复变函数：3.2 柯西-古萨基本定理
复变函数第3章
§3.1 复变函数积分的概念
主要内容
一 积分的定义 二 可积的条件及计算法 三 积分的性质
要求： 要求：
理解复变函数积分的概念， 理解复变函数积分的概念，掌握计算方法及性质
§3.1 复变函数积分的概念
一 积分的概念
1 有向曲线： 有向曲线： 为平面上给定的一条光滑( 设 C为平面上给定的一条光滑 ( 按段光滑 ) 曲线 . 如果选 为平面上给定的一条光滑 按段光滑) 曲线. 的两个可能方向中的一个作为正方向， 定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把 的两个可能方向中的一个作为正方向 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线 理解为带有方向的曲线， 理解为带有方向的曲线 称为有向曲线
k =1
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆x k + u(ξ k ,η k )∆y k ]
k =1
n
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
1 积分存在的条件 是连续函数C是光滑曲线 若f(z)是连续函数 是光滑曲线,则积分∫ f (z)dz一定存在 是连续函数 是光滑曲线, C 【证】∑ f (ζ k ) ⋅∆z k = ∑ [u(ξ k ,η k )∆x k − v (ξ k ,η k )∆y k ]
udx − vdy + i ∫ vdx + udy
C
C
udx + ivdx + iudy − vdy
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线 的方程为 设连续函数 ，光滑曲线C的方程为
z = z(t) = x(t) + i y(t), α ≤ t ≤ β
复变函数3-2柯西-古萨定理
便可确定D内的一个单值函数 F(z)
z
f ( )d .
z0
定理二
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那末函数 F (z) z f ( )d 必为D 内的一个解 z0
析函数, 并且 F (z) f (z).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
C D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c f (z)dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由 f (z)解析，u, v 在D上可微，且
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz ︵ f (z)dz ︵ f (z)dz
C
C1
AA
AA
CF
︵ f (z)dz ︵ f (z)dz 0,
BB
BB
A A F B
即 f (z)dz f (z)dz 0,
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
3
1、Cauchy积分定理
定理 柯西－古萨基本定理
设D为单连通域 ,如果函数 f (z) A(D)
则对 D 内的任何一条封闭曲线 C,有 c f (z)dz 0.
此定理常称为柯西积分定理.
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
第一讲 复变函数积分的概念与柯西—古萨定理
工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.1 复变函数积分的概念；§3.2 柯西—古萨基本定理．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握复积分计算的一般方法；2．理解复积分的概念及性质；熟悉柯西—古萨基本定理．教学重点及难点：重点：复积分的概念及性质；复积分计算的一般方法．难点：柯西—古萨基本定理．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.1复变函数积分的概念一、积分的定义1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向, . C -记为关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.2.积分的定义: () , w f z D C =设函数定义在区域内为区域 D 内起点为 A 终点为 ,B 的一条光滑的有向曲线 , C n 把曲线任意分成个弧段设分点为011,,,,,,,k k n A z z z z z B -==1 (1,2,,) k k z z k n -= 在每个弧段111()()(),n nn k k k k k k k S f z z f z ζζ-===⋅-=⋅∆∑∑作和式11 , , k k k k k k z z z s z z --∆=-∆=这里的长度1 max{},k k ns δ≤≤=∆记 n 当无限增加且0 δ→, 时 , k n C S ζ如果不论对的分法及的取法如何有唯,一极限 那么 称这极限值为 () , f z C 函数沿曲线的积分记为1()d lim().nk k Cn k f z z f z ζ→∞==⋅∆∑⎰关于定义的说明:(1) , C 如果是闭曲线那么沿此闭曲线的积分()d .Cf z z ⎰ 记为(2) , ()C x a x b f z ≤≤如果是轴上的区间而(),u x =这个积分定义就是一元实变函数.定积分的定义二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件() ,f z C 如果是连续函数而是光滑曲线时 ()d .Cf z z ⎰积分一定存在证 C 设光滑曲线由参数方程给出()()(), z z t x t i y t t αβ==+≤≤，正方向为参数增加的方向, ,A B αβ参数及对应于起点及终点 ()0,,z t t αβ'≠<<并且 ()(,)(,) ,f z u x y i v x y D =+如果在内处处连续 (,) (,) u x y v x y D 那么和在内 ,均为连续函数oxy,k k k i ζξη=+设 因为111()k k k k k k k z z z x iy x iy ---∆=-=+-+11()()k k k k x x i y y --=-+- ,k k x i y =∆+∆所以1()nk k k f z ζ=⋅∆∑1[(,)(,)]()nkk k k k k k u i v x i y ξηξη==+∆+∆∑1[(,)(,)]nkk k k k k k u x v y ξηξη==∆-∆∑ 1[(,)(,)]nk k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑, ,u v 由于都是连续函数根据线积分的存在定理,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , (,) ,k k C ξη不论对的分法任何点的取法如何 ,下式两端极限存在11()[(,)(,)]nnk k kk k k k k k k f z u x v y ζξηξη==∆=∆-∆∑∑1[(,)(,)]nk k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑()d Cf z z ⎰d d Cu x v y =-⎰d d Ci v x u y ++⎰在形式上可以看成是() d d d :f z u iv z x i y =+=+与相乘后求积分得到()d Cf z z ⎰()(d d )Cu iv x i y =++⎰d d d d Cu x iv x iu y v y =++-⎰d d d d .CCu x v y i v x u y =-++⎰⎰2. 积分的计算法()d .Cf z z ⎰可以通过两个二元实变函数的线积分来计算()d {[(),()]()[(),()]()}d Cf z z u x t y t x t v x t y t y t tβα''=-⎰⎰{[(),()]()[(),()]()}d i v x t y t x t u x t y t y t t βα''++⎰{[(),()][(),()]}{()()}d u x t y t iv x t y t x t iy t t βα''=++⎰ [()]()d .f z t z t t βα'=⎰12 ,,, n C C C C 如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则()d Cf z z ⎰12()d ()d ()d nC C C f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 例1 d , : 34 .Cz z C i +⎰计算从原点到点的直线段解 直线方程为：3,01,4,x t t y t =⎧≤≤⎨=⎩ , (34),C z i t =+在上d (34)d ,z i t =+120d (34)d Cz z i t t =+⎰⎰12(34)d i t t =+⎰2(34).2i +=d ()(d d )CCz z x iy x i y =++⎰⎰又因为d d d d d CCCz z x x y y i y x x y =-++⎰⎰⎰这两个积分都与路线C 无关， C 所以不论是怎样从原点连接到 34 ,i +点的曲线2(34)d .2Ci z z +=⎰例2 R e d ,Cz z C ⎰计算其中为 (1) 1 ; i +从原点到点的直线段2(2) 1 ;y xi =+抛物线上从原点到点的弧段(3) 1 1 .x i +从原点沿轴到点再到的折线解 (1) 积分路径的参数方程为：()(01),z t t it t =+≤≤ Re ,d (1)d ,z t z i t ==+于是R e d Cz z ⎰1(1)d t i t =+⎰1(1);2i =+(2) 积分路径的参数方程为：2()(01),z t t itt =+≤≤Re ,d (12)d ,z t z ti t ==+于是R e d C z z ⎰10(12)d t it t =+⎰1230223t i t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12;23i =+(3) 积分路径由两段直线段构成：x 轴上直线段的参数方程为：()(01),z t t t =≤≤ Re ,d d ,z t z t ==于是 1到1+i 直线段的参数方程为：()1(01),z t it t =+≤≤ Re 1,d d ,z z i t ==于是R e d Cz z ⎰1d t t =+⎰11d i t ⋅⎰1.2i =+例3 d , : 2.Cz z C z =⎰计算其中为圆周解 积分路径的参数方程为：2(02π),i z e θθ=≤≤d 2d i z ie θθ=d Cz z ⎰2π22d i ie θθ=⋅⎰(2)z =因为2π4(cos sin )d i i θθθ=+⎰0.=例4 0101 d , , ()n CzC z r z z +-⎰求为以为中心为,.n 半径的正向圆周为整数 解 积分路径的参数方程为；：0(02π),i z z r e θθ=+≤≤101d ()n Cz z z +-⎰2π1(1)0d i n i n ire reθθθ++=⎰2π0d ,in ni e rθθ-=⎰0 ,n =当时101d ()n Cz z z +-⎰ 2π0d i θ=⎰2;i π=0 ,n ≠当时101d ()n Cz z z +-⎰2π0(cos sin )d ni n i n rθθθ=-⎰0;=i+i+所以0101d ()n z z rz z z +-=-⎰2,0,0,0.i n n π=⎧=⎨≠⎩重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)()d ()d ;CCf z z f z z -=-⎰⎰(2)()d ()d ;()CCkf z z k f z z k =⎰⎰为常数(3)[()()]d ()d ()d ;CCCf zg z z f z z g z z ±=±⎰⎰⎰(4) , () C L f z C 设曲线的长度为函数在上满足 (), f z M ≤那末()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰（估值不等式）性质(4)的证明：1 ,k k k z z z -∆因为是与两点之间的距离 ,k s ∆为这两点之间弧段的长度1()nk k k f z ζ=⋅∆∑所以1()n k k k f z ζ=≤⋅∆∑1()nk k k f s ζ=≤⋅∆∑，两端取极限得，()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰1()nk k k f s ζ=⋅∆≤∑因为1nkk Ms=∆∑,M L =所以()d ()d CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰[证毕]例5 34 C i +设为从原点到点的直线段 1d Cz z i-⎰试求积分绝对值的一个.上界解 (34), (0C z i t t =+≤≤的参数方程为，根据估值不等式知1d Cz z i-⎰1d Cs z i≤-⎰11,3(41)C z it t i=-+-因为在上==5,3≤从而1d Cz z i-⎰5d 3Cs ≤⎰253=125 d 3Cz z i≤-⎰故§3.2 柯西—古萨基本定理一、问题的提出观察上节例1, () ,f z z =被积函数在复平面内处处解析此时积分与路线无关. 观察上节例4, 01 0,n z z =-被积函数当时为0 z C 它在以为中心的圆周的内部不是,处处解析的01 d 20.cz i z z π=≠-⎰此时0 z C 虽然在除去的的内部函数处处解,.析但此区域已不是单连通域观察上节例5, (),f z z x iy ==-被积函数由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. d .cz z ⎰此时积分值与路线有关由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.二、基本定理柯西－古萨基本定理 () ,f z B 如果函数在单连通域内处处解析 那末函数() f z 沿 B 内的任何一条封 : ()d 0.cC f z z =⎰ 闭曲线的积分为零定理中的 C 可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.关于定理的说明:(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, () f z 函数在 ,B C 内与上解析在闭区域B = ,BC +上解析 ()d 0.cf z z =⎰ 那末(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, () f z 函数在 ,B 内解析 B =在闭区域 , B C +上连续那末定理仍成立.三、典型例题 例1 11d .23z z z =-⎰ 计算积分 解 11 ,23z z ≤-函数在内解析根据柯西－古萨定理, 有 11d 0.23z z z ==-⎰例2 ()d 0(1), ncz z n C α-=≠-⎰ 证明其中是.任意闭曲线证 (1) ,n 当为正整数时() ,n z z α-在平面上解析由柯西－古萨定理, ()d 0.ncz z α-=⎰(2) 1 ,n -当为负整数但不等于时() ,nz z αα-在除点的整个平面上解析 : ,C α情况一若不包围点() ,nz C α-在围成的区域内解析由柯西－古萨定理,()d 0;ncz z α-=⎰: ,C α情况二若包围点由上节例4可知,()d 0.ncz z α-=⎰例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分解211111,(1)2z z zz iz i⎛⎫=-+⎪++-⎝⎭ 111 ,2z i z z i -≤+因为和都在上解析 根据柯西－古萨定理得2121d (1)z i z z z -=+⎰1211111d 22z i z zz i z i -=⎛⎫=--⎪+-⎝⎭⎰ 11122211111d d d 22z i z i z i z z z zz iz i-=-=-==--+-⎰⎰⎰1211d 2z i z z i-==--⎰122i π=-⋅.i π=-作业和思考题：第三章习题 11),3)；2；5；62),4) ,6)课后小结： （1）我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 重点掌握复积分的一般方法.（2）重点掌握柯西－古萨基本定理: 如果 () f z 函数在单连 通域B 内处处解析 () f z B C 那末函数沿内的任何一条封闭曲线:的积分为零()d 0.cf z z =⎰并注意定理成立的条件.。
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
3-2柯西-古萨基本定理
B
如果函数f(z)在闭曲线C
C
为边界的单连域B内解析, 在C上连续,则必有
f z dz 0
意义：一个曲线的原积分难算，可找一个易算曲线（如圆周）的积分。则将难算 曲线上的积分转化成易算曲线上的积分。
C 2 C 3 C1
由此可见,积分的值与路线无关,或沿闭曲线的积分值为零的条 件,可能与被积函数的解析性和区域的单连通性有关.下面来得出 一般结果.
假设f(z)=u+iv在单连域B内处处解析,且f /(z)在B内连续.
由于f z u v v u u u v v i i ， 所 以 u, v , , , , 都在 x x y y x y x y
如果函数f(z)在单连域B内处处解析， 那末函数f(z)沿B内任何一条闭曲线C的积分为零: f z dz 0 注意定理的应用条件：
C
柯西-古萨基本定理
(1)B必须是单连域,不能是多连域. 1 dz 2 i 0 如上节例2的 C z z0 此时C:|z-z0|=r的内部不是单连域.
§2 柯西-古萨基本定理
上节例1的被积函数f(z)=z在复平面内处处解析,积分只与起点和 终点的 位置有关,而与路线无关,或沿闭曲线的积分为零. 1 例2中,当n=0时被积函数为 z z0 它在以z0为中心的圆周C的内部有一个奇点z0,其它点处处解析,而 1 dz 2 i 0 此时C的内部不是单连域. C z z0 例3中的被积函数在复平面内处处不解析,积分与路线有关,且沿 闭曲线的积分 zdz i 0.
复变函数(第四版)课件--章节3.2
4 Newton-Libnize Newton-Libnize公式(N-L公式) (N(N )
f ( z ) 在单连通区域 D 解析， z , z 0 ∈ D 解析， 令 F (z) =
∫
z z0
f (ζ ) d ζ , 设 G ( z ) 是 f ( z )的
任意一个原函数。 任意一个原函数。
∫
故
∫
C
2π i , n = 1 1 dz = n (z − a) n ≠ 1. 0,
Γ
⋅a
C1
三 Newton-Libnize公式
1 2 3 4
原函数 不定积分 变上限函数 Newton-Libnize公式(N公式(N Newton-Libnize公式(N-L)
1 原函数定义
在单连通区域 D 内， F ' ( z ) = f ( z ), 则称 F ( z ) 是 f ( z )的原函数
计算 ∫ zdz , C : 平面上任意闭曲线
C
例2
函数z在 内处处解析 根据柯西-古萨定理, 内处处解析， 解 函数 在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
∫ zdz = 0
C
1 dz . 例3 计算积分 ∫ 2 z +1 z − i =1
1 1 1 1 1 = − , 因 解析, 在 z − i < 1 解析, 解 2 z + 1 2i z − i z + i z+i
C
C1
Cn
C3
C2
D
则成立: 则成立:
∫ f (z)dz = ∑ ∫ f (z)dz. ∫ f (z)dz + ∑ ∫ f (z)dz = 0
C k =1 C k
第三章3.2 柯西-古萨基本定理 复变函数的积分 数学物理方法PPT 教学课件
1851年Riemann 给出了Cauchy 定理的上述 简单证明.
1900年Goursat给出了Cauchy定理的新证明,且 将" f '(z)连续"这一条件去掉了. 这就产生了著名的Cauchy Goursat 定理, 从此解析函数的定义修改为 :" f '(z)在D内存在"
C1
C2
z0
解析的．但这个区域C 不是单连通的
例３中被积函数 f (z) z 在复平面内处 处不解析，其积分值与路线有关． 由此可见，积分值与路线无关，或沿 封闭曲线的积分值为零的条件，可能 与被积函数的解析性及区域的单连通 性有关．
先将条件加强些，作初步的探讨
"设f (z) u iv在单连通D内处处解析,且 f '(z)在D内连续"
§2 柯西－古萨基本定理
（Cauchy-Goursat）
分析上节的三个例子，例１中被积函数f (z) z
在复平面内处处解析．复平面是单连通的
所以积分和路线无关．例２中当 n 0 时
1
被积函数为z z0 其在以 z0为心的圆周内部 不把是z 处 z处0 除解去பைடு நூலகம்，的则．函而数c 在z dCzz0的内2部i 是0处若处
f '(z) ux ivx vy iuy u和v以 及 它 们 的 偏 导 数ux , uy , vx , v y在D内 都 是 连 续 的,并 满 足C R方 程ux v y vx uy 又,C D，
c f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由Green公 式
(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。
复变函数：3.2 柯西-古萨基本定理
5
备注：Green公式介绍（关于线积分与面积分的关系）
l P( x, y)dx Q( x, y)dy
D 单连通区域, l D 光滑曲线
P,Q, Px , Py ,Qx ,Qy 在D及l上连续
Q P
l
P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy
(
D
x
y
)dxdy
6
2. Cauchy-Goursat定理的相关定理:
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理中的 C 可以不是简 单曲线.
C B
此定理也称为柯西积分定
理.
4
Rieman的证明： f (z) 在B内解析
f (z) 在B内连续
f (z) ux ivx v y iuy
第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
(1) 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
(积分与路线无关).
(2) 被积函数 f (z) Re z,不满足柯西－黎曼方程 在复平面上处处不解析.
(积分与路线有关).
(3)
1 dz 2i 0.
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
2
1 1 1 zi 1 z 2 z i
2
1 2
z
1
i
dz
9
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
柯西古萨定理
§2 柯西——古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理若()z f 在单连域D 内解析,且()z f '连续,则对任意简单闭曲线D C ⊂,有：()0=⎰C dzz f 。
证明 ()iv u z f += 解析,且()z f '连续，xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂∴,且它们均连续。
从而，由格林公式，()⎰Cdz z f ivdy udxC +-=⎰⎰+C udy vdx000=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰DDdxdy y v xu i dxdy y u x v 。
推论 若()z f 在一条简单闭曲线C 的内部及C 上解析，则()0=⎰Cdz z f 。
例1 计算⎰+Cizdz z e12，其中曲线C 为正向圆周：13=-i z 。
解 奇点i z ±=不在闭曲线C 内，∴在C 内，被积函数()z f 解析，从而， ⎰+Cizdz z e12=0。
2.柯西——古萨基本定理s G C '-定理 若()z f 在单连域D 内处处解析，则对任意闭曲线D C ⊂,有：()0=⎰C dzz f 。
二、原函数与不定积分1.存在性定理由基本定理及高等数学的知识知道，必有：若()z f 在单连域D 内解析，则积分()⎰C dzz f 与路径无关。
即此时,()⎰Cdz z f ()⎰=1z z dz z f ，其中称1z 为上限，0z 为下限。
积分()⎰zz dz z f 0称为上限z 的函数,记为()z F ，并有：定理1 若()z f 在单连域D 内处处解析,则()z F 为解析函数,且()()z f z F ='.证明 ()z F =()⎰zz dz z f 0()()()()⎰⎰+=++-=∆y x y x y x y x iV U udy vdx i vdy udx ,,,,0000,()vi u z f +=在单连域D 内解析，∴xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。
高校工程数学第2节柯西-古萨基本定理教学课件
z z
f ( )d ,
因为
z z
z
f ( z )d f ( z )
z z
z
d f ( z )z ,
F ( z z ) F ( z ) 所以 f (z) z 1 z z f ( )d f ( z ) z z 1 z z [ f ( ) f ( z )]d z z
因为线积分与路线无关和沿封闭曲线的积分为零是两
个等价的性质，所以定理一显然成立。
[定理3-2-1]
如果起点为z0 , 终点为 z1 ,
B B
z0
C1 C2
z1
C1
z0
C2
z1
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点 有关.
这里z0，z1为域B内的两点。 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
[定理3-2-3]证明
[证] 因为 f ( z )dz 也是 f ( z ) 的原函数,
z0 z
所以 f ( z )dz G ( z ) c ,
z0
z
当 z z0 时, 根据柯西-古萨基本定理, 得 c G( z0 ),
基本定理的引入
究竟关系如何，不妨假设f(z)=u+iv在单连域B内处处解析，
且f '(z)连续。由于f'(z)=ux+ivx=vy–iuy，所以u和v以及它们
的偏导数ux，uy，vx，vy都是连续的，并满足柯西-黎曼方 程 ux=vy，vx=–uy 根据(3.1.3)，有
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一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
(1) 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
(积分与路线无关).
(2) 被积函数 f (z) Re z,不满足柯西－黎曼方程 在复平面上处处不解析.
(积分与路线有关).
(3)
1 dz 2i 0.
ux vy ,vx uy
ux , uy ,vx ,v y 在B内连续
而 C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy
据Green公式
C udx vdy (vx uy )dxdy 0 D
C vdx udy (ux vy )dxdy 0 D
故 C f (z)dz 0
z
2
2
(2) 注意定理的条件与结论不能反过来用.
即不能由 f (z)dz 0, 而说 f (z) 在 C 内处处解析.
C
反例:
f
( z)
1 z2
在z
1内.
放映结束，按Esc退出.
13
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线 C
的积分为零 : c f (z)dz 0.
并注意定理成立的条件.
11
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
12
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理中的 C 可以不是简 单曲线.
C B
此定理也称为柯西积分定
理.
4
Rieman的证明： f (z) 在B内解析
f (z) 在B内连续
f (z) ux ivx v y iuy
c z z0
(积分与路线有关).
2
f (z) 1 z z0
在C :
z - z0
=r
内部不是处处解析的,
虽然在
0 z - z0 <r内部函数处处解析, 但此区域已不是单连通域.
由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.
3
二、基本定理
1. 柯西－古萨基本定理
5Байду номын сангаас
备注：Green公式介绍（关于线积分与面积分的关系）
l P( x, y)dx Q( x, y)dy
D 单连通区域, l D 光滑曲线
P,Q, Px , Py ,Qx ,Qy 在D及l上连续
Q P
l
P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy
(
D
x
y
)dxdy
6
2. Cauchy-Goursat定理的相关定理:
1 dz.
z 1 2z 3
解 函数 1 在 z 1内解析, 2z 3
根据柯西－古萨定理, 有
1 dz 0.
z 1 2z 3
8
例2
计算积分
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
.
2
解
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
z
1
i
,
因为1 和 1 都在 z i 1 上解析,
z zi
2
根据柯西－古萨定理得
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
2
1 1 1 zi 1 z 2 z i
2
1 2
z
1
i
dz
9
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
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四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定 理:
(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在
B内与C 上解析, 即在闭区域B B C 上解析,
那末
c f (z)dz 0.
(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在
B内解析, 在闭区域 B B C 上连续, 那末
定理仍成立.
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三、典型例题
例1 计算积分