2011考研数学模拟题(数一到数三)2011考研数学三模拟题

2011考研数学三模拟题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

（1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a

M xf x dx =

?

，

1[()()]2

b

a

N b f x dx a f x dx =

+??，则必有（ ）

（A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =；

（2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞ 内可导，函数()y y x =的图像为

则其导数的图像为（ ）

(A) (B)

(C) (D)

(3)设有下列命题：

①若2121

()n n n u u ∞

-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛； ②若1

n n u ∞

=∑收敛，则10001

n n u ∞

+=∑收敛；

③若1lim

1n n n

u u +→∞

>，则1

n n u ∞=∑发散； ④若1

()n n n u v ∞=+∑收敛，则1

n n u ∞=∑，1

n n v ∞

=∑收敛

正确的是（ ）

（A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设2

2

ln(1)()

lim

2x x ax bx x

→+-+=，则（ ）

（A ）51,2

a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2

a b ==-；（D ）1,2a b ==-

(5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0A x =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T

A x b =，

对任何12(,,)T n b b b b =

（A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解；

（C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解

(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020

T

A B -??

-?

???

的值为 （A ）1

(2)n

A B

--； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1

2(2)

n

A B

--

(7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ）

（A ）

22

1

1

()~(1)1

n

i

i X X n n χ=---∑； （B ）

22

1

1

(2)~(1)1

n

i

i X n n χ=---∑；

（C ）22

1

2(

)~()2

n

i i X n χ=-∑； （D ）22

1

(

)~()2

n

i i X X n χ=-∑；

(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1()2

P aX bY μ-<=则

（ ） （A ）11,22

a b =

=

；（B ）11,2

2

a b =

=-

；（C ）11,2

2

a b =-

=

；（D ）11,2

2

a b =-

=-

；

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 (9)已知3232x y f x -??=

?

+??

，2

()arcsin f x x '=，则0

x dy dx == 。

(10) 方程3

00

1()()3x

x f x t dt x f t dt -=

+

??

满足(0)0f =的特解为 。

(11)

222

2

(

)D

x y d a

b

σ+

=?? 。其中D 为22

1x y +≤。

(12)2

4

6

1

(1)1!

2!

3!

x

x

x

x dx -

+

-

+=? 。

(13)设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，B 与A 相似，则B 的相似对角形为 。

(14) 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15)（本题满分10分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2

2

2

22

4

3

0u u u x

x y

y

???++=????。确定,a b 的值，使等式在变换,x a y x b y ξη=+=+下简化为

2

0u ξη

?=??。

(16) （本题满分10分）求幂级数1

(1)n n n x ∞

=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数；

(17) （本题满分10分）设()f x 在[0,)+∞连续，且1

1()2

f x dx <-

?，()lim

0x f x x

→+∞

=。证明：

至少0,ξ?∈(+∞)，使得()f ξξ+=0。

(18) （本题满分10分）过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。

(19) （本题满分10分）设()0()0

x f x e x x g x x

ax b x ?--

=??+≥?

，其中()f x 在0x =处二阶可导，

且(0)(0)1f f '==。

（I ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续？ （II ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导？

(20) （本题满分11分）设A 是实矩阵。证明：（I ）0T A Ax =与0A x =是同解方程组；（II ）秩()T A A =秩()A

(21)（本题满分11分）设A 为三阶方阵，123,,ααα为三维线性无关列向量组，且有

123A ααα=+，213A ααα=+，312A ααα=+。求

（I ）求A 的全部特征值。 （II ）A 是否可以对角化？

（22）（本题满分11分）设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布，其中{(,):1}D x y x y =+≤，又设U X Y =+，V X Y =-，试求：

（I ）U 与V 的概率密度()U f u 与()V f v ； （II ）U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数U V ρ

（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度函数为/1(,),()2x f x e

x λ

λλ

-=

-∞<<+∞，其

中λ>0。12,,,n X X X 是总体X 的一个容量为n 的样本。 （I ）求参数λ的矩估计量；

（II ）求参数λ的最大似然估计量；

（III ）说明由最大似然估计法所得λ的估计量是否为无偏估计量。

2011考研数学三模拟题参考答案

二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1） A

解：设0()(),0x

F x x f t dt x =>?，则

()()()()()b a

b a

b f x dx a f x dx F b F a F x dx '+=-=

???

[()()][()()()]b x

b x

a

a

f t dt xf x dx xf x tf t dt xf x dx '=+=

-+??

?

?

[()()]2()b b

a

a

xf x xf x dx xf x dx ≤

-=?

?

所以，0

1()[()()]2

b b a

a

M xf x dx b f x dx a f x dx N =≥

+=?

??

(2)B

解：由于函数可导（除0x =）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点，故A ，C 不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D 不正确。 (3)B

解：因级数10001

n n u ∞

+=∑是1

n n u ∞

=∑删除前1000项而得，故当1

n n u ∞

=∑收敛时，去掉有限项依然收敛，

因此10001

n n u ∞

+=∑收敛，

若1lim

1n n n

u u +→∞

>，则存在正整数N ，使得n N ≥是，n u 不变号。若0n u >，有正项级数的比

值判别法知

n

n N

u

∞=∑发散。同理可知，如果0n u <，则正项级数()n n N

u ∞

=-∑发散，因此n n N

u ∞

=∑发

散。故②③正确，选B （4）A 解：2

2

ln(1)()

1/(1)(2)

lim

lim

22x x x ax bx x a bx x

x

→→+-++-+==，因0

lim 0x x →=，则

lim 1/(1)(2)0x x a bx →+-+=，故1a =。而

2

2

2

ln(1)()

ln(1)lim

lim

2x x x x bx x x

b x

x

→→+-++-=+=，故122

b +=-

，所以52

b =-

【也可以用泰勒公式计算】 （5）A

解：0A x =有非零解，充要条件是()r A n <，由此即可找到答案。 （6）D

解：1020

T

A B -??-?

???=1

120220

2T T A A B B --??-=--??

-??=1

2(2)n A B --

（7）C

解：由于2~(2,2)i X N ，所以

2~(0,1)2

i X N -

故2

22~(1)2i X χ-?? ???，2

212~()2n

i i X n χ=-?? ?

?

?∑ （8）B

因为aX bY -服从正态分布，股根据题设1()2

P aX bY μ-<=

知，

()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=，从而有1a b -=，显然只有（B ）满足要求。 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。

（9）应填32

π

。

解：由3232x y f x -??= ?+??

，2

()arcsin f x x '=得

2

2

2

323232

12arcsin(

)(

)arcsin(

)32

32

32(32)

dy x x x dx x x x x ---'==++++ 0

123arcsin 14

2

x dy dx

π==

=

(10)应填()2(1)2x

f x x e =+-

解：令x t u -=，原方程变为3

00

1()()()3

x

x x x f u du uf u du x f t dt -

=

+

??

?

方程两边对x 求导得20

()()x

f u du x f x =+?

再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+，即

2dy y x dx

-=-

[(2)]2(1)dx dx

y e x e dx C x C -??=-+=++?

由(0)0y =得2C =-，故()2(1)2x y f x x e ==+- (11)应填

2

2

1

1(

)4a

b

π

+

2222

22

2

2

2

2

1

()()2

D

D

x

y x y x y d d a

b

a

b

σσ+++

=

+

=????

22

2

2

1

1

1(

)()2D x y d a b

σ=

+

+??

213

2

20

11

1(

)2d r dr a

b πθ

=+?

?

2

2

1

1

(

)4a

b

π

=

+

(12)应填1

1

(1)2

e --

解：因2

2

4

6

2

22

23

()()(1)[1]1!

2!

3!

1!

2!

3!

x

x

x

x

x x x x x xe

-----

+

-

+=+

+

+

+=

故 原式2

2

2

1

112

1

1

11(1)2

2

2

x

x

x

xe

dx e

dx e

e ----=

=

=-

=

-?

?

(13)应填1

2

3-??

?

-

? ?-?

?

【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】 解：由0,20,30A E A E A E +=+=+=，知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-，相似矩阵具有相同的特征值，所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-，故B 相似的标准

形为

12

3-?? ?- ? ?-?

?

(14)应填0.2

解：设A ：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”，B ：“所取的两件都是不合格品”

因为22

6102()1()1(/)3

P A P A C C =-=-=

，22

4102()/)15

P B C C ==

所以()()1()()

()

5

P AB P B P B A P A P A =

=

=

三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。 (15) （本题满分10分）解：2222

222

,2u u

u u u u u

x x ξηξξηη???????=+=++????????， 2222

22222

,2u

u

u u u u u

a b a ab b y y ξηξξηη???????=+=++????????， 2

2

2

2

2

2

()

u u u u a

a b b

x y

ξ

ξη

η

????=+++??????

将以上各式代入原等式，得 2

2

2

2

2

2

2

(341)

[64()2]

(341)

0u u u a a ab a b b b ξ

ξη

η

???+++++++++=????，

由题意，令

22

3410,

3410,

a a

b b ?++=??++=??且64()20ab a b +++≠ 故1,1,31,

1,3a a b b =-??

=-??

??

=-??=-??

或 (16) （本题满分10分）解：（I ）由于lim

11

n n n →∞

=+，所以11x -<，即02x <<，

当0x =和2x =时幂级数变为1

(1)n

n n ∞

=-∑及1

n n ∞

=∑，均发散，故原级数的收敛域为(0,2)

设1

11

1

()(1)

(1)(1)

(1)()n

n n n s x n x x n x x s x ∞∞

-===

-=--=-∑∑

则11

1

11()(1)

1(1)

2x

n

n x x s x dx x x x

∞

=--=

-=

=

---∑?，

所以121

1()2(2)x s x x

x '-??

==

?--??

，则2

1()(2)x s x x -=- (17) （本题满分10分）证明：作函数()()F x f x x =+，有

111

1()[()]()02

F x dx f x x dx f x dx =+=+

??。

所以由积分中值定理，存在[0,1]a ∈， 使1

0()(10)()0,F x dx F a =-

又()()lim lim

11x x F x f x x

x

→+∞

→+∞

=+=，所以，由极限的保号性，存在b a >，

使

()0F b b

>，即()0F b >。

因此，由介值定理，至少存在一个,(0,)a b ξ∈()?+∞，使()0F ξ=，即()f ξξ+=0。 (18) （本题满分10分）解：设(,)x y 为所给椭圆上任一点，则可求得在(,)x y 处的切线方程为

(3)()(3)()0x y X x x y Y y +-++-=

它与两坐标轴的交点为(3),03x y y x x y

??++

?+??和(3)0,3x y x y x y ??

++ ?+??

。

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 1(3)(3)11

2332(3)(3)x y y x y x S x y x y x y x y x y ????++=

++=????

++++????

则只须求(3)(3)x y x y ++在条件2

2

3231x xy y ++=下的极值即可。 设2

2

(,,)(3)(3)3231F x y x y x y x xy y λλ=+++(++-)

由22

61062010626032310

x y F x y x y F x y x y x xy y λλλλ?'=+++=?

'=+++=??++-=?

解得4

4

x y =±

=±

11,2

2

x ==±

。

由此分别求的14

S =或12

S =

所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为14

(19) （本题满分10分） 解：（I ）0

()()1

lim ()lim lim 11

x

x

x x x f x e x

f x e

g x x

--

-

→→→'----===-

lim ()lim ()x x g x ax b b ++→→=+=

若要()g x 在0x =处连续，必须0

lim ()lim ()(0)x x g x g x g -

+

→→==，即1b b =-=

故1b =-，a 为任意实数时，()g x 在0x =处连续。

（II ）若要()g x 在0x =处可导，则必须()g x 在0x =处连续（1b =-），且(0)(0)g g -

+''= 所以2

()(0)

()(1)(0)lim lim x

x x g x g f x e x x

g x x -

-

-

→→-----'==

2

00()()1()(0)1

lim lim lim 22

1()(0)11lim lim [(0)1]22

x

x

x

x x x x

x x f x e f x e

f x f e x

x

x

f x f e f x x -

-

-

--

→→→→→'''----+===

''??--''=-=-????

1(1)

(0)lim x ax g a x

+

+

→---'==

所以1[(0)1]2

a f ''=

-，1b =-时，()g x 在0x =处可导

(20) （本题满分11分）证明：若0x 是0A x =的解，显然0x 是0T

A Ax =的解；反之，设0x 是

0T A Ax =的解，则000T T x A A x =。即00()0T

A x A x =，从而

2

0000(,)()0T

Ax Ax Ax Ax Ax ===，于是00Ax =，即0x 是0A x =的解。0T

A A x =与

0A x =是同解方程组

（II ）既然0T A Ax =与0A x =是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩()T A A =秩()A

(21) （本题满分11分）

解：（I ）由已知得，123123()2()A αααααα++=++，2121()()A αααα-=--，

3131()()A αααα-=--，

又因为123,,ααα线性无关，所以1230ααα++≠，210αα-≠，310αα-≠ 所以1-,2是A 的特征值，123ααα++，21αα-，31αα-是相对应的特征向量。

又由123,,ααα线性无关，得123ααα++，21αα-，31αα-也线性无关，所以1-是矩阵A 的

二重特征值，即A 得全部特征值为1-,2

（II ）由123,,ααα线性无关，可以证明123ααα++，21αα-，31αα-也线性无关，即A 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵A 可相似对角化。 （22）（本题满分11分）

解：区域D 实际是以(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)--为顶点的正方形区域，D 的面积为2，(,)X Y 的联合概率密度为1

(,)(,)2

0x y D f x y ?∈?

=???

其他

；有了(,)f x y 就可以求概率密度()U f u 与

()V f v ，特别可利用(,)f x y 的对称性。

（I ）U X Y =+，(){}{}(,)U x y u

F u P U u P X Y u f x y dxdy +≤=≤=+≤=??

当1u <-时，()0U F u =； 当11u -≤≤时，11()2

2

U x y u

u F u dxdy +≤+=

=

??

；

当1u >时，()1U F u =。 111()()2

0U U u f u F u ?-≤≤?

'==???

其他

，~[1,1]U U -。

U X Y =-，(){}{}(,)V x y v

F v P V v P X Y v f x y dxdy -≤=≤=-≤=

??

当1v <-时，()0V F v =； 当11v -≤≤时，11()2

2

V x y v

v F v dxdy -≤+=

=

??

；

当1v >时，()1V F v =。 111()()2

0V V v f v F v ?-≤≤?

'==???

其他

，~[1,1]V U -。

（II ）cov(,)()()()U V E UV E U E V =-。显然()()0E U E V ==。

2

222

()(()())()()()0E U V E X Y X Y E X

Y E X E Y =+-=-=-=

所以cov(,)0,0U V U V ρ===

（23）（本题满分11分） 解：（I ）11

()02x

E X x e

dx λ

μλ

-

+∞-∞

==

=?

；

2

2

2

2

20

1

1

()2222x

x

E X x e

dx x e

dx λ

λ

μλλ

λ

--

+∞+∞-∞

==

==?

?

所以2

221

1

??2n

i

i X

n

μ

λ

===∑

，得2?λ=

（II ）1

12ln (,,,,)ln 2n

i

i n X L X X X n λλλ

==--

∑

2

1

ln 1

0n

i

i d L n

X d λ

λ

λ

==-

+

=∑

，得1

1?n

i i X n λ

==∑

（III ）0

1

1

()222x

x

E X x e dx x e dx λ

λ

λλ

λ

--

+∞+∞-∞

==

==?

?

所以1

1

1

11(

)()n

n

i i i i E X E X n n

n

n

λλ===

=

=∑∑

因此1

1?n

i i X n

λ

==∑

是λ的无偏估计量