初中奥数讲义_分式方程(组)附答案

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人教版八年级数学上册竞赛专题分式方程(含答案)

人教版八年级数学上册竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程：（1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----；（2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+；（3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________．（2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解．解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解．解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（）． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=；（2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________．（2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（）． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2．例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解．例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=．于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或－ 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或－106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。

人教版八年级数学讲义解分式方程(含解析)(2020年最新)

第11讲解分式方程知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习解分式方程。

分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型。

在中考中，有关分式的内容所占比例较大，所以要重视本节课知识的学习，学会解分式方程。

知识梳理讲解用时：20分钟分式方程22x 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.100602020vv3162x x 分式方程整式方程2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?2231323=π212x x x x x xx x4371111052131xy x x xx x x x解分式方程的步骤在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想.增根的定义：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为零的根.分式方程的解法：去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).分式方程有增根和无解的区别：（1）分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值，从而使分式方程无解.（2）分式方程无解：指的是无论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，包含两种情况：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.100602020vv转化一元一次方程两边同乘以（20+v ）（20-v ），得100（20-v ）=60（20+v ）解得：v=5检验：当v=5代入分式方程，左边=4=右边所以v=5是原方程的解.解：课堂精讲精练【例题1】下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=．其中，分式方程有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断即可．解：下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=是分式方程的是：②④⑤，共3个；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：熟练掌握分式方程的定义，学会判断分式方程.难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：荣成市校级月考年份：2015【练习1.1】在关于x的方程：①=+，②﹣=0，③ax2=+1，④=，⑤=，⑥+=中，是整式方程，是分式方程．【答案】②③④；①⑤【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．解：①=+，⑤=的分母中含未知数，是分式方程；②﹣=0，③ax2=+1，④=的分母中不含未知数，是整式方程；故答案是：②③④；①⑤．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】解分式方程：﹣=1．【答案】无解【解析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：化为整式方程得：3x﹣（4﹣x2）=x（x﹣1），化简得：4x=4，解得：x=1，经检验x=1时，x（x﹣1）=0，原方程无意义，所以x=1是原方程的增根，所以原方程无解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：岐山县一模年份：2018【练习2.1】解分式方程：+=．【答案】无解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x+4﹣4x=3x﹣6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无实数解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：兴庆区校级一模年份：2018【练习2.2】解方程（1）﹣1=．（2）=．【答案】（1）无解；（2）x=1【解析】（1）直接找出公分母进而去分母解方程即可；（2）直接找出公分母进而去分母解方程即可．解：（1）﹣1=去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得：x=1，检验：当x=1时，（x﹣1）（x+2）=0，故此方程无实数根；（2）=去分母得：2x+1=3x，解得：x=1，检验：当x=1时，x（2x+1）≠0，故x=1是原方程的解．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．教学建议：熟练掌握解分式方程的步骤，最后一定要验根，保证分母不等于0. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：澧县三模年份：2018 【例题3】关于x的分式方程=﹣2的根是负数，试确定a的取值范围．关于本题有同学解答如下：解：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3）．化简，得3x=a﹣6．所以x=．因为原方程的根是负数，所以＜0，得a＜6．所以当a＜6时，原方程的根是负数．你认为上述解答正确吗？如果不正确，请说明出错原因，并写出正确解答．【答案】不正确，没有考虑分母不为0的条件【解析】不正确，没有考虑分母不为0的条件，写出正确解答过程即可．解：不正确，没有考虑分母不为0这个条件，正确解答为：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3），化简，得3x=a﹣6，所以x=，因为原方程的根是负数，所以＜0，且≠﹣3，得a＜6且a≠3，所以当a＜6且a≠﹣3时，原方程的根是负数．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：泰兴市校级期中年份：2018【练习3.1】如果关于x的方程+3=无解，试求m的值？【答案】m=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．解：去分母得：m+3x﹣6=x﹣1，由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入方程得：m=1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：筠连县校级期中年份：2017【练习3.2】若关于x的分式方程=1的解为正数，求m的取值范围．【答案】m＞2且m≠3【解析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3．解题思路：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．教学建议：先化分式方程为整式方程，保证分母不等于0，然后解一元一次不等式.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：杜尔伯特县校级期中年份：2018【例题4】已知关于x的方程+=3．（1）当m取何值时，此方程的解为x=3；（2）当m取何值时，此方程会产生增根；（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【答案】（1）m=-3；（2）m=-4；（3）m＞-6且m≠-4【解析】（1）把x=3代入方程+=3即可得出m的值；（2）根据增根的定义，得出增根x=2，从而得出m的值；（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）把x=3代入方程+=3，得m=﹣3；（2）方程的增根为x=2，2x+m=3x﹣6，所以m=﹣4；（3）去分母得，2x+m=3x﹣6，解得x=m+6，因为x＞0，所以m+6＞0，解得m＞﹣6，因为x≠2，所以m≠﹣4．解题思路：本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：淮安校级期末年份：2015【练习4.1】（1）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．（2）若方程=﹣1的解是正数，求a的取值范围．【答案】（1）m=﹣4或6；（2）a＜2且a≠﹣4【解析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a=2﹣x解得：x=，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：简阳市校级月考年份：2015【练习4.2】若方程+=2有增根，求m的值．【答案】0【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）2）=0，得到x=﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解：方程的两边都乘以（x+1）2，得m+2x（x+1）=2（x+1）2．化简，得m=2x+2∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）2=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，m=2×（﹣1）+2=0．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：原阳县校级月考年份：2016【例题5】已知方程+=有增根，求k的值．【答案】k=-1【解析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）+k（x+1）=x（x﹣1）∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，∴增根是x=1或﹣1，当x=1时，k=-1；当x=﹣1时，k无解．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】若分式方程﹣=有增根，求k值及增根．【答案】3或6或9【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x+1）（x﹣1）=0，所以增根是x=0或﹣1或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得x（k﹣1）﹣（x+1）=（x﹣1）（k﹣5），∵原方程有增根，∴最简公分母x（x+1）（x﹣1），∴增根是x=0或﹣1或1，当x=0时，k=6；当x=﹣1时，k=9；当x=1时，k=3．故k值为3或6或9．讲解用时：3分钟解题思路：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．【答案】=【解析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．由题意得：=．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】90【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据题意得：﹣=，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：盘龙区模拟年份：2018【例题7】某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的 1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，求钢笔的单价．【答案】10元/支【解析】设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据数量=总价÷单价结合购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据题意得：﹣=30，解得：x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意．答：钢笔的单价为10元/支．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：长春一模年份：2018【练习7.1】某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．【答案】2小时【解析】设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据速度=路程÷时间结合铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据题意得：﹣=90，解得：x1=2，x2=﹣3，经检验，它们都是原方程的根，但x=﹣3不符合题意．答：高铁列车全程的运行时间为2小时．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2018【练习7.2】水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？【答案】120【解析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，由题意得，×2=，解得：x=120，经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批水果每件进价为120元．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：长春二模年份：2018课后作业【作业1】（1）化简：（2）方程的=解是．【答案】（1）﹣；（2）x=﹣4【解析】（1）先通分化为同分母分式相减，再根据法则计算可得；（2）根据解分式方程的步骤计算可得．解：（1）原式=﹣==﹣；（2）两边都乘以2（x+2）（x﹣2），得：8﹣2（x+2）=（x+2）（x﹣2），整理，得：x2+2x﹣8=0，解得：x=2或x=﹣4，检验：x=2时，2（x+2）（x﹣2）=0，舍去；x=﹣4时，2（x+2）（x﹣2）=24≠0，所以原分式方程的解为x=﹣4，故答案为：x=﹣4．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：高淳区二模年份：2018【作业2】若分式方程=a无解，求a的值．【答案】a=1或a=﹣1【解析】直接解分式方程进而分析得出答案a的值．解：∵分式方程=a无解，∴x﹣a=ax+a，整理得：（1﹣a）x=2a，则1﹣a=0或x==﹣1，解得：a=1或a=﹣1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：吴江区校级月考年份：2017【作业3】（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．【答案】（1）5；（2）x=1【解析】（1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得x=2（x﹣5）+m．化简，得m=﹣x+10．分式方程的增根是x=5，把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；（2）分式的值比分式的值大3，得﹣=3．方程得两边都乘以（x﹣2），得x﹣3﹣1=3（x﹣2）．解得x=1，检验：把x=1代入x﹣5≠0，x=1是原分式方程的解，当x=1时，分式的值比分式的值大3．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】（1）当m为何值时，方程+=会产生增根．（2）当m为何值时，方程+=无解．（3）已知关于x的方程﹣2=的解为正数，求m的取值范围．【答案】（1）m=﹣10或﹣4；（2）m≠﹣3；（3）m＜6，且m≠3【解析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可；（2）根据分式方程无解的两种进行解答即可；（3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）∵方程+=会产生增根，∴x2﹣1=0，∴x=±1，分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）=m，当x=1时，m=﹣10；当x=﹣1时，m=﹣4；∴当m=﹣10或﹣4时，方程+=会产生增根；（2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）=12，整理得，（3+m）x=2m+6，当3+m≠0时，x=2，经检验x=2是分式方程的增根，当m=﹣3时，方程有无数个解，∴当m≠﹣3时，方程+=无解；（3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）=m，整理得，﹣x=m﹣6，∴x=6﹣m，∵关于x的方程﹣2=的解为正数，∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，m＜6，且m≠3，∴m的取值范围m＜6，且m≠3；难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？【答案】【解析】先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．解：依题意有﹣==小时．答：顺流航行比逆流航行少用小时．难度： 4 适应场景：练习题例题来源：石家庄校级月考年份：2009。

初三数学分式方程试题答案及解析

初三数学分式方程试题答案及解析1.解方程：.【答案】，【解析】先通分，然后化为整式方程进行计算，注意结果要验根.试题解析：通分：化成整式方程为：3-2x-1=0解得：，经检验，，是原方程的解所以方程的解为：，【考点】分式方程.2.方程的根是=【答案】-1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解，去分母得：X=-1【考点】分式方程3.某校枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果，现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成，请问：（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队．甲队每摘果一天，需支付给甲队1000元工资，乙队每摘果一天，须支付给乙队1600元工资，你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？【答案】（1）3；（2）方案3总工资最低，最低总工资为4800元．【解析】（1）设单独由乙队摘果，需要x天才能完成，根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，检验即可；（2）分别求出三种方案得总工资，比较即可．试题解析：（1）设单独由乙队摘果，需要x天才能完成，根据题意得：2（）=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，且符合题意，则单独由乙队完成需要3天才能完成；（2）方案1：总工资为6000元；方案2：总工资为5200元；方案3：总工资为4800元，则方案3总工资最低，最低总工资为4800元．【考点】分式方程的应用．4.分式方程的解为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】两边同乘x（x+2）得5x=3x+6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．首先去分母，两边同乘X（X+2）得到整式方程，求出解之后检验即可得到【考点】分式方程5.解分式方程：．【答案】x=-4.【解析】方程两边都乘以最简公分母(x2-1),化为整式方程，求解，最后检验即可. 试题解析：去分母得：6-3(x+1)=x2-1整理得：x2+3x-4=0解得：x1=1，x2=-4经检验：x1=1是增根，∴x2=-4是原方程的解.【考点】解分式方程.6.方程=3的解是x= ．【答案】6【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：4x-12=3x-6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．【考点】解分式方程．7.解方程：=－3【答案】原方程无解.【解析】去分母，化为整式方程，解出这个整式方程的解最后检验即可.原方程化为两边乘以（x-2）得：1="x-1-3(x-2)"1="x-1-3x+6"∴x="2"检验：当x=2时，x-2=0 x=2为曾根所以原方程无解.【考点】解分式方程.8.⑴解不等式组：⑵（5分）解方程：【答案】⑴；⑵原方程无解．【解析】⑴解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.⑵首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解.⑴解得；解得.∴不等式组的解集⑵两边同乘，得，解这个方程，得 .检验：当时，＝0，所以是增根.∴原方程无解．【考点】1.解一元一次不等式组；2.解分式方程.9.已知关于x的分式方程=1有增根，则a= .【答案】-2．【解析】先把分式方程化为整式方程、整理得，a=x-1，当x=-1时，整式方程有解，但它是原分式方程的增根，所以原方程无解，然后代入即可．试题解析：方程两边同乘以（x+1），得a+2=x+1，整理得，a=x-1，当x+1=0即x=-1时，方程a=x-1有解，但它是原分式方程的增根，所以原方程无解，∴a=-2．【考点】分式方程的解．10.随着梅雨季节的临近，雨伞成为热销品．某景区与某制伞厂签订2万把雨伞的订购合同．合同规定：每把雨伞的出厂价为13元．景区要求厂方10天内完成生产任务，如果每延误1天厂方须赔付合同总价的1%给景区．由于急需，景区也特别承诺，如果每提前一天完成，每把雨伞的出厂价可提高0.1元．⑴如果制伞厂确保在第10天完成生产任务，平均每天应生产雨伞把；⑵生产2天后，制伞厂又从其它部门抽调了10名工人参加雨伞生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该厂原计划安排多少名工人生产雨伞？⑶已知每位工人每天平均工资为60元，每把雨伞的材料费用为8.2元．如果制伞厂按照⑵中的生产方式履行合同，将获得毛利润多少元？（毛利润=雨伞的销售价－雨伞的材料费－工人工资）【答案】（1）2000；（2）原计划安排150名工人生产雨伞；(3)制伞公司支付完员工工资后将剩余24400元．【解析】（1）根据某景区与某制伞厂签订2万把雨伞的订购合同，厂方10天内完成生产任务，即可得出平均每天应生产雨伞数量；（2）设原计划安排x名工人生产雨伞得出每人平均生产雨伞的数量，进而表示出提高工作效率后的生产数量，即可得出等式方程求出即可；（3）根据毛利润=雨伞的销售价﹣雨伞的材料费﹣工人工资求出即可．试题解析：（1）20000÷10=2000；（2）设原计划安排x名工人生产雨伞.由题意可得解之得：x="150"经检验：x=150是原方程的解，答：原计划安排150名工人生产雨伞；(3)（元）答：制伞公司支付完员工工资后将剩余24400元．【考点】分式方程的应用．11.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/时，依据题意列方程正确的是 ()A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】C【解析】甲行30千米用的时间＝乙行40千米用的时间，故选C.12.如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，，且点A、B到原点的距离相等．求x的值．【答案】x＝2.2【解析】解：由题意，可知＝4，两边同乘以(3x－5)，得：2x＋2＝4(3x－5)解得x＝2.2验根：当x＝2.2时，3x－5＝3×2.2－5≠0∴x＝2.2是原方程的根．13.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？【答案】第一次每只铅笔的进价为4元．【解析】解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，－＝30，解得，x＝4，检验：当x＝4时，分母不为0，故x＝4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．14.数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so.研究15、12、10这三个数的倒数发现：－＝－.我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、5、3(x>5)，则x的值是________．【答案】15【解析】依据调和数的意义，有－＝－，解得x＝15.15.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）m=100 （2）共有11种方案（3）应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双【解析】解：（1）依题意得，，整理得，3000（m-20）=2400m，解得m=100，经检验，m=100是原分式方程的解，所以，m=100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200-x）双，根据题意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式组的解集是95≤x≤105，∵x是正整数，105-95+1=11，∴共有11种方案；（3）设总利润为W，则W=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60-a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；②当a=60时，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；③当60＜a＜70时，60-a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．16.若分式方程：无解,则k=_________．【答案】1或2．【解析】去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，分为两种情况：①当x=2时，代入方程2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，1﹣2k=﹣1，解得：k=1；②当x≠2时，2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，2x﹣4+1﹣kx=﹣1，（2﹣k）x=2，当2﹣k=0时，方程无解，解得：k=2．故答案是1或2．【考点】分式方程的解．17.为奖励“我的中国梦”暑期系列实践活动的获奖学生，学校准备在某商店购买A，B两种文具作为奖品，已知一件A种文具的单价比B种文具的单价便宜4元，而用300元买A种文具的件数是用200元买B种文具的件数的2倍．（1）求A种文具的单价；（2）根据需要，学校准备在该商店购买A，B两种文具共200件，其中A种文具的件数不多于B种文具件数的3倍．为了节约经费，应购买A，B两种文具各多少件？使用经费最少为多少元？【答案】（1）12元；（2）应购进A种商品150件，B种商品50件，此时使用经费最少为2600元．【解析】（1）设A种文具的单价为x元，则B种文具的单价为每件（x+4）元，利用用300元买A种文具的件数是用200元买B种文具的件数的2倍得出等式，求出即可；（2）设A种商品购进a件，则B种商品购进（200-a）件，根据“A种商品的件数不多于B种商品件数的3倍”列出不等式即可求得结果．试题解析：：（1）A种文具的单价为x元，则B种文具的单价为每件（x+4）元，根据题意得出：，解得：x=12，经检验得出：x=12是原方程的根，答：A种文具的单价为12元；（2）设A种商品购进a件，则B种商品购进（200-a）件．依题意，得0≤a≤3（200-a），解得：0≤a≤150，设所获利润为w元，则有w=12a+16（200-a）=-4a+3200．∵-4＜0，∴w随a的增大而减小．∴当a=150时，所使用经费最少，W最大=-4×150+3200=2600（元）．B文具为：200-150=50（件）．答：应购进A种商品150件，B种商品50件，此时使用经费最少为2600元．【考点】1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用．18.定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b=，当a＜b时，a※b=，若，则x的值为 ( )A．B．C．D．以上答案均不正确【答案】B.【解析】当即时，，解得（检验不符合）；当即时，，解得（检验符合）.故选B.【考点】1.新定义；2.解分式方程；3.分类思想的应用.19.炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，则根据关键描述语：“两队同时开工且恰好同时完工”，找出等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间，据此列出分式方程：。

人教版八年级数学《分式方程》综合专题讲义(有答案)

分式方程中考要求1、能确定使分式值为零的条件2、能用分式的性质进行通分和约分3、会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题，理解分式方程中的增根问题例题精讲模块一分式方程的概念【例1】下列式子，是分式方程的是（）A ．4152323x x x -++-B ．4523a a π+=C ．56432x x -+=D ．431121x x -=++ 【解析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．题中A 选项根本不是等式，根本称不上方程；B 选项方程中分母不含未知数，π是一个定值，不是未知数，；C 选项方程中分母不含未知数，不是分式方程；D 选项分母中含未知数x ，是分式方程．【答案】D【巩固】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）A ．23356x x ++-=B ．137x x a -=-+C ．x a b x a b a b-=- D ．()2111x x -=- 【解析】根据分式方程的定义进行判断，注意，题中已经说了是“关于x 的方程”所以，题中出现的任何字母都要看做常量．所以题中A ，B ，C 都不是分式方程，只有D 项符合要求．【答案】D【巩固】下列方程是关于x 的分式方程的是（）A ．211x x m ++=B ．2223x x =-C ．821732x x -=-D ．()73212x x -=- 【解析】根据分式方程定义进行判断．【答案】C模块二分式方程的解法☞可化为一元一次方程的分式方程【例2】求x 为何值时，代数式291233x x x x+--+-的值等于2．【解析】由题意，得2912233x x x x+--=+-，解这个分式方程，得32x =，经检验，32x =是原方程的根． ∴当32x = 时，代数式291233x x x x +--+-的值等于2．【答案】32【巩固】解方程：48755986x x x x x x x x ----+=+---- 【解析】原方程可变形为：111111115986x x x x +++=+++---- 化简，去分母可得：2211301772x x x x -+=-+，解得7x =，经检验，7x =是原方程的根．【答案】7【巩固】解方程28541763x x x x x x x x +++++=+++++ 【解析】25481637x x x x x x x x ++++-=-++++ (2)(5)(6)(1)1(5)x x x x x x ++-++++（）(4)(7)(8)(3)3(7)x x x x x x ++-++=++（） 41(5)x x ++（）43(7)x x =++（） (3)(7)(1)(5)x x x x ++=++416x =-，4x =-经检验4x =-不是原方程的增根，∴原方程的解是4x =-【答案】-4【例3】解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+---- 【解析】1155(5)(1)(4)(2)19968x x x x -++=++----- 即：115591968x x x x -=-----，1995(8)5(6)(9)(19)(6)(8)x x x x x x x x --+---=---- ∴221010281711448x x x x --=-+-+ ∴22281711448x x x x -+=-+即：14123x =，∴12314x =．经检验：12314x =是原方程的根．【答案】12314【巩固】解方程222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++ 【解析】22222124211221x x x x x x x x +--++-+=+-++ 2211112221x x x x --++=++-++ 2211221x x x x --=+-++ 22221x x x x +-=++3x =-经检验3x =-不是原方程的增根，∴原方程的解是3x =-【答案】-3【巩固】解方程223239724310111x x x x x x x x x +++-++--=+-- 【解析】方程223239724310111x x x x x x x x x +++-++--=+--可化为： 2132136(26)0111x x x x x x x +++-+---=+-- 22132145001111x x x x x x +----=⇒=+--- 故54x =-，经检验，是原方程的解．讲解此题之前，可以先讲如何使用多项式除法或逐步满足法将分式2x bx c x a+++拆分成两个式子之和的形式．【答案】54-【巩固】解方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++ 【解析】原方程可化为：111111112938x x x x -+-=-+-++++ 11112938x x x x +=+++++ 11118923x x x x -=-++++ 2211177256x x x x =++++ 故112x =-，经检验，是原方程的解．【答案】112-☞可化为一元二次方程的分式方程【例4】解方程：32322323x x x x --+=+-- 【解析】设32x a -=，23x b -=，则原方程可化为： 11a b a b+=+，()()10a b ab +-= 故0a b +=或者1ab =，即32023x x --+=或者()()2316x x --= 解之得，135x =，或0x =，或5x =，经检验，均是原方程的解．【答案】135x =，或0x =，或5x =【巩固】解方程：221232023x x x x-++=- 【解析】设223y x x =-，则原方程变为120y y++=，方程两边都乘以y ，约去分母，得2210y y ++=解得：121y y ==-．把121y y ==-代入223x x -，得22310x x -+= ∴121,12x x ==，经检验，121,12x x ==都是原方程的根． ∴原方程的解是121,12x x == 【答案】112x =，21x =【巩固】解方程22113()40x x x x+-++= 【解析】设1x y x +=，则原方程可化为211()3()20x x x x+-++=，即2320y y -+=，解方程得：1212y y ==，当11y =时，有11x x+=，即210x x -+=，此方程五实数根当22y =时，有12x x+=，即2210x x -+=，解得：1x = 经检验，1x =是原方程的根，∴原方程的根式1x =．【答案】1☞含有字母的分式方程【例5】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【解析】先将方程整理为()()m m n x n m n +=+，然后分情况讨论，①0m n +≠且0m ≠，②0m n +≠且0m =，③0m n +=，然后可分别解得x 的值．【答案】分析这个方程中未知数是,,x m n 是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论,m n 取不同值时，方程解的情况．把原方程化为：220m x mnx mn n +--=，整理得：()()m m n x n m n +=+．①当0m n +≠且0m ≠时，方程的唯一解为n x m =； ②当0m n +≠，且0m =时，方程无解；③当0m n +=时，方程的解为一切实数．【巩固】若()9222162n =，解关于x 的方程42n x+=【解析】首先将16n 改写为底数是2的幂的形式，然后求出4n =，将这一值，代入方程，从而求出方程的解．【答案】2x =-【巩固】解关于x 的方程：122a xb x b x a x +++=++ 【解析】本题主要运用代换法将原方程化为分式方程，解出后再进行反代入即可．【答案】设a x y b x+=+，则原方程可化为：1122y y +=； ∴12y =或212y =；由2a x b x +=+，得12x a b =-；由12a xb x +=+，得22x b a =-．将12x a b =-或22x b a =-代入分式方程，得到：当a ≠b 时，12x a b =-及22x b a =-都是原方程的根．当a=b 时，原方程无解．【总结】解含有字母的分式方程时，若未给出方程的根，则将字母视为常数进行计算，当给出方程根求题中字母时，则应先把根代入，然后转换成关于该字母的分式方程.【易错】若分式方程中所含字母较多，学生最常犯的错误就是将所求与已知弄混，所以在做题时一定要仔细认真，看清所求量与已知量；模块三分式方程的增根☞已知增根求参数值【例6】已知关于x 的方程2221511m m x x x x x --+=-+-有增根1，求m 的值．【解析】原方程去分母，整理得，(1)(5)(1)(1)0x m x m x +++---=把1x =代入上面方程，解得3m =【答案】3【巩固】关于x 的两个方程220x x --=与122x x a=-+有一个解相同，则a = ．【解析】方程220x x --=的解为121,2x x =-=，2x =不是方程122x x a=-+的解 ∴共同的解是1x =-【答案】-1☞未知增根求参数值【总结】解分式方程增根问题，应先将分式方程转化为整式方程，若已知增根，则直接将已知的增根代入整式方程，求出未知字母的值；若未给出增根，则应将所有增根均代入整式方程，进而求出未知字母所有的值.【易错】很多同学不清楚解决此类问题的步骤，总是先将增根代入，发现分母为零，就进行不下去了。

初二年级奥数分式方程试题及答案

初二年级奥数分式方程试题及答案1．下列是分式方程的是(D)A.xx＋1＋x＋43B.x4＋x－52＝0C.34(x－2)＝43xD.1x＋2＋1＝02．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力实行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的分式方程为(A)A.400x＝300x－30B.400x－30＝300xC.400x＋30＝300xD.400x＝300x＋303．已知x＝1是分式方程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝16.4．把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(D)A．x B．2xC．x＋4 D．x(x＋4)5．解分式方程2x＋1＋3x－1＝6x2－1分以下几步，其中错误的一步是(D)A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)B．方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6C．解这个整式方程，得x＝1D．原方程的解为x＝16．解分式方程1x－1＋1＝0，准确的结果是(A)A．x＝0 B．x＝1C．x＝2 D．无解7．已知x＝3是关于x的方程10x＋k－3x＝1的一个解，则k＝2．8．解下列方程：(1)2xx－2＝1－12－x；解：方程两边同乘以(x－2)，得2x＝x－2＋1.解得x＝－1.经检验，x＝－1是原方程的解．(2)6x－2＝xx＋3－1；解：方程两边同乘以(x－2)(x＋3)，得6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)．解得x＝－43.经检验，x＝－43是原方程的解．(3)xx2－4＋2x＋2＝1x－2；解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得x＋2(x－2)＝x＋2.解得x＝3.经检验，x＝3是原方程的解．(4)23＋x3x－1＝19x－3.解：方程两边同乘以9x－3，得2(3x－1)＋3x＝1.解得x＝13.检验：当x＝13时，9x－3＝0.所以x＝13不是原方程的解．∴原分式方程无解．9．某机加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得(A)A.2 10030x＝1 20020（26－x）B.2 100x＝1 20026－xC.2 10020x＝1 20030（26－x）D.2 100x×30＝1 20026－x×2010．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比准确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)A.13x＝18x－5B.13x＝18x＋5C.13x＝8x－5D.13x＝8x＋511．用换元法解方程x2－12x－4xx2－12＝3时，设x2－12x＝y，则原方程可化为(B)A．y－1y－3＝0 B．y－4y－3＝0C．y－1y＋3＝0 D．y－4y＋3＝012．当x＝56时，xx－5－2与x＋1x互为相反数．13．若关于x的方程x－1x－5＝m10－2x无解，则m＝－8．14．解下列方程：(1)3x2－9＋xx－3＝1；。

初中数学专题复习分式方程精讲精练(含答案)

分式方程【基础知识精讲】(1)理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会验根；(2)列出分式方程，解简单的应用题；(3)重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法；(4)难点：①了解产生增根的原因，并有针对性地验根．②应用题分析题意列方程．【重点难点解析】1．分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例如：23=x ，x x 332=-，都叫分式方程；而3221+=-x x ，0)321(41=+x ，尽管方程中的某些项含有分母，但分母中不含有未知数，因此，它们仍然是整式方程，而不是分式方程．由此看来，分母中是否含有未知数是区分整式方程和分式方程的一个显著标志．2．分式方程的解法步骤(1)在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；(4)得出结论，写答句．3．分式方程为什么会产生增根解分式方程时，为什么会产生增根呢?造成增根的原因是我们在方程的两边同乘以零造成的．根据等式的性质，等式的两边可以同时乘以(或除以)同一个非零数，等式仍然成立，这个性质是我们解方程的重要依据．不过，值得注意的是：如果对一个不等式的两边同乘以零，这个不等式也就变成等式了．例如，4≠5，如果在两边同乘以零，就有0×4＝5×0，这样，不等式就变成等式．因此，在解方程的过程中，如果在方程的两边同乘以零，就会产生增根．如方程1412112-=-++x x x ，当x ＝1时，方程两边同乘以(x ＋1)·(x －1)，就无异于在方程的两边同乘以零，使原来不可能成立的式子013=+x 而成立了，这样一来，增根x ＝1也就产生了，这就是增根产生的原因．我们再来看刚才的例题，原方程是1412112-=-++x x x ，移项，通分得：01)1(32=--x x ，即013=+x ．大家都明白，一个分式的值为零，必须是在分式有意义的条件下，分子的值为零，显然13+x 的值不可能等于零，也就是说，无论什么数，都不能使上面的等式成立，因此，原方程无解．4．验根的方法(1)由于产生增根的原因是在方程的两边同乘了“隐形”的零－—最简公分母，因此，要判明是否是增根，只要把解出的根代入最简公分母、看它的值是否为零就行了．如果待验的根，使最简公分母的值为零，那么就是增根；如果不为零，就不是增根．这种方法比较简便，但只能检查是否为增根，不能检查解方程过程中是否有运算错误．(2)当然我们也可以将解出的根代入原方程检验．若使原方程的分母为零，则是增根；若分母不为零，则不是增根．这种方法可以检查解方程过程中有无错误，但运算量较大．A ．重点、难点提示含有字母系数的一元一次方程的解法。

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题08 分式方程_答案-精编

专题08 分式方程例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C xB A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111AC B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x x y x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++ 例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2．例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解．例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时， 111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x +=．于是221()x x +331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250． 10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得123111.x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==aB 级1. 3或－ 72. x ₁=8 , x ₂=－1 , x ₃=－8 , x ₄=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或－106. A7.0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a : a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则1x y +=++a yz yz xz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得 111111a 1=+++++c b 得.,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x 当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a253,,10.28a a <-=∴=故应当舍去 22232006()2321006,1,10.? 1x x y x x x y x x -+=-+≠--∴=把原方程变形为 200521,2005120055401,11,5,401,2005,1(x,y)=(2,2008),(6,412),(402,808),(2006,4012)x x x =-+=⨯=⨯-=-分别取从而 1000008000011 (1),,10004000,4000,4000.(2),48003500+3000(15)50000,6x 10.x ,,,,,.x x xx x x x x =+==≤-≤≤≤设今年三月份甲种电脑每台售价元由题意得解得经检验是原方程的根所以甲种电脑每台售价元设购进甲种电脑台由题意得解得因为的正整数解为678910所以共有5种进货方案 (3)设总获利为W 元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利。

【人教版】八年级数学上册第十五章《分式方程及其应用》(讲义+习题+随堂测试及答案)

分式方程及其应用（讲义）➢课前预习1.请回顾相关知识，填空：2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：（1）理解题意，梳理信息．梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型．建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：①共需.同时.刚好.恰好.相同……，考虑___________；②不超过.不多于.少于.至少……，考虑_____________．（3）求解验证，回归实际．主要是看结果是否_________________． ➢ 知识点睛1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．2. 解分式方程：根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________．3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．➢ 精讲精练1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号）①315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152x x +=+；⑤11x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x=+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--；（6）2221114268x x x x x +-=----+．4. 对于分式方程，下列说法一定正确的是（）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D ．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5. 若分式方程1322m x x x -=---有增根，则m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．1 D ．1-6. 若分式方程11222kx x x-+=--有增根，则k 的值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．27. 若分式方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是（）A ．0B ．1C ．1-D ．1和1-8. 若分式方程342(2)a x x x x =+--有增根，则增根可能为（） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．19. 某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x 元，则由题意列出的方程为（）A ．420420200.5x x -=- B ．420420200.5x x -=- C ．4204200.520x x -=-D ．4204200.520x x-=-10. 已知A ，B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则由题意列出的方程为（） A ．4848944x x +=+-B ．4848944x x +=+- C ．4849x+=D ．9696944x x +=+-11. 为保证某高速公路在2016年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲.乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x 天，则由题意列出的方程为（）A ．111104014x x x +=--+ B ．111104014x x x +=++- C ．111104014x x x -=++- D ．111101440x x x +=-+- 12. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13.公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用骑电动车的方式平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是骑电动车方式所用时间的4．小王用骑电动车方式上班平均每7小时行驶多少千米？【参考答案】➢课前预习1.等式，消元不等号，不等式2.（1）列表，画线段图或示意图（2）①方程模型；②不等式模型（3）符合实际情况➢知识点睛1.分母中含有未知数2.等式的基本性质，整式方程，检验，增根使分母为零的整式3.检验➢精讲精练1.②④2.-13.（1）4x=3（2）5x=（3）无解（4）无解（5）无解（6）x=14.B5.C6.C7.B8.A9.B10. A11. B12. （1）第一次每支铅笔的进价是4元（2）每支售价至少是6元13.小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶20千米分式方程及其应用（习题）➢ 例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---．【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ． ➢ 巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（）A ．1a ba x a++= B ．xa b x b a +=-11 C ．bx a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx mx m x n x 2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（）A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x = D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（） A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A，B两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 ➢ 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x =36. （1）x =2（2）43x = （3）无解（4）无解7. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装8. 商厦共盈利90260元分式方程及其应用（随堂测试）1. 下列关于x 的方程：①2103x -=；②x x 3=π-1；③31πy x -=；④13+4x=； ⑤11x a b =-；⑥2153x x x -=--．其中属于分式方程的是________________．（填序号） 2. 解方程：214111x x x +-=--．3. 如果解关于x 的分式方程1132x k x x+-=--出现了增根，那么增根是_________，k 的值是________．【参考答案】 1. ②④⑥2. x =1是原方程的增根，原分式方程无解3.2x =，4. 1。

分式方程及其应用(含答案)

分式方程及其应用【分类解析】例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

初一奥数.第十二讲分式方程的解法及应用

第十二讲分式方程的解法及应用要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）例1、下列方程中，是分式方程的是（）．A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b+=，（a ，b 为非零常数）例2.解分式方程（1）10522112x x +=--；解方程：21233x x x -=---．练习解方程：（1）()()31112x x x x -=--+ （2）例3关于x 的分式方程 xm x x --+=-21122 （1）有增根，则增根是 m 的值是（2）若解为正数，求m 的范围。

练习1、m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？2.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ．例4.已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是非正数，则a 的取值范围是 .练习1、已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为例5.张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？练习1、甲、乙两地相距50km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B 中途休息了0.5小时还比A 早到2小时，求自行车和汽车的速度．。

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分式方程（组）
本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．解分式方程一定要验根．
解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．
列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．
例题求解
一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程【例1】解方程
6
4
534275--+
--=--+--x x x x x x x x ．解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如7
2
175-+
=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解．注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．
2．用换元法解分式方程【例2】解方程
08
1318
218
1112
2
2
=--+
-++
-+x x x x x x ．
解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．解令x 2
+2x —8=y ，原方程可化为
0151191=-+++x
y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ．故当y=9x 时，x 2
+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1．当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1．经检验，上述四解均为原方程的解．
注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a
a x x 1
1+=+结构的分式方程的解法形如a a x x 11+=+
的分式方程的解是：a x =1，a
x 12=．
【例3】解方程 3
10
511522=+++++x x x x ．解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．
11=x ，22=x 均为原方程的解．
4．运用整体代换解分式方程组
【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+=+x x x z y y y x x 2
2
2
2
2
2
414414414．解析若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?
解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=2
1
故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=2
1．二、含字母系数分式方程根的讨论
【例5】解关于x 的方程2
42241)
1(2212122x a x x a x x a --=---++．解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．
讨论：（1）当a 2
－1≠0时
①当a ≠0时，原方程解为x=2
12a +；
②当a=0时，此时2
1
±
=x 是增根． (2) 当a 2
－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠2
1
±
的任意数；综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=2
12
a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方
程的解为x ≠2
1
±
的任意数．三、列分式方程解应用题
【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到
扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?
解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．
解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面的部分有S 级，
则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S x
y
S x 181827
227
解得 S=54．
所以扶梯露在外面的部分有54级．
(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．
由于两人所走的时间相等，所以有
x
n x y m x n x y m )
1(54)1(54254254-++-=++．由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．
无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．
试验知只有m=3，n=6
1
2符合要求．
所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+6
1
2×54=198(级)．
注本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加
41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加4
1
．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．
解设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨
⎧
=
--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，
解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．
学力训练（A 级）
1．解分式方程
1
61
43132121+=
-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程
1
1
5
12
2
2
--=
+-+
-x k x x k x
x 有增根x=1，求k 的值．
3．解分式方程
5
2
)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312
111
y x x y x x ．
5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？
（B 级）
1．关于x 的方程
c
d
a x x
b =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．
c ≠
d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠0
2．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．
3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则1
11++
+++k k
n n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩
⎨
⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32
≥y ？
5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做
10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3
2
，厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． 6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．
(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．
(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．
分式方程（组）分式方程（组）。