海伦秦九韶算法公式
秦九韶算法公式及结论
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方被称作霍纳算法。
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。
计算方法
一般地，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。
在人工计算时，一次大大简化了运算过程。
把一个n次多项式
改写成如下形式：
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
V1=an*x+a n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。
秦九韶数学公式
秦九韶数学公式
秦九韶数学公式是指秦九韶方法，这是求实系数多项式实根近似值的一种方法。
这个方法的核心思想是将多项式转化为容易计算的形式，从而快速地得到其近似值。
具体来说，秦九韶方法将一个n次多项式转化为n个一次多
项式的乘积，从而只需要进行n次乘法和n次加法运算即可得到多项式的值。
秦九韶方法的基本步骤如下：
1. 设多项式为f(x)=a₀x+…+ax+aₙ。
2. 令f(x)=p(x)(x-x₀)+f(x₀)，其中p(x)=b₀x+…+bx+b。
3. 比较上式两边x的同次幂系数，得到b₀=a₀，b=a+x₀b(i=1，2，…，n)，f(x₀)=bₙ。
4. 计算p(x)的值，得到f(x)=p(x)(x-x₀)+f(x₀)。
5. 如果需要对f(x)求导数，则对p(x)再用同样算法令c₀=b₀，c=b+x₀c(i=1，2，…，n-1)，得到f′(x₀)=c。
秦九韶方法可以用于求多项式的根的近似值，并且具有计算量少、程序简单等优点。
这种方法在数值分析、计算数学等领域有着广泛的应用。
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
高二数学度末复习秦九韶算法与排序知识点
高二数学度末复习秦九韶算法与排序知识点高二数学关于知识点的把握的要求是比较高的。
小编预备了秦九韶算法与排序知识点，期望能关心到大伙儿。
1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多项式的值时，第一运算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx +an-1 然后由内向外逐层运算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+a n-3 ...... vn=vn-1x+a0如此，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直截了当插入排序和冒泡排序1、直截了当插入排序观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观看过程中指导。
我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。
有的小孩说“乌云跑得飞速。
”我加以确信说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。
编程用秦九韶算法计算多项式的值
编程用秦九韶算法计算多项式的值秦九韶算法（又称秦九韶快速幂算法）是一种用于计算多项式的值的高效算法。
该算法的思想是将多项式的计算过程进行优化，减少重复的计算。
多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n 普通的计算方法是按照上述公式逐项计算每一项相乘再相加的结果。
然而，这种方法在项数较多时，计算量会急剧增加，效率低下。
秦九韶算法通过一系列的优化，可以极大地提高计算效率。
秦九韶算法的核心思想是通过重复平方的方式，快速地计算多项式的值。
具体过程如下：Step 1: 将多项式的系数存储在一个数组中。
例如，多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2可以表示为：coefficients = [2, 3, 4]Step 2: 设定一个初始值result为0Step 3: 从n=0开始，遍历coefficients数组，对每个系数进行以下操作：- 将result乘以x的n次幂。
初始情况下，x的幂为1，乘以coefficients[0]得到r0 = coefficients[0]。
之后，将x平方，得到x^2，依次类推。
- 将上述结果与result相加，得到新的result。
例如，r0 + coefficients[1]*x + coefficients[2]*x^2 + ... +coefficients[n]*x^n = resultStep 4: 返回result作为多项式P(x)的值。
以以上示例的多项式P(x)=2+3x+4x^2为例，假设x=2，那么应用秦九韶算法的计算过程如下：Step 1: coefficients = [2, 3, 4]Step 2: result = 0Step 3: 遍历coefficients数组-第一次迭代：- result = result * x + coefficients[0] = 0 * 2 + 2 = 2-第二次迭代：- result = result * x + coefficients[1] = 2 * 2 + 3 = 7-第三次迭代：- result = result * x + coefficients[2] = 7 * 2 + 4 = 18Step 4: 返回result = 18，即多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2在x=2时的值为18通过秦九韶算法，我们可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值，极大地提高计算效率。
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法是一种快速求解多项式值的算法，常用于计算机科学和工程学。
该算法可以将一个n次多项式表示为n-1次多项式的递归形式，从而快速计算多项式的值。
具体来说，假设要求P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+⋯+an*x^n，秦九韶算法的递推公式为：
P(x) = a0 + x * (a1 + x * (a2 + x * (a3 + ⋯ + x * (an-1 + x * an))))
也就是说，从最高次项开始逐次将x乘进去，直到乘到最低次项为止。
这样一来，算法的复杂度为O(n)（即线性），比暴力计算的O(n^2)（即平方）要快得多。
在高中数学中，秦九韶算法主要作为多项式函数的计算工具。
例如，假设给定多项式f(x)=2x^3+4x^2+3x+1和x=2，要求计算f(x)，可以使用秦九韶算法：
f(2) = 2 * 2^3 + 4 * 2^2 + 3 * 2 + 1
= 16 + 16 + 6 + 1
= 39
因此，f(2)=39。
秦九韶算法的应用范围很广，可以用于求解各种多项式函数的值，包括指数函数、对数函数等。
秦九韶算法公式详解
秦九韶算法公式详解秦九韶算法是一种多项式求值的高效算法，可以大大提高多项式求值的速度。
本文将详细介绍秦九韶算法的原理、流程和应用。
一、算法原理秦九韶算法是一种递推算法，其基本思想是将多项式分解为一个个单项式，然后通过递推的方式依次求值。
具体来说，对于一个n次多项式f(x)，我们可以将其表示为：$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 然后，我们可以先计算出a_n和a_{n-1}的值，然后利用递推公式：$b_{i}=a_{i}+xtimes b_{i+1}$求出$b_{n-1}$，再利用递推公式：$c_{i}=b_{i}+xtimes c_{i+1}$求出$c_{n-2}$，以此类推，直到求出$c_{1}$，最后再加上$a_{0}$即可得到多项式的值。
二、算法流程1.输入多项式的系数和x的值；2.初始化b_{n-1}=a_{n}和c_{n-2}=a_{n}x+a_{n-1}；3.从n-2到0依次计算$b_{i}$和$c_{i}$，直到$i=0$为止；4.输出$c_{0}$，即为多项式在x处的值。
三、算法应用秦九韶算法可以用于多项式求值、多项式插值、多项式拟合、多项式积分等多个领域。
其中，多项式插值和多项式拟合是最为常见的应用。
1.多项式插值多项式插值是指通过已知的n个点，构造一个n次多项式，使得该多项式经过这n个点。
具体来说，对于n个点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个n次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})=y_{i}$。
根据拉格朗日插值公式，我们可以得到：$f(x)=sum_{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$其中，$l_{i}(x)$是n次拉格朗日基函数，定义为：$l_{i}(x)=prod_{j=1,jeq i}^{n}frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$这里，我们可以使用秦九韶算法来快速求出各个基函数的系数，从而快速计算出多项式的值。
秦九韶公式的推导过程
秦九韶公式的推导过程秦九韶公式是一种快速计算一个多项式在给定的点处取值的方法。
它可以让计算一个多项式在多个点上取值成为可能，而不需要明确地进行多项式乘法。
下面是秦九韶公式的推导过程分成四个部分。
一、定义首先，让我们定义一个多项式f(x)，它的次数为n，系数为a0、a1、a2...an。
我们要计算f(x)在点x0处的取值，即f(x0)。
二、秦九韶公式的基本形式我们知道，一个多项式f(x)可以表示为以下形式：f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... +an*x^n如果我们要计算f(x0)，那么我们只需要将x0带入上述公式依次计算即可。
但这个过程比较繁琐。
秦九韶公式的基本形式要点是将上述公式重新排列，变成以下形式：f(x) = ((...(an*x + an-1)*x + an-2)*x + ... + a1)*x + a0我们可以通过不断地将x0带入括号中的式子，逐一消除括号内的x，得到：f(x0) = ((...(an*x0 + an-1)*x0 + an-2)*x0 + ... + a1)*x0 + a0这样，我们只需要做一次多项式计算，即可得到f(x0)的值。
三、优化公式然而，这个基本形式也并不是最优的。
我们可以通过下面的步骤进一步简化公式：1.我们设一个中间变量b，初始值为an。
2.我们从高次项an-1开始，依次向下迭代，每次将系数与中间变量相乘并加上下一项系数，即：b = an-1 + b * x0b = an-2 + b * x0...b = a1 + b * x0b = a0 + b * x03.最后，b的值就是f(x0)。
四、优化公式的证明我们可以通过归纳证明以上想法的正确性。
假设我们已经计算出f(x0)的值。
那么，对于：b = an-1 + b * x0我们已经得到：b = an-1 * x0 + f(x0)换句话说，我们已经计算出了方程右侧的值，现在要计算方程左侧的值。
海伦与秦九韶跨越时空的握手
分 别 为 a 、6 、c ,记 产 ,那么三角形 余 半 之 ，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减
的面积为 S= J p (p - a)(p - b)(p - c) 。①
海 伦 在 著 作 《度 量 论 》（或 称 《测地 术 》)一 书 中 ,给 出 了 公 式 ① 和 它 的 证 明 过 程 ，这个公式被称为“海 伦 公 式 '
= ^10x5x4x1 =10^ 〇
■：S= ^Байду номын сангаасr (AC+BC+AB),
... 1( W I = ^ K 5+6+9)，解 得 :r= 及 ，
故 A 4BC的内切圆半径r= 及 。 (本 文 是 扬 州 市 教 育 科 学 研 究 院 立 项 课 题 “初 中 数 学 课 堂 中 数 学 文 化 的 渗 透 策 略 研 究 ”成 果 之 一 ，课 题 编 号 为 G/16/ P/168) (作者单位:扬州大学附属中学东部分校)
例 如 ：在 A /4BC 中 ，a=3,6=4，c=5,那 么根据勾股定理的逆定理，可知其为直角 三 角 形 ，面 积 为 6 。如 果 运 用 海 伦 公 式 ， 它的面积可以这样计算：V a =3,6=4,c=5,
i + 6 + i 二6 , . ■ . S = J p ( p - a ) ( p - b ) ( p 2
万广磊
我们都知道，已知一个三角形的三边 —V 6 x 3 x 2 x l =6 〇
长 求 三 角 形 的 面 积 ，从 确 定 性 的 角 度 看 ，
在 我 国 南 宋 时 期 ，著 名 的 数 学 家 秦 九
是可求的。那么除了常用的三角形的面 积计算公式S= 底X高 +2 之 外 ，还有没有其
数学文化之海伦—秦九韶公式
数学文化之海伦—秦九
韶公式
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程
①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x,
由于AD是△ABD、△ACD的公共边，
则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，
对被开方数分解因式，并整理得到
②由海伦公式推导秦九韶公式
推导过程:
p
a
p-
-
-.
)
p
)(
b
)(
(c
p。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式是一种用于求解三角形面积的数学公式。
该公式由古希腊数学家海伦提出，后来被中国古代数学家秦九韶所发扬光大，因此也被称为“海伦-秦九韶公式”。
海伦秦九韶公式的表达式为：
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S为三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边的长度，p 为三角形半周长，即：
p = (a+b+c)/2
海伦秦九韶公式的推导过程较为复杂，但其优点在于可以快速、准确地计算任意形状的三角形的面积，而不需要事先知道其高度或底边长。
由于其实用性和广泛应用，海伦秦九韶公式已成为中学数学教学中不可或缺的一部分。
- 1 -。