特征函数(CharacteristicFunction)地性质

特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤??t

).0(11|||||)(|??==≤≤=E e E Ee t itX itX

2. )()(t t ??=-.

)()(t Ee e E Ee t itX

itX itX ??====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则

).()(at e t X ibt Y

??= 4．若X 的l 阶矩存在，则

.1,|)(0l k EX i t dt

d k

k t k k ≤≤==?

k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt

d t dt d ======000|)(||)(?. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ?

><>?>?M

x dx x p t s M ||)(..,0,0εε

?∞

∞

=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e

t h t

itx

ihx

∞∞

--≤)(|1|x dF e ihx

->-+-=M

x ihx

ihx

x dF e

||)(|1|)(|1|

|||2

sin |2)(||1|2

/hx hx

e e ihx ihx ihx ihx

≤=-=--

x hx

ihx ihx ihx ihx ?≤=-=--,2|2

sin |2)(||1|2

>-+≤-+M

x M

x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|??

?-+≤+≤M M

hM x dF hM εε22)(.

取,/M εδ

=则对

任意实数t ，和),0(δ∈h 有

.3|)()(|ε??≤-+t h t

所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分

1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =???

???<-=>==?∞+π 证明：

∞

sin )(1

)(dt t

a sign a I π

以下证明

+∞

sin π

du u u .

?+∞-=0

1ds e u us ?

??-+∞+∞-==T

us T

T us

ududs

e ds e u du u

u 0

00sin sin sin ?

∞

+-++-+=0

22)cos sin 11(ds e T

s T T T s s s

+∞-++-=

22cos sin 2

ds e T

s T T T s s

s s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2

222 2

sin lim 0

∞→T

T du u u 。

Th 4.1.3(逆转定理)

设F(x)和)(t ?分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1

.)(21

lim

)()(2

112?---∞→-=-T

itx itx T dt t it

e e x F x F ?π

证明：记 ?---=

-T

T itx itx T dt t it e e J )(212

1?π

’则

?----=T T itX

itx itx T dt e it

e e E J 21

21π ?------=T

x X it x X it dt it

e e E )

()

(2121π

?----+--=T

x X it x X it x X it x X it dt

it e e e e E 0)

()

()(221121πdt t

t x X t x X E T ?---=021)sin()sin(1π )]()([2

lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1

??<<==><=---212

121210)()(x

X x x X or x X x X or x X x X sign x X sign

)

0()(2)0()()()0()]()([2

lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证.

Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。

证明：将分布函数的连续点集记为)(F C ，设)(t ?是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时，由反演公式

.)(21

lim

)()(2

112?---→∞-=-T

T itx itx T dt t it e e x F x F ?π

令1x 在)(F C 中趋于∞-，则有对)(2F C x ∈?，)(2x F 由)(t ?唯一确定。当)(F C x ?时，可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ，由)(x F 的右连续性可知，)(x F 由)(t ?唯一确定。

Th. 若特征函数)(t ?绝对可积，即

∞

-∞

则其对应的分布函数)(x F 为连续型，且密度函数为

.)(21

)(?

∞

--=

dt e t x p itx ?π

证明：对R a ∈?，令a b n ↓，根据反演公式有

?∞

∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0?π

由定理条件可知，2

)

0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0，而根

据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →，故有

).0()(,02

)0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即

亦即)(x F 处处连续。

对0,≠?∈?x R x ，根据反演公式得

?∞

∞-?+--?-=

?-?+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21

)()()

(?π

令0→?x 得到

)()()(x p x

x F x x F →?-?+；

itx

x x it itx e x it e e -?+--→?-)( 所以，

.)(21

)(?

∞

--=

dt e t x p itx

?π

二．多元特征函数若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ，则定义

其特征函数为

∞

-∞

∞

-∑=

==),...,(...)(11

n x t i

it x x dF e

t n

k k

k T ?

其中，.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特

征函数.

Th1. 由随机向量T n X X X

),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子

向量的边缘特征函数.例如

).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,112

t t t t t t X X

X ????==

性质：

;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ???=--=≤

0,...,011...1`1

1|),...,(......==+-

???∑==n n n

j j

n t t n n

k k k k k k n

k t t t t i

X EX ? 反演公式

n c c n

j j

b it a it

c c c c n n dt dt t t it e e

b X a b X a P j

j j

j n n

n ...),...,(...)2(1

...),...,(111

n 1111

1lim lim ?π?∏

?-=---∞

→∞

→-=

≤<≤<

Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为

)()(),(2121,t t t t Y X Y X ???=

三．n 元正态分布

随机向量,),...,(1T n X X =X 定义

,),...,(1T n EX EX EX =

T EX X EX X E X ))(()cov(--=

1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为

n n n R x x x x x x x f ∈?

?????++-=

),...,(,)...(21ex p )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成

}21ex p{)

2(1)(2

/Ix x x f T

n -=π

称之为标准n 元正态分布。

Def 如果A 是n 阶非奇异阵，μ是n 维实向量，而随机变量X 服从n 元标准正态分布，则将随机变量

μ+=AX Y

所服从的分布成为n 元正态分布.

易证：0)cov(,>==T

AA Y EY μ.记

,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布.

TH, n

元正态分布),(∑μN 的概率密度为

)}()(2

ex p{|

2(1)(12

/12

/μμπ-∑--∑=

-x x x f T n .

Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为

n T

R t t t t i t ∈?∑-=},2

1exp{)(μ?

证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为

};

21exp{}21exp{)(}exp{)(121

t t t t X it E t T n j j n

j j X T

i -=-===∑∏==??根据多元正态分布的定义，存在矩阵A ，使得T AA =∑，故所求特征函数为

1exp{}

1exp{)()

(t t it t AA t e

t T

T T it AX

it it AX it T T T ∑-=-===T +μ?μ

Th. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分布，其中n k <≤1. 证明：,),...,,(),,(~21T

i i i k n k X X X X N X

=∑μ k

X 的特征

函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ??=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j X

it n X i i j t Ee

t t T ??==?

),...,(,),

()0,...,,...,0,,0(11

T i i X X is i X k k k

T k

i t t s s Ee

t t ===其中??

又根据}2

1exp{)(t t it t T

X ∑-=μ?，得到

,...,,...,,),...,(},2

1exp{)(11***

1列形成的矩阵行和第的第是其中

k k T i i T T

X i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμ?另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.

Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ，则它们相互独立的充要条件是它们

两两互不相关.

证明：必要性是显然的.下证充分性.

若n X X X ,...,,21两两互不相关，则,,0),cov(j i X X j i ≠?=即

},...,,{2211nn diag σσσ=∑，所以

∏∏∑=-=-==n

k X n

kk k k k k k kk k T

n t t t i t t i t t k ).

(}

exp{}21exp{),...,(2121?σμσμ?

由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立.

Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X X

T T

，对∑和μ作相应

的分块

???

? ??∑∑

∑∑=∑???? ??=2221121121，

μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是

和X X

Th 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分

布.X C Y N X n m m n ?=∑),,(~μ即若,则

).,(~T mn C C C N Y ∑μ

推论：

,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑

).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵，则

Th ).,(~,),(~1

a a a N X a R a N X T

T T n n ∑∈??∑?μμ

正切函数图像及性质

第14讲正切函数的性质与图像第一部分知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分精讲点拨考点1 正切函数的图像的应用（1 ）直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y

[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用（2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域【例2】求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间

考点4 正切函数综合应用【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且求相应x 的值第三部分检测达标一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是（） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>

高中数学对数函数及其性质(一)

课题：对数函数及其性质（一）课型：新授课教学目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质教学难点：对数函数的图象和性质及应用教学过程：一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格

正切函数的图像和性质-公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间（）的单调性. 教学目的知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法；了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；掌握正切函数的性质。能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的问题。情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解教学方法：探究，启发式教学教学过程复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？讲授新课：思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？

画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？思考3. 诱导公式体现了正切函数的哪种性质？（一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象说明：（1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-

（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。（二）正切函数的性质引导学生观察，共同获得：（1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ；（2）周期性：π=T ；（3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（4）单调性：思考：正切函数在整个定义域内是增函数

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈

例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（） A ． B ． C ． D ．例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性

例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________

凸函数的性质与应用

学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日

目录摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)

函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师: *** 职称: 副教授摘要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格

对数函数及其性质经典练习题

对数函数及其性质（一）班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．