北京市海淀区2014-2015学年高二第一学期期末练习数学试题文
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）2015.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线2y x =+的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A.4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83C. 163D. 64. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=， 则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 命题“0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限”的否定是（） A. 0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限 B. 0k ∃≤，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限 C. 0k ∀>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限 D. 0k ∀≤，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限6.已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =, 则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（） A.12C.21二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9.已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为________________.11.椭圆2212516x y +=上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离是_______.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知平面αβ⊥，且l αβ= ，在l 上有两点,,A B 线段AC α⊂， 线段BD β⊂，, AC l ⊥, BD l ⊥ 4, 3, 12, AB AC BD === 则线段CD 的长为_____.14. 已知点(1,0)A -, 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y在抛物线上，且|||AP PF =， 则||___.OP =三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A , 圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 且与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OA AP ⋅的取值范围.16.（本小题共12分）已知直线:l y x t =+与椭圆22:22C x y +=交于,A B 两点.( I ) 求椭圆C 的长轴长和焦点坐标； ( II )若||AB =，求t 的值.17.（本小题共12分）如图所示的几何体中，直线AF ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，ADEF 为梯形，DE AF ∥，又1AB =，2=2AF DE a =.( I ) 求证：直线C E ∥平面ABF ； ( II ) 求证：直线BD ⊥平面AC F (Ⅲ) 若直线AE CF ⊥，求a 的值.18.（本小题共10分）已知椭圆22143x y +=，经过点(0,3)A 的直线与椭圆交于,P Q 两点. ( I ) 若||||PO PA =，求点P 的坐标； ( II ) 若=OAP OPQ S S △△，求直线PQ 的方程.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分. 9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11. 612.1213. 13 14. 说明：9，10题每个答案两分，丢掉一个减两分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意知道，所求直线的斜率存在，设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =-------------4分所求的直线方程为2y +或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (0,2)OA = ，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 2(2)OA AP y ⋅=-.-------------7分又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分所以[6,2]OA AP ⋅∈--. -------------10分16．（本小题满分12分） 解:（I ）因为2222x y +=,所以2212x y +=，-------------1分所以1a b ==，所以1c =, -------------3分所以长轴为2a =焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. -------------4分 （II ）设点1122(,),(,)A x y B x y .因为22220x y y x t ⎧+-=⎨=+⎩, 消元化简得2234+220x tx t +-=, -------------6分所以222122121612(22)=24804+3223t t t t x x t x x ⎧⎪∆=--->⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩-------------8分所以12||AB x x -=-------------10分又因为|AB，解得1t =±. -------------12分 17.（本小题满分12分）解: （I ）因为ABCD 为正方形，所以AB CD . -------------1分 又DE AF ∥，且,AB AF A CD DE D == .所以平面ABF ∥平面DCE . -------------3分 而CE ⊂平面EDC ,所以CE ∥平面ABF . -------------4分 (II) 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥-------------5分 因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF BD ⊥，-------------6分 因为AF AC A = ,所以直线BD ⊥平面ACF . -------------8分 (Ⅲ)连接FD .因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF CD ⊥，又CD AD ⊥, AD AF A =所以CD ⊥平面ADEF ，-------------9分 所以CD AE ⊥.又AE CF ⊥, FC CD C = , 所以AE ⊥平面FCD ，所以AE FD ⊥. -------------11分所以π2EAD FDA ∠+∠=, 所以11tan 1tan 2a EAD EAD a ∠===∠解得a = -------------12分18．（本小题满分10分）解:（I ）设点11(,)P x y , 由题意||||PO PA =, 所以点P 在OA 的中垂线上，而OA 的中垂线为32y =, 所以有132y =.-------------2分 把其代入椭圆方程，求得11x =±.所以3(1,)2P 或3(1,)2P -. -------------4分 (II) 设22(,)Q x y .根据题意，直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ 的方程为3y kx =+,所以22341203x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩.消元得到22(34)24240k x kx +++=,所以22122122(24)96(34)024+342434k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩-------------6分 因为=OAP OPQ S S △△，所以=2OAQ OPQ S S △△, 即1211||||=2||||22OA x OA x ⋅-------------7分 所以有12||=2||x x ，-------------8分 因为12224034x x k =>+,所以12x x ，同号，所以122x x =.所以12122122224342434x x k x x k x x k ⎧⎪=⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，-------------9分 解方程组得到32k =±, 经检验，此时0∆>, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，或332y x =-+. -------------10分法二：设22(,)Q x y ，因为=OAP OPQ S S △△，所以||||AP PQ =. -------------6分 即点P 为线段OQ 的中点，所以2121=2, 23x x y y =-. -------------7分 把点,P Q 的坐标代入椭圆方程得到22112211143(2)(23)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩-------------8分 解方程组得到11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或者11132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩,即3(1,)2P, 或者3(1,)2P-. -------------9分所以直线PQ的斜率为32k=或者32k=-,所以直线PQ的方程为332y x=+，332y x=-+. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
2015-2016年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学文科
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2014.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 （1）抛物线22y x =的准线方程是 （ ） （A ） 12y =-（B ）1y =- （C ）12x =-（D ）1x =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12 （D ）2（320y +-=与圆224x y +=相交所得的弦的长为 （ ） （A） （B） （C（D（4）已知双曲线221x ay -=的两条渐近线方程为y =，那么此双曲线的虚轴长为（ ）（A） （B ）2 （C（D ）1（5）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，那么“0'()0f x =”是“0x 是函数()f x 的一个极值点”的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知命题:p 函数3()f x x =是增函数，命题:q x R $ ，1x的导数大于0，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）p q ∨是假命题 （C ）p ⌝是真命题 （D ）q ⌝是真命题（7）函数2e 1x y x =-的部分图象为 （ ）（B （C ） （D ）（8）在平面直角坐标系xOy 中，已知集合{}2()001x,y y x ,x ≤≤≤≤且所表示的图形的面积为31，若集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N ，则N M 所表示的图形面积为（ ） （A ）31 （B ）32 （C ）1 （D ）34二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知()cos f x x x =，则'()f x = .（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线的方程是 .（11）曲线2y ax b =+在1x =处的切线方程为41y x =-，则a =______，b =______.（12）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（13）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .（14）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论：①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ； ③对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变. 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.F ED 1C 1B 1A 1DCA(16)（本小题共11分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于点P ，Q . （Ⅰ）若3PF =（点P 在第一象限），求直线l 的方程；（Ⅱ）求证：OP OQ ⋅为定值（点O 为坐标原点）.(17)（本小题共11分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1,-，(0,1). （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设椭圆M 的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交椭圆M 于, A B 两点，求1ABF ∆面积的最大值.(18)（本小题共11分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为M ，求证：1M ≤.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2014．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）cos sin x x x - （10）10y -= （11）2，1（12）32或1 （13 （14）①③④ 注：（11）题每空2分；（12）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）2'()2f x x ax =-. ………………………2分2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =.即440a -=，解得1a =. ………………………4分 经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴ 实数a 的值为1. ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+.2'()2(2)f x x x x x =-=-.令'()0f x =，得0x =或2x =. ………………………6分 当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当1x =-或2x =时，()f x 有最小值83； 当0x =或3x =时，()f x 有最大值4. ………………………11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，由题意，00x >且00y >.点P 在抛物线C 上，且3PF =，∴点P 到准线1x =-的距离为3.∴013x +=，02x =. ………………………2分又 2004y x =，00y >，∴0y =∴(2,P .(1,0)F ， ………………………4分 ∴直线l的方程为1)y x =-，即y =-. ………………………5分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为：1x my =+.由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得214y my =+，即2440y my --=. ………………………7分显然216160m ∆=+>恒成立.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12124,4.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ………………………9分∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)my my y y =+++21212(1)()1m y y m y y =++++224(1)41m m =-+++3=-.即3OP OQ ⋅=-为定值. ………………………11分（17）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）由题意1b =，椭圆M 的方程为2221(1)x y a a+=>. ………………………1分将点(1,-代入椭圆方程，得21112a +=，解得22a =. 所以 椭圆M 的方程为2212x y +=. ………………………3分（Ⅱ）由题意可设直线AB 的方程为：1x my =+.由221,22x my x y =+⎧⎨+=⎩得22(2)210m y my ++-=. 显然 2244(2)0m m ∆=++>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221222,21.2m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………7分因为 1ABF ∆的面积12121||(||||)2S F F y y =+，其中120y y <. 所以 12121||||2S F F y y =-. 又22121212()()4y y y y y y -=+-22221422m m m --⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22288(2)m m +=+， 12(1,0),(1,0)F F -. ………………………9分∴2212()S y y =-2222211118[]8()222(2)22m m m =-=--+≤+++.当0m =时，上式中等号成立.即当0m =时，1ABF ∆. ………………………11分（18）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0,)+∞.22'()2a f x x x =-2222x a x -=2()()x a x a x+-=. ………………………2分 令'()0f x =，解得x a =或x a =-（舍）.当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：由上表知，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(0,)a .………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 的最小值222ln M a a a =-. ………………………6分 令22()2ln (0)g x x x x x =->，则'()24ln 24ln g x x x x x x x =--=-.令'()0g x =，解得1x =. ………………………8分 当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下：所以 函数()g x 的最大值为1，即()1g x ≤.因为0a >，所以 222ln 1M a a a =-≤. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。
2014-1海淀第一学期高二期末数学试题文及答案-推荐下载
所以 f (2) 0 .
即 4 4a 0 ，解得 a 1.
经检验，当 a 1 时， x 2 是函数 f (x) 的一个极小值点.
③对于任意的点 E ，平面 A1C1D 平面 BED1F ； ④对于任意的点 E ，四棱锥 B1 BED1F 的体积均不变.
其中，所有正确结论的序号是
三、解答题：本大题共 4 小题，共 44 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题共 11 分）已知函数 f (x) 1 x3 ax2 4 ，且 x 2 是函数 f (x) 的一个极小值点. 3
海淀区高二年级第一学期期末练习
数学（文科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线 y2 2x 的准线方程是(
A. x = 1 2
B. y = 1 2
2．若直线 x ay 1 0 与直线 x 2 y 3 0 平行，则实数 a ( )
11．曲线 y ax2 b 在 x 1 处的切线方程为 y 4x 1，则 a ______， b ______.
.
12．已知抛物线 C : y2 4x ，O 为坐标原点，F 为 C 的焦点，P 是 C 上一点. 若 OPF 是等腰三角形，则
| PO |
.
13．已知点 F1, F2 是双曲线 C 的两个焦点，过点 F2 的直线交双曲线 C 的一支于 A, B 两点，若 ABF1 为等边三
2
C. 15
C. 2
:
B.
D.
C. 1
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高二数学文科—2015-2016北京海淀高二(上)期末文科(含解析)
圆心和半径分别为 1,0 ， 2 ．
故选 D．
2.【答案】B
【解析】根据
x2
2 py
的焦点为
0,
p 2
，准线方程为
y
p 2
，可知抛物线
x2
4y
的焦点为
0,1 ，准线为 y 1 ，所以距离为 2 ．
故选 B．
3.【答案】A
【解析】由方程可知，a2 4 ，b2 1，解得 a 2 ，b 1 ，由 c2 a2 b2 5 ，解得 c 5 ，
(说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)
17.
【解析】（Ⅰ）由已知可得
(6
a2 16 r2 a)2 16
r
2
，
解得 a 3 ， r 5 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆 M 的方程为 (x 3)2 (y 4)2 25 ．
圆心到直线 4x 3y m 0 的距离为 d | 24 m | ， 5
（Ⅰ）若椭圆 G 的焦点在 y 轴上，求 m 的取值范围；
（Ⅱ）若 A0,1 在椭圆上，且以 BC 为直径的圆过点 A ，求直线 l 的方程.
北京市海淀区 2015-2016 学年高二上学期期末 数学文科试卷答案
一、选择题：本大题共 10 小题, 每小题 4 分，共 40 分.
DBACB DADCB 二、填空题：本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.
AB 中点. （Ⅰ）求证： BC A1C ； （Ⅱ）求证： BC1∥平面 A1CE ； （Ⅲ）若 AA1 3 ， BP a ，且 AP A1C ，写出 a 的值（不需写过程）．
19.（本小题共 12 分） 已知直线 l ： y x n 与椭圆 G ： (3 m)x2 my2 m(3 m) 交于两点 B ， C ．
2014海淀区高二(上)期末数学(文科)
2014海淀区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．B．y=﹣1 C．D．x=﹣12．（4分）若直线x+ay+1=0与直线平行，则实数a=（）A． B．﹣2 C．D．23．（4分）直线与圆x2+y2=4相交所得的弦的长为（）A．B．C．D．4．（4分）已知双曲线x2﹣ay2=1的两条渐近线方程为，那么此双曲线的虚轴长为（）A．B．2 C．D．15．（4分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），那么“f′（x0）=0”是“x0是函数f（x）的一个极值点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）已知命题p：函数f（x）=x3是增函数，命题q：∃x∈R，的导数大于0，那么（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题7．（4分）函数y=e x x2﹣1的部分图象为（）A．B．C．D．8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知集合{（x，y）|0≤y≤x2，且0≤x≤1}所表示的图形的面积为，若集合M={（x，y）||y|﹣|x|≤1}，N={（x，y）||y|≥x2+1}，则M∩N所表示的图形面积为（）A．B．C．1 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.9．（4分）已知f（x）=xcosx，则f′（x）=．10．（4分）过点（1，1）且与圆x2﹣2x+y2=0相切的直线的方程是．11．（4分）曲线y=ax2+b在x=1处的切线方程为y=4x﹣1，则a=，b=．12．（4分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P是C上一点．若△OPF是等腰三角形，则|PO|=．13．（4分）已知点F1，F2是双曲线C的两个焦点，过点F2的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则双曲线C的离心率为．14．（4分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．给出下列四个结论：①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（11分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+4，且x=2是函数f（x）的一个极小值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值．16．（11分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q．（Ⅰ）若|PF|=3（点P在第一象限），求直线l的方程；（Ⅱ）求证：为定值（点O为坐标原点）．17．（11分）已知椭圆M：经过点，（0，1）．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆M于A，B两点，求△ABF1面积的最大值．18．（11分）已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为M，求证：M≤1．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】由抛物线y2=2x，可得准线方程x=﹣，即．故选：C．2．【解答】∵直线x+ay+1=0与直线平行，∴﹣=﹣，解得a=2，故选D．3．【解答】假设直线与圆x2+y2=4相交所得的弦为AB．圆心到直线的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2．故选：B．4．【解答】∵双曲线x2﹣ay2=1的两条渐近线方程为，∴，解得a=．∴此双曲线的虚轴长==2．故选：A．5．【解答】①“f′（x0）=0”只有再满足f′（x）在x0两侧附近的符号不同时，才可以得到“x0是函数f（x）的一个极值点”，否则x0不是函数f（x）的极值点．②“x0是函数f（x）的一个极值点”一定有“f′（x0）=0”．故可得：“f′（x0）=0”是“x0是函数f（x）的一个极值点”的必要而不充分条件．故选：B．6．【解答】由幂函数的性质，得命题p：函数f（x）=x3是增函数，是真命题；∵=﹣＜0，∴命题q：∃x∈R，的导数大于0，是假命题；由复合命题真值表判断得：p∧q是假命题，故A错误；p∨q是真命题，故B错误；￢p是假命题，故C错误；￢q是真命题，故D正确．故选D．7．【解答】∵y=e x x2﹣1，∴y'=f'（x）=e x x2+2xe x=e x（x2+2x），由f'（x）=e x（x2+2x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时函数单调递增，由f'（x）=e x（x2+2x）＜0，得﹣2＜x＜0，此时函数单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A．故选：A．8．【解答】设A（1，1），B（1，0），O为坐标原点．则集合P={（x，y）|0≤y≤x2，且0≤x≤1}表示的图形，是以线段AB、0B与抛物线弧OA围成的曲边三角形OAB．∵集合P表示的图形的面积为，△OAB的面积S==，△OAB∴由线段OA与抛物线弧OA围成的弓形面积S=．∵集合M={（x，y）||y|﹣|x|≤1}，N={（x，y）||y|≥x2+1}，∴M∩N所表示的图形有两部分（如图所示），其一是在函数y=|x|+1下方且在抛物线y=x2+1上方的部分，其二是在函数y=﹣|x|﹣1上方且在抛物线y=﹣x2﹣1下方的部分．因此，M∩N所表示的图形的面积，恰好等于线段OA与抛物线弧OA围成的弓形面积的4倍．∴M∩N所表示的图形面积为4×=．故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 9．【解答】f′（x）=cosx﹣xsinx．故答案为：cosx﹣xsinx．10．【解答】圆x2﹣2x+y2=0化为（x﹣1）2+y2=1，得到圆心C（1，0），半径r=1．∵过点P（1，1）在圆上，可知切线的斜率存在，∵PC⊥x轴，∴切线的斜率k=0．故切线方程为：y﹣1=0．故答案为：y﹣1=0．11．【解答】y′=2ax+b∵曲线y=ax2+bx在x=1处的切线方程为y=4x﹣1，∴切点坐标为（1，3），曲线y=ax2+b在x=1处的导数为4，切点也在曲线上，则，解得．故答案为：2，1．12．【解答】∵抛物线C：y2=4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），∵△OPF是等腰三角形，∴OP=OF或OP=PF或OF=PF（舍去因抛物线上点不可能满足），当OP=OF时，|PO|=|OF|=1，当OP=PF时，点P在OF的垂直平分线上，则点P的横坐标为，点P在抛物线上，则纵坐标为±，∴|PO|==，综上所述：|PO|=或1．故答案为：或1．13．【解答】由题意，过点F2的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，∴|F1F2|•tan30°=，∴e2﹣e﹣1=0，∴e=．故答案为：．14．【解答】①当E为棱CC1上的一中点时，此时F也为棱AAC1上的一个中点，此时A1C1∥EF；满足A1C1∥平面BED1F成立，∴①正确．②∵B1D⊆平面BED1F，∴不可能存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，∴②错误．③连结D1B，则D1B⊥平面A1C1D，而B1D⊆平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，成立，∴③正确．④四棱锥B 1﹣BED1F的体积等于+，设正方体的棱长为1，∵无论E，F在何点，三角形BB1E的面积为为定值，三棱锥D1﹣BB1E的高D1C1=1，保持不变．三角形BB1F的面积为为定值，三棱锥D1﹣BB1F的高为D1A1=1，保持不变．∴三棱锥D1﹣BB1E和三棱锥D1﹣BB1F体积为定值，即四棱锥B 1﹣BED1F的体积等于+为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分11分）（Ⅰ）f'（x）=x2﹣2ax．…（2分）∵x=2是函数f（x）的一个极小值点，∴f'（2）=0．即4﹣4a=0，解得a=1．…（4分）经检验，当a=1时，x=2是函数f（x）的一个极小值点．∴实数a的值为1．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．f'（x）=x2﹣2x=x（x﹣2）．令f'（x）=0，得x=0或x=2．…（6分）当x在[﹣1，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：…（9分）当x=﹣1或x=2时，f（x）有最小值；当x=0或x=3时，f（x）有最大值4．…（11分）16．【解答】（Ⅰ）∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q，∴设P（x0，y0），由题意，x0＞0，且y0＞0．∵点P在抛物线C上，且|PF|=3，∴点P到准线x=﹣1的距离为3．∴x0+1=3，解得x0=2．…（2分）又∵，y0＞0，∴，∴P（2，2），∵F（1，0），…（4分）∴直线l的方程为y=2（x﹣1），即y=2﹣2．…（5分）（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：x=my+1．由，得y2﹣4my﹣4=0．…（7分）△=16m2+16＞0恒成立．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（9分）∴=x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=﹣4（m2+1）+4m2+1=﹣3．∴=﹣3为定值．…（11分）17．【解答】（Ⅰ）由题意b=1，椭圆M的方程为．…（1分）将点代入椭圆方程，得，解得a2=2．∴椭圆M的方程为．…（3分）（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为：x=my+1．由得（m2+2）y2+2my﹣1=0．显然△=4m2+4（m2+2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（7分）∵△ABF1的面积，其中y1y2＜0．∴．又==，F1（﹣1，0），F2（1，0）．…（9分）∴=．当m=0时，上式中等号成立．即当m=0时，△ABF1的面积取到最大值．…（11分）18．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．==．…（2分）令f'（x）=0，解得x=a或x=﹣a（舍）．当x在（0，+∞）内变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：由上表知，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）；f（x）的单调递减区间为（0，a）．…（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a2﹣2a2lna．…（6分）令g（x）=x2﹣2x2lnx（x＞0），则g'（x）=2x﹣4xlnx﹣2x=﹣4xlnx．令g'（x）=0，解得x=1．…（8分）当x在（0，+∞）内变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：所以函数g（x）的最大值为1，即g（x）≤1．因为a＞0，所以M=a2﹣2a2lna≤1．…（11分）。
北京市海淀区2015-2016高二年级第一学期期末练习数学(文科)试题带答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C．（D．（2.抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.双曲线2214x y -=的离心率为（） ABC4.圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是（） A.相离B.外切C.相交D.内切5.已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( )A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（） A ．2B ．2±C ．2-D ．08.已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则MON ∠=（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n10.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是（）A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形1二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________.12.已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题.（填“真”或“假”）13.双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________.14.已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________.15.已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________.16.已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________.三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ；（Ⅱ）求证：1BC //平面1A CE ；（Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）.19.（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.1A()主正视图俯视图()侧左视图海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分，共40分.DBACB DADCB二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.11.x ∃∈R ，20x <12.若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直真 13.4 20x y ±=14.22143x y +=15.3 16.2 1（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)17.解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩-----------------------------------------------------2分 解得3,5a r ==.-----------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.--------------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------------------7分所以|24|5m +，----------------------------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-.-------------------------------------------------------------10分18.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥.-----------------------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AA C C .------------------------4分 所以1CB AC ⊥.------------------------------------5分（Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AA C C 是平行四边形， 所以点F 是1AC 的中点. 因为E 为AB 中点，1A所以在1AC B ∆中1//EF C B .-----------------------------------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------------------------10分 所以1BC //平面1A CE .----------------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）43a =. ---------------------------------------------------------------------------14分 19.解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m +=-，由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩------------------------3分 解得302m <<,所以m 的取值范围是302m <<.-------------------------4分（Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=.---------------------------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，----------------------------------------------------6分 因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,------------------------------------------------------------------------7分所以AB AC ⋅=u u u r u u u r0.因为AB AC ⋅=u u u r u u u r11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，---------------------------------------------9分所以13n =-或1n =.----------------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+.-------------------------------12分。
2015海淀区高二(上)期末数学(文科)
2015海淀区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC 8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD ⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP =S△OPQ，求直线PQ的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：712．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．14．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．17．【解答】（本小题满分12分）（I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．18．【解答】（I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设Q（x2，y2）．根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+3，所以．消元得到（3+4k2）x2+24kx+24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=S△OPQ，因为S△OAP=2S△OPQ，所以S△OAQ即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以有|x1|=2|x2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x1，x2同号，所以x1=2x2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法二：设Q（x2，y2），=S△OPQ，所以|AP|=|PQ|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为S△OAP即点P为线段OQ的中点，所以x2=2x1，y2=2y1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）第11页共11 页。
2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷
2014-2015学年第一学期高二文科数学期末考试模拟卷考试时间：120分钟；满分：150第I 卷（选择题）一、选择题1．已知向量2(4,1),(,2)a x b x =+=r ,则4x =是//a b r r 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题：“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是 （ ）A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b4．设e 是椭圆224x y k +＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．(0,3) B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2) 5．已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x ＞2x ，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是 （ ）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）6．抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ）A.1B.12 C. 14 D. 18 7．命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )．A ．2000x 0,x x 0>+>∃B ．2000x 0,x x 0>+∃≤C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞08．、若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于A．6 B ．6πC ．D ．第8题9．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长AB=2BB 1，则异面直线AB 1与BC 所成的角的余弦值是（ ）A ．53B ．55C ． 32D ．36 10．已知双曲线2222x y a b－＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝的焦点重合，且双曲( ) A ．x 2－29y ＝1 B ．x 2－y 2＝15 C.29x －y 2＝1 D.29x －29y ＝1第II 卷（非选择题）二、填空题11．（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）12．以椭圆1222=+y x 的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于_____ ___.14．已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,则m 的取值范围为 .15．已知圆C ：22240x y x y m ++-+=与直线:2l y x =+相切，且圆D 与圆C 关于直线l 对。
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末练习数学(理)试题
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2C.[2D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ；( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.OAx PQ二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分） 解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II）因为||AB =4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为. -------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CECB C ==所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =，-------------1分而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥，-------------3分 又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =, 因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB =设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB mOB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQ x x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分 所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京师大附中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案
北京师大附中2014－2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设命题:,22012x p x R ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．,22012x x R ∀∈≤B ．,22012x x R ∀∈>C ．,22012x x R ∃∈≤D ．,22012x x R ∃∈< 2．设0a >，则椭圆2222x y a +=的离心率是（ ）A ．12 B C ．13 D ．与a 的取值有关 3．若a ，b ，c 为复数，则22()()0a b b c -+-=是a b c ==的（ ） A ．充要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β5．已知P 为双曲线22112y x -=上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若12:3:2PF PF =，则△PF 1F 2的面积是（ ）A ．B ．C ．12D ．246．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A ．43 B ．83C ．4D ．8 7．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．328．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。