广东省深圳市南山区育才二中2020-2021学年第一学期九年级10月月考数学试卷
广东省深圳市南山区第二实验学校2020-2021学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】
南山区第二实验学校2020－2021学年第一学期九年级期中考试数学试题一．选择题（每题3分，共36分）1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180°C．∠A＝∠BD．∠B＝∠D2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．下列是一元二次方程的是（）A．x2－2＋x3＝0B．x2＋2x＋3＝0C．y2＋x＝1D．1 x＝14．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为（）A．1B．－1C．2D．－25．已知ba＝25，则a ba b－＋的值是（）A．14B．37C．35D．736．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2B．6.4C．3.6D．2.47．下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A．B．C．D．8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AO∶AD的值为（）A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．4∶139．两个相似多边形的面积之比是1∶4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶1610．如图，已知在△ABC中，点P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP ∽△ABC的是（）A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACBC．ACAB＝CPBCD．ACAP＝ABAC11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，AE⊥BD于点E，则EC＝（）A．72B．52C．152D．21212．如图，将直角三角形纸片ABC(∠A＝90°，AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC 落在AB边上折痕为AD，展开纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF（如图2）．若AC＝6，AB＝8，则折痕EF的长为（）A．242 7B．24 5C．32D．5二．填空题（每题3分，共12分）13．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值为________．14．正方形ABCD的对角线长为2，面积为________．15．在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长5m，则旗杆高为________m．16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD ∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为________．三．解答题（共7小题）17．（12分）用恰当的方法解方程：（1）(x－1)2－121＝0；（2）(x＋1)2＝3(x＋1)；（3）x2＋3x＝1．18．（6分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3，1)，(2，－1)．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2∶1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．19．（6分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是45，求菱形ABCD的面积．21．（6分）某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？（2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？22．（8分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE·CE＝DE·EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE·BD＝EF·AF，求证：AB＝AC．23．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，EC平分∠DEB，点F为CE 的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE＝DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF·GF＝28时，请直接写出CE的长．参考答案与试题解析一．选择题1．选：C．2．选：B．3．选：B．4．选：B．5．选：B．6．选：C．7．选：B．8．选：B．9．选：A．10．选：C．11．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3－＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．12．【解答】解：如图，连接DE，DF，由折叠的性质可得：∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，AE＝DE，AF＝DF，AD⊥EF，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∠F AD＝∠FDA＝45°，∴∠AED＝∠AFD＝90°＝∠BAC，∴四边形AEDF是矩形，又∵AD⊥EF，∴四边形AEDF是正方形，∴AE＝AF＝DE＝DF，EF＝DE，∵S△ABC＝AB×AC＝×AB×DE＋AC×DF，∴6×8＝14DE，∴DE＝，∴EF＝，故选：A．二．填空题13．答案为：1．14．答案为：1．15．答案是：10．16．【解答】解：如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，∵AD∥BC，∴∠PFC＝∠DEP＝90°，∴∠CPF＋∠PCF＝90°，∵∠DPC＝90°，∴∠CPF＋∠DPE＝90°，∴∠PCF＝∠DPE，在△PCF和△DPE中，∵，∴△PCF≌△DPE（AAS），∴PF＝DE、PE＝CF，设PF＝DE＝x，则PE＝CF＝4－x，∵S四边形ABCD＝（AD＋BC）•AB＝12，∴×（AD＋4）×4＝12，解得AD＝2，∴AE＝BF＝2－x，∴FC＝BC－BF＝4－（2－x）＝2＋x，可得2＋x＝4－x，解得x＝1，∴BP＝＝，故答案为：．三．解答题17．【解答】（1）x1＝－10，x2＝12；（2）x1＝－1，x2＝2；（3）这里a＝1，b＝3，c＝－1，∵△＝9＋4＝13，∴x＝．18．【解答】解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（－4，2），C（－6，－2）．19．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，即＝，∴AB＝6．20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．21．【解答】解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价5元，可售出20＋5×2＝30（件）．（2）设每件衬衫应降价x元，据题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200，解得：x＝10或x＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．22．【解答】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，∵AE•CE＝DE•EF，∴，又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．（2）∵AE•BD＝EF•AF，∴，∵AD＝AF，∴，∵∠AEF＝∠EAD＋∠ADE，∠ADB＝∠EAD＋∠C，∴∠AEF＝∠ADB，∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．23．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠CEB，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC；（2）如图，连接DF，∵DE＝DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，∴BF＝CF＝EF＝EC，∴∠ABF＝∠CEB，∵∠DCE＝∠CEB，∴∠ABF＝∠DCF，在△ABF和△DCF中，，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB＝∠DFC＝90°，∴AF⊥BF；（3）CE＝4．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∵EH∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BEH＝90°，∴∠FEH＋∠CEB＝90°，∵∠ABF＝∠CEB，∴∠BAF＝∠FEH，∵∠EFG＝∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴＝，即EF2＝AF•GF，∵AF•GF＝28，∴EF＝2，∴CE＝2EF＝4。
2021-2022学年广东省深圳市南山区九年级(上)月考数学试卷(10月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省深圳市南山区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知xy ＝mn ，则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A ．xn =m yB ．ym=nxC ．xm=ynD ．xm=ny2．（3分）用配方法解一元二次方程x 2﹣8x +5＝0，将其化成（x +a ）2＝b 的形式，则变形正确的是（ ） A ．（x +4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝21C ．（x ﹣8）2＝11D ．（x ﹣4）2＝113．（3分）九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（ ） A ．14B ．15C ．16D ．1124．（3分）下列命题中错误的是（ ） A ．平行四边形的对边相等B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线相等D ．对角线相等的四边形是矩形5．（3分）已知关于x 的方程mx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1B ．m ＞1C ．m ＜1，且m ≠0D ．m ＞1，且m ≠06．（3分）如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF ＝6，AB ＝5，则AE 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．47．（3分）如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为（ ）A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°8．（3分）九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A ．x （x +1）＝132 B ．x （x ﹣1）＝132 C ．2x （x +1）＝132D ．12x （x +1）＝1329．（3分）定义：cx 2+bx +a ＝0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．如果x ＝2是x 2+2x +c ＝0的倒方程的解，则c =−54 B ．如果ac ＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根C ．如果一元二次方程ax 2﹣2x +c ＝0无解，则它的倒方程也无解D ．如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 从点A 出发滑着线段AD 向点D 运动（不与点A ，D 重合），同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动（不与点D ，C 重合，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点、则有下列结论： ①∠BGF 是定值；②FB 平分∠AFC ；③当E 运动到AD 中点时，GH =√52；④当AG +BG =√6时，四边形GEDF 的面积是12．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④二.填空题（每题3分，共15分）11．（3分）已知a b=2，则a+b b= ．12．（3分）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 ．13．（3分）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点，若MN ＝3，则BD ＝ ．14．（3分）一元二次方程x 2+4x ﹣2＝0的两根为m 、n ，则m 2+5m +n 的值是 ． 15．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为三、解答题（共55分，其中16题12分，17题5分，18题7分，19题7分，20题7分，21题8分，22题9分） 16．（12分）解方程： （1）（x ﹣3）2＝4． （2）x （x ﹣4）＝x ﹣4．（3）4（x +2）2﹣9（x ﹣3）2＝0． （4）2x 2+4x ﹣3＝0．17．（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题：（1）参赛作文的篇数共篇；（2）图中：m＝，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为°；（3）把条形统计图补充完整；（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若1x1+1x2=−1，求k的值．19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．20．（7分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？21．（8分）阅读材料：（1）对于任意实数a和b，都有（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，于是得到a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．（2）任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果a≥0，则a=(√a)2．如：2=(√2)2，3=(√3)3等．例：已知a＞0，求证：a+12a≥√2．证明：∵a＞0，∴a+12a=(√a)2+(1√2a)2≥2×√a1√2a=√2∴a+12a≥√2，当且仅当a=√22时，等号成立．请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）．设垂直于墙的一边长为x米．（1）若所用的篱笆长为36米，那么：①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？②设花圃的面积为S米2，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；（2）若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−23x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x−92折叠，点B落在y轴的点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2021-2022学年广东省深圳市南山区九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知xy ＝mn ，则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A ．xn =m yB ．ym=nxC ．xm=ynD ．xm=ny【解答】解：A 、两边同时乘以最简公分母ny 得xy ＝mn ，与原式相等； B 、两边同时乘以最简公分母mx 得xy ＝mn ，与原式相等； C 、两边同时乘以最简公分母mn 得xn ＝my ，与原式不相等； D 、两边同时乘以最简公分母my 得xy ＝mn ，与原式相等； 故选：C ．2．（3分）用配方法解一元二次方程x 2﹣8x +5＝0，将其化成（x +a ）2＝b 的形式，则变形正确的是（ ） A ．（x +4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝21C ．（x ﹣8）2＝11D ．（x ﹣4）2＝11【解答】解：方程x 2﹣8x +5＝0， 移项得：x 2﹣8x ＝﹣5，配方得：x 2﹣8x +16＝11，即（x ﹣4）2＝11． 故选：D ．3．（3分）九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（ ） A ．14B ．15C ．16D ．112【解答】解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为A 、B 、C 、D ，画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个， ∴恰好抽到小华和小明的概率为212=16，故选：C ．4．（3分）下列命题中错误的是（ ） A ．平行四边形的对边相等B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线相等D ．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A 、B 、C 均正确．D 中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 故选：D ．5．（3分）已知关于x 的方程mx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1B ．m ＞1C ．m ＜1，且m ≠0D ．m ＞1，且m ≠0【解答】解：∵关于x 的方程mx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根， ∴{m ≠0△=(−2)2−4×m ×1＞0， 解得：m ＜1且m ≠0． 故选：C ．6．（3分）如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF ＝6，AB ＝5，则AE 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【解答】解：∵AG 平分∠BAD ， ∴∠BAG ＝∠DAG ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠DAG ， ∴∠BAG ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE ＝5， 由作图可知：AB ＝AF ，∵AH ＝AH∴△BAH ≌△F AH （SAS ）， ∴BH ＝FH ＝3， ∴BF ⊥AE ，由勾股定理得：AH =√52−32=4， ∵AB ＝BE ，BH ⊥AE ， ∴AH ＝EH ＝4， ∴AE ＝8， 故选：B ．7．（3分）如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为（ ）A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB ∥CD ，AB ＝BC ，∴∠MAO ＝∠NCO ，∠AMO ＝∠CNO ， 在△AMO 和△CNO 中，∵{∠MAO =∠NCOAM =CN ∠AMO =∠CNO ，∴△AMO ≌△CNO （ASA ）， ∴AO ＝CO ， ∵AB ＝BC ， ∴BO ⊥AC ，∵∠DAC ＝28°， ∴∠BCA ＝∠DAC ＝28°， ∴∠OBC ＝90°﹣28°＝62°． 故选：C ．8．（3分）九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A ．x （x +1）＝132 B ．x （x ﹣1）＝132 C ．2x （x +1）＝132D ．12x （x +1）＝132【解答】解：设全组共有x 名同学，那么每名同学送出的图书是（x ﹣1）本； 则总共送出的图书为x （x ﹣1）； 又知实际互赠了132本图书， 则x （x ﹣1）＝132． 故选：B ．9．（3分）定义：cx 2+bx +a ＝0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．如果x ＝2是x 2+2x +c ＝0的倒方程的解，则c =−54 B ．如果ac ＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根C ．如果一元二次方程ax 2﹣2x +c ＝0无解，则它的倒方程也无解D ．如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根【解答】解：x 2+2x +c ＝0的倒方程是cx 2+2x +1＝0，将x ＝2代入，得c =−54，故A 正确； ∵ac ＜0， ∴b 2﹣4ac ＞0，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B 正确； ∵ax 2﹣2x +c ＝0无解，∴4﹣ac ＜0，它的倒方程的根的判别式也为4﹣ac ＜0， ∴它的倒方程也无解，故C 正确；若c ＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D 错误； 故选：D ．10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 从点A 出发滑着线段AD 向点D 运动（不与点A ，D 重合），同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动（不与点D ，C 重合，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点、则有下列结论： ①∠BGF 是定值；②FB 平分∠AFC ；③当E 运动到AD 中点时，GH =√52；④当AG +BG =√6时，四边形GEDF 的面积是12．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ，∠BAE ＝∠D ＝90°， 在△BAE 和△ADF 中， {AE =DF∠BAE =∠D AB =AD， ∴△BAE ≌△ADF （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠DAF ，∵∠ABE +∠BAG ＝∠DAF +∠BAG ＝90°， ∴∠AGB ＝90°，∴∠BGF ＝90°是定值；故①正确；②根据题意无法判断∠AFB 与∠CFB 的大小，FB 平分∠AFC ； 故②错误；③当E 运动到AD 中点时， 当F 运动到DC 中点， ∴CF =12CD ＝1， ∴BF =√5，∵H 为BF 中点， ∴GH =12BF =√52；故③正确；④∵△BAE ≌△ADF ，∴四边形GEDF 的面积＝△ABG 的面积， 当AG +BG =√6时，（AG +BG ）2＝AG 2+2AG •BG +BG 2＝6， ∵AG 2+BG 2＝AB 2＝4， ∴2AG •BG ＝2， ∴AG •BG ＝1，∴S △ABG =12AG •BG =12，∴四边形GEDF 的面积是12．故④正确．故其中正确的是①③④． 故选：C ．二.填空题（每题3分，共15分） 11．（3分）已知ab =2，则a+b b= 3 ．【解答】解：∵a b =2， ∴a+b b=2+11=3．故答案为：3．12．（3分）某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 400只 ． 【解答】解：20÷240=400（只）． 故答案为400只．13．（3分）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点，若MN ＝3，则BD ＝ 12 ．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．14．（3分）一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根为m、n，则m2+5m+n的值是﹣2．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根为m、n，∴m+n＝﹣4，m2+4m﹣2＝0，即m2+4m＝2，则m2+5m+n＝（m2+4m）+（m+n）＝2﹣4＝﹣2．故答案为﹣2．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为24 5【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．CH=AC⋅BCAB=245，∵EF+CE＝EF′+EC，∴当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小，最小值为245，故答案为：245三、解答题（共55分，其中16题12分，17题5分，18题7分，19题7分，20题7分，21题8分，22题9分） 16．（12分）解方程： （1）（x ﹣3）2＝4． （2）x （x ﹣4）＝x ﹣4．（3）4（x +2）2﹣9（x ﹣3）2＝0． （4）2x 2+4x ﹣3＝0．【解答】解：（1）x ﹣3＝±2， 所以x 1＝5，x 2＝1；（2）x （x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝0， （x ﹣4）（x ﹣1）＝0， x ﹣4＝0或x ﹣1＝0， 所以x 1＝4，x 2＝1；（3）[2（x +2）+3（x ﹣3）][2（x +2）﹣3（x ﹣3）]＝0， 2（x +2）+3（x ﹣3）＝0或2（x +2）﹣3（x ﹣3）＝0， 所以x 1＝1，x 2＝13；（4）∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，∴x =−b±√b 2−4ac 2a =−4±2√102×2=−2±√102， ∴x 1=−2+√102，x 2=−2−√102． 17．（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题：（1）参赛作文的篇数共100篇；（2）图中：m＝45，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为126°；（3）把条形统计图补充完整；（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．【解答】解：（1）参赛作文的篇数共20÷20%＝100（篇），故答案为：100；（2）m%=100−20−35100×100%＝45%，∴m＝45，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：360°×35100=126°，故答案为：45，126；（3）八年级参加的作文篇数为：100﹣20﹣35＝45，补全的条形统计图如右图所示；（4）设七年级的那一篇记为A，八年级和九年级的三篇记为B，树状图如下图所示：由上可得，一共有12种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种，故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为612=1 2．18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若1x1+1x2=−1，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+3）2﹣4k2＞0，解得：k＞−3 4．（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的实数根，∴x1+x2＝﹣2k﹣3，x1x2＝k2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−(2k+3)k2=−1，解得：k1＝3，k2＝﹣1，经检验，k1＝3，k2＝﹣1都是原分式方程的根．又∵k＞−3 4，∴k＝3．19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE=12BC，∴四边形AECD是菱形；（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC=√102−62=8，∵S△ABC=12BC⋅AH=12AB⋅AC，∴AH=6×810=245，∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH=24 5．法二：连接ED交AC于O，由题意得：AC＝8，计算得ED＝6．S△ECD=12⋅DC⋅EF=12⋅ED⋅OC．计算得5EF＝6×4，EF=24 5．20．（7分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？【解答】解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+m5×10＝（20+2m）件，依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2﹣28m+195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．∵要减少库存，∴m＝15．答：单价应降低15元．21．（8分）阅读材料：（1）对于任意实数a和b，都有（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，于是得到a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．（2）任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果a≥0，则a=(√a)2．如：2=(√2)2，3=(√3)3等．例：已知a＞0，求证：a+12a≥√2．证明：∵a＞0，∴a+12a=(√a)2+(√2a)2≥2×√a√2a=√2∴a+12a≥√2，当且仅当a=√22时，等号成立．请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）．设垂直于墙的一边长为x米．（1）若所用的篱笆长为36米，那么：①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？②设花圃的面积为S米2，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；（2）若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？【解答】（1）解：由题意得x（36﹣2x）＝144，化简后得x2﹣18x+72＝0解得：x1＝6，x2＝12，答：垂直于墙的一边长为6米或12米；（2）解：由题意得S＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，＝﹣2（x﹣9）2+162，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝9时，S取得最大值是162，∴当垂直于墙的一边长为9米时，S取得最大值，最大面积是162m2；（3）解：设所需的篱笆长为L米，由题意得L=2x+200 x，即：L=(√2x)2+(√200x)2≥2×√2x×√200x=40，∴若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−23x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x−92折叠，点B落在y轴的点C处．（1）点C的坐标为（0，3）；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线l1：y=−23x+4分别交x、y轴于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（6，0），设直线l2与y轴交于点H（0，−92），则BH=√62+(92)2=152，则CH＝BH=152，则OC＝HC﹣OH=152−92=3，故答案为：（0，3）；（2）①点D在第一象限时，∵△CDB与△CDO面积相等，∴CD∥OB，∴点D的纵坐标为3，当y＝3时，−23x+4＝3，解得：x =32，∴点D 的坐标为（32，3）， ∴直线OD 的解析式为：y ＝2x ；②点D 在第二象限时，AC ＝4﹣3＝1．设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB ＝S △CDA +S △CAB=12×1•a +12×1×6 =12a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴12a +3=12×3a ， 解得a ＝3，∴点D 的横坐标为﹣3，当x ＝﹣3时，y =−23×（﹣3）+4＝6，∴点D 的坐标为（﹣3，6），∴直线OD 的解析式为：y ＝﹣2x ；（3）存在，理由：设直线OD 平移后的解析式为y ＝2x +b ，令y ＝0，则2x +b ＝0，解得x =−12b ，令x ＝0，则y ＝b ，所以OE =−12b ，OF ＝b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∵四边形EFMP 为正方形，∴△MNF ≌FOE ≌△EQP ，∴MN ＝OF ＝EQ ，NF ＝OE ＝PQ ，M （m ，3），∴ON ＝b +12b ＝3，解得b＝2∴OE＝1，OF＝2，∴OQ＝OE+QE＝1+2＝3，∴M（﹣2，3），P（﹣3，1）．故存在点M（﹣2，3）和点P（﹣3，1），使四边形EFMP为正方形．当直线在EF经过一，二，三象限时，如图3﹣1中，同法可得M（6，3），P（3，﹣3）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣3，1）或（3，﹣3）．。
广东省深圳市 高级中学2023-2024学年九年级上学期 10月月考数学试卷(含解析)
深圳高级中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0 2．一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（ ）个红球．A．7B．8C．9D．103．顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC．若S△BDE：S△ADE＝1：2．则S△DOE：S 的值为（ ）△AOCA．B．C．D．5．如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为（ ）A．（33－2x）x＝65B．（32－2x）x＝65C．（31－2x）x＝65D．（32－2x）（x＋1）＝656．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（ ）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C．D．7．如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（ ）A ．B ．（2，0）C ．D ．8．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n ＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．8或7D ．9或89．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，P 为BC 边上一动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转120°至AP ′，则线段PP ′的最小值为（ ）AB ．CD ．10．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①∠DHF ＝4∠FDP ；②△DFP ∽△BPH ；③PD 2＝PH •CD ；④．其中正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（每题3分，共15分）11．若实数a ，b 是方程x 2－4x ＋3＝0的两个实数根，则a ＋b 的值是 ．12．如图，已知舞台AB 长10米，如果报幕员从点A 出发站在舞台的黄金分割点P 处，且AP ＜BP ，则报幕员应走 米报幕（结果精确到0.1米）．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝50°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝ 度．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 ．15．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．三．解答题（共55分）16．（6分）先化简，再求值：，请从－2，－1，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值．17．（6分）解方程：．18．（7分）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）这次调查的总人数是 人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 °；C类扇形所占的百分比是 ．（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．19．（8分）2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？20．（8分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA＝∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．21．（10分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 三角形．②若AD＝4，则BD＝ ；【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE 交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．深高级十月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22－4×k×（－1）＞0且k≠0，解得k＞－1且k≠0，故选：B．2．一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（ ）个红球．A．7B．8C．9D．10【解答】解：由题意可得，红球的概率为＝70%，则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）．故选：A．3．顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC【解答】解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：B．4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC．若S△BDE：S△ADE＝1：2．则S△DOE：S 的值为（ ）△AOCA．B．C．D．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：2，∴BE：EC＝1：2，∴BE：BC＝1：3，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴＝＝，∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，故选：B．5．如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为（ ）A．（33－2x）x＝65B．（32－2x）x＝65C．（31－2x）x＝65D．（32－2x）（x＋1）＝65【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（33－2x）x＝65，故选：A．6．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（ ）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C．D．【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC．A．∵∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC，选项A不符合题意；B．∵∠E＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC，选项B不符合题意；C．∵＝，∠DAE＝∠BAC，无法证出△DAE∽△BAC，∴选项C符合题意；D．∵＝，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC，选项D不符合题意．故选：C．7．如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（ ）A．B．（2，0）C．D．【解答】解：∵四边形ABOC是矩形，∴OP＝AP，∵点O（0，0），A（－2，2），∴点P（－，1），∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，∴每4次回到起始位置，∵74÷4＝18•••2，∴第74次旋转后点P的落点在第四象限，且与点P关于原点成中心对称，∴第74次旋转后点P的落点坐标为（－，1），故选：D．8．若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）A．8B．7C．8或7D．9或8【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴a＝b，或a、b中有一个数为4．当a＝b时，有b2－4ac＝（－6）2－4（n＋1）＝0，解得：n＝8；当a、b中有一个数为4时，有42－6×4＋n＋1＝0，解得：n＝7，故选：C．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（ ）AB ．CD ．【解答】解：如图所示，过点A 作AD ⊥PP '于D ，由旋转可得，AP ＝AP '，∠PAP '＝120°，∴PP '＝2PD ，∠APD ＝30°，当PD 最短时，PP '最短，且PD ＝AP ×cos30°，∵P 为BC 边上一动点，∴当AP ⊥BC 时，AP 最短，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，∴∠C ＝30°，∴当AP ⊥BC 时，AP ＝AC ×sin30°＝4×＝2，此时，PP '＝2PD ＝2×AP ×cos30°＝2×2×＝2，故答案为：2．10．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①∠DHF ＝4∠FDP ；②△DFP ∽△BPH ；③PD 2＝PH •CD ；④．其中正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，∵PC ＝BC ＝CD ，∠PCD ＝90°－60°＝30°，∴，∴∠FDP＝90°－75°＝15°，∵∠DBC＝45°，∴∠BHC＝180°－∠DBC－∠BCH＝180°－45°－60°＝75°，∴∠DHF＝∠BHC＝75°，∴∠DHF＝5∠FDP，故①错误；∵∠PBC＝60°，∠DBC＝45°，∴∠PBD＝60°－45°＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵AD∥BC，∴∠DFP＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正确；∵∠PDC＝75°，∠DHP＝75°，∴∠DHP＝∠CDP，又∵∠DPH＝∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴∴PD2＝PH⋅PC，∵PC＝CD，∴PD2＝PH•CD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，则正方形ABCD的面积为16，∵△BPC为正三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，∵∠PCD＝30°，∴，，∵S△BPD＝S△PBC＋S△PDC－S△BCD＝＝＝，∴，故④错误；综上，正确的是②③，有2个，故选：B．二．填空题11．若实数a，b是方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则a＋b的值是 4 ．【解答】解：∵实数a，b是方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，∴a＋b＝4．故答案为：4．12．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走 3.8 米报幕（结果精确到0.1米）．【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，∴PB＝AB＝×10＝5－5（米），∴AP＝AB－PB＝10－（5－5）＝15－5≈3.8（米）．故答案为：3.8．13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝ 25 度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝＝25°，故答案为：25．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 ．【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AC∥PE，∴∠ACB＝∠E，∴∠B＝∠E，∴PB＝PE，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD，∴∠BPD＝∠EPC，∴在△PCE和△PDB中，，∴△PCE≌△PDB（SAS），∴BD＝CE，∵AC∥PE，∴，∵PA＝AB，∴，∴，∴．故答案为：．15．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．【解答】解：如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∵AD＝2CD，CE＝2BE，∴EC＝2CD，∵EJ＝JC，∴CD＝CJ，∵∠DCJ＝60°，∴△DCJ是等边三角形，∴DJ＝JE＝JC，∴∠CDE＝90°，∴DE＝CD＝，∴AE＝＝＝，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∴∠APD＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBD＋∠ABP＝60°，∴∠APD＝∠ACE＝60°，∵∠PAD＝∠CAE，∴△PAD∽△CAE，∴＝，∴＝，∴△ADE∽△APC，∴＝，∴＝，∴PC＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）16．先化简，再求值：，请从－2，－1，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值．【解答】解：原式＝÷[＋]＝÷＝÷＝•＝，∵a＝－2，－1，2时，原分式无意义，∴a＝1，当a＝1时，原式＝＝．17．解方程：．【解答】解：去分母得：x＝x2－4－x＋2，整理得：x2－2x－2＝0，解得：x1＝1＋，x2＝1－，当x＝1＋或1－时，（x＋2）（x－2）≠0，∴分式方程的解为x1＝1＋，x2＝1－．18．“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）这次调查的总人数是 40 人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 108 °；C类扇形所占的百分比是 45% ．（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）这次调查的总人数为6÷15%＝40（人），扇形统计图中，B类扇形的圆心角为×360°＝108°，C类的学生人数为40－6－12－4＝18（人），∴C类扇形所占的百分比为×100%＝45%．故答案为：40；108；45%．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．19．2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？【解答】解：（1）设月平均增长率为x，则：225＋225（1＋x）＋225（1＋x）2＝819，解得：x1＝0.2，x2＝－3.2（舍去），∴月平均增长率是20%．（2），解得：y1＝4，y2＝2（舍去）∴若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低4元．20．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA＝∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．【解答】证明：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠HEA＝∠CGF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形；21．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 等腰 三角形．②若AD＝4，则BD＝ 8 ；【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE 交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边，∴BG＝DG＝AD＝BC，∴△ADG与△BCG是等腰三角形；②∵AD＝4，∴BD＝2AD＝8，故答案为：等腰；8；（2）存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形．理由如下：当BC＝2AB时，四边形ABEC是和谐四边形，∵BC＝AD＝4，AB＝k，∴BC＝2k，∴k＝2；当BC＝2AC时，不满足直角三角形的斜边大于直角边．当AE＝2AC时，，无解．当AE＝2AB时，，无解．∴k的值为2时，四边形ABEC是和谐四边形；（3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边，∴AD＝DG，∴∠DAG＝∠AGD，∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠ACF，∴∠DAG＝∠AGD＝∠ACF＝∠AFC，∴∠ADG＝∠CAF，∵，，∴，∴△ADB～△ACE，∵AB＝CE，∴相似比为1，∴△ADB≌△ACE，∴AC＝AD，作DM⊥AC于M，如图3所示：∵AD＝DG，∴AM＝GM，设AM＝x，则AG＝2x，∴AC＝2AG＝AD＝4x，∴CM＝3x，在Rt△ADM中，由勾股定理得：，在Rt△DMC中，由勾股定理得：，∵CD＝AB＝4，∴，∴，∴，∴．故答案为：．22．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．【解答】问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．。
2023_2024学年广东省深圳市南山区九年级上册月考数学模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年广东省深圳市南山区九年级上册月考数学模拟测试卷第一部分（选择题，共 30 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．2023的相反数是（ ）A ．2023B ．﹣C ．﹣2023D ．12023120232．观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.深圳2022年上半年GDP 首为1.5亿元，同比增长3.0%，其中第一产业增加值为1.249×109元，数据1.249×109可以表示为（ ）A ．1.249亿B ．12.49亿C ．124.9亿D ．1249亿4．如图所示立体图形，下列选项中是图中几何体的主视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．为切实落实“双减”，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文诗等艺术作品征集活动，从八年级7个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50、44、52则这组数据的中位数和平均数是（ ）A ．46，47B ．45，47C ．50，46D ．42，466．下列运算正确的是（ ）A ．a 5÷a 2＝a 3B ．a 5+a 5＝2a 10C ．（2a 2）3＝2a 6D ．（a 5）2＝a 107．一副直角三角板如图放置（∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°），如果点C 在FD 的延长线上，点B 在DE 上，且∠ACG=60°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以B 为圆心，适当长为半径画弧交BA 于点M ，交BC 于点N ，分别以M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，射线BD 交AC 于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF ，若BE ＝AC ＝4，则△CEF 的周长是（ ）A ．8B ．2+2C ．2+6D ．2+29．下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B ．边数大于3的正多边形的对角线长都相等C ．相等的弦所对的弧相等D ．正六边形的边长等于其外接圆的半径10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，连接BD 分别交EG ，EF 于点M ，N ，连接FG ．下列结论：①△EBF ≌△FCG ；②EF ⊥FG ；③M 是BD 的中点；④若sin ∠BEF ＝，则MN ＝FN ．其中正确322的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二填空题11．因式分解：a3﹣6a2＝ ．12．把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在奇数区域的概率是 ．13．如图，小刚要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，已知在坡脚C处测得树顶B的仰角为60°，在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，若CD＝10m，DE＝5m，则树AB的高是14．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ．14题15题15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点O 是对角线AC 的中点，点Q 是线段OA 上的动点（点Q 不与点O ，A 重合），连接BQ ，并延长交边AD 于点E ，过点Q 作FQ ⊥BQ 交CD 于点F ，分别连接BF 与EF ，BF 交对角线AC 于点G ．过点C 作CH ∥QF 交BE 于点H ，连接AH ．求线段AH 的最小值为。
2020-2021深圳育才中学(初中)九年级数学上期中一模试卷带答案
2020-2021深圳育才中学（初中）九年级数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 2．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°3．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．344．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）A ．（6048，0）B ．（6054，0）C ．（6048，2）D ．（6054，2） 5．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 6．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．32×20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝570 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且38．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠3 9．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．1910．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 12．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=D ．()247x += 二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．16．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是_________.17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为¼BB ，则图中阴影部分的面积为_____．19．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．20．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．三、解答题21．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积MCB S V ．（3）在坐标轴上，是否存在点N ，满足△BCN 为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N ．22．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？23．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=o ，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?24．解方程：2411231x x x -=+-- 25．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan ∠CBD=tan ∠MBA=34， 故选D ．4．D解析：D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 2018的坐标．【详解】∵A （32，0），B （0，2）， ∴OA ＝32，OB ＝2， ∴Rt △AOB 中，AB 22352()22+=， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2（6，2），∴B 4的横坐标为：2×6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是（6054，2）．故选D ．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x +x=12x +x+14=1+14 215()24x +=. 故选C【点睛】考点：配方的方法.6．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（32-2x ）（20-x ）=570，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．7．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=. 故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.8．B解析：B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点. 9．A解析：A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．10．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为 解析：94【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．【解析】【分析】先根据∠AOC 的度数和∠BOC 的度数可得∠AOB 的度数再根据△AOD中AO=DO可得∠A的度数进而得出△ABO中∠B的度数可得∠C的度数【详解】解：∵∠AOC的度数为105°由旋转可解析：45【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A=12（180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．15．12【解析】【分析】设长为x步宽为(60-x)步根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得【详解】设长为x步宽为(60-x)步x(60-x)=864解得x1=36x2=24(舍去)∴当x=36时60解析：12【解析】【分析】设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.【详解】设长为x步，宽为(60-x) 步，x(60-x)=864 ，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴当x=36 时，60-x=24 ，∴长比宽多：36-24=12 (步)，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 16．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键解析：1 4【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是1 4 .【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点.17．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰解析：1 6【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边解析：3 2π【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=2212=5+，A′B′=2222=22+，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，连接DB、DB′，则2212=5+，2222=22+∴S阴=905253 1222222= 360242（）ππ⨯-⨯÷-⨯÷-.故答案为53 42π-．点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．【解析】试题分析：连结BC因为AB是⊙O的直径所以∠ACB＝90°∠A+∠ABC＝90°又因为BDCD分别是过⊙O上点BC的切线∠BDC＝110°所以CD=BD所以∠BCD＝∠DBC＝35°又∠AB解析：【解析】试题分析：连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因为BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∠BDC＝110°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝35°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝35°．考点：1．圆周角定理；2．切线的性质；3．切线长定理．20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【解析】【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm ²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．（1）y=﹣x 2+4x+5（2）15（3）存在，（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0），C （0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可．（2）先求出M 、B 、C 的坐标，根据MCB MCE OBC MEOBS S S S =V V V 梯形﹣﹣即可解决问题． （3）分三种情①C 为直角顶点；②B 为直角顶点；③N 为直角顶点；分别求解即可．【详解】（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，5），（1，8），则有：085a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5．（2）令y=0，得（x ﹣5）（x+1）=0，x 1=5，x 2=﹣1，∴B （5，0）．由y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9，得顶点M （2，9）如图1中，作ME ⊥y 轴于点E ，可得MCB MCE OBC MEOBS S S S =V V V 梯形﹣﹣=12（2+5）×9﹣12×4×2﹣12×5×5=15． （3）存在．如图2中，∵OC=OB=5，∴△BOC 是等腰直角三角形，①当C 为直角顶点时，N 1（﹣5，0）．②当B 为直角顶点时，N 2（0，﹣5）．③当N 为直角顶点时，N 3（0，0）．综上所述，满足条件的点N 坐标为（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）．考点：1、二次函数，2、三角形的面积，3、直角三角形的判定和性质22．（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意列出关于x 的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y 元，则每天售出（200+50y ）千克，根据题意列出关于y 的一元二次方程，求解方程即可.【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得2100(1)196x +=解得10.440%x ==，2 2.4x =-（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）设售价应降低y 元，则每天可售出(20050)y +千克根据题意，得(2012)(20050)1750y y --+=整理得，2430y y -+=，解得11y =，23y =∵要减少库存∴11y =不合题意，舍去，∴3y =答：售价应降低3元.【点睛】本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.23．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒Q ，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴=g g 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ，则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=g g （） 212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =．答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程. 24．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．25．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.。
广东省深圳市南山区育才二中2019-2020学年九年级第二学期第二次模拟考试数学试卷 (含答案)
深圳育才二中2019-2020学年九年级第二学期第二次模拟考试数学试卷（二模）一、选择题（每题3分，共36分）1.在实数0，π-，3，4-中，最小的数是（ ） A.0B.π-C.3D.4-2.下列运算正确的是（ ） A.842a a a =⋅B.42232a a a =+C.326a a a =÷D.6332)(b a ab =3.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表.上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.新冠病毒（2019-nCoV ）是一种新的冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA 病毒，其遗传性物质是所有RNA 病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒.其粒子形状不规则，平均直径为100nm （纳米）.1纳米=米910-，100纳米可以表示为（ ）米A.6101.0-⨯B.81010-⨯C.7101-⨯D.11101⨯5．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在△ABC 中，△CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得C′C△AB ，则△B′AB 为（ ） A.25° B.30°C.50°D.55°7.2019年“周恩来读书节”活动主题是“阅读，遇见更美好的自己”.为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数和中位数是（ ） A. 3，5B. 4，4C. 5，5D. 6，58.下列命题正确是( )A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有两条边对应相等的两个直角三角形全等C. 垂直于圆的半径的直线是切线D. 对角线相等的平行四边形是矩形9.如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE△BD 交AD 于点E ，连接BE ，若平行四边形ABCD 的周长为28，则△ABE 的周长为( ) A. 28B. 24C. 21D. 1410.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O 为扇形的圆心，格点A ，B ，C 分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF 的面积为( )A. π45 B. π89 C. πD. π23 11.已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴是直线x =1，其部分图象如图所示，下列说法中：△abc <0；△4a −2b+c <0；△若A （21-，y 1）、B （23，y 2）、C （2-，y 3）是抛物线上的三点，则有213y y y <<；△若m ，n （n m <）为方程02)1)(3(=-+-x x a 的两个根，则1->m 且3<n ，以上说法正确的有（ ） A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③12.如图，△ABC 和△DEF 都是等腰直角三角形，△ACB=△EFD=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边AB 的中点重合.将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段AC 与线段EF 相交于点Q ，射线ED 与射线BC 相交于点P ，线段ED 与AC 交于点M.若AQ=4，PB=18，则MQ 的长为（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 34二、填空题（每题3分，共12分） 13.因式分解：b ab b a 25102+-= .14.小明要给朋友小林打电话，电话号码是七位正整数，他只记住了电话号码前四位顺序，后三位是3，6，7三位数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨对的概率是 .15.如图，直线l 1：y=x +1与直线l 2：2121+=x y 在x 轴上相交于点P(−1，0).直线l 1与y 轴交于点A. 一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，…照此规律运动，动点C 依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…则当动点C 到达B 4处时，点B 4的坐标为 .16.已知双曲线x y 4=与直线x y 41=交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧).如图所示，点P 是第一象限内双曲线上一动点，BC△AP 于C ，交x 轴于F ，PA 交y 轴于E ，则下列结论：①17=OC ；②AE=EF ；③EFO EAB ∠=∠；④1222=+EFBFAE .其中正确的是： .（填序号）三、解答题（共52分）17.（5分）计算：02)2020()21(2330tan 3π----+︒-18.（6分）先化简：)1()11(2xx x x x -÷-+-+，再从21≤≤-x 的整数中选取一个合适的x 的值代入求值.19.（7分）疫情当前，为了贯彻落实教育部关于“停课不停学”的要求，某市为学生提供以下四类在线学习方式：腾讯课堂，钉钉在线课堂，校讯通以及名校同步课堂.为了解决学生需求，该市随机对部分学生发起了“你对哪类在线学习方式最感兴趣？”的调查问卷，并根据调查结果绘制出如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解决下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了 学生； （2）请你补全条形统计图； （3）m = ；n = ；（4）某校共有学生2000人，请你估计该校对“名校同步课堂”最感兴趣的学生有多少名？20．（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，按下列步骤作图： ①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，交AB 于点M ．交BC 于点N ；②再分别以点M 和点N 为圆心，大于MN 21的长为半径作弧，两弧交于点G ；③作射线BG 交AD 于F ；④过点A 作AE ⊥BF 交BF 于点P ，交BC 于点E ； ⑤连接EF ，PD ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AB=8，AD=10，∠ABC=60°，求DP 的长．21.（8分）在广深高速公路改建工程中，某路段长4000米，由甲、乙两个工程队拟在30天内(含30天)合作完成，已知甲工程队每天比乙工程队多完成50米，如果甲、乙两工程队一起合作完成1500米所用时间与甲工程队单独完成1000米所用时间相同. (1)求甲、乙两个工程队每天分别改建完成多少米?(2)已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，则甲、乙两个工程队各做多少天?最低费用为多少?22.（9分）如图1，AB 是△O 的直径，点P 在△O 上，且PA=PB ，点M 是△O 外一点，MB 与△O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC△OM 交△O 于点C ，连接BC 交OM 于点D. （1）填空：OD= AC ；求证：MC 是△O 的切线； （2）若OD=9，DM=16，连接PC ，求sin ∠APC 的值； （3）如图2，在（2）的条件下，延长OB 至N ，使BN=524，在△O 上找一点Q ，使得MQ NQ 53+的值最小，请直接写出其最小值为 .23.（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线221+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线c bx x y ++-=221经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；△连接BC ，CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，CDE △的面积为S 1，BCE △的面积为S 2，求21S S 的最大值； △过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得F CD △中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项DDBCACCDDAAB二、填空题：13. 2)5(-a b14．61 15．（15，8） 16. △△△三、解答题 17．3- 18．化简为：11+x ，结果为3119. （1）100（2）画图略（3）20，158.4°（4）240人 20.（1）证明略（2）过P 作PH ⊥AD 于H ，DP=19221.（1）甲每天改建100米，乙每天改建50米（2）甲30天，乙25天时，最低费用为25万元22.（1）21；连接OC ，证明略（2）sin ∠APC=53（3）MQ NQ 53+=563623.解：（1）223212+--=x x y（2）△过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，∴BNE DME ∽△△∴BN DM BE DE S S ==21,设⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22321,D 2a a a ， ∴⎪⎭⎫⎝⎛+221,M a a ，∴54)2(51252212221++-=--==a aa BN DM S S ，∴最大值为54.②在OA 上取一点P 使得PA=PC ，设OP=m ，则PC=PA=4-m ，在Rt △PCO 中，由勾股定理得：（4-m ）2=m 2+22，解得m=23，∴tan ∠CPO=34，过D 做x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 延长线于G ，情况一：∠DCF =2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴∠CDG=∠BAC ，∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=21，即21DR RC =，设⎪⎭⎫⎝⎛+--22321,D 2a a a ，∴DR=—a ，RC=a a 23212--，代入得，a 1=0，a 2=—2，∴x D =—2情况二：∠FDC =2∠BAC ，∴tan ∠FDC=34，设FC=4k ，DF=3k ，DC=5k ， ∵tan ∠DGC=213=FG k ，∴FG=6k ，CG=2k ，DG=k 53， ∴RC=k 552，RG=k 554，DR=k k k 551155453=-，∴aa a k k23215525511RC DR 2---==，∴a 1=0(舍去)，a 2=1129-， 综上所述：点D 的横坐标为—2或1129-.。
广东省深圳市育才教育集团育才三中2020—2021学年九年级上学期10月月考数学试题
广东省深圳市育才教育集团育才三中2020—2021学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A．1．24米9．当a≠0时，函数A．．．．．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）三、解答题17．解下列方程：(1)29x =(2)()()22x x x +=+(3)2640x x --=(4)26x x +=18．如图，ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为()0,3A ，()3,4B ，()2,2C （网格中每个正方形的边长是1个单位长度）(1)以点B 为位似中心，在网格内画出''A BC ，使''A BC 与ABC 位似，且位似比为2：1，则点'C 的坐标是________．(2)''A BC 的面积是________平方单位．(3)在x 轴上找出点P ，使得点P 到B 与点'A 距离之和最小，请直接写出P 点的坐标________．19．在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，这三个球只有颜色不同．(1)从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋，搅匀，再摸出一个球，记录下颜色，利用树状图或表格求摸出两个球的颜色是“一红一黄”的概率．(2)从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，求摸出两个球的颜色是“一红一黄”的概率．20．如图，在□ABCD 中，点E 是边CD 的中点，连接BE 并延长，交AD 延长线于点F ，连接BD 、CF .（1）求证：△CEB ≌△DEF ；（2）若AB =BF ，试判断四边形BCFD 的形状，并证明．21．新兴商场经营某种儿童益智玩具．已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？22．如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B、C两端点），连接AE，作AED B∠=∠，交线段AB于点D．△∽△(1)求证：BDE CEA(2)设BE x=，AD y=，请求y与x之间的函数关系式．(3)E点在运动的过程中，ADEV能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．。
广东省深圳市南山区南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)
南外集团华侨城中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，质地均匀的转盘被平均分成了6份，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为（ ）A．B．C．D．3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝7D．（x+2）2＝7 6．若，则的值为（ ）A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（ ）A．B．C．D．48．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800C．54×38﹣54x﹣38x＝1800D．54x+38x＝18009．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）A．3B．C．D．410．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（ ）A．①②③④B．①②③C．①②D．②二．填空题（每题3分，共15分）11．分解因式：2ab2﹣8a＝ ．12．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 ．13．设m是方程x2﹣x+2023＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 ．14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 ．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 ．三．解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）2x2+3x﹣5＝0；（2）x2﹣4x﹣12＝0．17．（6分）先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．18．（6分）为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．（1）参加这次调查的学生总人数为 人；类别C所对应扇形的圆心角度数为 °；（2）请补全条形统计图；（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．19．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．（1）求证：四边形EFCG是菱形；（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．20．（8分）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？21．（9分）阅读材料：x4﹣6x2+5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是方程变为y2﹣6y+5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，x＝±1，当y＝5时，x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c＝4，两直角边a，b满足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周长和面积．22．（10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ．A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论： ； ．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．故选：D．2．如图，质地均匀的转盘被平均分成了6份，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵质地均匀的转盘被平均分成了6份，即转盘被分成6个相同的扇形，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，其中红色的有2个扇形，∴转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为＝．故选：C．3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分【解答】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故选：A．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝7D．（x+2）2＝7【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7．故选：C．6．若，则的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴设a＝2k，b＝9k（k≠0），∴，故选：A．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（ ）A．B．C．D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵DH⊥BC，∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD，即5DH＝×8×6，解得：DH＝，故选：C．8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800C．54×38﹣54x﹣38x＝1800D．54x+38x＝1800【解答】解：设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长（54﹣x）米，宽为（38﹣x）米的矩形，依题意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800．故选：A．9．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）A．3B．C．D．4【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG＝112.5°④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（ ）A．①②③④B．①②③C．①②D．②【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB ＝45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，在RT△ADE和RT△GDE中，，∴RT△AED≌RT△GED（HL），故②正确；∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，∴AE＝AF＝EG，又∵∠H＝∠DBC＝∠DAC＝45°，∴GH∥AC，∴四边形AEGF是菱形，故①正确；∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确；∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝HE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④错误．故选：B．二．填空题（共5小题）11．分解因式：2ab2﹣8a＝ 2a（b+2）（b﹣2） ．【解答】解：2ab2﹣8a，＝2a（b2﹣4），＝2a（b+2）（b﹣2）．故答案为：2a（b+2）（b﹣2）．12．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 12 ．【解答】解：根据题意知×100%＝20%，解得a＝12，经检验：a＝12是原分式方程的解，所以推算出a的值大约是12，故答案为：12．13．设m是方程x2﹣x+2023＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 ﹣2022 ．【解答】解：由题意知，m2﹣m+2023＝0，∴m2﹣m＝﹣2023，∴m2﹣m+1＝﹣2022，故答案为：﹣2022．14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝28 ．【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝28，故答案为：x（x﹣1）＝28．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 3 ．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝4，∵NB′＝NA′，∴CN＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，∴MN≤CN+CM＝3，∴MN的最大值为3，故答案为3．三．解答题（共8小题）16．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝2；（2）x2﹣4x+8＝0．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+3x﹣6＝0，这里a＝2，b＝3，c＝﹣6，∵Δ＝b2﹣4ac＝9+48＝57＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（2）方程整理得：x2﹣4x＝﹣8，配方得：x2﹣4x+4＝﹣4，即（x﹣2）2＝﹣4＜0，∴此方程无解．17．先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]×，＝2x+8，由分式有意义可得x≠﹣2、0或2，当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）+8＝6．18．为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．（1）参加这次调查的学生总人数为 40 人；类别C所对应扇形的圆心角度数为 54 °；（2）请补全条形统计图；（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为20÷50%＝40（人）．类别C的人数为40﹣20﹣10﹣4＝6（人），类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝54°．故答案为：40；54．（2）补全条形统计图如图所示．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好都是男生的结果有6种，∴所选取的2名学生恰好都是男生的概率为＝．19．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．（1）求证：四边形EFCG是菱形；（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．【解答】（1）证明：∵将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，∴∠CFD＝∠EFD，CF＝EF，CG＝EG，∵EG∥BC，∴∠EGF＝∠CFD，∴∠EGF＝∠EFD，∴EG＝EF，∴EG＝EF＝CF＝CG，∴四边形EFCG是菱形；（2）解：∵∠A＝∠B，∴四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵AB＝5，BC＝4，∴AE＝3，∴BE＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴22+BF2＝（4﹣BF）2，解得BF＝，∴EF＝，设点B到直线EF的距离为h，∴＝，解得h＝，∴点B到直线EF的距离为．20．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？【解答】解：（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：2000（1+x）2＝12500，解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合题意舍去），答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，需要成本为w元，依据题意可得：a≤3（100﹣a），解得：a≤75，w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴当a的值增大时，w的值减小，∵a为整数，∴当a＝75时，w取最小值，此时100﹣75＝25，w＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．21．（9分）阅读材料：x4﹣6x2+5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是方程变为y2﹣6y+5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，x＝±1，当y＝5时，x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c＝4，两直角边a，b满足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周长和面积．【解答】解：（1）解：设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a﹣12＝0，解得a＝﹣2或6，当a＝﹣2时，x2﹣x+2＝0Δ＝（﹣1）2﹣8＝﹣7＜0，此方程无实数根，当a＝6时，即x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2∴原方程有两个根x1＝3，x2＝﹣2．（2）设x＝a+b，则原方程为x2﹣7x+10＝0，解得：x＝2或x＝5，即a+b＝2，a+b＝5，由斜边c＝4，舍去a+b＝2，Rt△ABC的周长为4+5＝9；由勾股定理得a2+b2＝42，则（a+b）2﹣2ab＝16解得：ab＝，因此Rt△ABC的面积＝ab＝．22．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 D ．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论： ①AC＝BD ； ②AC⊥BD ．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．【解答】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D；性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；理由如下：如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，∴AC⊥BD，AC＝BD，故答案为：AC⊥BD，AC＝BD；问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE 交AB于P，连接BG交CE于K，∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，∴MN∥BG，MN＝BG，RL∥BG，RL＝BG，RN∥CE，RN＝CE，ML∥CE，ML＝CE，∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML∥CE，RN＝ML，∴四边形MNRL是平行四边形，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°，又∵∠BAC＝∠BAC，∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG，又∵RL＝BG，RN＝CE，∴RL＝RN，∴▱MNRL是菱形，∵∠EAB＝90°，∴∠AEP+∠APE＝90°．又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，∴∠ABG+∠BPK＝90°，∴∠BKP＝90°，又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN＝90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：（1）MN＝AC，理由如下：如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形，∴FM＝FN，∠MFN＝90°，∴MN＝＝＝FM，∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM＝AC，∴MN＝AC；（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，∴2（OM+ON）最小＝2MN，由性质探究②知：AC⊥BD，又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB＝2OM，CD＝2ON，∴2（OM+ON）＝AB+CD，∴（AB+CD）最小＝2MN，由拓展应用（1）知：MN＝AC；又∵AC＝2，∴MN＝，∴（AB+CD）最小＝2．。
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南山区育才二中2020-2021学年第一学期九年级10月月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．235x x -＝ B ．(3)(2)(2)x x x x -+-＝
C ．1
x x
＝
D ．20ax bx c ++＝(a 、b 、c 为常数)
2．若
223x y y -＝，则y
x
的值为（ ）
A ．56-
B ．
16
C ．
65
D ．2
3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸出第二个球，
这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）
A ．
16
B ．
29 C ．13
D ．
23
4．下列命题中，正确的是（ ） A ．所有的等腰三角形都相似 B ．所有的菱形都相似
C ．所有的等边三角形都相似
D ．所有的矩形都相似
5．关于x 的一元二次方程22(2)40a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2±
D ．0
6．点C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC )，若AB ＝2，则AC 的长为（ ）
A ．51-
B ．35-
C ．
51
2
- D ．0.618
7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数
相同，则平均每月的增长率为（ ）
A ．10%
B ．15%
C ．20%
D ．25%
8．顺次连接菱形各边中点得到新的四边形 ，它的形状是（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
9．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE //BD ，且交AB 于点
E ，G
F //AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ） A ．AB AE ＝A
G AD B ．DF CF ＝DG AD
C ．FG AC ＝EG BD
F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．如图，矩形ABCD中，点O是对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E．若OD＝2OE，AE 则DE的长为（）
12．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ⋅AC，其中正确的结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为______．14．关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是______．
15．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝______．
16．如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线
BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB，则BE的最小值为________．
三、解答题（共52分）
17．解下列方程：（1）256x x -= （2）2310x ++=
18．在一个不透明的口袋中放有4个完全相同的小球，他们分别标有数字−1，2，3，5．小明先随机
摸出一个小球，记下数字为x ；小强再随机摸出一个小球，记下数字为y ．小明小强共同商议游戏规则为：当x ＞y 时小明获胜，否则小强获胜．
（1）若小明摸出的球不放回，请用列表或画树状图的方法求小明获胜的概率；
（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，请问这个游戏规则是公平的吗?请说明理由．
19．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光
线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝12米，求该古城墙的高度CD ．
20．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天
的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书___本(用含x 的代数式表示)；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元?
21．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点
(不与点A 重合)，延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形； （2）当AM 的为何值时，四边形AMDN 是菱形?
22．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
23．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题
17．（1）18x =，27x =-
（2）x 1=2x ＝18．（1）12
（2）不公平，P （小明）＝38
，P （小强）＝58
19．证△ABP ∽△CDP ，CD=8米 20．（1）30010x - （2）每本书应涨价5元
21．（1）证△NDE ≌△MAE(AAS)，证明略 （2）当AM=2时，四边形AMDN 是菱形 22．（1）证明略
（2）23．（1）t=
107
s （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ，证△APH ∽△ABC ,2335
y t t =-+； （3）不存在；
（4）过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，证△PBN ∽△ABC ，菱形的边长为
9。