初中数学竞赛专题5：分式
初中数学分式教案【优秀4篇】
初中数学分式教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, contract agreements, rules and regulations, doctrinal documents, planning plans, insights, speeches, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!初中数学分式教案【优秀4篇】作为一名教师，时常要开展教案准备工作，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
初中培优竞赛含详细解析 第5讲 分式
第5讲 分 式一、选择题1.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换）已知a 2−3a +1=0,则4 a 2−9a −2+91+a 的值为（ ） A . 3 B.5 C. 3 5 D. 6 5分析：显然a ≠0，由题设得a +1a =3，所求式子=4 a 2−3a +3a −2+93a =−4+3×3−2=3. 答案：A .技巧：通过对题设中等式的整体变形，能整体求值的就整体求值代换，这样能简化运算，达到快捷解题的目的.易错点：代换过程中容易变形失误而致错.2. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式）若4x −3y −6z =0,x +2y −7z =0(xyz ≠0)，则代数式5x 2+2y 2−z 22x −3y −10z 的值为( )A. −12B. −192 C.-15 D.-13分析：由题意得 4x −3y =6z x +2y =7z，解得x =3zy =2z，代人5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2得5×9z 2+2×4z 2−z 22×9z 2−3×4z 2−10z 2=−13.答案：D.技巧：将三元化为一元，然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧. 易错点：这类题型在换元的时候容易计算错误.3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式）已知x ，y ，，z 满足2x=3y −z=5z+x，则5x −y y+2z的值为（ ）A.1B. 13C.−12D. 12分析：由2x=3y −z=5z+x得2(z +x )=5x ,2(y −z )=3x ，解之得y =3x ,z =32x . 所以5x−yy+2z=5x−3x3x+3x=13⋅答案：B.技巧：将三元化为一元，然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧.易错点：这类题型在换元的时候容易计算错误.二、填空题4.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、分式）方程16+1x=1y有组正整数解.分析：由原方程可得y=6xx+6=6−36x+6⋅又因为y是正整数，所以x+6=9，12，18，36，得x=3，6，12，30，都是正整数. 故原方程共有4组解.答案：4.技巧：将一个未知数用另一个未知数表示出来，再根据题设的限制条件（正整数解）来分析可能的正确解.易错点：这类题型在分析可能解的时候，容易漏解.5.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、分式）已知a−1a=1，则a8+1a8=.分析：三次求平方可得：a2+1a =3,a4+1a=7,a8+1a=47.答案：47.技巧：a±1a2=a2+1a±2，由这一等式，可以根据一个数与其倒数的和很快捷地求出这个数与其倒数的平方和.易错点：运用等式a±1a2=a2+1a±2的时候，容易掉了等式后面的±2而致错.6.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、整体代换、分式）已知α是方程x2+x−14=0的根，则α3−1α5+α4−α3−α2=.分析：由已知α是方程x2+x−14=0的根，可得α2+α=14⋅所以α3−1α+α−α−α=(α−1)(α2+α+1)α(α+α)−α(α+α)=(α−1)(α2+α+1)(α−α)(α+α)=(α−1)(α2+α+1)(α−1)(α+α)(α+α)=14+11×1=20.答案：20.技巧：整体代换需要找出联系题设与所求式子中的相同的整体，适当的变形或分解因式约分之后进行代换，可以使得运算快捷简便.易错点：在分解因式和约分时容易分解或约分不当而致错.三、解答题7、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、分式）计算：199319922 199319912+199319932−2分析：分子分母中的数字都比较大，这时观察式子特点，可以发现19931992与19931991和19931993之间都是相差1，由此入手，可以用更加快捷的方法计算出结果.详解：设a=19931992，则原式=a2(a−1)2+(a+1)2−2=a2a2−2a+1+a2+2a+1−2=12⋅技巧：当数式中出现的数字比较大时，可以考虑用一个简单的字母将其代换再进行运算，往往可以化繁为简.易错点：代换时易出错.8、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、分式）若1x−1−x−1x2+x+1−9x2x3−1=23，求x的值.分析：题设所给的等式左边可以化简，故可先把左边化为最简形式再来求x值. 详解：将繁分式的分子、分母分别乘以x3−1，得原式左边=(x2+x+1)−(x−1)2−9x=x2+x+1−x2+2x−1−9x=3x−9x=−13x⋅所以−13x =23，所以x=−12⋅经检验，x=−12符合题意.答：x值为−12.技巧：先化简，再求值，是这类题的一般思路.易错点：由于分式的分母不能等于0，故分式在约分得出结果之后，一般要对分母是否等于0作出检验，以免出现增根或错解.9、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、分式）已知a2+a3+a4a1=a1+a3+a4a2=a1+a2+a4a3=a1+a2+a3a4= k，求k的值.分析：将题设所给的等式化为四个等式之后，再观察式子特点，就会发现求和可以打开思路. 详解：由条件可得，a2+a3+a4=ka1,a1+a3+a4=ka2,a1+a2+a4=ka3,a1+a2+a3=ka4.四式相加得3a1+a2+a3+a4=k a1+a2+a3+a4，所以(k−3)(a1+a2+a3+a4)=0.所以k=3或a1+a2+a3+a4=0.当a1+a2+a3+a4=0时，a2+a3+a4=−a1⋅则k=a2+a3+a4a1=−1.综上可知k=3或k=-1.答：k的值为3或-1.技巧：对于这种连等的比例型问题，一般可以设出比例系数，把比例式转化为几个等式再来求解.易错点：在等式的转化和求解过程中容易忽视分母不能为0的这一潜在规定而致错.。
分式的教案(优秀5篇)
分式的教案（优秀5篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如计划报告、合同协议、心得体会、演讲致辞、条据文书、策划方案、规章制度、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as plan reports, contract agreements, insights, speeches, policy documents, planning plans, rules and regulations, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!分式的教案（优秀5篇）分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
【初中数学】分式方程竞赛试卷
【初中数学】分式方程竞赛试卷一、选择题（每题5分,共30分）1．若73212++y y 的值为81,则96412-+y y 的值是（ ） （A ）21-（B ）171- （C ）71- （D ）712．已知xz z y x +=+=531,则z y y x +-22的值为（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）23- （D ）41 3．若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x x x n x m 均成立,则mn 的值是（ ） （A ）8 （B ）8- （C ）16 （D ）16-4.有三个连续正整数,其倒数之和是6047,那么这三个数中最小的是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．若d c b a ,,,满足ad d c c b b a ===,则2222d c b a da cd bc ab ++++++的值为（ ） （A ）1或0 （B ）1- 或0 （C ）1或2-（D ）1或1-6．设轮船在静水中的速度为v ,该船在流水(速度为v u <)中从上游A 驶往下游B,再返回A ，所用的时间为T,假设0=u ,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回A,所用时间为t ,则（ ）（A ）t T = （B ）t T < （C ）t T > （D ）不能确定T 与t 的大小关系二、填空题（每题5分,共30分）7.已知:x 满足方程20061120061=--x x,则代数式2007200520062004+-x x 的值是_____. 8. 已知:b a b a +=+511,则ba ab +的值为_____. 9.方程71011=++zy x 的正整数解()z y x ,,是_____. 10. 若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数,则a 的取值范围是_____.11. 若11,11=+=+zy y x ,则=xyz _____. 12.设y x ,是两个不同的正整数,且5211=+y x ,则._____=+y x 三、解答题（每题10分,共40分）13． 已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，求b a ,之值.14．解方程:708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x .15． a 为何值时，分式方程()01113=++++-x x a x x x 无解？16． 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)
全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析 （竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有 唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的 最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解 因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解 由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-． 又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 （算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >． 由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>． 故选：D ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】 【分析】 【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______． 【答案】 4352【解析】 【分析】 【详解】 434370222y x ++≤=≤=． 又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】 【详解】 因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________． 【答案】23x ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 【答案】334 【解析】 【分析】 【详解】解 设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤． 当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去． 故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________． 【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】 【分析】 【详解】解 原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<； 若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-； 若0a =，则67a a-=，不等式无解． 故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________． 【答案】196 【解析】 【分析】 【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>， 所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==． 所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本． 【答案】109 【解析】 【分析】 【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 【答案】 329 335或334 【解析】 【分析】 【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？ 【答案】宾馆的底楼有客房10间 【解析】 【分析】 【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房． 简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =． 答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】 【分析】 【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对， 所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】 【分析】 【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或 或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+， 故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-， 故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+， 故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①． 又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②． 由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确 【解析】 【分析】 【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=； （3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）； （4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？ 【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格． 【解析】 【分析】 【详解】解 设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】 【分析】 【详解】解 首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】 【分析】 【详解】解 不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--， 可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<． 如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 【答案】15 【解析】 【分析】 【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>． 由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><． 令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+． 又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=． 故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】 【分析】 【详解】解 移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-． 解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥． 综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 【答案】1x <-或1x > 【解析】 【分析】 【详解】解 移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+． 因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 【答案】3a =【解析】 【分析】 【详解】解 依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 【答案】18或20． 【解析】 【分析】 【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环） 【答案】第10次至少要射9.9环 【解析】 【分析】 【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）． 答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩， 解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++． 【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解 （1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意． （3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论： 若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-． 要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<． 综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】 解 由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤． 所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解 设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。
全国初中数学联赛试题详解
缺点和错误恐怕难免，请广大读者不吝指教！
裘宗沪
1993年12月
修订说明
由中国数学会普及工作委员会组织一批中国数学奥林匹克高级教练员编写的《全国初中数学联赛试题详解》，自1994年问世至今，经全国各地许多奥校以及各级各类学校的广大数学爱好者使用以后，无论在内容形式上和装帧设计上均给予好评。不少读者指名要购买此书。
答（）
4．如图，直线l1和l2上点的坐标（x，y）满足关系式
（A）|x|+|y|=0；（B）|x|+ =1；（C）x2-|y|=1；（D）|x|+|y|=0；（E）x-|y|=0
l1y l2
45°45°
O x
5．方程x2+1984513x+3154891=0
（A）没有实数根；（B）有整数根；（C）有正数根；（D）两根的倒数和小于-1；（E）以上结论都不对。
答（）
6．△ABC的三条外角平分线相交成一个△LMN，则△LMN
（A）一定是直角三角形；（B）一定是钝角三角形；（C）一定是锐角三角形；（D）不一定是锐角三角形；（E）一定不是锐角三角形。
答（）
7．已知方程2x2+kx-2k+1=0的两实根的平方和为29/4，则k的值为
（A）3；（B）-11；（C）3或-11；（D）11；（E）以上结论都不对。
1．设a-b=2+ ，b-c=2- ，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）。
2．设方程x2-402x+k=0的一根加3，即为另一根的80倍。那么k=（）。
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专题5：分式第1讲 分式的运算赛题练习1.（江苏省竞赛题）已知122a b b a +=+，则ab为（ ） A.1-B.2C.1D.不能确定2.（第17届江苏省竞赛题）若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个3.（2005年武汉市竞赛题）如果0a b c ++=，1110123a b c ++=+++，那么222(1)(2)(3)a b c +++++的值为（ ）A.36B.16C.14D.34.（2005年天津市竞赛题）若a b x a b -=+，且0a ≠，则ba等于（ ） A.11xx-+ B.11xx +- C.11x x -+ D.11x x +- 5.（2004年重庆市竞赛题）设有理数a 、b 、c 都不为零，且0a b c ++=，则2221b c a ++-22222211c a b a b c ++-+-的值是（ ） A.正数B.负数C.零D.不能确定6.（北京市竞赛题）存在这样的有理数a 、b 、c 满足a b c <<，使得分式111a b b c c a++---的值等于（ ）A.2003-B.0C.2003D.7.（2008年天津市竞赛题）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲一半的时间以a km/h 的速度行走，另一半时间以b km/h 的速度行走；而乙一半的路程以a km/h 的速度行走，另一半的路程以b km/h 的速度行走（a 、b 均大于0且a b ≠），则（ ） A.甲先到达B 地B.乙先到达B 地C.甲乙同时到达B 地D.不确定8.（祖冲之杯竞赛题）已知11123x y -=，则代数式23432x xy yx xy y+---的值为__________. 9.（2005年全国初中数学联赛题）使代数式2111x y x +=+的值为整数的全体自然数x 的和为_____________.10.（2004年我爱数学夏令营竞赛题）已知325x yy x y=-，那么当24128x y -+-达到最大值时，2233x y -=__________.11.（湖北省选拔赛试题）若关于x 的方程212x ax +=--的解为正数，则a 的取值范围是__________. 12.（第14届希望杯竞赛题）已知212606a a +-是正整数，则正整数a =__________.13.（第1届中学生数学智能通讯赛试题）已知1abc =，则关于x 的方程2004111x x xa ab b bc c ca++=++++++的解是___________.14.（镇江市竞赛题）学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品.那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买__________枝.15.（河北省初中数学创新与知识应用竞赛题）如果3121231t t t t t t ++=，则123123t t t t t t 的值是____________. 16.（2004年河北省竞赛题）观察下面的算式：0000⨯=-，111122⨯=-，….根据算式反映出的规律，再写出满足这个规律的两个算式___________.17.（1997年重庆市初中数学竞赛题）若分式2231x x x --+的值为零，求x 的值.18.（1999年全国初中数学竞赛广西赛区初赛题）如果分式2||323x x x ---的值为零，求x 的值.19.（希望杯竞赛题）已知56789012346789012345A =，56789012356789012347B =，试比较A 与B 的大小.20.（绵阳市竞赛题）已知1x y za b c++=，0a b c x y z ++=.求证：2222221x y z a b c ++=.21.（2004年河北省竞赛题）已知()1xf x x=+，求下式的值： 111200420032f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)(0)(1)f f f ++++(2)(2003)f f +++(2004)f .22.（第14届五羊杯竞赛题）已知正整数n 大于30，且使得41n -整除2002n ，求n 的值.23.（第18届五羊杯竞赛题）若20052005200420042006200620052005P =-，20042004200320032005200520042004Q =-，1120052006R =-，则P 、Q 、R 的大小关系是__________（注：写出P 、Q 、R 两两的大小关系）24.（2005年荆门市初中数学竞赛题）已知α是方程2104x x +-=的根，则354321ααααα-+--的值等于___________.25.（第17届希望杯竞赛题）若0m n p +-=，则111111m n p n p m p m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于___________.26.（第4届美国数学邀请赛试题）使3100n +能被10n +整除的正整数n 的最大值是多少？27.（江苏省竞赛题）某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，求11111a b c c +++++的值.28.（北京市竞赛题）设a b x a b-=+，b c y b c-=+，c az c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z ++⨯+=---.29.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值.30.（长春市竞赛题）若a 、b 、c 为非零实数，且0a b c ++=，试求：||||||||||||a b b c c aa b b c c a ++的值.31.（1999年北京市竞赛题）计算3331999100099919991000999--⨯⨯的值.32.（1991年浙江省初中数学联赛题）当x 为何值时，式子1111x x +-无意义.33.（哈尔滨市竞赛题）已知1111a b c a b c++=++=，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1.34.（深圳市竞赛题）求证：()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b ---++------222a b b c c a=++---.35.（西安市竞赛题）计算()()()()()()()()()()44222444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++的值.36.（希望杯竞赛题）已知1111a b c a b c ++=++，求证：2007200720072007200720071111a b c a b c ++=++.37.（上海市竞赛题）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且111a b c d b c d +=+=+=+1k a=，试求k 的值.38.（1985年全国初中数学联赛题）已知(0,1)x x ≠±和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数这3种运算（可以用括号），用6步算出2x ，写出计算的表达式.问题解决例1.（1）若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为______.（2）如果整数()1a a ≠使得关于x 的一元一次方程232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为______.例2.已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，4abc =.那么11a b c1++的值（ ） A.是正数 B.是零 C.是负数D.可正可负例3．计算： （1）2411241111x x x x+++-+++； （2）()()()()()()()11111122399100x x x x x x x x +++++++++++.例4.A ，B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同.其中，A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问：谁的购买方式合算？例5.分式中的欧拉公式：欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹.下面是关于分式的欧拉公式，请证明：()()()()()()()()()00,1,12,3.rrrr a b c r a b a c b c b a c a c b a b c r ⎧=⎪⎪++==⎨------⎪++=⎪⎩时时时例6.分子为1的真分数叫做“单位分数”，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如511623=+. （1）把712写成两个单位分数的和； （2）研究真分数13x，对于某些x 的值，它可以写成两个单位分数的和. 例如当42x =时，13114267=+. 你还能找出多少x 的值，使得13x可以写成两个单位分数的和？数学冲浪 知识技能广场1.埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识.整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数.在一部记录古埃及数学的《莱因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“2n ”型分数分解成单分数的结果，如2115315=+，2117428=+，2119545=+，则()()21111=+.更一般地，有()()21121n =+-（n 取大于2的自然数）.2.（1）要使分式241312a a a-++没有意义，则a 的值为______.（2）当m =______时，分式()()21332m m m m ---+的值为零.3.若()()121212121a bn n n n =+-+-+对任意自然数n 都成立，则a =______，b =______；计算11111335571921m =++++=⨯⨯⨯⨯______.4.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：121212312222111y y x x y y y x y y −−−→=−−−→=−−−→=−−−→+++第次第次第3次输入则第n （n 为正整数）次运算的结果为______.5.甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，则下列结论中正确的是（ ） A.甲、乙同时到达B 地 B.甲先到达B 地C.乙先到达B 地D.谁先到达B 地与速度v 有关6．已知114a b-=，则2227a ab ba b ab ---+的值等于（ ） A.6B.6-C.215 D.27-7．化简22422244x x xx x x x ⎛⎫--+÷ ⎪+--+⎝⎭，其结果是（ ）. A.82x -- B.82x - C.82x -+ D.82x + 8．方程301x y x +-=+的整数解有（ ）组. A.1B.2C.3D.49．先化简：22212211211x x x x x x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭，然后从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.10.计算：（1）21131244x x x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭；（2）()()22122442a a a aa a a a a +-⎡⎤-÷⎢⎥--+-⎣⎦.11.试证明下列等式成立：（1）()()()2222111111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++ ⎪---⎝⎭---； （2）()()()()()()222b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a---++=++---------.思维方法天地12.若分式()()()()222342422x x x x +--+的值是正整数，则整数x =______.13.若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++-+-++++，则a 的值是______. 14.已知()()()23234831111x x A B C x x x x ++=++----，其中A ，B ，C 为常数，则32A B C ++=______. 15.已知1xy x y =+，2yzy z =+，3zx z x=+则x =______. 16.代数式32411241111x x x x x x +++-+++的化简结果是（ ） A.5681x x - B.4881x x - C.7841x x - D.7881x x - 17．设有理数a ，b ，c 都不为零，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值是（ ） A.正数B.负数C.零D.不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米/时的速度行走，另一半时间以b 千米/时的速度行走；而乙用a 千米/时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米/时的速度行走（a ，b 均大于0，且a b ≠），则（ ）. A.甲先到达B 地B.乙先到达B 地C.甲、乙同时到达B 地D.甲、乙谁先到达B 地不确定19．当 1.67a =， 1.71b =，0.46c =时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++=--+--+--+（ ）. A.20 B.15 C.10 D.5.5520．太平盛世，吉祥如意，“神舟”五号，豪气冲天.若2995n +能被5n +整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数.据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值.21.已知()1xf x x=+，求下式的值： ()()()()()()111101220032004200420032f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.应用探究乐园22.用水清洗蔬菜上残留的农药.设用()1x x ≥单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为11x+. 现有()2a a ≥单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次. 试问：用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由.23.一分为二任何一个单位分数1n都可以写成两个单位分数的和：111n p q =+（n ，p ，q 都是正整数）.显然，这里的p ，q 都大于n .如果设p n a =+，q n b =+，那么有111n n a n b=+++. （1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）； （2）写出16等于两个单位分数之和的所有可能情况.第2讲 分式的化简求值赛题练习1.（2005年天津市竞赛题）若a b x a b -=+，且0a ≠，则ba等于（ ） A.11xx-+ B.11xx +- C.11x x -+ D.11x x +- 2.（第18届江苏省竞赛题）已知1110a b c++=，2221a b c ++=，则a b c ++的值等于（ ） A.1B.1-C.1或1-D.03.（第17有意义，则x 的取值范围是（ ）A.4x >B.7x ≥且5x ≠C.4x >且5x ≠D.45x <<4.（第18届五羊杯竞赛题）已知223x y -=，则23796x y xyxy y x--+-的值为（ ） A.14 B.14-C.13-D.135.（河南省竞赛题）已知111a b a b +=+，那么b aa b +的值为（ ） A.1B.1-C.2D.2-6.（太原市竞赛题）已知1abc =，2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为（ ） A.1B.12-C.2D.23-7.（第17届五羊杯竞赛题）化简繁分数：423(7)1337986(2)9(8)62-+----+----+--------等于（ ） A.2- B.0 C.1- D.18.（第17届五羊杯竞赛题）设322x yx y-=+，则2222(32)(3)(4)(22)x y x y x y x y +----+等于（ ） A.3925B.3925-C.3920D.3920-9.（2005年山东省竞赛题）化简22248x x xx y y x x y ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭得（ ） A.34x y+ B.34x y+-C.34x y+-D.34x y+10.（第18届江苏省竞赛题）设2211(1)(1)S x x =++-，那么S 与2的大小关系是（ ） A.2S = B.2S <C.2S >D.S 与2之间的大小关系与x 的取值有关11.（2004年全国初中数学联赛题）已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab ++的值为（ ） A.3B.2C.1D.012.（第18届五羊杯竞赛题）设23x y x y-=+，其中,0x y ≠，则3333(23)(32)(42)(7)x y x y x y x y ---=+--（ ） A.1- B.1 C.14134075D.14134075-13.（祖冲之杯竞赛题）设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果a c c bb a b a-==+，那么（ ） A.32b c =B.32a b =C.2b c =D.2a b =14.（第18届五羊杯竞赛题）化简繁分数：111123233(2)3(2)---+--+-------等于（ ） A.25 B.25-C.2-D.215.（希望杯竞赛题）若0abc ≠，且a b b c c a c a b +++==，则()()()a b b c c a abc+++=__________.16.（第15届希望杯竞赛题）已知a 、b 、c 、d 为正整数，且47b d a c -=，17(1)b d a c +-=，则ca的值是__________；db的值是__________. 17.（第17届五羊杯竞赛题）已知113x y =+，则2523x xy y y xy x--=+-_________. 18.（2005年河南省竞赛题）已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则式子3220042005(1)()()x m n ab x m n x ab -++++++的值等于__________.19.（2005年河南省竞赛题）已知：11a a -=，则881a a+=__________. 20.（2003年全国初中数学竞赛题）已知1x =2111242x x x +-=+--__________. 21.（第17届江苏省竞赛题）已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a ++=++，则m =__________. 22.（中学生数学智能通讯赛试题）若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=，且24abc =，则111a b c bc ca ab a b c++---的值为_________.23.（北京市竞赛题）已知x 、y 、z 满足1x y z y z z x x y++=+++，求代数式2x y z ++22y z x z x y +++的值.24.（2008年辽宁省竞赛题）化简并求值：222x y xyx y y x x y -++--，其中x =-，y =25.（黄冈市竞赛题）若3x y z ++=，求333(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z ----+-+-的值.26.（上海市竞赛题）化简：333333333321b a b a a a b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.27.（河北省竞赛题）已知x y z a b b c c a ==---，求200220032004x y za b c++++的值.28.（第10届华杯赛试题）已知：1ax by cz ===，求444411111111a b c x +++++++441111y z ++++的值.29.（波兰竞赛题）设a 、b 、c 满足1111a b c a b c ++=++，求证：当n 为奇数时，1111n n nn n n a b c a b c=++++.30.（2006年国际城市竞赛题）老师说：“a 、b 两个数满足关系式1a b ab +-=.已知a 不是整数，则对b 可作出怎样的结论？”学生A 说：“b 也不是整数.”学生B 说：“我认为b 必定是正整数.”学生C 说：“我认为b 必定是负整数.”三位同学谁说的是正确的，为什么？31.（第9届希望杯竞赛题）已知p 与q 互为相反数（0p ≠），s 与t 互为倒数.求333322p q s t p q s t st ++--+的值.32.（2005年北京市竞赛题）已知非零实数a 、b 、c 满足0a b c ++=. （1）求证：3333a b c abc ++=；（2）求a b b c c a ca b ca b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭的值.33.（海口市竞赛题）已知3(0)x y z a a ++=≠，求： 222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-.34.（1983年哈尔滨市竞赛题）如果123x y z z x ==++，求z yx+的值.35.（1988年武汉、重庆、广州、洛阳、福州初中数学联赛题）如果13x x +=，求2421x x x ++的值.36.（济南市竞赛题）已知0x y z ++=，0xyz ≠，求111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.37.（第9届希望杯竞赛题）已知0a ≠，0b ≠，且114a b +=，求434323a ab ba ab b++-+-的值.38.（第8届五羊杯竞赛题）设x a y z =+，y b z x =+，z c x y =+，且0x y z ++≠，求111a b ca b c +++++的值.39.（1995年天津市竞赛题）设1x y zm n p++=，0m n p x y z ++=，计算222222x y z m n p ++的值.问题解决例1.已知210x x --=，则4521x x x ++=______.例2.a ，b ，c 为非零实数，且0a b c ++≠，若a b c a b c a b c c b a+--+-++==，则()()()a b b c c a abc +++等于（ ） A.8B.4C.2D.1例3．如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，求a b cb c c a a b+++++的值.例4.已知210a a --=，且4232232931122a xa a xa a-+=-+-，求x 的值.例5.已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且111a b c x b c d+=+=+=，试求x 的值.例6.已知1ab =，求证：11111a b+=++.数学冲浪 知识技能广场1.（1）当2m n =时，()2222m n m n m mn n +⋅--+的值为______、. （2）若0456c b a ==≠，则b ca+的值为______. 2.已知实数24410x x -+=，则代数式122x x+的值为______. 3.若115a b a b +=+，则2222b a a b+=______.4.已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b-=______. 5.若13x x +=，则2421x x x ++的值为（ ）A.10B.8C.110 D.186．若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为（ ）. A.1B.1-C.17-D.157．当16m =-时，代数式2221533399m m m m m m m m ---÷-++--的值是（ ） A.1-B.12-C.12D.18．已知27a a -=，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（ ）A.3B.72C.4D.59．化简求值：222142244a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭，其中a 满足2210a a +-=. 10.已知y z x z x y x y zp x y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p ++的值.思维方法天地11.若0abc ≠，且a b b c c ac a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++=______. 12.已知实数a ，b ，c 满足11a b c ++=与1111317a b b c c a ++=+++，则a b cb c c a a b+++++的值是______.13.已知a ，b ，c 满足1a b c b c c a a b++=+++，则222a b c b c a c a b +++++的值为______. 14.已知2410a a ++=，且42221533a ma a ma a++=++，则m =______.15.已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则abcab bc ca++的值是（ ） A.121 B.122C.123D.12416．已知正实数a ，b ，c 满足：23a x b c =+，23b y c a =+，32c z a b=+，则111x y zx y z +++++的值为（ ） A.1B.32C.2D.317．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A.0B.3C.6D.918．若a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，则a ，b ，c 中（ ） A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不相等 19．已知0x y z --=，2240y y +-=，求xy y-的值.20.已知1ax by ca ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值.应用探究乐园21.已知实数a ，b ，c 满足1abc =-，4a b c ++=，22249313131a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值.22.非法约分下面问题是美国学者马克士威尔在其著作《数学中的谬误》中首先提出的： 有个小学生漫不经心地作了下列错误的“约分”：166414=，266525=，闹出大笑话，令人惊讶的是，约分虽然不合理，但结果却是对的.这当然不是一种普遍现象，请你找出使这种“约分”成立的其他分子、分母为两位数的真分数.例1 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ）. A.1m >- B.1m ≥-C.1m >-且1m ≠D.1m ≥-且1m ≠例2．解方程：2344342334x x x x+-+=++-.例3.若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值.例4.某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，小红和王兵二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时，步行匀速登梯，小红登了55级后到达楼上，王兵登梯速度是小的2倍，王兵登了60级后到达楼上，问：由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？练一练1.关于x 的两个方程2430x x -+=与121x x a=-+有一个解相同，则a =______. 2.（1）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =______. （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m =______. 3.若关于x 的分式方程212x ax +=--的解是正数，则a 的取值范围是______. 4.（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是______. （2）方程222111143256712x x x x x x x ++=+++++++的解是______. 5.已知关于x 的分式方程52ax x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ） A.5a =或0a = B.0a ≠C.5a ≠D.5a ≠且0a ≠6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A.1m >- B.1m >-且0m ≠ C.1m <-D.1m <-且2m ≠-7．张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件.若设张三每小时加工这种零件x 个，则下面列出的方程正确的是（ ） A.1201005x x=- B.1201005x x =-C.1201005x x=+D.1201005x x=+8．关于x的方程22x cx c+=+的两个解是1x c=，22xc=，则关于c的方程2211x ax a+=+--的两个解是（）.A.a，2aB.21,1aa--C.a，21a-D.a，11aa+-9．观察下列方程及其解的特征：（1）12xx+=的解为121x x==；（2）152xx+=的解为12x=，212x=；（3）1103xx+=的解为13x=，213x=；……解答下列问题：（1）请猜想：方程1265xx+=的解为______；（2）请猜想：关于x的方程1xx+=______的解为1x a=，()21x aa=≠；（3）下面以解方程1265xx+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性；（4）解分式方程2131462a axx a+++=-.10.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求.商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元. （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出.如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？11.如果，在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去. （1）若汽车的行驶速度是30米/秒，在距离山壁925米处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？（2）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5秒再次鸣笛.若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4秒，求汽车的行驶速度.（已知声音在空气中的传播速度是340米/秒）第3讲 含字母系数方程和分式方程1.（全国数学联赛题）若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a b c +=，b c d +=，c d a +=，则a b c d +++的最大值是（ ）A.1-B.5-C.0D.12.（第11届希望杯竞赛题）如果220a b +>，方程0ax b +=，则x 有（ ） A.一个根B.无根C.无数个根D.一个根或无根3.（江苏省竞赛题）已知a 是任意有理数，在下面说法 （1）方程0ax =的解是1x =； （2）方程ax a =的解是1x =； （3）方程1ax =的解是1x a=； （4）方程||a x a =的解是1x =±； 结论正确的个数是（ ） A.0B.1C.2D.34.（第15届江苏省初中数学竞赛题）已知式子(8)(1)||1x x x -+-的值为零，则x 的值为（ ）A.1±B.1-C.8D.1-或85.（2002年江苏省数学竞赛题）已知a 为整数，关于x 的方程2200a x -=的根是质数，且满足27ax a ->，则a 等于（ ）A.2B.2或5C.2±D.2-6.（第17届五羊杯竞赛题）已知方程组2223xy x y =+，392yzy z=--，51537xyz xy yz zx =-+恰有一组解x a =，y b =，z c =，则222a b c ++等于（ ）A.10B.11C.5D.147.（希望杯竞赛题）当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解，则a等于（ ） A.2B.2-C.23-D.不存在8.（第18届五羊杯竞赛题）已知三个方程构成的方程组22121yzy z xyz yz zx xyxyzyz zx xy ⎧=⎪+⎪⎪=⎨-+⎪⎪=⎪++⎩，恰有一组解x a y b z c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则333a b c ++等于（ ）A.1-B.1C.0D.179.（上海市竞赛题）已知关于x 、y 的方程组23213243x y k x y k +=+⎧⎨-=+⎩的解x 、y 的值的和为6，则k =__________.10.（希望杯竞赛题）已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无穷多个解，则a =__________，b =___________.11.（1993年合肥市竞赛题）方程21421242x x x x +=++--的解是___________. 12.（江汉杯竞赛题）方程组(1)5a x y x yb -+=⎧⎨+=⎩，当a =____________，b =__________时方程组有唯一一组解；当a =___________，b =___________时，方程组无解；当a =_____________，b =__________时，方程组有无数组解.13.（济南市竞赛题）解方程组6220224ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩，时，本应有解810x y =⎧⎨=⎩，由于看错了系数C ，得到解为116x y =⎧⎨=⎩则a b c ++=___________.14.（第13届江苏省初中数学竞赛题）甲、乙两人在环形跑道上练习长跑，甲的速度与乙的速度的比为5：3.若两人同时从同一起点出发，则乙跑了___________圈后，甲比乙多跑了4圈. 15.（第8届希望杯竞赛题）若223111191x x x x x x ---++--的值是23，则x 的值等于___________. 16.（2002年上海市竞赛题）若实数a 满足32a a a <<，则不等式1x a ax +>-的解为___________. 17.（第17届五羊杯竞赛题）已知222211(1)1x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，则A B C ++=____________.18.（第18届五羊杯竞赛题）已知232573(2)2(2)x x A B x x x ++=+---3(2)Cx +-，其中A 、B 、C 为常数，则2A B C ++=_____________. 19.（第17届五羊杯竞赛题）方程11(1)(2)(2)(5)x x x x ++-+++1111(5)(8)(8)(11)3324x x x x x +=-++++-的解为____________.20.（第10届祖冲之杯竞赛题）方程2221113256x x x x x x +++++++21471221x x +=++的解是___________.21.（第7届五羊杯竞赛题）一条河的水流速度为5千米/小时，“五羊”旅游船从上游A 地匀速驶向下游相距60千米的B 地，再匀速逆流驶返A 地，则旅游船顺流行驶速度超过逆流行驶速度___________%时，可使得旅游船往返时间差为1小时以上. 22.（2007年浙江省竞赛题）设1232007,,,,x x x x 为实数，且满足1232007x x x x ⋅⋅=12320071232007x x x x x x x x -⋅=-=⋅123200620071x x x x x =⋅⋅-=，则2000x 的值是____________.23.（1997年重庆市竞赛题）若4360x y z --=，270x y z +-=，求522310x y zx y z+---的值.24.（南京市竞赛题）223133x x x x x--=++.25.（学习报公开赛竞赛题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]3π=，[]4π-=-，解方程：22[]3[][](123)x x x n x n ++++=++++.26.（2006年华罗庚杯香港中学竞赛题）已知x 无论取什么值，式子35ax bx ++必为同一值，求a bb+的值.27.（山东省竞赛题）如果a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk+-=+，无论k 为何值它的根总是1，求a 、b 的值.28.（第10届缙云杯竞赛题）若关于x 的方程26(51)3m x x x m +=+-至少有两个解，那么m 应满足什么样的条件？29.（第13届希望杯竞赛题）已知m 是整数，二元一次方程组235379x y mx y -=-⎧⎨--=⎩有整数解，求m .30.（苏州市竞赛题）解方程：222111011828138x x x x x x ++=+-+---.31.（1993年四川省竞赛题）已知方程()222221210()x ax a a x a +-++-=+有实数解. 求实数a 的取值范围.32.（北京市竞赛题）已知1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求y .33.（1996年荆州市竞赛题）已知关于x 与y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩分别求出当a 为何值时，方程组的解为： （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多组解.34.（1994年全国初中数学联赛题）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，求N .35.（希望杯竞赛题）如右表，a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，表中各行、各列及两条对角线上的三个数之和相等.求ab cd efa b c d e f+++++++36.（1999年黄冈市初中数学竞赛题）若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值.37.（希望杯培训题）一小船由A 港到B 港顺流需6小时，由B 港到A 港逆流需8小时. 小船从早晨6时由A 港到B 港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈.问：（1）若小船顺水由A 港漂流到B 港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？。