四川省绵阳市高中高二上学期期末测试(数学)
四川省绵阳市高中高二上学期期末测试（数学）
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x = 1的倾斜角为
A ．0
B ．4π
C ．2π
D ．不存在
2．若a ＜b ＜0，则下列不等关系中，不成立的是
A ．︱a ︱＞︱b ︱
B ．a2＞b2
C ．a b a 11>-
D ．
b a 11> 3．不等式0912>--x x 的解集为
A ．（－3，1）
B ．（3，+∞）
C ．（－∞，－3）∪（1，+∞）
D ．（－3，1）∪（3，+∞） 4．两条直线x +（1 + m ）y + m －2 = 0与mx + 2y + 8 = 0平行的充要条件是
A ．m = 1或－2
B ．m = 1
C ．m =－2
D ．32=m
5．若双曲线122
22=-b y a x （a ，b ＞0）的渐近线与圆x2 +（y －3）2 = 3相切，则双曲线的离心率为
A ．3
B ．5
C ．2
D ．3
6．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥+,0,
42,2y x y x y x 则z = 2x + 3y 的最小值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．不存在
7．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不恒成立的是
A ．
)11)((b a b a ++≥4 B ．a3 + b3≥a2b + ab2 C ．a2 + b2 + 2≥2a + 2b D ．||b a -≥b a +
8．若211
1=-+n n C ，则n x x )12(-的展开式中的常数项为
A ．
B ．160
C ．－
D ．－160
9．过x 轴上一点P （－2，0）向抛物线y2 = 4x 作切线，则切线的斜率为
A ．±223
B ．±2
C ．±22
D ．±21
10．某车间甲组有10名工人，其中女工4名；乙组有5名工人，其中女工3名．现要从甲组中抽取2名
工人，乙组中抽取1名工人共3人进行技能测试，则3人中恰好有1名男工人的不同抽法种数是
A ．84
B ．108
C ．168
D ．196
11．直线l1：kx + y = 1与直线l2：x －ky = 1的交点的轨迹是
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
12．设椭圆1222
=+y x 上一点P 与原点O 的距离为︱OP ︱= r1，OP 的倾斜角为θ，将射线OP 绕原点O 逆
时针旋转90︒后与椭圆相交于点Q ，若︱OQ ︱= r2，则r1r2 的最小值为
A ．32
B ．34
C ．2
D ．2
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上．
2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上．
13．若关于x 的不等式01>++x a x 的解集为（－∞，－1）∪（4，+∞），则a = ．
14．已知双曲线9y2－mx2 = 1（m ＞0）的一个顶点到相应准线（最近的一条）的距离为151
，则m = ．
15．记者准备为5名志愿者和志愿者帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有种．（用数字作答）．
16．已知x，y满足：x2 + y2－2ax + 2（a－2）y + 2 = 0，a∈R．
给出以下说法：
①无论a为何值，该方程均可表示半径不为0的圆；
②无论a为何值，该方程所表示的曲线恒过定点；
③若该方程表示圆，则该圆的圆心一定在某条定直线上；
④若该方程表示圆，则不存在恒与圆相切的定直线．
以上说法正确的有．
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解关于x的不等式：x︱x－2︱≤3．
2的弦所在的直线方程．
18．已知⊙O：x2 + y2 = 4，求过点M（1，2）且长度为3
19．如图，边长为23的正三角形OAB
（1）试说明y轴是正三角形OAB的一条对称轴；
（2）求抛物线的方程．
中心在原点的椭圆的焦点坐标为F1（－1，0），F2（1，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离分别为1和3．（1）求椭圆的标准方程及点P的坐标；
（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，以AB为直径的圆恰好经过F1，求直线l的斜率．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．
CCDB ABDD CAAB
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．
13．－4 14．16 15．960 16．②③
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
三、解答题
17．原不等式可化为 ⎩⎨
⎧≤-≥,3)2(,2x x x 或
⎩⎨⎧≤--<,3)2(,2x x x …………………… 4分 所以 ⎩⎨
⎧≤-+≥,0)3)(1(,2x x x 或
⎩⎨⎧≥+-<,02)1(,22x x …………………… 7分
解得 2≤x ≤3 或 x ＜2， 因此原不等式的解集为x ≤3． …………………… 10分
18．∵ 弦长= 222d r -，∴ 24232d -=，得圆心到直线的距离d = 1．
（1）若直线的斜率k 存在，则设方程为y －2= k （x －1），即kx －y +2－k = 0． 由点到直线的距离公式，得11|2|2=+-=
k k d ，解得42=k ， 此时的直线方程为2x －4y + 32= 0． …………………… 7分
（2）若斜率k 不存在，即x = 1时满足题意． …………………… 9分 综上，所求的直线方程为2x －4y + 32= 0 或 x = 1． …………………… 10分
19．设正三角形OAB 的顶点A 、B 的坐标分别为A （x1，y1），B （x2，y2），
则 x1＜0，x2＞0，y1 = ax12，y2 = ax22．…………………… 2分
∵∣OA ∣=∣OB ∣，
∴ x12 + y12 = x22 + y22，
即 x12－x22 + a2x14－a2x24 = 0，
∴（x12－x22）[ 1 + a2（x12 + x22）] = 0．
显然 1 + a2（x12 + x22）＞0，
因此只有 x2 =－x1． …………………… 4分
由此可得 y1 = y2，即线段AB 关于y 轴对称，
说明y 轴是正三角形OAB 的一条对称轴． …………………… 6分
由∣AB ∣= 2∣x1∣= 2x2 = 23，得x2 =3；
∠AOy = 30︒，得 y1 = y2 = 3．
所以 3 = a （3）2 ，a =3．抛物线的方程为y =3x2． …………………… 10分
1）由椭圆定义知c = 1，2a = 1 + 3 = 4，∴ a = 2，b2 = 3， 从而椭圆的标准方程为1342
2=+y x ．
显然点P 为椭圆的左顶点，其坐标为 P （－2，0）． …………………… 3分
（2）若直线的斜率不存在，则l ：x = 0，l 与椭圆的交点连线即为椭圆的短轴长，此时∠AF1B = 1不满足． …………………… 4分
若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + 1，点A （x1，y1），B （x2，y2）． 联立椭圆方程1342
2=+y x 和直线方程y = kx + 1，
消去y ，得（3 + 4k2）x2 + 8kx －8 = 0，
由韦达定理，得 x1 + x2 =2438k k +-
，x1x2 =2438k +-． …………………… 6分 ∵ 以AB 为直径的圆恰好经过F1，则AF1⊥BF1，
∴ B F A F 11⋅=（x1 + 1，y1）·（x2 + 1，y2）=（x1 + 1）（x2 + 1）+ y1y2 = 0，
即 x1x2 +（x1 + x2）+ y1y2 + 1 = 0．
又 ∵ A （x1，y1），B （x2，y2）在直线l 上，于是 y1y2 = k2 x1x2 + k （x1 + x2）+ 1，
∴ （1 + k2）x1x2 +（1 + k ）（x1 + x2）+ 2 = 0，
即（1 + k2）（2438k +-
）+（1 + k ）（2438k k +-）+ 2 = 0，∴ 21-=k ． …………………… 10分。
四川省绵阳中学数学高二上期末经典测试题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13316]已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．812．(0分)[ID ：13314]把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320 B ．720 C ．316 D ．253．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤4．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．85．(0分)[ID ：13302]大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）A ．112B ．12C ．13D ．16 6．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ）A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．(0分)[ID ：13299]2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．638．(0分)[ID ：13292]某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ）37369．(0分)[ID ：13275]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．1010B ．2019C ．2020D ．3030 10．(0分)[ID ：13270]在R 上定义运算：A ()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 11．(0分)[ID ：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填( )A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i >12．(0分)[ID ：13254]从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）779913．(0分)[ID：13238]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（）A．12B．13C．14D．1514．(0分)[ID：13234]执行如图所示的程序框图，若输入x=9，则循环体执行的次数为（）A．1次B．2次C．3次D．4次15．(0分)[ID：13249]已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是()A．0.020B．0.018C．0.025D．0.03二、填空题16．(0分)[ID：13421]如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223⨯⨯的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．17．(0分)[ID：13405]执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是________．18．(0分)[ID：13404]运行如图所示的程序框图，则输出的所有y值之和为___________．19．(0分)[ID：13385]若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.20．(0分)[ID：13376]某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系。
四川省绵阳市高二上学期期末数学试卷(理科)
四川省绵阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A . ∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1B . ∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1C . ∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1D . ∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣12. （2分）(2016·普兰店模拟) 已知直线l1：4x﹣3y+11=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A .B . 2C .D . 33. （2分）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A . 2<k<5B . k>5C . k<2或k>5D . 以上答案均不对4. （2分）若直线l的方向向量为=（1，1，2），平面α的法向量为=（﹣3，3，﹣6），则（）A . l∥αB . l⊥αC . l⊂αD . l与α与斜交5. （2分）已知直线（）经过圆的圆心，则的最小值是（）A . 9B . 8C . 4D . 26. （2分）等差数列{an}中，首项，公差，Sn为其前n项和，则点（n，Sn）可能在下列哪条曲线上（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·沈阳模拟) 数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，，则S2017=（）A . 22018﹣1B . 22018+1C . 22017﹣1D . 22017+18. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率为,则此双曲线的方程为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·浙江文) 已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）如图PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O 的半径R=（）A . 2B . 3C .D .11. （2分）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点，O为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β其中真命题是（）A . ①和②B . ①和③C . ③和④D . ①和④二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2017·温州模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A=60°，b=1，S= ，则c=________，cosB=________．14. （1分） (2016高一上·银川期中) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论①abc ＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论是________．15. （1分）(2017高一下·泰州期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=________．16. （1分）若x，y满足不等式组，且z=2x﹣3y的最大值为13，则实数m=________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分）(2017·青浦模拟) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．18. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*），数列{bn}满足b1=， b2=，对任意n∈N* ，都有bn+12=bn•bn+2 ．求数列{an}、{bn}的通项公式.19. （5分） (2017高一下·衡水期末) 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．20. （10分） (2017高二上·太原期末) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB=45°，BC=2 ，AB=2．（1）求AC的长；（2）若PC= ，点M在侧棱PB上，且 = ，当λ为何值时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°．21. （5分）(2017·齐河模拟) 在直角坐标系中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点P为C1与C2在第一象限的交点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点，若线段OF2上存在定点T（t，0）使得以TM、TN 为邻边的四边形是菱形，求t的取值范围．22. （10分） (2017高二下·新乡期末) 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．23. （5分）解不等式|3x﹣1|＜x+2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(六)含解析
高2022级期末模拟六（答案在最后）一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，可得2(1)2110a a a +=⨯⎧⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C.2.已知22a i j k λ=-+ ，45b i j k =-+ （i ，j ，k 为两两互相垂直的单位向量），若a b ⊥ ，则λ=（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可.【详解】()()2245a b i j k i j k λ⋅=-+⋅-+()()2228251010410i j k i j i k j kλλλ=++-⋅++⋅+--⋅ ∵i ，j ，k为两两互相垂直的单位向量，∴21i = ，21j = ，21k = ，0i j ⋅= ，0i k ⋅=，0j k ⋅= ，∴825105a b λλ⋅=++=+，∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，∴1050λ+=，解得2λ=-，故选：C.3.已知椭圆221126x y +=以及椭圆内一点()1,2P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A.14-B.14C.-4D.4【答案】A 【解析】【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.【详解】设弦与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，斜率为k ，则22111126x y +=，22221126x y +=，相减得到()()()()121212120126x x x x y y y y +-+-+=，即240126k +=，解得14k =-.故选：A.4.为了了解某市参加数学竞赛的1005名高二学生的成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的可能性和每个个体被抽到的可能性分别是（）A.11,10051000 B.550,10051005C.550,10051000D.100050,10051000【答案】B 【解析】【分析】根据每个个体入样的机会均等和被剔除的机会均等可得结果.【详解】由题意可知，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的可能性为51005，每个个体被抽到的可能性为501005.故选：B.5.已知点P 是椭圆2212x y +=上的动点，PM x ⊥于点M ，若12PN NM = ，则点N 的轨迹方程为（）A.229124x y += B.22124x y +=C.224129x y += D.22129x y +=【答案】A 【解析】【分析】设00(,)P x y ，根据点在椭圆上可得22012x y +=，继而根据12PN NM = ，设(,)N x y ，求出0032x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入220012x y +=中，即可求得答案.【详解】由于点P 是椭圆2212x y +=上的动点，设00(,)P x y ，则220012x y +=，又PM x ⊥于点M ，则00(),M x ；设(,)N x y ，由12PN NM = ，得0001(,)(,)2x x y y x x y --=--，则0032x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入220012x y +=，得229124x y +=，即点N 的轨迹方程为229124x y +=，故选：A 6.若直线:(1)4l y k x =+-与曲线1x =有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A.3(,)4+∞ B.3[,1]4C.[3,)+∞D.(0,3]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定直线过定点(1,4)P --，曲线是半圆，作出图形后，由图形易得参数范围．【详解】由已知直线:(1)4l y k x =+-过定点(1,4)P --，曲线1x =是以(1,0)M 为圆心，2为半径的圆的左半部分弧 ACB，(1,2)B ，作出它们的图形，如图，直线PB 的斜率为2(4)31(1)PB k --==--，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，3k ≥，故选：C ．7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，倾斜角为π6的直线l 过右焦点2F 且与双曲线的左支交于M 点，若()11220F M F F MF +⋅=，则双曲线的离心率为（）A.312+ B.3C.5D.31+【答案】A 【解析】【分析】由向量的运算将()11220F M F F MF +⋅=转化为1212F F F M c == ，利用几何性质求得点(2,3)M c c -，代入双曲线方程得,,a b c 的等量关系，求解离心率即可.【详解】因为()()()1122112121F M F F MF F M F F F F F M+⋅=+⋅-22221211210F F F M F F F M =-=-= ，所以1212F F F M c ==，则1212F F M F MF ∠=∠，过M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由题意知12π6F F M ∠=，则12π6F MF ∠=，故1π3MF H ∠=，在1Rt MHF 中，13123,222MH c c F H c c =⨯==⨯=，故(2,3)M c c -，又点M 在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上，则2222431c c a b-=，将222b c a =-代入整理得4224480c a c a -+=，则424810e e -+=，解得)221224e ++==，且1e >，解得12e =，故双曲线的离心率为12+.故选：A.8.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（）A.3B.45C.5D.56【答案】C 【解析】【分析】根据124AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=︒，再结合124AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，由124AF BF =，得12//AF BF ，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，由梯形12AF F B 的高为c ，得2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则有1230PF F ∠=︒，1230AF F ∠=︒，在12AF F △中，设1AF x =，则22AF a x =-，22221121122cos30AF AF F F AF F F =+-︒，即()22224a x x c -=+-，解得2132AF x ==，在12BF F △中，21150BF F ∠=︒，同理222BF =，又124AF BF =32432a c +=，即32a c =，所以离心率5c e a ==.故选：C二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.设A B ､为两个互斥的事件，且()()0,0P A P B >>，则（）A.()0P AB =B.()()()P AB P A P B =C.()1P A B =D.()()()P A B P A P B =+ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.【详解】因为A B ､为两个互斥的事件，且()()0,0P A P B >>，所以A B ⋂=∅,即()0P AB =，故A 正确，B 错误；因为A B ､为两个互斥的事件，所以()()()(()1()1()1P A B P A P B P AB P A P B P A B ⎡⎤⋃=+-=-+---⎣⎦()1()()1()()()()1P A P B P A B P A P B P A P B =--+=--++= ，故C 正确；因为A B ､为两个互斥的事件，所以()()()P A B P A P B =+ ，故D 正确，故选：ACD .10.若{},,AB AC AD构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（）A.存在,x y ∈R ，使得AB x AC y AD =+B.{},,BC CD AB也构成空间的一个基底C.若AP AB AC AD =++，则直线AP 与BD 异面D.若AP AB AC AD =-+，则P ，B ，C ，D 四点共面【答案】BCD 【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断A,B 选项，再由共线向量基本性质及{},,AB AC AD为一组基底判断出C 、D.【详解】由题意知，,,AB AC AD三向量不共面，所以A 错误；若,,BC CD AB三向量共面，则有()()AB xBC yCD x AC AB y AD AC =+=-+- ，化简有：()()10x AB x y AC y AD --+-+= ，因为,,AB AC AD 不共面，则1000x x y y --=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，无解，故三向量,,BC CD AB 不共面，能够构成一组基底，故B 正确；若AP 与BD 共面，则有AP mAB nAD =+，则有()()110m AB AC n AD -++-= ，与题意矛盾，故C 正确；若AP AB AC AD =-+ ，化简有AP AB AC AD -=-+ ，则有BP CD =，所以四点共面，故D 正确．故选：BCD11.已知抛物线2:2C x py =的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B两点，点12⎫⎪⎭在抛物线上．则（）A.1p = B.当AB y ⊥轴时，||4AB =C.11||||AF BF +为定值1 D.若2AF FB = ，则直线AB的斜率为4±【答案】BCD【解析】【分析】将点12⎫⎪⎭代入可判断A ；求出焦点可判断B ；设直线AB 的方程为1y kx =+，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D.【详解】对于选项A，将点12⎫⎪⎭代入抛物线方程，可得2p =，故选项A 错误；对于选项B ，焦点(0,1)F ，点(2,1)在抛物线上，可得||4AB =，故选项B 正确；对于选项C ，设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 后整理为2440x kx --=，可得()2121212124,4,242,x x k x x y y k x x k +==-+=++=+221212121,||1,||116x x y y AF y BF y ===+=+，有1212121212121111221||||1112y y y y AF BF y y y y y y y y +++++=+===+++++++，故选项C 正确；对于选项D ，有()()1122,12,1x y x y --=-，可得212x x =-，由1212214,4,2,x x k x x x x +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩有2224,24,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得4k =±，故选项D 正确．故选：BCD12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B两点，A 在第一象限，若1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（）A.双曲线CB.12AF F △的面积为2C.12AF F △内切圆半径为1)a - D.12BF F △的内心在直线x a =±上【答案】BD 【解析】【分析】按照AB 两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A ；结合三角形面积公式可判断B ；利用等面积法可判断C ；由双曲线的定义结合切线长定理可判断D.【详解】△1ABF 为等边三角形,若,A B 在同一支，由对称性知AB x ⊥轴，2(,b A c a ，2tan 302b a c∴=，23b ac =.22211+3b e e a ∴=+=,e =1222222123233AF F b b c S c a a a =⨯⨯====△,设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a +=，解得)1r a =；因为e =，则可得223c a =，222b a =，222b BF a a ==，14BF a =，则内切圆半径2242c a ar a c +-==-，故内心的横坐标为()c c a a --=，内心在直线x a =上.若,A B 分别在左右两支，则2112,4F A a F A F B AB a ====，则2221241641cos 2242a a c F AF a a +-==-⨯⨯，解得c =，离心率e =，122124sin1202AF F S a a =⨯⨯= △，设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a +=，解得r =；设12BF F △的内心为I ，作过I 作1212,,BF BF F F 的垂线，垂足分别为,,H G P ，则12122F P F P F B F B a -=-=，又122F P F P c +=，则1F P c a =-所以OP a =，所以12BF F △的内心在直线x a =-上；所以结论一定正确的是BD.故选：BD .三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知()()2,2,1,1,0,0a b == ，则a 在b上的投影向量的坐标为_____.【答案】()2,0,0【解析】【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得a 在b上的投影向量的坐标.【详解】已知空间向量()2,2,1a =和()1,0,0b = ，则a 在b上的投影向量为cos ,b a b ba ab a b a b b⋅=()22211,0,01a b b b⋅⨯== ()2,0,0=.故答案为：()2,0,0.14.如图，由X 到Y 的电路中有4个元件，分别为A ，B ，C ，D ，若A ，B ，C ，D 能正常工作的概率都是12，记N =“X 到Y 的电路是通路”，求()P N ______.【答案】1116【解析】【分析】由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设1N =“D 正常工作”，2N =“D 没有正常工作，A 正常工作，且,B C 中至少有一个正常工作”由于“X 到Y 的电路是通路”等价于“D 正常工作”或“D 没有正常工作，A 正常工作，且,B C 中至少有一个正常工作”，即12N N N =⋃()112P N =，()21111311222216P N ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于事件12,N N 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得()()121311.21616P N P N N =⋃=+=故答案为：111615.已知圆O ：229x y +=，过点()2,4--作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程是________．【答案】2490x y ++=【解析】【分析】设()2,4M --，根据题意确定出,,,O A M B 四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果.【详解】设()2,4M --，如下图，因为,AM BM 为圆O 的切线，所以90OAM OBM ∠=∠=︒，所以180AOB AMB ∠+∠=︒，所以,,,O A M B 四点共圆，且OM 为圆的直径，记OM 的中点为N ，因为()2,4M --，所以()111,2,22N ON OM --===，所以经过,,,O A M B 四点的圆的方程为()()22:125N x y +++=，显然()()22:125N x y +++=与22:9O x y +=的相交弦为AB ，所以AB 所在直线的方程为()()()22221259x y x y +++-+=-，即为2490x y ++=，故答案为：2490x y ++=.16.已知点()6,0A ，点P 在抛物线216y x =上运动，点B 在曲线()2241x y -+=上运动，则2PA PB 的最小值是___________．【答案】6-【解析】【分析】由抛物线的定义转化后求解【详解】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，设P 点坐标(,)x y ，则||4PF x =+22222||(6)(6)16436PA x y x x x x =-+=-+=++，由题意当||||15PB PF x =+=+时，225436P P x B x A x +=++，令5x t +=，则5x t =-，222(5)4(5)36466141PA t t t PB t t t tt -++=+=+--=，由基本不等式知41t t+≥t =时等号成立故2PA PB 的最小值为6-．故答案为：6-四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）71.7（3）25【解析】【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得a ，b ；（2）直接第60百分位数即可；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．【小问1详解】因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.0450.020)100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =；【小问2详解】前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈；【小问3详解】第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a ，b ，c ，d ，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e ，()()(),,,,,c d c e d e 共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=．18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，E 是PC 的中点，222AD AB BC ===，PA m =.（1）证明：CD ⊥平面PAC ；（2）若二面角E AD C --的平面角的大小为π4，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，,,PA AB AD 两两垂直，建立空间直角坐标系，得到0AP CD ⋅= ，110AC CD ⋅=-+= ，从而得到线面垂直；（2）求出平面的法向量，由二面角大小得到方程，求出1m =，从而求出体积.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,0,0,,1,1,0,0,2,0,,,222m A P m C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()0,0,,1,1,0,1,1,0AP m AC CD ===-，0AP CD ⋅= ，110AC CD ⋅=-+= ，∴CD ⊥PA ，CD ⊥AC ，∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A = ，∴CD ⊥平面PAC ；【小问2详解】()0,2,0AD = ，11,,222m AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面AED 的法向量为(),,a x y z = ，则()()(),,0,2,0201111,,,,0222222a AD x y z y m m a AE x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得0y =，令1z =，则x m =-，则(),0,1a m =- ，平面ACD 的法向量为()0,0,1b = ，故cos ,2a b a b a b ⋅===⋅ ，解得1m =，负值舍去，四棱锥P ABCD -的体积为()111121322⨯+⨯=.19.第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12，13，14，通过初赛后再通过决赛的概率均为12，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．【答案】（1）2324（2）1192（3）14【解析】【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率；（3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；【小问1详解】由题意可得：3人全通过初赛的概率为111123424⨯⨯=，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为12312424-=；【小问2详解】甲参加市知识竞赛的概率为111224⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111326⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为111428⨯=，所以这3人都参加市知识竞赛的概率为1111468192P =⨯⨯=；【小问3详解】由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件A ，则()11111111111112342342344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+⨯-⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆C 上任意一点P （x ，y ）到点F （－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，A （2，0），记直线AM ，AN 的斜率分别为k AM ，k AN ，且满足k AM ·k AN =－1．证明：直线l 过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分别求出点P 到点F 的距离PF 和到直线x =－4的距离,然后由根据条件得到方程，化简即可得到答案.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示出k AM ·k AN =－1，将韦达定理代入，得出,k m 的关系，得到答案，再验证直线l 的斜率不存在的情况.【小问1详解】因为点P （x ，y ）到点F （－1，0）的距离为PF ==，点P （x ，y ）到直线x =－4的距离()44d x x =--=+，12=⇒4（x 2+2x +1+y 2）=x 2+8x +16⇒3x 2+4y 2=12，因此，可得椭圆C 的标准方程为22143x y +=．【小问2详解】①当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩消去y ，得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2－12=0，则∆=48（4k 2+3－m 2）＞0，122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，于是1212121212222AM AN y y kx m kx m k k x x x x ++⋅=⋅=⋅=-----，即（kx 1+m ）（kx 2+m ）+（x 1－2）（x 2－2）=0，即（k 2+1）x 1x 2+（km －2）（x 1+x 2）+（m 2+4）=0，化简，得4k 2+16km +7m 2=（2k +m ）（2k +7m ）=0．（i ）当2k +m =0时，直线为y =kx －2k ，过点（2，0），舍去；（ii ）当2k +7m =0时，直线为27y kx k =-，过点（27，0）．②当直线l 的斜率不存在时，x =27，经检验，符合题意．综上，则直线l 过定点R （27，0）．21.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）2,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，652MB =所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P 横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．22.如图，圆锥的底面圆上有,,,A B C D 四点，四边形ABCD 是正方形，且=2AC ，点E 在线段AG 上，若14A BDE G ABCD V V --=．（1）证明：GC ∥平面EDB ；（2）若ACG 为等边三角形，点F 在劣弧 AB 上运动，记GF 与平面EDB 所成的角为α，求cos α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）134【解析】【分析】（1）根据14A BDE G ABCD V V --=推出12AE AG =，设,AC BD 的交点为O ，从而得EO GC ∥，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面EDB 的一个法向量；法一：设()πcos ,sin ,002F θθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案；法二：设()(),,001,01F x y x y ≤≤≤≤且221x y +=，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】∵四边形ABCD 为正方形，2D ABCD AB S S ∴= 四边形，设,E G 到底面的距离分别为12,h h ，则14A BDE G ABCD V V --=即12111343ABD ABCD S h S h ⋅⋅=⨯⋅⋅ 四边形，即121112343h h =⨯⨯，所以1212h h =，即12AE AG =．设,AC BD 的交点为O ，所以12AO AC =，即12AO AE AC AG ==，连接EO ，则EO GC ∥.，EO ⊂平面,EBD GC ⊄面EBD ，所以//GC 面EBD ．【小问2详解】连接OG ，则OG ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，,,OA OB OG的方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由于ACG 为等边三角形，=2AC ，则3OG =()()()(()0,0,0,0,1,0,0,1,0,3,1,0,0O B D G A -因为12AE AG =，所以由12AE AG = 可得：13,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()130,2,0,,1,22DB BE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n DB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴2013022y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，所以可取()3,0,1n =-法一：设()πcos ,sin ,002F θθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则(cos ,sin ,GF θθ= ，∴sin cos ,4GF n α== ，当且仅当π2θ=，即F 与B 重合时取等号．所以sin α的最小值为4．cos α=法二：设()(),,001,01F x y x y ≤≤≤≤且221x y +=，则(,,GF x y = ，∴sin cos ,4n α=== ，当且仅当0x =，即F 与B 重合时取等号．。
四川省绵阳市高中2020至2021学年第一学期高二期末教学质量测试理科数学试题
绵阳市高中2020-2021学年第一学期高二期末教学质量测试数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的 是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．（ ）A ．割圆术B ．勾股定理C ．大衍求一术D ．辗转相除法 2、在极坐标系中，极坐标方程4sin ρθ=表示的曲线是（ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．抛物线 3、直线l 的方程为3310x y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 4、下列关于统计的说法正确的是（ ）A ．一组数据只能有一个众数B ．一组数据可以有两个中位数C ．一组数据的方差一定是非负数D ．一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化5、有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．至少有1件次品与都是正品C ．至少有1件次品与至少有1件正品D ．恰有1件次品与恰有2件正品6、某市要对辖区内的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200名教师，已知抽到的教师年龄都在[)25,50岁之间，根据调查结果得出教师的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（ ） A ．37.1岁 B ．38.1岁 C ．38.7岁 D ．43.1岁7、执行右图的程序框图，任意输入一次x （x ∈Z ，22x -≤≤）与y （y ∈Z ，22y -≤≤），则能输出数对(),x y 的概率为（ ） A ．725 B ．825 C ．925 D ．258、已知O 为坐标原点，F 为抛物线C:246y x =的焦点，P 为C 上一点，若F ∆PO 的面积为63，则F P =（ ）A ．23B ．43C ．46D ．83 9、若方程212x x m -=+有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)[)3,02,⎡-+∞⎣B ．)(3,00,3⎡⎤-⎣⎦C ．([),32,⎤-∞-+∞⎦D ．(][),22,-∞-+∞10、已知点P 是椭圆221135x y +=（0x ≠，0y ≠）上的动点，1F ，2F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是以线段1F P 为直径的圆上一点，且M 到12F F ∠P 两边的距离相等，则OM 的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．()0,22 C ．)5,13⎡⎣D ．()3,25二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11、设()3,2,1A ，()1,0,5B ，则AB 的中点M 的坐标为 ． 12、右面算法最后输出的结果是 ．13、质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750件进行分层抽样检查，抽检员制作了如下的统计表格：表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用1x ，2x ，3x ，4x 表示），若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多6，则根据以上信息可求得丙商品数量2x 的值为 ．14、已知1F 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点，以线段1F O 为边作正三角形1F OM ，若顶点M 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ．15、已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）及内部面积为S ab π=，1A ，2A 是长轴的两个顶点，1B ，2B 是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点P ，给出下列命题： ①12∆PA A 为钝角三角形的概率为1；②12∆PB B 为钝角三角形的概率为ba； ③12∆PA A 为钝角三角形的概率为b a ； ④12∆PB B 为锐角三角形的概率为a b a-． 其中正确的命题有 ．（填上你认为所有正确的命题序号）三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、直线l 经过两直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且与直线1:l 60x y +-=平行．()1求直线l 的方程；()2若点(),1a P 到直线l 的距离与直线1l 到直线l 的距离相等，求实数a 的值．17、甲、乙两个竞赛队都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）： 甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53 乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66()1根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数；()2如果从甲、乙两队的10场得分中，各随机抽取一场不小于50分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．18、已知圆C:22230x y x ++-=．()1求过点()1,3P 且与圆C 相切的直线方程；()2问是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直线的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．19、已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()F 1,0-，O 为坐标原点，点G 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，过点F 的直线l 交椭圆于不同的两点A 、B ． ()1求椭圆C 的方程；()2求弦AB 的中点M 的轨迹方程；()3设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，P 为x 轴上一点，若PA 、PB是菱形的两条邻边，求点P 横坐标的取值范围．绵阳市高中2020-2021学年第一学期高二期末教学质量测试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1~5 AADCD 6~10 BCCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．(2，1，3) 12．18 13．180 14．13+ 15．①②④ 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）补全的茎叶图如右．甲队乙队 9 30 4 0 9 5 3 1 0 4 7 6 7 3 2 1 5 067 6 4 63分乙队的中位数为(47+50)÷2=48.5分． ………………………………………………4分 （2）甲队中得分不小于50分的有4场，乙队中得分不小于50分的有5场， ∴ 各从中抽取一场进行比较，共有20种情况．……………………………………7分 其中，甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为50的情况，共4种情况． ∴ 所求的概率为51204=． …………………………………………………………10分 18．解：（1）圆C 的方程可化为(x +1)2+y 2=4，即圆心为(-1，0)，半径为r =2.若过点P 的直线斜率不存在，即x =1，与圆C 相切，满足条件；………………1分 若过点P 的切线斜率存在，设为k ，则切线的方程为y -3=k (x -1)，即kx -y -k +3=0，∴21302=++---k k k ，解得k =125. ∴ 切线方程为5x -12y +31=0．综上，所求的切线方程为x =1或5x -12y +31=0．……………………………………4分19．解：（1）由题意有a 2-b 2=1，且2222()121a +=， 解得a 2=2，b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为2212x y +=．……………………………………………………2分（2）设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221x x x +=，221y y y += 当x 1=x 2时，M 点的坐标为(-1，0)． 当x 1≠x 2时，∵ 221112x y +=，222212x y +=，两式相减得))((2))((21212121y y y y x x x x -+-=-+，∴2121222x x yy y x ---=⋅．又AB 过F 点，于是AB 的斜率为12121+-=--x y x x y y ，∴y x2=1+-x y ， 整理得x 2+2y 2+x =0． ∵ (-1，0)也满足上式，∴ M 的轨迹方程为x 2+2y 2+x =0．……………………………………………………6分 （3）设P (m ，0)，AB 的中点M (a ，b )， 由（2）知，a 2+2b 2+a =0. ① ∵ |PA |=|PB |， ∴ PM ⊥AB ． ∴ k AB ·k MP =-1，即11-=-⋅+ma ba b ， 整理得b 2=-a 2-a +am +m ，② 将②代入①中，得a 2+a -2am -2m =0， 化为 (a +1)(a -2m )=0， ∵ a ≠-1， ∴ m =2a ． 由2b 2=-a 2-a >0(当b =0时，AB 与x 轴垂直，不合题意，舍去)，得-1<a <0， 于是12-<m <0，即P 点的横坐标的取值范围为(12-，0)．………………………10分。
绵阳市高二上学期期末模拟 数学试题(含解析)
绵阳市高二上学期期末模拟数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()1,2,3-关于z 轴的对称点坐标为（ ） A ．()1,2,3---B ．()1,2,3C ．()1,2,3--D ．()1,2,3--2．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．210x y +-= D ．210x y ++=3．给出下列说法：①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1； ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是（ ） A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④4．某单位共有职工300名，其中高级职称90人，中级职称180人，初级职称30人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为（ ） A ．6B ．9C ．18D ．365．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．32C ．53D ．856．直线34250x y +-=与圆2225x y +=的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交但不过圆心 C ．相离D ．相交且过圆心7．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： ①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④恰有1个白球与都是黄球． 其中互斥而不对立的事件共有（ ） A ．0组 B ．1组 C ．2组D ．3组8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，||PF 的最小值为1，且存在点P ，使得OPF △（点O 为坐标原点）为正三角形，则椭圆C 的焦距为（ ）A ．2B ．C ．D ．49．在区间[]1,1-上任选两个数x 和y ，则221x y +≥的概率为（ ） A ．14π-B ．128π- C ．18π-D ．124π-10．已知双曲线C 的一个焦点为，且渐近线方程为2y x =±，则C 的方程为（ ） A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=11．M 是抛物线2y x =上一点，N 是圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线10x y -+=的对称曲线C 上一点，则||MN 的最小值是( )A ．2B 1C ．2D ．12-12、设A 为椭圆（）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF ．若∠ABF ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3642， C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡142， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3622，二、填空题13．已知拋物线22y px =（0p >）上一点()1,A m 到其焦点的距离为3，则p =________.14．为了调查某阶层月工资收入，某地政府对该阶层1000人进行了调查，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，则这1000人的月工资收入的中位数为______.（百元）15、已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. 则圆C 的标准．．方程为_________； 16．设12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y m n m n-=>>的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是_______12222=+b y a x 0>>b a 12π4π二、解答题17．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年.确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，试求出回归直线方程.附：619310 i iix y ==∑，61622166==-=-∑∑i iiiix y x y bx x.18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.（1）完成上面的22⨯列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？ （2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++19．已知圆1C 过点()0,6A ，且与圆2C ：2210100x y x y +++=相切于原点，直线l ：()()211640m x m y m +++--=.（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值.20()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 、2F ．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF 的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过点()(),01P m m >作圆22:1O x y +=的切线l 交椭圆E 于M 、N 两点，求MNO 面积的最大值．21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.参考答案一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()1,2,3-关于z 轴的对称点坐标为（ ） A ．()1,2,3--- B ．()1,2,3C ．()1,2,3--D ．()1,2,3--【答案】A【详解】在空间直角坐标系中，点()1,2,3-关于z 轴的对称点坐标为()1,2,3---.2．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．210x y +-= D ．210x y ++=【答案】A【详解】因为所求直线与直线220x y --=平行，所以可设所求直线方程为20x y m -+=， 又该直线过点(1,0)，则10m +=，即1m =-，因此所求直线方程为210x y --=.3．给出下列说法：①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1； ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是（ ） A ．①②④ B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【详解】对于①中，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，但不一定过一个样本点，所以不正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，所以是正确的.4．某单位共有职工300名，其中高级职称90人，中级职称180人，初级职称30人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为（ ） A ．6 B ．9C ．18D ．36【答案】C【详解】依题意得：高级职称人数、中级职称人数、初级职称人数的比为90:180:303:6:1=， 高级职称人数的抽样比310，采用分层抽样方法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为3601810⨯=人.5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．32C ．53D ．85【答案】C【详解】当0k =时进入循环，1k =，1121S +==，再进入循环，2k =，21322S +==， 再进入循环，3k =，3152332S +==，此时33<否，此时输出的S 值是53.6．直线34250x y +-=与圆2225x y +=的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交但不过圆心 C ．相离 D ．相交且过圆心【答案】A【详解】因为2225x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为=5r ，所以圆心到直线34250x y +-=的距离为5d r ===，所以直线与圆相切.7．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： ①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④恰有1个白球与都是黄球． 其中互斥而不对立的事件共有（ ） A ．0组 B ．1组 C ．2组 D ．3组【答案】B【详解】①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件． ④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件;8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，||PF 的最小值为1，且存在点P ，使得OPF △（点O 为坐标原点）为正三角形，则椭圆C 的焦距为（ ）A ．2B ．C ．D ．4【答案】D【详解】不妨设F 为椭圆C 的右焦点，1F 为椭圆C 的左焦点，连接1PF因为OPF △为等边三角形，所以1====OF OF OP PF c ，所以1F PF △是直角三角形，所以1PF =．因为1||+=PF PF c 2a =，所以1ce a==．因为||PF 1，所以1-=a c ，所以2c =，椭圆C 的焦距为49．在区间[]1,1-上任选两个数x 和y ，则221x y +≥的概率为（ ） A ．14π-B ．128π- C ．18π-D ．124π-【答案】A【详解】根据题意可知，在区间[]1,1-上任选两个数x 和y ， 其所构成的几何图形为边长为2的正方形，221x y +≥表示的是单位圆外的点，所以满足条件的基本事件为正方形内，圆外的点，包扩边界线， 所以其概率为=14P π-，10．已知双曲线C 的一个焦点为，且渐近线方程为y x =，则C 的方程为（ ） A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】D【详解】由双曲线C 的一个焦点为，则双曲线C 的焦点在x 轴上，且c =设双曲线C 的标准方程为22221(00)x y a b a b-=>>，则双曲线C 的渐近线方程为：b y x a =±，又渐近线方程为2y x =±所以2b a =，由22222213322c a b a a a =+=+==，所以22a =，21b = 所以双曲线C 的标准方程为：2212x y -=故选：D11．M 是抛物线2y x =上一点，N 是圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线10x y -+=的对称曲线C 上一点，则||MN 的最小值是( )A ．2 B1C．2D．12- 【答案】D【详解】设圆心()1,4-关于直线对称的点为(),C x y ，则411141022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，曲线C 为()2231x y -+=，设()2,M a a ，故MC === 当252a =时，MCMN 的最小值为12-. 故选：D.12、设A 为椭圆（）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，且AF⊥BF ．若∠ABF ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） 12222=+b y a x 0>>b a 12π4πA ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡122， B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3642， C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡142， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3622，【答案】D二、填空题13．已知拋物线22y px =（0p >）上一点()1,A m 到其焦点的距离为3，则p =________. 【答案】4【详解】根据抛物线方程可知准线方程为2p x =-， ∵抛物线22y px =（0p >）上的点()1,A m 到焦点的距离为3， ∴根据抛物线的定义可知其到准线的距离为3， ∴132p+=，∴4p =．14．为了调查某阶层月工资收入，某地政府对该阶层1000人进行了调查，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，则这1000人的月工资收入的中位数为______.（百元）【答案】24【详解】前2组的频率为(0.020.04)50.3+⨯=，前3组的频率为(0.020.040.05)50.55++⨯=，故中位数在第三组[)20,25中，设中位数为x ，则(20)5(0.020.04)50.5x -⨯++⨯=，解得24x =. 15、已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. 则圆C 的标准．．方程为_________； 【答案】22(1)(2x y -+=；16．设12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y m n m n-=>>的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是_______【答案】2y x =±【详解】由椭圆与双曲线的对称性，可设P 为第二象限的点，如图所示，根据题意，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的长轴长为2m ，设焦距为2c由椭圆定义知，122PF PF a +=；由双曲线定义知，212-=PF PF m 联立可知：1=-PF a m ，2=+PF a m又1223F PF π∠=，由余弦定理可得：22122211221cos 2PF PF P F F F PF F PF +-∠=⋅ 即()()()()2222241-++--=-+a m a m c a m a m ，化简得：22234+=a m c ，即22234+=a m c又椭圆的离心率1ce a=，双曲线的离心率2c e m =，则2122233444+=⋅===+≥=c c c e e a m am a a m a m m m a当且仅当344=a m ma，即=m 时，等号成立，即两条曲线的离心率之积最小. 由22234+=a m c ，得222=m c ，又222c m n =+，可知22=n c ，即2212=n m故双曲线的渐近线方程：=±=n y x x m故答案为：2y x =±二、解答题17．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年.确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，试求出回归直线方程.附：619310 i iix y ==∑，61622166==-=-∑∑i iiiix y x y bx x.【详解】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[)6,7的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：中位数为：0.50.040.100.32255 5.1330.3015---+=+=（千元）（或：设中位数为x ，则0.0450.266x x-=-，解得： 5.133x =）平均数 2.50.04 3.50.10 4.50.32 5.50.30 6.50.187.50.06 5.16x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）. （2）解：由题意得：1234563.56x +++++==，275365415450470485246041066y +++++===，62114916253691ii x==+++++=∑，2266 3.573.5x ⨯=⨯=，所以：61622193106 3.54109173.656i ii ii x y x yb xx==-⨯⨯=---=∑∑93108610700409173.517.5-===-.41040 3.5270ay bx =-=-⨯=.所以回归直线方程为：40270y x =+.18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.（1）完成上面的22⨯列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？ （2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：()22222100303010256.25 3.84140606K ⨯-⨯===>⨯， 所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”； （2）由于男生、女生各60、40人，采取分层抽样的方法选取5名学生，那么男生、女生分别选取3人、2人． 设从5名学生中随机选取2人其中恰有1名女生的事件记为A ，将三位男生分别记为a 、b 、c ，将两位女生分别记为1、2， 则从这5名学生中随机选取2人的所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),1a 、(),2a 、(),b c 、(),1b 、(),2b 、(),1c 、(),2c 、()1,2，共10个，其中事件A 包含的基本事件有：(),1a 、(),2a 、(),1b 、(),2b 、(),1c 、(),2c ，共6个 所以63()105P A ==，即事件A 发生的概率是35．19．已知圆1C 过点()0,6A ，且与圆2C ：2210100x y x y +++=相切于原点，直线l ：()()211640m x m y m +++--=.（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值.【详解】解：（1）化圆222:10100C x y x y +++=为22(5)(5)50x y +++=，可得圆心2(5,5)C --，半径为 设1C ：()()222x a y b r -+-=，则()()2222226,,,a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=解得3,3,a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以圆1C 的方程为()()223318x y -+-=. （2）因为l ：(21)(1)640m x m y m +++--=， 即(26)40x y m x y +-++-=，由260,40,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得2,2,x y =⎧⎨=⎩所以直线l 过定点()2,2B ，设圆心()13,3C 到直线l 的距离为d ， 则1d C B ≤==当且仅当1l BC ⊥时，等号成立.所以弦长为8≥=. 故直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值为8.20()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 、2F ．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF 的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过点()(),01P m m >作圆22:1O x y +=的切线l 交椭圆E 于M 、N 两点，求MNO 面积的最大值．【详解】（1）因为2ABF 的周长为8，所以1212+++8AF AF BF BF =，由椭圆的定义可得48a =，即2a =，又椭圆的离心率为c a =c =1b ==， 所以椭圆E 的标准方程为22+14x y =；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，若直线l 与x 轴重合，则直线l 与圆O 相交，设直线l 的方程为+x ty m =， 因为直线l 与圆221x y +=1=，即221m t =+，联立直线l 与椭圆的方程2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2224240t y tmy m +++-=， ()()()2222222244441664161664161480t m t m t m t t ∆=-+-=+-+-+=>=， 由韦达定理可得21224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+，所以12MN y y =-==， 又点O 到直线l 的距离为1，所以2221 121132443MNOS MN dmt tmm==⋅=⨯+==+≤=++△，当且仅当3mm=，即1m=>时，取等号，所以MNO的面积的最大值为1．21．已知椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，双曲线22221x ya b-=的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为(1)求椭圆C的方程；(2)设12,F F分别为椭圆C的左，右焦点，过2F作直线l(与x轴不重合)交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线1F E的斜率为k，求k的取值范围.解析：(1)一条渐近线与x轴所成的夹角为30︒知tan30ba=︒=223a b=，又c=228a b+=，解得26a=，22b=，所以椭圆C的方程为22162x y+=.(2)由(1)知()22,0F，设()11,A x y，()22,B x y，设直线AB的方程为2x ty=+.联立221622x yx ty⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223420t y ty++-=，由12243ty yt-+=+得122123x xt+=+，试卷第21页，总21页 ∴2262,33t E t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623tt t k t t -+==+--+. ①当0t =时，0k =；②当0t ≠时，2166tk t t t ==≤++，即k ⎛∈ ⎝⎦. 综合①②可知，直线1F E 的斜率k的取值范围是⎡⎢⎣⎦.。
四川省绵阳市高二上学期期末数学试卷(理科)
四川省绵阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，，，现给出下列函数：①②③④，若时，恒有，则所有可取的函数的编号是（）A . ①②③④B . ①②④C . ①②D . ④2. （2分） (2019高二上·湖南月考) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，连接交抛物线于点，若，则的面积为（）A .B .C .D .3. （2分） 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有（）A . a>b>cB . b>c>aC . c>a>bD . c>b>a4. （2分）集合，且x<y<z、y<z<x、z<x<y恰有一个成立}，若且,则下列选项正确的是（）A . ,B . ,C . ,D . ,5. （2分）(2017·巢湖模拟) 已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A . 它们的焦距相等B . 它们的焦点在同一个圆上C . 它们的渐近线方程相同D . 它们的离心率相等6. （2分）用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6﹣x2+2在x=2015时的值，需要进行乘法运算和加减法次数分别是（）A . 6，2B . 5，3C . 4，2D . 8，27. （2分）在等差数列{an}中，若a4+a8+a12=12，则2a9﹣a10的值是（）A . 3B . 4C . 6D . 88. （2分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是（）A . ①②④B . ①②③C . ①③④D . ①②③④9. （2分）在中,若,则的形状是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定10. （2分）已知等差数列满足，则的值为（）A . 8B . 9C . 10D . 1111. （2分）(2016·黄山模拟) 过双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=±xD . y=± x12. （2分） (2016高三上·安徽期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，则下列说法不正确的是（）A . 若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变B . 若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是过D1点的直线C . 若点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D . 若点P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）右面是一个算法的程序框图，当输入的值x为20时，则其输出的结果是________14. （1分）(2019·金山模拟) 已知平面向量、满足条件：，，，，若向，且，则的最小值为________15. （1分）(2018·茂名模拟) 若实数满足约束条件则的最大值是________．16. （1分）已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为________ （写出所有正确命题的序号）．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18. （10分） (2016高三上·辽宁期中) 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．（1）求∠B的大小；（2）若a+c= ，求△ABC的面积．19. （10分） (2016高二下·阳高开学考) 设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ，且a1=1，求证：（1）数列{an+2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn ．20. （15分） (2015高二上·葫芦岛期末) 为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：（1）求出表中m、n、M，N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：分组频数频率[0，30）30.03[30，60）30.03[60，90）370.37[90，120）m n[120，150）150.15合计M N（2）若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数；（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率．21. （5分）(2017·福州模拟) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．22. （10分） (2017高二上·长春期末) 已知的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与直线分别交于两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。
四川省绵阳市高二上册期末数学试题与答案
四川省绵阳市高二上册期末数学试题与答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，是空间直角坐标系中的两点，则（）A. 3B.C. 9D.【答案】A由空间中两点间距离公式直接计算即可.因为，，所以.故选A本题主要考查空间中两点间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C根据直线的斜率直接求出直线的倾斜角即可.因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，即故选：C.本题目主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系.3.利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，参照下表：0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.841 5,024 6.635 7.879 10.828得到的正确结论是（）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B由，结合临界值表，即可直接得出结果.由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型.4.直线和直线垂直，则实数的值为（）A. -2B. 0C. 2D. -2或0【答案】D由两直线垂直，得到系数之间的关系，进而可求出结果.因为直线和直线垂直，所以，即，解得或.故选D本题主要考查由两直线垂直求参数的值，结合两直线垂直的充要条件，即可求解，属于基础题型.5.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B由茎叶图直接求出甲的平均数和乙的中位数，由此得出结果.由茎叶图得：甲的平均数乙的中位数为83即甲的平均数与乙的中位数之差为85-83=2故选：B.本题考查了对茎叶图得认识，以及平均数和中位数的求法.6.某运动员每次射击命中不低于8环的概率为，命中8环以下的概率为，现用随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环，6、7、8、9表示命中8环以下，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率为（）A. B.C. D.【答案】C根据随机数表，列举出该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的情况，结合概率计算公式即可求解.由题意可得，表示“该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的情况”有：207,815,429,027,954,409,472,460,共8组数据，所以该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率为.故选C本题主要考查列举法求古典概型的概率，熟记概率公式，即可求解，属于基础题型.7.执行如图的程序框图，输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B按顺序执行框图，即可求出结果.执行程序框图可得：第一步：；第二步：；第三步：；第三步：输出.故选B本题主要考查程序框图，按顺序逐步执行框图，即可得出结果，属于基础题型.8.用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是（）A. 36B. 37C. 38D. 39【答案】A利用系统抽样的特点，确定组数和每组的样本数，写出每组抽取号码的表达式，确定第一组的抽取号码，带入求出第三组的号码.由题，可知系统抽样的组数为10组，间隔为13，设第一组抽取的号码为x，有系统抽样的法则，可知第n组抽取的号码为x+13(n-1)，所以第9组抽取的号码为：x+13(9-1)=114，解得x=10,所以第3组抽取的号码为：10+13(3-1)=36故选：A.本题目考查了系统抽样的法则，可知第n组抽的个数号码为x+间隔（组数-1），属于基础题.9.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是（）A. 取出2个红球和1个白球B. 取出的3个球全是红球C. 取出的3个球中既有红球也有白球D. 取出的3个球中不止一个红球【答案】D根据题意，得出取3个球的所有情况，利用对立事件的概念得出结果.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”故选：D.本题主要考查了对立事件的概念，属于基础题.10.若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C两双曲线有公共点，只需分别求出两双曲线的渐近线，比较斜率即可求出结果.由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线有交点的问题，转化为渐近线之间的关系即可求解，属于基础题型.11.已知直线和圆，若是在区间上任意取一个数，那么直线与圆相交且弦长小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D先据题意求出满足条件的r的范围，利用区间长度之比求出满足条件的概率即可.由点到直线的距离公式可得因为直线与圆相交，所以相交弦的长度为由题知解得所以弦长小于的概率故选：D.本题目考查了直线与圆相交问题和几何概型的综合知识，注意直线与圆相交r的取值，属于中档题.12.已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,所以，故，所以.故选C本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线的焦点坐标是__________．【答案】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故答案为本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.14.某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间的约有__________辆．【答案】280通过频率分布直方图，利用频数=频率样本容量求得结果。
四川省绵阳市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷(解析版)
四川省绵阳市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，1，1），B（﹣1，0，1），则|AB|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）直线l1：2x﹣3y+1＝0与直线l2：4x﹣ay+4＝0平行，则a＝（）A．4B．5C．6D．3．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（）A．108石B．169石C．237石D．338石4．（5分）高二某班共有学生60名，座位号分别为01，02，03，…，60．现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知05号、20号、50号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（）A．33号B．34号C．35号D．36号5．（5分）若双曲线C：的渐近线方程为，则C的焦距为（）A．3B．6C．D．6．（5分）如图是丰收农场6株圣女果挂果个数的茎叶图，则这6株圣女果挂果个数的方差为（）A．B．C．23D．247．（5分）为了解某种产品的广告投入x（单位：万元）对销量y（单位：万件）的影响，对近五年该产品的广告投入和销量，统计如表：x145130*********y1109010278m已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为，那么表中m的值为（）A．68B．70C．72D．748．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）A．2B．3C．4D．59．（5分）圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4上的动点P到直线l：mx+y﹣m﹣1＝0的距离的最大值是（）A．6B．7C．8D．910．（5分）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）点P是双曲线E：右支上一点，其左，右焦点为F1，F2，且|PF1|＝2|PF2|，PM是∠F1PF2的外角平分线，过F2作直线PM的垂线，垂足为H，若|OH|＝6，则双曲线E的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）过M（1，0）的直线l与抛物线E：y2＝x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若△ACF的面积是△BCF的面积的3倍，则x1+x2＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线x﹣y﹣1＝0，该直线的倾斜角为．14．（5分）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是．15．（5分）过点P与圆（x﹣2）2+y2＝4相切的直线方程为．16．（5分）椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，点P为C上一动点，若|PF|的最大值为3，最小值为1，则的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某学校为了解全校学生每天锻炼身体所花时间的情况，从全校随机抽取了100名学生进行调查，并将这100人的锻炼时间分组：第1组〖0，10），第2组〖10，20），第3组〖20，30），第4组〖30，40），第5组〖40，50），第6组〖50，60〗，得到的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计该校学生每天锻炼身体的时间的众数与中位数；（2）以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在〖0，10）和〖50，60〗范围内共抽取了6人，求从这6人中随机选取2人，这2人都在〖0，10）范围内的概率．18．（12分）已知椭圆E：的左，右焦点分别为F1，F2，点M（3，1）在E上，且|MF1|+|MF2|＝4．（1）求E的标准方程；（2）若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为P（﹣2，1），求直线l的方程．19．（12分）2021年8月30日，国家新闻出版署下发《关于进一步严格管理，切实防止未成年人沉迷网络游戏的通知》，坚决防止未成年人沉迷网络游戏，切实保护未成年人身心健康．中学生沉迷于玩游戏，既影啊身心健康，也影响学习成绩．近日某机构随机调研了某学校100名学生的期末考试成绩．折合各科总分后，记满分100分，60分及以上为及格，60分以下为不及格．100人中不及格人数比及格人数多20人，其中沉迷于游戏的50人中，不及格人数是及格人数的4倍．得到如下2×2列联表：不及格及格合计沉迷于游戏a b50不沉迷于游戏c d50合计100附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828（1）求a，b，c，d；（2）通过列联表计算判断，能否有99.9%的把握认为“沉迷于玩游戏”与“学习成绩”有关系？20．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）．（1）若r＝3，直线l：x﹣y﹣4＝0与C相交于A，B两点，求弦AB的长；（2）已知点M（﹣1，0），N（3，0），若C上存在点P，使得PM⊥PN，求r的取值范围．21．（12分）已知点P（2，t）（t＞0）在抛物线E：y2＝2px（p＞0）上．有下列三个条件：①点P到抛物线E的焦点F的距离为4；②点A（﹣1，6），记E上动点B到直线的距离为d，且d+|AB|的最小值为；③点P到的距离比点P到y轴距离大2．请选择其中一个条件解答下列问题：（1）求p与t的值；（2）直线l与抛物线E交于M，N两点，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，当k1+k2＝8时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．22．（12分）设M是圆P：x2+（y﹣2）2＝36上的一动点，已知点Q（0，﹣2），线段MQ 的垂直平分线交线段PM于点N，记点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点P且斜率为k（k≠0）的直线l与曲线E交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线交y轴于点T，若λ|AB|2＝|TP|，求实数λ的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B〖解析〗∵A（0，1，1），B（﹣1，0，1），∴．故选：B．2．C〖解析〗直线l1：2x﹣3y+1＝0与直线l2：4x﹣ay+4＝0平行，可得，解得a＝6，故选：C．3．A〖解析〗粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，这批米内夹谷约为：1536×＝108（石）．故选：A．4．C〖解析〗计算系统抽样间隔为60÷4＝15，且抽取的样本编号为05号、20号、50号，所以样本中还有一个为20+15＝35（号）．故选：C．5．D〖解析〗双曲线C：的渐近线方程为，可得，解得a＝，所以c＝＝2，则C的焦距为：4．故选：D．6．A〖解析〗这6株圣女果挂果个数的平均数为：＝（17+18+20+21+25+31）＝22，这6株圣女果挂果个数的方差为：S2＝〖（17﹣22）2+（18﹣22）2+（20﹣22）2+（21﹣22）2+（25﹣22）2+（31﹣22）2〗＝．故选：A．7．B〖解析〗∵＝＝120，回归直线方程为，故＝＝0.8×120﹣6＝90，解得m＝70，故选：B．8．B〖解析〗输入a＝0，b＝9，n＝1，第一次循环，a＝20＝1，b＝9﹣2＝7，因为a≥b不成立，故n＝1+1＝2，第二次循环，a＝21＝2，b＝7﹣2＝5，因为a≥b不成立，故n＝1+2＝3，第三次循环，a＝22＝4，b＝5﹣2＝3，因为a≥b成立，退出循环，输出n＝3．故选：B．9．B〖解析〗∵直线l：mx+y﹣m﹣1＝0，即m（x﹣1）+y﹣1＝0，∴直线l过定点A（1，1），∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，∴圆心C（4，5），半径r＝2，当直线AC垂直l时，圆心C（4，5）到直线l的距离最长，∴圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4上的动点P到直线l：mx+y﹣m﹣1＝0的距离的最大值是|AC|+r＝．故选：B．10．C〖解析〗现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙至少有1种被选取包含的基本事件个数m＝＝7，∴甲、乙至少有1种被选取的概率．故选：C．11．D〖解析〗P是双曲线E：右支上一点，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，点H在∠F1PF2外角平分线上，且PM⊥F2N，可得|PF2|＝|PN|，M为F2N的中点，则|OH|＝|NF1|＝6，所以|NF1|＝12，即6a＝12，所以a＝2，又b2＝16，所以c＝＝＝2，所以离心率e＝＝＝．故选：D．12．A〖解析〗由题意如图所示：△ACF的面积是△BCF的面积的3倍，可得|AC|＝3|BC|，可即＝3，由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣，焦点坐标为（，0），设直线l的方程为：x＝my+1，令x＝﹣，由题意可得C的纵坐标为：﹣，即C（﹣，﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得y2﹣my﹣1＝0，则y1+y2＝m，y1y2＝﹣1，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝m2+2，①，x1x2＝（y1y2）2＝1，②，由＝3，可得（﹣﹣x1，﹣﹣y1）＝3（﹣﹣x2，﹣﹣y2），则﹣﹣x1＝3（﹣﹣x2），可得x1＝3x2+，代入①可得x2＝，x1＝，再代入②可得•＝1，整理可得：12m4+44m2﹣25＝0，解得m2＝，所以x1+x2＝m2+2＝+2＝，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．〖解析〗直线x﹣y﹣1＝0的斜率为k＝1设直线的倾斜角为α，∴tanα＝1∵α∈〖0，π〗，∴α＝．故答案为：．14．〖解析〗由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，由几何概型公式得到P＝，故答案为：．15．〖解析〗∵点P适合圆（x﹣2）2+y2＝4，∴P点是圆上的点，∵圆心C（2，0），P，∴k CP＝＝﹣，∵过P点的切线l与CP垂直，∴它的斜率为，∴过点P与圆（x﹣2）2+y2＝4相切的直线方程为，即．故答案为：．16．4〖解析〗由题得，∴a＝2，c＝1，∴，∴，∴．设P（x，y），因为F（﹣1，0），A（2，0），所以，所以＝，因为﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时的最大值为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〖解〗（1）由频率分布直方图可得，该校学生每天锻炼身体的时间的众数为35，∵第1组〖0，10），第2组〖10，20），第3组〖20，30）的频率和为（0.01+0.018+0.022）×10＝0.5，∴其中位数为30．（2）由频率分布直方图可得，在〖0，10）和〖50，60〗范围内的人数分别为10和5，现抽取6人，在〖0，10）内有4人，在〖50，60〗内有2人，从6人中随机选取2人的基本事件有种，这2人都在〖0，10）范围内的基本事件有种，故这2人都在〖0，10）范围内的概率P＝．18．〖解〗（1）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|＝4＝2a，所以a＝2，因为点M（3，1）在E上，所以+＝1，解得b2＝4，故E的标准方程为+＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减得，＝﹣＝﹣＝，所以直线l的斜率为，又AB中点为P（﹣2，1），故直线l的方程为y﹣1＝（x+2），即2x﹣3y+7＝0．19．〖解〗（1）设及格人数为x人，则不及格人数为（x+20）人，所以x+（x+20）＝100，解得x＝40，所以x+20＝60，沉迷于游戏的50人中，不及格人数是50×＝40（人），及格人数是10人，由此填写2×2列联表如下：不及格及格合计沉迷于游戏a＝40b＝1050不沉迷于游戏c＝20d＝3050合计6040100所以a＝40，b＝10，c＝20，d＝30；（2）计算K2＝＝≈16.667＞10.828，所以有99.9%的把握认为“沉迷于玩游戏”与“学习成绩”有关系．20．〖解〗（1）∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），∴圆心C（4，4），半径为r＝3，∵圆心C（4，4）到直线l的距离d＝，∴弦AB的长为＝．（2）∵C上存在点P，使得PM⊥PN，∴点P也在以MN为直径的圆上，设该圆的圆心为D（x0，y0），则，＝0，∴D（1，0），该圆的半径为，|CD|＝，∵点P既在圆C上，也在圆D上，∴圆C相交或相切，∴|r﹣2|≤5≤r+2，解得3≤r≤7，故r的取值范围为〖3，7〗．21．〖解〗（1）选择条件①：由抛物线的定义知，|PF|＝2+＝4，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，将点P（2，t）代入y2＝8x中，得t2＝16，因为t＞0，所以t＝4．选择条件②：d+|AB|＝|BF|+|AB|≥|AF|，当且仅当A，B，F三点按此顺序共线时，等号成立，所以|AF|＝3＝，解得p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，将点P（2，t）代入y2＝8x中，得t2＝16，因为t＞0，所以t＝4．选择条件③：由抛物线的定义知，（2+）﹣2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，将点P（2，t）代入y2＝8x中，得t2＝16，因为t＞0，所以t＝4．（2）显然直线l的斜率不可能为0，设其方程为x＝my+n，M（，y1），N（，y2），联立，得y2﹣8my﹣8n＝0，所以y1+y2＝8m，y1•y2＝﹣8n，而k1+k2＝+＝+＝＝＝8，化简可得n＝3m+1，所以直线l的方程为x＝my+3m+1＝m（y+3）+1，当y＝﹣3时，x＝1，所以直线l恒过定点（1，﹣3）．22．〖解〗（1）因为点N在线段MQ的垂直平分线上，所以|QN|＝|MN|，所以|PN|+|QN|＝|PN|+|MN|＝|PM|＝6＞|PQ|，，所以点N的轨迹是焦点为P，Q的椭圆，故2a＝6，c＝2，可得b2＝a2−c2＝5，所以曲线E的方程为．（2）由题意，得直线l的方程为：y＝kx+2，联立方程组得，所以，则，AB的中点坐标为，所以直线AB的垂直平分线的方程为，则与y轴交点，所以，因为λ|AB|2＝|TP|，所以，因为k≠0，所以，即，所以λ的取值范围为．四川省绵阳市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，1，1），B（﹣1，0，1），则|AB|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）直线l1：2x﹣3y+1＝0与直线l2：4x﹣ay+4＝0平行，则a＝（）A．4B．5C．6D．3．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（）A．108石B．169石C．237石D．338石4．（5分）高二某班共有学生60名，座位号分别为01，02，03，…，60．现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知05号、20号、50号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（）A．33号B．34号C．35号D．36号5．（5分）若双曲线C：的渐近线方程为，则C的焦距为（）A．3B．6C．D．6．（5分）如图是丰收农场6株圣女果挂果个数的茎叶图，则这6株圣女果挂果个数的方差为（）A．B．C．23D．247．（5分）为了解某种产品的广告投入x（单位：万元）对销量y（单位：万件）的影响，对近五年该产品的广告投入和销量，统计如表：x145130*********y1109010278m已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为，那么表中m的值为（）A．68B．70C．72D．748．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）A．2B．3C．4D．59．（5分）圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4上的动点P到直线l：mx+y﹣m﹣1＝0的距离的最大值是（）A．6B．7C．8D．910．（5分）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）点P是双曲线E：右支上一点，其左，右焦点为F1，F2，且|PF1|＝2|PF2|，PM是∠F1PF2的外角平分线，过F2作直线PM的垂线，垂足为H，若|OH|＝6，则双曲线E的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）过M（1，0）的直线l与抛物线E：y2＝x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若△ACF的面积是△BCF的面积的3倍，则x1+x2＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线x﹣y﹣1＝0，该直线的倾斜角为．14．（5分）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是．15．（5分）过点P与圆（x﹣2）2+y2＝4相切的直线方程为．16．（5分）椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，点P为C上一动点，若|PF|的最大值为3，最小值为1，则的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某学校为了解全校学生每天锻炼身体所花时间的情况，从全校随机抽取了100名学生进行调查，并将这100人的锻炼时间分组：第1组〖0，10），第2组〖10，20），第3组〖20，30），第4组〖30，40），第5组〖40，50），第6组〖50，60〗，得到的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计该校学生每天锻炼身体的时间的众数与中位数；（2）以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在〖0，10）和〖50，60〗范围内共抽取了6人，求从这6人中随机选取2人，这2人都在〖0，10）范围内的概率．18．（12分）已知椭圆E：的左，右焦点分别为F1，F2，点M（3，1）在E上，且|MF1|+|MF2|＝4．（1）求E的标准方程；（2）若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为P（﹣2，1），求直线l的方程．19．（12分）2021年8月30日，国家新闻出版署下发《关于进一步严格管理，切实防止未成年人沉迷网络游戏的通知》，坚决防止未成年人沉迷网络游戏，切实保护未成年人身心健康．中学生沉迷于玩游戏，既影啊身心健康，也影响学习成绩．近日某机构随机调研了某学校100名学生的期末考试成绩．折合各科总分后，记满分100分，60分及以上为及格，60分以下为不及格．100人中不及格人数比及格人数多20人，其中沉迷于游戏的50人中，不及格人数是及格人数的4倍．得到如下2×2列联表：不及格及格合计沉迷于游戏a b50不沉迷于游戏c d50合计100附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828（1）求a，b，c，d；（2）通过列联表计算判断，能否有99.9%的把握认为“沉迷于玩游戏”与“学习成绩”有关系？20．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）．（1）若r＝3，直线l：x﹣y﹣4＝0与C相交于A，B两点，求弦AB的长；（2）已知点M（﹣1，0），N（3，0），若C上存在点P，使得PM⊥PN，求r的取值范围．21．（12分）已知点P（2，t）（t＞0）在抛物线E：y2＝2px（p＞0）上．有下列三个条件：①点P到抛物线E的焦点F的距离为4；②点A（﹣1，6），记E上动点B到直线的距离为d，且d+|AB|的最小值为；③点P到的距离比点P到y轴距离大2．请选择其中一个条件解答下列问题：（1）求p与t的值；（2）直线l与抛物线E交于M，N两点，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，当k1+k2＝8时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．22．（12分）设M是圆P：x2+（y﹣2）2＝36上的一动点，已知点Q（0，﹣2），线段MQ 的垂直平分线交线段PM于点N，记点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点P且斜率为k（k≠0）的直线l与曲线E交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线交y轴于点T，若λ|AB|2＝|TP|，求实数λ的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B〖解析〗∵A（0，1，1），B（﹣1，0，1），∴．故选：B．2．C〖解析〗直线l1：2x﹣3y+1＝0与直线l2：4x﹣ay+4＝0平行，可得，解得a＝6，故选：C．3．A〖解析〗粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，这批米内夹谷约为：1536×＝108（石）．故选：A．4．C〖解析〗计算系统抽样间隔为60÷4＝15，且抽取的样本编号为05号、20号、50号，所以样本中还有一个为20+15＝35（号）．故选：C．5．D〖解析〗双曲线C：的渐近线方程为，可得，解得a＝，所以c＝＝2，则C的焦距为：4．故选：D．6．A〖解析〗这6株圣女果挂果个数的平均数为：＝（17+18+20+21+25+31）＝22，这6株圣女果挂果个数的方差为：S2＝〖（17﹣22）2+（18﹣22）2+（20﹣22）2+（21﹣22）2+（25﹣22）2+（31﹣22）2〗＝．故选：A．7．B〖解析〗∵＝＝120，回归直线方程为，故＝＝0.8×120﹣6＝90，解得m＝70，故选：B．8．B〖解析〗输入a＝0，b＝9，n＝1，第一次循环，a＝20＝1，b＝9﹣2＝7，因为a≥b不成立，故n＝1+1＝2，第二次循环，a＝21＝2，b＝7﹣2＝5，因为a≥b不成立，故n＝1+2＝3，第三次循环，a＝22＝4，b＝5﹣2＝3，因为a≥b成立，退出循环，输出n＝3．故选：B．9．B〖解析〗∵直线l：mx+y﹣m﹣1＝0，即m（x﹣1）+y﹣1＝0，∴直线l过定点A（1，1），∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，∴圆心C（4，5），半径r＝2，当直线AC垂直l时，圆心C（4，5）到直线l的距离最长，∴圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4上的动点P到直线l：mx+y﹣m﹣1＝0的距离的最大值是|AC|+r＝．故选：B．10．C〖解析〗现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙至少有1种被选取包含的基本事件个数m＝＝7，∴甲、乙至少有1种被选取的概率．故选：C．11．D〖解析〗P是双曲线E：右支上一点，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，点H在∠F1PF2外角平分线上，且PM⊥F2N，可得|PF2|＝|PN|，M为F2N的中点，则|OH|＝|NF1|＝6，所以|NF1|＝12，即6a＝12，所以a＝2，又b2＝16，所以c＝＝＝2，所以离心率e＝＝＝．故选：D．12．A〖解析〗由题意如图所示：△ACF的面积是△BCF的面积的3倍，可得|AC|＝3|BC|，可即＝3，由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣，焦点坐标为（，0），设直线l的方程为：x＝my+1，令x＝﹣，由题意可得C的纵坐标为：﹣，即C（﹣，﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得y2﹣my﹣1＝0，则y1+y2＝m，y1y2＝﹣1，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝m2+2，①，x1x2＝（y1y2）2＝1，②，由＝3，可得（﹣﹣x1，﹣﹣y1）＝3（﹣﹣x2，﹣﹣y2），则﹣﹣x1＝3（﹣﹣x2），可得x1＝3x2+，代入①可得x2＝，x1＝，再代入②可得•＝1，整理可得：12m4+44m2﹣25＝0，解得m2＝，所以x1+x2＝m2+2＝+2＝，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．〖解析〗直线x﹣y﹣1＝0的斜率为k＝1设直线的倾斜角为α，∴tanα＝1∵α∈〖0，π〗，∴α＝．故答案为：．14．〖解析〗由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，由几何概型公式得到P＝，故答案为：．15．〖解析〗∵点P适合圆（x﹣2）2+y2＝4，∴P点是圆上的点，∵圆心C（2，0），P，∴k CP＝＝﹣，∵过P点的切线l与CP垂直，∴它的斜率为，∴过点P与圆（x﹣2）2+y2＝4相切的直线方程为，即．故答案为：．16．4〖解析〗由题得，∴a＝2，c＝1，∴，∴，∴．设P（x，y），因为F（﹣1，0），A（2，0），所以，所以＝，因为﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时的最大值为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〖解〗（1）由频率分布直方图可得，该校学生每天锻炼身体的时间的众数为35，∵第1组〖0，10），第2组〖10，20），第3组〖20，30）的频率和为（0.01+0.018+0.022）×10＝0.5，∴其中位数为30．（2）由频率分布直方图可得，在〖0，10）和〖50，60〗范围内的人数分别为10和5，现抽取6人，在〖0，10）内有4人，在〖50，60〗内有2人，从6人中随机选取2人的基本事件有种，这2人都在〖0，10）范围内的基本事件有种，故这2人都在〖0，10）范围内的概率P＝．18．〖解〗（1）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|＝4＝2a，所以a＝2，因为点M（3，1）在E上，所以+＝1，解得b2＝4，故E的标准方程为+＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减得，＝﹣＝﹣＝，所以直线l的斜率为，又AB中点为P（﹣2，1），故直线l的方程为y﹣1＝（x+2），即2x﹣3y+7＝0．19．〖解〗（1）设及格人数为x人，则不及格人数为（x+20）人，所以x+（x+20）＝100，解得x＝40，所以x+20＝60，沉迷于游戏的50人中，不及格人数是50×＝40（人），及格人数是10人，由此填写2×2列联表如下：不及格及格合计沉迷于游戏a＝40b＝1050不沉迷于游戏c＝20d＝3050合计6040100所以a＝40，b＝10，c＝20，d＝30；（2）计算K2＝＝≈16.667＞10.828，所以有99.9%的把握认为“沉迷于玩游戏”与“学习成绩”有关系．20．〖解〗（1）∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），∴圆心C（4，4），半径为r＝3，∵圆心C（4，4）到直线l的距离d＝，∴弦AB的长为＝．（2）∵C上存在点P，使得PM⊥PN，∴点P也在以MN为直径的圆上，设该圆的圆心为D（x0，y0），则，＝0，∴D（1，0），该圆的半径为，|CD|＝，∵点P既在圆C上，也在圆D上，∴圆C相交或相切，∴|r﹣2|≤5≤r+2，解得3≤r≤7，故r的取值范围为〖3，7〗．21．〖解〗（1）选择条件①：由抛物线的定义知，|PF|＝2+＝4，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，将点P（2，t）代入y2＝8x中，得t2＝16，因为t＞0，所以t＝4．选择条件②：d+|AB|＝|BF|+|AB|≥|AF|，当且仅当A，B，F三点按此顺序共线时，等号成立，所以|AF|＝3＝，解得p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，将点P（2，t）代入y2＝8x中，得t2＝16，因为t＞0，所以t＝4．选择条件③：由抛物线的定义知，（2+）﹣2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，将点P（2，t）代入y2＝8x中，得t2＝16，因为t＞0，所以t＝4．（2）显然直线l的斜率不可能为0，设其方程为x＝my+n，M（，y1），N（，y2），联立，得y2﹣8my﹣8n＝0，所以y1+y2＝8m，y1•y2＝﹣8n，而k1+k2＝+＝+＝＝＝8，化简可得n＝3m+1，所以直线l的方程为x＝my+3m+1＝m（y+3）+1，当y＝﹣3时，x＝1，所以直线l恒过定点（1，﹣3）．22．〖解〗（1）因为点N在线段MQ的垂直平分线上，所以|QN|＝|MN|，所以|PN|+|QN|＝|PN|+|MN|＝|PM|＝6＞|PQ|，，所以点N的轨迹是焦点为P，Q的椭圆，故2a＝6，c＝2，可得b2＝a2−c2＝5，所以曲线E的方程为．（2）由题意，得直线l的方程为：y＝kx+2，联立方程组得，所以，则，AB的中点坐标为，所以直线AB的垂直平分线的方程为，则与y轴交点，所以，因为λ|AB|2＝|TP|，所以，因为k≠0，所以，即，所以λ的取值范围为．。
四川省绵阳市高二上学期期末数学试卷
四川省绵阳市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线的一支D . 直线2. （2分）(2018·凉山模拟) 如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（）A .B . 平面C . 平面D . 平面3. （2分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3 ，则（）A . 9B . 6C . 3D . 24. （2分）在正方体中，边长为，面与面的重心分别为E、F，求正方体外接球被EF所在直线截的弦长为（）A .B .C .D .5. （2分）已知异面直线a ， b分别在平面α ，β内，且α∩β＝c ，那么直线c一定（）A . 与a ， b都相交B . 只能与a ， b中的一条相交C . 至少与a ， b中的一条相交D . 与a ， b都平行6. （2分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，则下列结论中错误的是（）A . AC⊥BEB . EF∥平面ABCDC . 三棱锥A-BEF的体积为定值D . △AEF的面积与△BEF的面积相等7. （2分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ②和④8. （2分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹都不可能是（）A . 点B . 线段C . 圆弧D . 抛物线的一部分二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2019高二下·上海月考) 三棱锥中，有一个平行于底面的平面截得一个△ 截面，已知，则 ________10. （1分）(2019高二下·上海期末) 在侧棱长为的正三棱锥中，，若过点的截面，交于，交于，则截面周长的最小值是________11. （1分） (2016高二上·绍兴期末) 椭圆E：内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为________．12. （1分） (2016高二上·绍兴期末) 四面体的棱长中，有两条长为，其余全为1时，它的体积________．13. （1分） (2016高三上·辽宁期中) 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD 的长度分别为2 和4 ，M，N分别是AB，CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB，CD可能相交于点M；②弦AB，CD可能相交于点N；③MN的最大值是5；④MN的最小值是1；其中所有正确命题的序号为________．14. （1分） (2016高二上·绍兴期末) 设圆O：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0 ， y0）∈l若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则x0的取值范围是________．15. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|= 的点P的个数为________；若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共60分)16. （5分） (2019高一上·西安月考) 如图，已知平面，且平面平面，求证17. （10分） (2015高二上·太和期末) 已知点P（1，3），圆C：（x﹣m）2+y2= 过点A（1，﹣），F点为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线PF与圆相切．（1）求m的值与抛物线的方程；（2）设点B（2，5），点 Q为抛物线上的一个动点，求的取值范围．18. （15分） (2016高二上·杭州期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19. （15分） (2016高二上·绍兴期末) 已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当切线PA的长度为2 时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．20. （15分） (2016高二上·绍兴期末) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1，设R （x0 ， y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1 ， k2 ，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共60分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、。