中考数学复习 第20课时 相似三角形测试

第四单元三角形

第二十课时相似三角形

基础达标训练

1. (xx重庆A卷)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )

A. 3∶2

B. 3∶5

C. 9∶4

D. 4∶9

2. (xx连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )

第2题图

A.BC

DF＝

1

2

B.

∠A的度数

∠D的度数＝

1

2

C. △ABC的面积

△DEF的面积＝

1

2

D.

△ABC的周长

△DEF的周长＝

1

2

3. (xx枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝5，将△A B C沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )

4. (xx杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC. 若BD＝2AD，则( )

第4题图

A. AD

AB＝

1

2

B.

AE

EC＝

1

2

C.

AD

EC＝

1

2

D.

DE

BC＝

1

2

5. (xx恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

第5题图第6题图

6. 如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比为( )

A. 1∶3

B. 2∶3

C. 3∶2

D. 3∶3

7.(xx眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )

A. 1.25尺

B. 57.5尺

C. 6.25尺

D. 56.5尺

第7题图 第8题图 8. (xx 临沂)已知AB ∥C D ，AD 与BC 相交于点O .若BO OC ＝23

，AD ＝10，则AO ＝________． 9. (xx 益阳模拟)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 为________．

第9题图

10. (xx 随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．

第11题图

11. (xx 潍坊)如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝3AD ，AB

＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__________．可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)

12. (xx 甘肃省卷)如图，一张三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm .现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于________cm .

第12题图 第13题图 13. (xx 宁夏)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，

点M 在DE 上，且ME ＝13

DM .当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________． 14. (8分)(xx 杭州)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .

(1)求证：△ADE ∽△ABC ；

(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AF AG

的值．

第14题图

15. (8分)如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm .

(1)求证：△AEH ∽△ABC ；

(2)求这个正方形的边长与面积．

第15题图

16. (8分)(xx 长沙中考模拟卷四)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，

点E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，且CE ＝13AC ，BF ＝13

BC . (1)求证：∠EDF ＝90°； (2)若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长．

第16题图

能力提升训练

1. (xx 泰安)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E .若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )

A. 18

B.

1095 C. 965 D. 253

第1题图 第2题图

2. (xx东营)如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD 于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：

①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC.

其中正确的是( )

A. ①②③④

B. ②③

C. ①②④

D. ①③④

3. (9分)(xx常德)如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD于E，AC于F.

(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；

(2)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，

求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.

第3题图

4. (9分)(xx安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．

(1)如图①，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD 交于点E，F.

①求证：BE＝CF；

②求证：BE2＝BC·CE.

(2)如图②，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG 并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．

第4题图 答案

1. A

2. D

3. C

4. B

5. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴EF ∥AB ，∴四边形DEFB 为平行四边形，∴DB ＝EF ，DE ＝BF ，又∵AD DB ＝53，∴EF AB ＝38，又∵EF ∥AB ，∴CF BC ＝EF AB ，即66＋BF ＝38

，∴BF ＝10，∴DE ＝BF ＝10. 6. A 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠A ＝60°，∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠CED ＝∠BDF ＝90°，∴∠BFD ＝∠CDE ＝∠AEF ＝30°，∴∠

DFE ＝∠FED ＝∠EDF ＝60°，BD BF ＝12

，∴△DEF 是等边三角形，∴BD ∶DF ＝1∶3①，BD ∶AB ＝1∶3②，△DEF ∽△ABC ，①÷②＝AB DF

＝3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∴△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于1∶3.

7. B 【解析】设井深x 尺，则AD ＝(x ＋5)尺，∵BC ∥DE ，∴0.45＝5x ＋5

，解得x ＝57.5，经检验x ＝57.5是原分式方程的根，∴井深为57.5尺．

8. 4 【解析】∵AB ∥CD ，∴OA OD ＝OB OC ＝23，∴OA ＝25AD ，∵AD ＝10，∴OA ＝25

×10＝4. 9. 40 m 【解析】∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠D ，又∵∠AEB ＝∠

DEC ，∴△ABE ∽△DCE ，∴AB CD ＝BE CE ，解得AB ＝CD ·BE CE ＝20×2010＝40 m . 10. 53或125 【解析】根据题意，分两种情况：如解图①，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AB ＝AE AC

时，△ADE ∽△ABC ，∴26＝AE 5，解得AE ＝53；如解图②，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AC ＝AE AB

时，△ADE ∽△ACB ，∴25＝AE 6，解得AE ＝125

.

11. DF ∥AC 【解析】∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AE AB

，∵∠A 为公共角，∴△ADE 与△ACB 相似，原问题转化为，使△DFB 相似△ACB ，则DF ∥AC 即可．

12.

154 【解析】如解图，折痕为MN ，在R t △ABC 中，AB ＝62＋82＝10，由折叠性质得：AM ＝BM ＝5，∵∠A ＝∠A ，∠AMN ＝∠C ＝90°，∴△AMN ∽△ACB ，∴AM AC ＝MN CB

，∴MN ＝AM ·CB AC ＝5×68＝154

.

第12题解图

13. 8 【解析】∵AM ⊥BM ，∴∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∵D 是AB 的中点，∴

DM ＝12AB ＝3，∵ME ＝13DM ，∴ME ＝1，DE ＝4，又∵DE ∥BC ，∴DE 是三角形的中位线，∴BC ＝8.

14. (1)证明：∵在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，

∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°，

在△AEF 和△ACG 中，

∵∠AFE ＝∠AGC ，∠EAF ＝∠GAC ，

∴△AEF ∽△ACG ，

∴∠AEF ＝∠C ，

在△ADE 和△ABC 中，

∵∠AED ＝∠C ，∠EAD ＝∠CAB ，

∴△ADE ∽△ABC ；

(2)解：由(1)知△ADE ∽△ABC ，

∴AD AB ＝AE AC ＝35

， 又∵△AEF ∽△ACG ，

∴AF AG ＝AE AC ＝35

. 15. (1)证明：∵四边形EHGF 为正方形，

∴EH ∥BC ，

∴∠AHE ＝∠ACB ，

在△AEH 和△ABC 中，

∠AHE ＝∠ACB ，∠EAH ＝∠BAC ，

∴△AEH ∽△ABC ；

(2)解：设正方形边长为x cm ，如解图，设AD 与EH 交于P 点，则AP ＝AD －PD ＝(30－x ) cm ，

由(1)得△AEH ∽△ABC ，

第15题解图

∴AP AD ＝EH BC

， 即

30－x 30＝x 40，解得x ＝1207， ∴正方形面积为(1207)2＝1440049

cm 2， 故正方形的边长为1207 cm ，面积为1440049

cm 2. 16. (1)证明：∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∠B ＝∠B ，

∴△ACB ∽△C D B ，

∴AC CD ＝BC BD ，即AC BC ＝CD BD ，∴EC BF ＝CD BD

， 又∵∠ACD ＝∠CBD ，

∴△EDC ∽△FDB ，

∴∠EDC ＝∠FDB ，

∵∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝∠FDB ＋∠CDF ＝∠CDB ＝90°，

∴∠EDF ＝90°；

(2)解：∵BC ＝6，AB ＝43，

∴AC ＝23，CE ＝233

，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝33， 由(1)得，△EDC ∽△FDB ，

∴ED DF ＝CD BD ＝33

， 又∵∠EDF ＝90°，EF ＝CE 2＋CF 2＝2393， ∴DE ＝393

. 能力提升训练

1. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝90°，AD ＝AB ＝12，AD ∥BC ，∵AB ＝12，BM ＝5，由勾股定理得AM ＝13，∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠AMB ，∵∠AME ＝∠B ＝90°，∴△EAM ∽△AMB ，∴AE AM ＝AM BM ，即DE ＋1213＝135，解得DE ＝1095

. 2. C 【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP ＝60°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CBA ＝∠A ＝90°，∴∠ABE ＝30°，在Rt △ABE 中可得BE ＝2AE ，①正确；∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP ＝∠BPC ＝∠PCB ＝60°，BC ＝CP ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝45°，∴∠HBP ＝∠CBP －∠CBD ＝15°，∵AD ∥BC ，∴∠DFP ＝∠BCP ＝60°＝∠BPH .∵CD ＝BC ，∴CD ＝CP ，∵∠PCD ＝∠BCD －∠BCP ＝30°，∴∠CDP ＝12

(180°－∠DCP )＝75°，∴∠FDP ＝15°＝∠PBH ，∴△FDP ∽△PBH ，故②正确；∵∠PDB ＝∠BDF －∠FDP ＝45°－15°＝30°≠∠DFP ，∴△PDF 与△PDB 不相似，故③错误；∵∠PDH ＝30°＝∠DCP ，∠CPD ＝∠DPH ，∴△CPD ∽△DPH

，∴CP DP ＝DP PH

，即DP 2＝CP ·PH ，故④正确． 3. (1)证明：∵BF ⊥AD ，

∴∠BEA ＝∠BED ＝90°，

在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，

?

??BA ＝BD BE ＝BE ， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL )；

(2)证明：①如解图，取BD 的中点H ，连接GH ，

第3题解图

∵G 是BA 的中点，

∴AD ∥GH ，

即MD ∥GH ，

∴GM MC ＝HD DC

， ∵BD ＝2HD ，BD ＝4DC ，

∴HD ＝2DC ，

∴GM ＝2MC ；

②如解图，过点C 作CK ⊥AC 交AD 的延长线于点K ， ∴∠ACK ＝90°，

又∵∠BAC ＝90°，

∴∠ACK ＋∠BAC ＝180°，

∴AB ∥CK ，

∴△AGM ∽△KCM ，

∴AG KC ＝GM CM

＝2， ∴CK ＝12

AG ， 又∵AB ＝2AG ，

∴AB ·CK ＝2AG ·12

AG ＝AG 2， ∵AB ∥CK ，

∴∠KAB ＝∠AKC ，

∵∠ABF ＋∠KAB ＝90°，∠AKC ＋∠CAK ＝90°， ∴∠ABF ＝∠CAK ，

∴△ABF ∽△CAK ，

∴AF CK ＝AB AC

， ∴AF ·AC ＝AB ·CK ，

∴AG 2＝AF ·AC .

4. (1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，

∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°.

又∵∠AGB ＝90°，

∴∠BAE ＋∠A B G ＝90°，

∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°，

∴∠BAE ＝∠CBF ，

∴△ABE ≌△BCF (ASA )，

∴BE ＝CF ；

②证明：∵∠AGB ＝90°，点M 为AB 的中点， ∴MG ＝MA ＝MB ，

∴∠GAM ＝∠AGM ，

又∵∠CGE ＝∠AGM ，

∴∠CGE ＝∠ECG ＝∠GCB ，

∴△CGE ∽△CBG ， ∴CE CG ＝CG CB

，即CG 2＝BC ·CE ， 由∠CFG ＝∠GBM ＝∠BGM ＝∠CGF ，得CF ＝CG ， 由①知，BE ＝CF ，

∴BE ＝CG ，

∴BE 2＝BC ·CE ；

第4题解图

(2)解：如解图，延长AE ，DC 交于点N ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ∥CD ，

∴∠N ＝∠EAB ，

又∠CEN ＝∠BEA ，

∴△CEN ∽△BEA ，

故CE BE ＝CN BA

，即BE ·CN ＝AB ·CE ，

∵AB ＝BC ，BE 2＝BC ·CE ，

∴CN ＝BE ，

由AB ∥DN 知，CN AM ＝CG GM ＝CF MB

， 又AM ＝MB ，

∴FC ＝CN ＝BE ，

假设正方形边长为1，

设B E ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ，

得x 2＝1·(1－x )，

解得x 1＝

5－12，x 2＝－5－12(舍去)， ∴BE BC ＝5－12

， ∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12

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