．A．B．C．D．【分析】根据分式的定义如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式求解可得．【解答】解：四个选项中只有﹣是分式，故选：C．【点评】此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．2．（4分）如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE 和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣1【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．【解答】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：C．【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4．（4分）下列式子中，因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2C．x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3 D．a﹣ab2=a（1﹣b2）【分析】将四个选项分别因式分解即可判断．【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），此选项错误；B、x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2，此选项正确；C、x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3不属于因式分解，此选项错误；D、a﹣ab2=a（1﹣b2）=a（1+b）（1﹣b），此选项错误；故选：B．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（4分）如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为 1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（）A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得：=，解得：h=8.5．故选：C．【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．6．（4分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）=x+2的解是（）A．x=﹣2 B．x=3 C．x=3或x=﹣2 D．x=4或x=﹣2【分析】先移项得到（x﹣3）（x+2）﹣（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（x﹣3）（x+2）﹣（x+2）=0，（x+2）（x﹣3﹣1）=0，x+2=0或x﹣3﹣1=0，所以x1=﹣2，x2=4．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．7．（4分）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC．（m﹣n）2+2mn=m2+n2D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2【分析】根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【解答】解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选：B．【点评】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．8．（4分）光明家具厂生产一批学生课椅，计划在30天内完成并交付使用．若每天多生产100把，则23天完成且还多生产200把．设原计划每天生产x把，根据题意，可列分式方程为（）A．B．C．D．【分析】设原计划每天生产x把，则实际每天生产（x+100）把，根据题意可得等量关系：（原计划30天生产的课椅把数+200把）÷实际每天生产的课椅把数=23天，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每天生产x把，则实际每天生产（x+100）把，根据题意得：=23，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9．（4分）关于x的三项式2x2﹣ax﹣7可分解为（2x﹣1）（x+7），则a的值为（）A．﹣13 B．13 C．﹣6 D．6【分析】根据多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算，然后即可算出答案．【解答】解：（2x﹣1）（x+7）=2x2+14x﹣x﹣7=2x2+13x﹣7，由题意知﹣a=13，即a=﹣13，故选：A．【点评】此题主要考查了多项式与多项式相乘，关键是掌握多项式乘法法则．10．（4分）为保护森林，中华铅笔厂准备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始每月生产625万支新型铅笔，经两次技术革新后，上升至每月生产900万支新型铅笔，则每次技术革新的平均增长率是（）A．22% B．20% C．15% D．10%【分析】设每次技术革新的平均增长率为x，根据开始每月的产量及经过两次技术革新后每月的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每次技术革新的平均增长率为x，根据题意得：625（1+x）2=900，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．答：每次技术革新的平均增长率为20%．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8，则第6个菱形的周长为（）A．2 B．C．D．【分析】根据第一个矩形的两条邻边长分别为6和8，得出中位线的长的长，在根据中位线定理，可知第一个菱形的边长是第一个矩形对应的对角线的，即可得出第一个菱形的边长和周长，以次类推，即可得出第6个菱形的周长．【解答】解：因为第一个矩形的两条邻边长分别为6和8，所以对角线的长为10，根据中位线定理，可知第一个菱形的边长是第一个矩形对应的对角线的，所以第一个菱形的边长是5，周长是5×4=20，因为第二个矩形的边长是第一个矩形对应的边长的，根据中位线定理，可知第二个菱形的边长是第二矩形对应的对角线的，所以第二个菱形的边长是5×，周长是20×，同理：第三个菱形的周长为20×（）2，所以第n个菱形的周长为20×（）n﹣1，则第6个菱形的周长为：20×=，故选：C．【点评】本题考查了图形的变化类，用到的知识点是三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．12．（4分）若a、b、c为△ABC的三边，且关于x的一元二次方程（c﹣b）x2+2（b ﹣a）x+2（a﹣b）=0有两个相等的实数根，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形【分析】根据判别式的意义得到△=[2（b﹣a）]2﹣4（c﹣b）•2（a﹣b）=0，利用因式分解得到（a﹣b）（a﹣b﹣c+b）=0，从而得到a=b或a=c，于是可判断这个三角形为等腰三角形．【解答】解：根据题意得△=[2（b﹣a）]2﹣4（c﹣b）•2（a﹣b）=0，（a﹣b）（a﹣b﹣c+b）=0，a﹣b=0或a﹣c=0，所以a=b或a=c，所以这个三角形为等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题题卡中对应的横线上13．（3分）在比例尺为1：200的地图上，测得A、B两地间的图上距离为7厘米，则A、B两地间的实际距离为14米．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可．【解答】解：设A，B两地间的实际距离为xcm，∴1：200=7：x，∴x=1400cm，∵1400cm=14m，∴A，B两地间的实际距离为14m．故答案为：14【点评】本题考查比例线段，关键是根据比例尺的计算方法求解．注意单位要统一．14．（3分）因式分解：x2﹣2x=x（x﹣2）．【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式=x（x﹣2），故答案为：x（x﹣2）【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．15．（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣2m2=0的一个根，则m 的值为0．【分析】由x=2为方程的解，将x=2代入方程即可求出m的值．【解答】解：根据题意将x=2代入方程得：4（m﹣2）+8﹣2m2=0，整理得：2m2﹣4m=0，即2m（m﹣2）=0，解得：m=0或2，当m=2时，方程为4x﹣8=0，不合题意，舍去；则m=0，故答案为：0．【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．（3分）若x2﹣6xy+9y2=0且xy≠0，则的值为2．【分析】由x2﹣6xy+9y2=0知（x﹣3y）2=0，从而得出x=3y，代入计算可得．【解答】解：∵x2﹣6xy+9y2=0，∴（x﹣3y）2=0，则x﹣3y=0，即x=3y，所以原式===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握因式分解的应用与整体代入思想求分式的值的能力．17．（3分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式a+ab+b ﹣2的值等于﹣1．【分析】先根据韦达定理得出a+b、ab的值，代入数值计算即可．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，∴ab=﹣1，a+b=2，则a+ab+b﹣2=2﹣1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．（3分）春天到了，生物兴趣小组的学生收集了很多蝴蝶标本．若每位同学将自己收集的标本向其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，则这个小组有11名同学．【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了210件，故根据等量关系可得到方程．【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，所以，x（x﹣1）=110．解之得x1=﹣10（不合题意舍去），x2=11，答：全组共有11名学生．故答案是：11．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．19．（3分）对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}=4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}=的解为﹣1或1+．【分析】根据题中的新定义化简方程，求出解即可得到x的值．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形为x=，去分母得：x2﹣2x﹣1=0，解得：x==1±，此时x=1+，经检验x=1+是分式方程的解；当x＜﹣x，即x＜0，方程变形为﹣x=，去分母得：x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，综上，x的值为﹣1或1+，故答案为：﹣1或1+【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（3分）已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=1．【分析】如图，延长DF交AB于P．首先证明EF：CF=1：4，由△ADP≌△NAB，推出BN=AP，DP=AM，由PE∥BC，推出PE：BC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再证明∠NCM=∠NMC即可解决问题；【解答】解：如图，延长DF交AB于P．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，∵AN⊥DP，∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，∴∠APD=∠ANB，∴△ADP≌△NAB，∴AN=DP，∵BF⊥EC，∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠EBF=∠BCE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，∵AB=BC，BE=AE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，设EF=a，则BF=2a，CF=4a，∵PE∥BC，∴==，∵BC=4，∴PE=1，∴PE=PB=1，∴PF=BE=1，AP=3，在Rt△ADP中，DP==5，∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，∴BC=DF，∴∠DFC=∠DCF，∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，∴∠NCM=∠NMC，∴MN=CN=1．故答案为1．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．三、解谷题：（本大题共6个小题，共54分）请把答案写在谷题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.21．（6分）已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，若CD=2，BF=，BC=3，，求DE及CE的长．【分析】由平行线的判定定理推知△CDE∽△CAB，△BEF∽△BCA，结合相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：∵CD=2，，∴AD=3，∴AC=CD+AD=2+3=5，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴=，即=，解得CE=．同理，由△CDE∽△CAB得到：==①．∴△BEF∽△BCA，∴=，即=，解得BA=②联立①②可得：DE=．综上所述，CE=，DE=．【点评】考查相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．22．（10分）解一元二次方程：（1）x2+6x=1（2）（x+2）2=8x【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）整理成一般式后利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+6x=1，∴x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10，则x+3=，∴x=﹣3；（2）原方程整理可得x2﹣4x+4=0，则（x﹣2）2=0，∴x﹣2=0，∴x1=x2=2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．23．（10分）解分式方程：（1）（2）【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：1=3x﹣1+4，解得：x=﹣，经检验x=﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程x2+x=1的解．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a是方程x2+x=1的解，即可解答本题．【解答】解：∵a是方程x2+x=1的解，∴a2+a=1，∴a2=1﹣a，∴原式==﹣1．【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．25．（10分）诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二（1）班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．（1）班委会通过多方比较，决定用500元在A商店租赁服装，用300元在B商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？（2）因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了5a%（a＜60），道具套数比（1）中的道具套数增加了2a%．初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A商店、B商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a%的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a的值．【分析】（1）设需租赁x套演出服装，则需购买（x+5）套道具，根据单价=总价÷数量结合租赁一套服装比购买一套道具贵30元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量结合这次租赁服装和购买道具总共用了279元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设需租赁x套演出服装，则需购买（x+5）套道具，根据题意得：﹣=30，解得：x1=10，x2=﹣，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，x=﹣是原分式方程的解，但不符合题意，∴x+5=15．答：初二（1）班班委会租赁了10套演出服装、购买了15套道具．（2）根据题意得：10×5a%××（1﹣a%）+15×2a%××（1﹣a%）=279，整理得：a2﹣100a+900=0，解得：a1=10，a2=90（不合题意，舍去）．答：a的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．26．（10分）在菱形ABCD中，∠C=60°，E为CD边上的点，连接BE．（1）如图1，若E为CD的中点且BE=3，求菱形ABCD的面积．（2）如图2，点F在BC边上，且DE=CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN=DM，求证：AN=DM+BM．【分析】（1）只要证明△BDC是等边三角形，求出CD即可解决问题；（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH=MD，连接DH．想办法证明△AMN，△DMH都是等边三角形，△ADH≌△BDM即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠C=60°，∴△BCD是等边三角形，∵DE=EC，∴BE⊥CD，∴tan60°=，∴EC=，∴CD=2EC=2，∴菱形ABCD的面积=CD•BE=6．（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH=MD，连接DH．∵DE=CF．∠BDE=∠C，BD=CD，∴△BDE≌△DCF，∴∠DBE=∠CDF，∴∠MBF=∠DBM+∠BDM=∠CDF+∠BDM=60°，∴∠DMB=120°，∵∠DAB+∠DMB=180°，∴∠ADM+∠ABM=180°，∵∠ABN+∠ABM=180°，∴∠ABN=∠ADM，∵AB=AD，BN=DM，∴△ABN≌△ADM，∴∠DAM=∠BAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAB=60°，∴△AMN是等边三角形，∴∠AMB=∠AMD=60°，∵MH=MD，∴△DMN是等边三角形，∴DH=DM，∠ADB=∠HDM=60°，∴∠ADH=∠BDM，∵AD=DB，DH=DM．∴△ADH≌△BDM，∴AH=BM，∵AM=AH+HM，∴AN=AM=DM+BM．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．四、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤27．（12分）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074不能（填“能”或“不能”）被17整除，36125能（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．【分析】（1）根据题意可求得．（2）根据题意求证．（3）根据题意可列二元一次方程，可求x，y的值，代入可求F（n）的最大值．【解答】解：（1）∵74﹣3×3=65，且65不能被17整除∴3074不能被17整除∵125﹣36×3=17，且17能被17整除∴36125能被17整除故答案为：不能，能（2）设多位自然数为k根据题意可得﹣3k=17n（n为整数）∴=3k+17n∵1000k+=1003k+17n=17（59k+n）∴多位自然数为k被17整除．（3）根据题意得：100y+52﹣3n=17k（k是整数）97y﹣30x﹣11=17kk==6y﹣2x﹣1﹣∵k为整数∴为整数∵1≤x≤7，1≤y≤8∴﹣29≤5y﹣4x﹣6≤30当5y﹣4x﹣6=﹣17，则x=4，y=1，∴n=62 即F（n）=当5y﹣4x﹣6=0，则x=1，y=2或x=6，y=6∴n=33或n=87∴F（n）=0或当5y﹣4x﹣6=17，则x=3，y=7∴n=58 即F（n）=综上所述：F（n）的最大值为【点评】本题考查了因式分解的应用，列二元一次方程解x，y的值是本题的关键．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AC：y=﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点A，点B在x轴的负半轴，且BC=．（1）求直线AB的解析式．（2）若点D在直线AC上，其横坐标为，而点E、F分别是直线AB和x轴上的动点，当CE+EF+FD最小时，求此时点E、F的坐标．（3）在（2）的结论下，点M、N分别是直线AB、AC上的动点，若以点E、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点M、N的坐标．【分析】（1）先求出点A，C坐标，进而求出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出三角形ABC是直角三角形，再找出CE+EF+FD最小时，满足的条件，再计。