循环小数化分数课件
无限循环小数和分数的互化ppt
• 分数化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化 成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之 九化成0.09
• 分母不是10，100，1000......的：分子除以 分母。一个最简分数，如果分母分解质因 数只含有2、5的，可以化成有限小数；如 果含有2、5以外的质因数，就不能化成有 限小数，但绝对能化成循环小数。附加： 如果分母分解质因数不- 含有2、5，只含有2、
• 小数化分数
• 有限小数化分数：小数表示的就是十分之 一、百分之一、千分之一......所以，0.6可以 化成十分之六，约分成五分之三。
• 纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数 部分循环节如果是一位分母为9，两位为99， 三位为999......如0.2525......可以化成九十九 分之九十九，能约分的要约分。
无限不循环小数 如3.14159265358979323846……
-
（循环符号如果循
环节只有一个数字， 无限纯循环 如0.333……，2.567567567……
•
••
无限循环小数
0 . 3 2.5 6 7
就在这个数字上加 • 无限混循环 如0.5666…… 0 . 5 6
一个圆点， 如果• 0.1777…… 0 . 1 7
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分析
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• 首先明确一点 无限不循环小数 是不能转化 成分数的 那么无限循环小数又是如何化分 数的呢？由于它的小数部分位数是无限的， 显然不可能写成十分之几、百分之几、千 分之几……的数。其实，循环小数化分数难 就难在无限的小数位数。所以我就从这里 入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾 巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环 小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大 后的无限循环小数与原无限循环小数的“大
第8讲。分数与循环小数—完整版
第8讲。
分数与循环小数—完整版第8讲分数与循环小数本节课程的目标是掌握分数与小数的互相转化方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用。
同时，我们还要学会通过分数的形式判断相应的小数类型，并注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1.把下列分数化为小数：1) $\frac{31}{41}$，$\frac{32}{19}$，$\frac{13}{25}$；2) $\frac{1}{5}$，$\frac{3}{11}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{5}{43}$。
答案：(1) 0.7561，1.6842，0.52；(2) 0.2，0.2727，0.12，0.1163.2.把下列小数化成分数：1) 0.23，0.479；2) 0.12，0.255.答案：(1) $\frac{23}{100}$，$\frac{479}{1000}$；(2) $\frac{3}{25}$，$\frac{51}{200}$。
3.把下列循环小数转化为分数：1) 0.1，0.4；2) 0.01，0.35；3) 0.08，0.38.答案：(1) $\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{1}{99}$，$\frac{7}{20}$；(3) $\frac{2}{25}$，$\frac{19}{50}$。
4.把下列循环小数转化为分数：0.7，0.12，0.123，0.123.答案：$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{41}{333}$。
5.计算：1) 0.1 + 0.2 + 0.3；2) 0.2 + 0.3 + 0.4；3) 0.3 + 0.5 + 0.7；4) 0.1 + 0.12 + 0.123；5) 0.12 + 0.23.答案：(1) 0.6；(2) 1；(3) 1/2；(4) 0.39；(5) 0.35.解析：(1) $0.1 + 0.2 + 0.3 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$；2) $0.2 + 0.3 + 0.4 = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} +\frac{4}{10} = \frac{9}{10} = 1$；3) $0.3 + 0.5 + 0.7 = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} +\frac{7}{10} = \frac{15}{10} = \frac{1}{2}$；4) $0.1 + 0.12 + 0.123 = \frac{1}{10} + \frac{12}{100} + \frac{123}{1000} = \frac{321}{825}$；5) $0.12 + 0.23 = \frac{12}{100} + \frac{23}{100} =\frac{35}{100} = 0.35$。
循环小数化分数的方法
循环小数化分数的方法
循环小数0.7272…循环节为7、2两位，因此化为分数为72/99=1/8。
即有几位循环数字就除以几个9。
又如0.123123…循环节为1，2，3三位，因此化为分数为123/999=41/333。
循环小数0.7272…循环节为7、2两位，因此化为分数为72/99=1/8。
即有几位循环数字就除以几个9。
又如0.123123…循环节为1，2，3三位，因此化为分数为123/999=41/333。
方法步骤
第一步：找到循环节
比方0.5，5循环，循环节就是5。
第二步：把循环节提早
先数出循环节有几位，假设有n位，就把这个循环小数乘以10n，使它的整数部位为循环节。
第三步：一减一除
把上一步得到的数剪去原数，再除以10n-1。
循环小数化分数
循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解一、循环小数化成分数1、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：(1)0.6(2)3.1022、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2把混循环小数化分数（）（）10.215 2 6.353及时练习：1、化纯循环小数为分数。
（）（）10.23 20.1072、化下列混循环小数为分数。
（）（）（）10.312 20.003 30.2316二、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3计算下面各题：（）（）-12.45+3.13 22.6091.32⨯÷(3)4.3 2.4 (4)1.240.3三、循环小数作加法循环小数能直接作加法运算吗？（1）有限小数加循环小数考察下面的例子。
计算：++0.40.320.20.3+0.280.7+0.60.38++0.6780.540.980.45（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。
考察下面的一些例子。
235+=+==0.20.30.5999123405528+=+==0.1230.4050.52899999999936+=+=0.30.6199875+=+==0.80.7 1.699358491070.580.49 1.08+=+==9999999785841562+=+==0.9780.584 1.563999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。
循环小数转化成分数的方法
循环小数转化成分数的方法
嘿，循环小数咋变成分数呢？这可不难！先说说纯循环小数哈。
设这个纯循环小数为x，那咱就把它扩大相应倍数，让循环节消失。
比如说0.333……，咱设x = 0.333……，10x 不就等于3.333……嘛！然后用10x - x，循环节不就没啦！这就像变魔术一样神奇有木有？接着化简就能得到分数啦。
注意哦，可别算错倍数。
再看看混循环小数。
同样设这个数为x，先把它分成整数部分和小数部分。
小数部分又分成不循环部分和循环部分。
然后分别处理，最后加起来。
这就跟拼拼图似的，一块一块弄好再组合起来。
可得仔细点，别弄混了各个部分。
那这有啥用呢？在数学题里可管用啦！比如算一些复杂的运算，把循环小数变成分数，计算起来就容易多了。
这就好比有了一把神奇的钥匙，能打开难题的大门。
而且这样也更准确呀，不会因为循环小数的无限性搞得晕头转向。
举个例子呗，0.2333……，按照方法来，先分成0.2 和0.0333……，然后分别处理，最后加起来得到分数。
哇，是不是很厉害？
循环小数转化成分数的方法真的超棒，能让我们在数学的世界里如鱼得水。
咱可得好好掌握这招，让数学变得更有趣。
循环小数化分数
循环小数也可以用分数表 示，例如1/3=0.333...，
2/7=0.2857142...。
在科学计算器或计算机 中，循环小数通常以近 似值或近似分数的形式
表示。
02
循环小数化分数的原理
分数的基本性质
分数的基本性质
分数可以表示任意两个整数的比值， 即分子除以分母。
分数的基本性质的应用
在循环小数化分数的原理中，循环小 数可以看作是分子和分母的连除，即 无限循环的分数形式。
循环小数化分数的步骤
确定循环节
循环节是指循环小数中不断重复出现的数字序 列。
找出循环节的位数
循环节的位数决定了分数中分母的幂次。
将循环小数表示为分数
根据循环节的位数，将循环小数转换为分数形式。
循环小数化分数的实例
化学计算
在化学计算中，物质的质量、体积等常常以小数形式表示，但在需 要使用分数形式表示时，循环小数化分数就非常有用。
在日常生活中的应用
金融计算
在金融计算中，如股票交易、债券收益等， 循环小数化分数能够帮助人们更准确地计算 收益和损失。
商业计算
在商业计算中，如折扣、利润等，循环小数化分数 能够使人们更精确地处理数据。
17167/3300。
题目3答案解析
0.29(56)表示的是0.295656...， 我们可以看到循环节是56，因 此可以表示为0.2956(56)，即
295656...，化简得分数为 887/300。
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数学教育
在数学教育中，循环小数化分数 是帮助学生理解小数和分数之间 关系的一个重要工具。
在科学计算中的应用
物理计算
《循环小数》课件
在科学实验中，测量数据也常常 出现循环小数，例如测量物体的
长度、重量等。
在科学研究中的应用
在物理学中，很多物理量都是 用循环小数来表示的，例如温 度、压力、密度等。
在化学中，化学反应的速率和 化学平衡常数等也常常用循环 小数来表示。
在生物学中，生物种群的数量 和增长率等也常常用循环小数 来表示。
感谢观看
循环小数的表示方法
在小数点后加上省略号来表示重复的部分。 例如：0.3333...可以表示为0.3(3)。
循环小数与无限不循环小数的区别
无限不循环小数是指小数点后的小数 部分没有重复的数字出现，且无法表 示为分数形式的小数。
循环小数则可以表示为分数形式，小 数部分有重复的数字出现。
02
循环小数的性质
Hale Waihona Puke 04循环小数的实例
生活中的循环小数例子
音乐节拍
音乐中的节拍常常用循环小数来 表示，如4/4拍的速度是120bpm ，即每分钟120拍，每拍的时间 就是1/120分钟，是一个循环小 数。
天气预报
在气象学中，风速、降雨量等数 据有时会用循环小数来表示，如 风速为3.13m/s。
数学中的循环小数例子
化学元素周期表
在化学中，一些元素的原子质量、电子排布等数据有时会用循环小数来表示。如铁元素 的原子质量约为55.845克，是一个循环小数。
05
循环小数的应用
在数学中的应用
循环小数是数学中分数和有理数的一个重要组成部分，对于理解数学概念和进行数 学运算具有重要意义。
在数学中，循环小数可以用于解决一些复杂的数学问题，例如求解一些高次方程的 根等。
循环小数在数学分析中也有广泛应用，例如在研究函数的极限和连续性时，需要用 到循环小数的概念。
第7讲 循环小数与分数
（4） 1 6
例题1
将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 96 位上的数字．
（1） 1 7
（2） 1 13
（3） 1 14
（1） 1 ＝0.1˙42857˙，96÷6＝16（组），是 7． 7
（2） 1 ＝0.0˙76923˙，96÷6＝16（组），是 3． 13
（3） 1 ＝0.07˙14285˙，(96－1)÷6＝15（组）……5，是 8． 14
405 ÷999=
知识要点：
纯循环小数化分数：分子是一 个循环节所表示的数，分母的 各个数位数字全是9，9的个数 等于一个循环节中数字的个数。
知识要点：
把
化成分数
10A=2.373737… 1000A=237.373737… 1000A-10A=990A
235 ÷990= =
知识要点：
把
化成分数
111=123-12
235=237-2 1026=1027-1
一个9
二个9
三个9
知识要点：
知识要点：
循环小数与分数
循环小数 从小数部分的某一位起，一个数字或几 个数字，依次不断地重复出现的小数．
循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断 重复出现的一个或几个数字．
纯循环小数 从小数点后第一位起，一个数字或几个数 字依次不断重复出现的小数，例如 90
×6÷2＝ 38 ×1＝ 2 8 ．
15
15
练习4
计算：0.3˙5 ＋0.4˙6 ＋0.5˙7 ＋0.6˙8 ＋0.7˙9
选讲题
※ 已知 4 ＝0.˙5 7142˙8 ，问：最少从小数点右面第______位开始，到第______位为止 7
的数字之和等于 2008．
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235 ÷990= =
例六：把
化成分数
100A= 12.3333… 1000A=123.33333… 1000A-100A=900A
111 ÷900=
例七：把
化成分数
10A=1.027027… 10000A=1027.027027… 10000A-10A=9990A
1026 ÷9990=
=
混循环小数化成分数的法则是：这个分数的分子 是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数 部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位 数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数 相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
位就开始的叫纯循环小数。
• 混循环小数：循环节不是从小数部分第 一位开始的叫混循环小数。
例二：把 化成分数
1 ÷3=0.333… 2 ÷3=0.666…
2 ÷3-1÷3 =0.666…-0.333… =0.333…
0.444…-0.333… =0.111…
例二：把 化成分数
A=0.33333…
无限循环小数化分数
五年级数学 执教人：胥睿
太阳每天东起西落；每一年春夏秋冬周而复始。日出 日落，春去秋来。这是大自然神奇的循环。在我们数学王 国里也有这样美妙的循环结构的数，它们就是无限循环小 数。说到循环小数，就不得不说一个有趣的辩论：
关于上面式子的讨论，吸引了包括数学家在内的，众多 人的参与，你认为那一个是正确的？要解决这个问题，就 要先从无限小数化分数说起……
• 一个最简分数的分母里，如果只含有2和5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成 纯循环小数。
• 一个最简分数的分母里，如果既含有2和5 以外的质因数，又含有其它的质因数，那 么这个分数一定能化成混循环小数。
判例断一下：面把分下数列化分小数数化是成循小环数小数吗
ห้องสมุดไป่ตู้
•
纯循环小数：循环节从小数部分第一
10A=3.33333… A
3
10A-A=9A B
多9倍
A=3 ÷9= =
例三：把 化成分数
A=0.242424… 100A=24.242424… 100A-A=99A
24 ÷99=
例四：把
化成分数
A=0.405405405… 1000A=405.405405405… 1000A-A=999A
405 ÷999=
111=123-12
235=237-2 1026=1027-1
一个9
二个9
三个9
练习：将下列循环小数化成分数。
计算：
纯循环小数化分数：分子是一个循环 节所表示的数，分母的各个数位数字 全是9，9的个数等于一个循环节中数 字的个数。
练习：将下列循环小数化成分数。
0.4
0.42
0.103
现在我们可以看一看哪个式子是正确的了：
例五：把
化成分数
10A=2.373737… 1000A=237.373737… 1000A-10A=990A