2020年陕西中考数学一轮复习--第1部分 第4章 第18节 锐角三角函数及其应用核

第 3 题图
解：如答图，作 BD⊥MN，垂足为 D，作 CE⊥MN，垂 足为 E.
第 3 题答图
设 AN 长为 x 米，则 BD＝CE＝x 米． 在 Rt△MBD 中，MD＝x·tan23°， 在 Rt△MCE 中，ME＝x·tan24°， ∵ME－MD＝DE＝BC，∴x·tan24°－x·tan23°＝1.7－1， ∴x＝tan24°0－.7tan23°，∴x≈34(米)． 答：“聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为 34 米．
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用中考查模型主要有三类：①同 一观测点观测两个位置点，②两个观测点观测同一位置点， ③两个观测点分别观测两个位置点，具体模型见重难点突破．
例 1[2019 成都]2019 年，成都马
拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候
选赛事，这大幅提升了成都市的国际
影响力，如图，在一场马拉松比赛中，
第 2 题图
锐角三角函数的实际应用
命题解读：均为解答题，中考试卷中一般在第 20 题出现， 主要考查：解直角三角形的应用，仰俯角、方向角、坡角问 题．
3．[2017 陕西，20]某市一湖的湖心岛有一棵百年古树， 当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节， 人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚 贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们 俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图， 首先，小军站在“聚贤亭”的 A 处，用测倾器测得“乡思柳” 顶端 M 点的仰角为 23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度 AB 为 1.7 米；然后，小军在 A 处蹲下，用测倾器测得“乡思 柳”顶端 M 点的仰角为 24°，这时测得小军的眼睛距地面的
例 2 题图
解：如答图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC
于点 F， 则四边形 EBFD 是矩形，
设 DE＝x，
在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°， ∵tan∠DAE＝DAEE，
例 2 题答图
∴AE＝tan∠DEDAE＝2.x14，
∴BE＝300－2.x14，
又∵BF＝DE＝x，∴CF＝414－x， 在 Rt△CDF 中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°， ∴DF＝CF＝414－x， 又∵BE＝DF， 即 300－2.x14＝414－x， 解得 x＝214(m)． 答：点 D 到 AB 的距离是 214 m.
A．43
B．34
第 1 题图 C．45
D．35
锐角三角函数的实际应用(6年1考)
1．仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在 水 平 线 上 方 的 角 叫 ⑨__仰__角____ ， 视 线 在 水 平 线 下 方 的 角 叫 ⑩__俯__角____.如图②所示．
图②
2．坡度、坡角：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫 ⑪_坡__度___，用字母 i 表示；坡面与水平线的夹角 α 叫坡角．i ＝tanα＝hl .如图③所示．
图③
3．方位角：目标方向和南北方向所夹的小于 90°的角叫 做⑫_方__位__角___.如图④所示，A 点位于 O 点的北偏东 30°方向， B 点位于 O 点的南偏东 60°方向．
图④
【温馨提示】1.解直角三角形时，当所求元素不在直角 三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角 三角形的边角替代所要求的元素；2.解决实际问题的关键是 构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问 题转化为直角三角形中的边角计算问题．如：作等腰三角形 底边上的高、梯形中过上底的两个顶点作梯形的高等．
关系
a tanA＝⑦___b_____
面积关 S△ABC＝⑧__12_a_b____＝12ch(h 为斜边 AB 上的 系 高)
2.常见类型及其解法
已知条件
图形
一直角边和一锐 角(a，∠A)
斜边和一个锐角 (c，∠A)
解法 ∠B＝90°－∠A，c＝ sinaA，b＝taanA(或 b＝
c2－a2) ∠B＝90°－∠A ，a＝ c·sin A，b＝c·cos A(或 b＝ c2－a2)
高度 AC 为 1 米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤 亭”与“乡思柳”之间的距离 AN 的长(结果精确到 1 米，参 考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245， sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)．
例 3 题图
解：在 Rt△EFH 中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°， ∴HE＝EF＝10， ∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5， 在 Rt△EDG 中，∠GED＝60°， ∴DG＝DE·tan60°＝ 3DE， 设 DE＝x，则 DG＝ 3x， 在 Rt△GFD 中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，
某人在大楼 A 处，测得起点拱门 CD
的顶部 C 的俯角为 35°，底部 D 的俯
例 1 题图
角为 45°，如果 A 处离地面的高度 AB＝20 米，求起点拱门
CD 的高度(结果精确到 1 米；参考数据：sin35°≈0.57，
cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．
解：如答图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， 例 1 题答图
图①
2．特殊角的三角函数值
三角函数
角度 α
30°
45°
60°
sinα
1
2
3
2
2
2
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
3 313 Nhomakorabea解直角三角形
1．直角三角形的边、角及面积关系 图示
三边关系 勾股定理：a2＋④___b_2____＝c2 三角关系 ∠A＋⑤___∠__B___＝90°
边角间 sinA＝cosB＝ac；cosA＝⑥_s_i_n_B____＝bc；
∴GD＝DF＝EF＋DE， ∴ 3x＝10＋x， 解得 x＝5 3＋5， ∴CG＝DG＋DC＝ 3x＋1.5＝ 3(5 3＋5)＋1.5＝16.5 ＋ 5 3≈25(米)． 答：古树 BH 的高约为 11.5 米，教学楼 CG 的高约为 25 米．
例 3[2019 广安]如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的测角仪 AF 测 得古树顶端 H 的仰角∠HFE 为 45°，此时教学楼顶端 G 恰好 在视线 FH 上，再向前走 10 米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GED 为 60°，点 A，B，C 三点在同一水平线上．求 古树 BH 的高和教学楼 CG 的高(参考数据： 2≈1.4， 3 ≈1.7)．
第四章
三角形
第18节 锐角三角函数及其应用
[版本链接]北师：九(下)第一章 P2－P27； 人教：九(下)第二十八章 P60－P85.
锐角三角函数
1．定义：如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 为
△ABC 中的一锐角，则有：
正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝①___ac_____.
余弦：cosA＝∠A斜的边邻边＝②____bc____. 正切：tanA＝∠ ∠AA的 的对 邻边 边＝③___ab_____.
则四边形 CDBE 为矩形， 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20， ∴CE＝AB＝20，CD＝BE， 在 Rt△ACE 中，tan∠ACE＝ACEE， ∴AE＝CE·tan∠ACE≈20×0.70＝14， ∴CD＝BE＝AB－AE＝6(米)． 答：起点拱门 CD 的高度约为 6 米．
解直角三角形
命题解读：近六年未单独考查．
1．在△ABC 中，若三边 BC，CA，AB 满足 BC∶CA∶AB
＝5∶12∶13，则 cosB＝( C )
5
12
5
12
A.12
B. 5
C.13
D.13
2．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， 且 BD 平分 AC.若 BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形 ABCD 的面积为__1_2__3___(结果保留根号)．
已知条件 两直角边(a，b)
斜边和一条直角 边(c，a)
图形
解法 c＝ a2＋b2，由 tan A ＝ab求∠A，∠B＝90° －∠A b＝ c2－a2，由 sin A ＝ac求∠A，∠B＝90° －∠A
1．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高．若 AB＝5，AC ＝3，则 tan∠BCD 的值为( A )
例 2[2019 巴中]某区域平面示意图如图所示，点 D 在河 的右侧，红军路 AB 与某桥 BC 互相垂直．某校“数学兴趣 小组”在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位于西北方 向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东 65°方向，另测得 BC＝414 m，AB＝300 m，求出点 D 到 AB 的距离(参考数据： sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)．