中考数学复习 第20课时 相似三角形测试
第四单元三角形第二十课时相似三角形基础达标训练1. (xx重庆A卷)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )A. 3∶2B. 3∶5C. 9∶4D. 4∶92. (xx连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )第2题图A.BCDF＝12B.∠A的度数∠D的度数＝12C. △ABC的面积△DEF的面积＝12D.△ABC的周长△DEF的周长＝123. (xx枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝5，将△A B C沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )4. (xx杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC. 若BD＝2AD，则( )第4题图A. ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝125. (xx恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )A. 6B. 8C. 10D. 12第5题图第6题图6. 如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比为( )A. 1∶3B. 2∶3C. 3∶2D. 3∶37.(xx眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )A. 1.25尺B. 57.5尺C. 6.25尺D. 56.5尺第7题图 第8题图 8. (xx 临沂)已知AB ∥C D ，AD 与BC 相交于点O .若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝________． 9. (xx 益阳模拟)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 为________．第9题图10. (xx 随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．第11题图11. (xx 潍坊)如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝3AD ，AB＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__________．可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)12. (xx 甘肃省卷)如图，一张三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm .现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于________cm .第12题图 第13题图 13. (xx 宁夏)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM .当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________． 14. (8分)(xx 杭州)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AF AG的值．第14题图15. (8分)如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm .(1)求证：△AEH ∽△ABC ；(2)求这个正方形的边长与面积．第15题图16. (8分)(xx 长沙中考模拟卷四)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，且CE ＝13AC ，BF ＝13BC . (1)求证：∠EDF ＝90°； (2)若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长．第16题图能力提升训练1. (xx 泰安)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E .若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )A. 18B.1095 C. 965 D. 253第1题图 第2题图2. (xx东营)如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD 于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC.其中正确的是( )A. ①②③④B. ②③C. ①②④D. ①③④3. (9分)(xx常德)如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD于E，AC于F.(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.第3题图4. (9分)(xx安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图①，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD 交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.(2)如图②，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG 并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．第4题图 答案1. A2. D3. C4. B5. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴EF ∥AB ，∴四边形DEFB 为平行四边形，∴DB ＝EF ，DE ＝BF ，又∵AD DB ＝53，∴EF AB ＝38，又∵EF ∥AB ，∴CF BC ＝EF AB ，即66＋BF ＝38，∴BF ＝10，∴DE ＝BF ＝10. 6. A 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠A ＝60°，∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠CED ＝∠BDF ＝90°，∴∠BFD ＝∠CDE ＝∠AEF ＝30°，∴∠DFE ＝∠FED ＝∠EDF ＝60°，BD BF ＝12，∴△DEF 是等边三角形，∴BD ∶DF ＝1∶3①，BD ∶AB ＝1∶3②，△DEF ∽△ABC ，①÷②＝AB DF＝3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∴△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于1∶3.7. B 【解析】设井深x 尺，则AD ＝(x ＋5)尺，∵BC ∥DE ，∴0.45＝5x ＋5，解得x ＝57.5，经检验x ＝57.5是原分式方程的根，∴井深为57.5尺．8. 4 【解析】∵AB ∥CD ，∴OA OD ＝OB OC ＝23，∴OA ＝25AD ，∵AD ＝10，∴OA ＝25×10＝4. 9. 40 m 【解析】∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠D ，又∵∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE ，∴AB CD ＝BE CE ，解得AB ＝CD ·BE CE ＝20×2010＝40 m . 10. 53或125 【解析】根据题意，分两种情况：如解图①，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AB ＝AE AC时，△ADE ∽△ABC ，∴26＝AE 5，解得AE ＝53；如解图②，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AC ＝AE AB时，△ADE ∽△ACB ，∴25＝AE 6，解得AE ＝125.11. DF ∥AC 【解析】∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AE AB，∵∠A 为公共角，∴△ADE 与△ACB 相似，原问题转化为，使△DFB 相似△ACB ，则DF ∥AC 即可．12.154 【解析】如解图，折痕为MN ，在R t △ABC 中，AB ＝62＋82＝10，由折叠性质得：AM ＝BM ＝5，∵∠A ＝∠A ，∠AMN ＝∠C ＝90°，∴△AMN ∽△ACB ，∴AM AC ＝MN CB，∴MN ＝AM ·CB AC ＝5×68＝154.第12题解图13. 8 【解析】∵AM ⊥BM ，∴∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∵D 是AB 的中点，∴DM ＝12AB ＝3，∵ME ＝13DM ，∴ME ＝1，DE ＝4，又∵DE ∥BC ，∴DE 是三角形的中位线，∴BC ＝8.14. (1)证明：∵在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°，在△AEF 和△ACG 中，∵∠AFE ＝∠AGC ，∠EAF ＝∠GAC ，∴△AEF ∽△ACG ，∴∠AEF ＝∠C ，在△ADE 和△ABC 中，∵∠AED ＝∠C ，∠EAD ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC ；(2)解：由(1)知△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ＝35， 又∵△AEF ∽△ACG ，∴AF AG ＝AE AC ＝35. 15. (1)证明：∵四边形EHGF 为正方形，∴EH ∥BC ，∴∠AHE ＝∠ACB ，在△AEH 和△ABC 中，∠AHE ＝∠ACB ，∠EAH ＝∠BAC ，∴△AEH ∽△ABC ；(2)解：设正方形边长为x cm ，如解图，设AD 与EH 交于P 点，则AP ＝AD －PD ＝(30－x ) cm ，由(1)得△AEH ∽△ABC ，第15题解图∴AP AD ＝EH BC， 即30－x 30＝x 40，解得x ＝1207， ∴正方形面积为(1207)2＝1440049cm 2， 故正方形的边长为1207 cm ，面积为1440049cm 2. 16. (1)证明：∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△C D B ，∴AC CD ＝BC BD ，即AC BC ＝CD BD ，∴EC BF ＝CD BD， 又∵∠ACD ＝∠CBD ，∴△EDC ∽△FDB ，∴∠EDC ＝∠FDB ，∵∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝∠FDB ＋∠CDF ＝∠CDB ＝90°，∴∠EDF ＝90°；(2)解：∵BC ＝6，AB ＝43，∴AC ＝23，CE ＝233，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝33， 由(1)得，△EDC ∽△FDB ，∴ED DF ＝CD BD ＝33， 又∵∠EDF ＝90°，EF ＝CE 2＋CF 2＝2393， ∴DE ＝393. 能力提升训练1. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝90°，AD ＝AB ＝12，AD ∥BC ，∵AB ＝12，BM ＝5，由勾股定理得AM ＝13，∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠AMB ，∵∠AME ＝∠B ＝90°，∴△EAM ∽△AMB ，∴AE AM ＝AM BM ，即DE ＋1213＝135，解得DE ＝1095. 2. C 【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP ＝60°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CBA ＝∠A ＝90°，∴∠ABE ＝30°，在Rt △ABE 中可得BE ＝2AE ，①正确；∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP ＝∠BPC ＝∠PCB ＝60°，BC ＝CP ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝45°，∴∠HBP ＝∠CBP －∠CBD ＝15°，∵AD ∥BC ，∴∠DFP ＝∠BCP ＝60°＝∠BPH .∵CD ＝BC ，∴CD ＝CP ，∵∠PCD ＝∠BCD －∠BCP ＝30°，∴∠CDP ＝12(180°－∠DCP )＝75°，∴∠FDP ＝15°＝∠PBH ，∴△FDP ∽△PBH ，故②正确；∵∠PDB ＝∠BDF －∠FDP ＝45°－15°＝30°≠∠DFP ，∴△PDF 与△PDB 不相似，故③错误；∵∠PDH ＝30°＝∠DCP ，∠CPD ＝∠DPH ，∴△CPD ∽△DPH，∴CP DP ＝DP PH，即DP 2＝CP ·PH ，故④正确． 3. (1)证明：∵BF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠BED ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，⎩⎨⎧BA ＝BD BE ＝BE ， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL )；(2)证明：①如解图，取BD 的中点H ，连接GH ，第3题解图∵G 是BA 的中点，∴AD ∥GH ，即MD ∥GH ，∴GM MC ＝HD DC， ∵BD ＝2HD ，BD ＝4DC ，∴HD ＝2DC ，∴GM ＝2MC ；②如解图，过点C 作CK ⊥AC 交AD 的延长线于点K ， ∴∠ACK ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠ACK ＋∠BAC ＝180°，∴AB ∥CK ，∴△AGM ∽△KCM ，∴AG KC ＝GM CM＝2， ∴CK ＝12AG ， 又∵AB ＝2AG ，∴AB ·CK ＝2AG ·12AG ＝AG 2， ∵AB ∥CK ，∴∠KAB ＝∠AKC ，∵∠ABF ＋∠KAB ＝90°，∠AKC ＋∠CAK ＝90°， ∴∠ABF ＝∠CAK ，∴△ABF ∽△CAK ，∴AF CK ＝AB AC， ∴AF ·AC ＝AB ·CK ，∴AG 2＝AF ·AC .4. (1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°.又∵∠AGB ＝90°，∴∠BAE ＋∠A B G ＝90°，∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△ABE ≌△BCF (ASA )，∴BE ＝CF ；②证明：∵∠AGB ＝90°，点M 为AB 的中点， ∴MG ＝MA ＝MB ，∴∠GAM ＝∠AGM ，又∵∠CGE ＝∠AGM ，∴∠CGE ＝∠ECG ＝∠GCB ，∴△CGE ∽△CBG ， ∴CE CG ＝CG CB，即CG 2＝BC ·CE ， 由∠CFG ＝∠GBM ＝∠BGM ＝∠CGF ，得CF ＝CG ， 由①知，BE ＝CF ，∴BE ＝CG ，∴BE 2＝BC ·CE ；第4题解图(2)解：如解图，延长AE ，DC 交于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠N ＝∠EAB ，又∠CEN ＝∠BEA ，∴△CEN ∽△BEA ，故CE BE ＝CN BA，即BE ·CN ＝AB ·CE ，∵AB ＝BC ，BE 2＝BC ·CE ，∴CN ＝BE ，由AB ∥DN 知，CN AM ＝CG GM ＝CF MB， 又AM ＝MB ，∴FC ＝CN ＝BE ，假设正方形边长为1，设B E ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ，得x 2＝1·(1－x )，解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)， ∴BE BC ＝5－12， ∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. 感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
九年级数学《相似三角形》复习题及答案
《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( )A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEFC.DB AD =FCBFD.EC AE =BFAD(2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( )A.138B.346C.135D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似 (6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8(7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似 二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a 、b 的比例中项c=________,a 、b 、c 的第四比例线段d=________ (3)如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=________,BN ∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________ (6)已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，则CD 2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt △ABC 中，∠C=90°,CD 为斜边上的高。
初三相似三角形练习题及答案
初三相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在几何形状比较相似的情况下，能够帮助我们快速推导出一些性质和结果。
为了帮助同学们更好地掌握相似三角形的相关知识，下面给出一些练习题及其详细答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 如图，已知△ABC与△ADE相似，其中∠B=∠D=90°，AB=10cm，BC=15cm，DE=6cm，求AD和AC的长度。
解析：由于∠B=∠D=90°，所以△ABC与△ADE是直角三角形。
根据直角三角形的性质，我们知道在两个直角三角形中，如果一个角相等，那么它们就是相似三角形。
因此，△ABC与△ADE相似。
根据相似三角形的定义，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
所以我们可以列出比例方程：AB/AD = BC/DE代入已知的数值，得到：10/AD = 15/6进一步计算，可以得到：AD = (10 * 6) / 15 = 4cm同理，我们可以使用相似三角形的对应边比例相等的性质，求解出AC的长度。
列出比例方程：AB/AC = BC/AE10/AC = 15/AD代入AD = 4cm，可以得到：10/AC = 15/4进一步计算，得到：AC = (10 * 4) / 15 = 8/3 cm所以，AD的长度为4cm，AC的长度为8/3 cm。
2. 如图，已知△PQR与△XYZ相似，PR = 12cm，YZ = 6cm，PQ = 9cm，求XZ的长度。
解析：根据相似三角形的性质，我们可以列出比例方程：PQ/PX = QR/XZ代入已知数值，得到：9/PX = 12/XZ进一步计算，得到：PX * XZ = 9 * 12PX * XZ = 108根据已知条件，我们可以得到两个三角形的一对边已知，它们分别是PR和YZ，由于两个三角形相似，我们可以列出另一个比例方程：PR/YZ = PQ/XZ12/6 = 9/XZ进一步计算，得到：2 = 9/XZ解方程，可以得到：XZ = 9/2 = 4.5cm所以，XZ的长度为4.5cm。
初中数学精品试卷：相似三角形基础复习
一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ， 若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ； （D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ． 求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ． 求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点， 且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。
2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.20圆与相似三角形的结合
第20讲圆与相似三角形的结合[学生用书P129]月球有多大？我们用三角函数可以测定月球的大小，当我们已知月球离地球的距离是三十八万四千千米，就可以用相似测定月球直径的大小．如图①，把一枚硬币(直径2.4 cm)放在离眼睛2.6 m的地方，大致能够把整个月面遮住．(试一试！)①②如图②，由△OAB∽△OCD，可得CDAB＝OFOE(相似三角形对应高的比等于相似比)．把AB＝0.024 m，OF＝384 000 000 m，OE＝2.6 m代入，得CD＝0.024×384 000 0002.6≈3 500 000(m)．就是说，月球的直径约是3 500 km.类型之一圆的基本性质与相似三角形例1[2018·南京中考]如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．【思路生成】(1)欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠F AG＝∠FDC，∠AGF ＝∠FCD；(2)首先证明CG是直径，再求CG长度即可解决问题；解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°，又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC；(2)如答图，连结CG.答图∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF＝DADF，即EADA＝AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC＝AF DF.∴AGDC＝EADA.在正方形ABCD中，DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3. ∴CG＝DG2＋DC2＝32＋42＝5.∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径．∴⊙O的半径为5 2.圆与相似三角形的综合运用主要体现在以下几个方面：(1)证明圆中的比例式或等积式；(2)运用相似的性质进行圆的有关计算；(3)运用相似证明圆的切线．判定圆中的相似三角形(1)圆中的角主要有圆心角和圆周角，特别是直径所对的圆周角都是直角，利用圆心角、圆周角等寻找或构造相似三角形是基本思路；(2)利用圆的切线的判定或性质，或切线长定理寻找或构造相似三角形也是重要的方法．1．[太原竞赛]如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝11，BC＝5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为__73__．答图【解析】如答图，延长AC与圆相交于E，F，则AF＝5－11，AE＝5＋11，又AB＝6，由相交弦定理AD·AB＝AE·AF得AD＝AE·AFAB＝（5－11）（5＋11）6＝73.2．[第19届江苏竞赛]如图，AB为圆的直径，若AB＝AC＝5，BD＝4，则AE BE＝__724__．【解析】如答图，连结AD，答图∵AB为圆的直径，∴∠E＝90°，AD⊥BC，而AB＝AC＝5，BD＝4，则AD＝3，BD＝DC，∴BC＝2BD＝8，∵∠ACD＝∠BCE，∴Rt△CDA∽Rt△CEB，∴ADBE＝CDCE＝CABC，即3BE＝4CE＝58，所以BE＝245，CE＝325，则AE＝CE－AC＝325－5＝75，所以AEBE＝724.3．[苏州中考]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E ，连结CD 交OE 于点F .(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求OEOD 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°.∴∠DEO ＝∠ACB . ∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC ；(2)证明：∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A .∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ，∴∠ODE ＝∠BDC .∴∠ODF ＝∠BDE ；(3)∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OD AB 2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1， ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ， 即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝12OE ， 即OE ＝23OB ＝23OD ，∴OE OD ＝23.4．[2018·宁波中考]如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点⎝ ⎛⎭⎪⎫0<AC <165，以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E .连结OE 并延长交⊙A 于点F .(1)求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值． (2)如图2，连结CE ，当CE ＝EF 时． ①求证：△OCE ∽△OEA ； ②求点E 的坐标．(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE ·EF 的最大值．解：(1)∵直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)， ∴－34×4＋b ＝0，∴b ＝3，∴直线l 的函数表达式为y ＝－34x ＋3， ∴B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝OBOA＝3 4.(2)①证明：如答图①，连结DE，DF，∵CE＝EF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA；②如答图①，过点E作EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB＝3 4，设EM＝3m，则AM＝4m，∴OM＝4－4m，AE＝5m，∴E(4－4m，3m)，AC＝5m，∴OC＝4－5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE＝OEOA，∴OE2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m，∵E(4－4m，3m)，∴(4－4m)2＋9m2＝16－20m，解得m ＝0(舍)或m ＝1225，∴4－4m ＝5225，3m ＝3625， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫5225，3625.(3)如答图②，设⊙A 的半径为r ，设射线EA 与⊙A 相交于H ，过点O 作OG ⊥AB 于G ，连结FH ，答图①答图②∵A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝5，∴12AB ×OG ＝12OA ×OB ，∴OG ＝125， ∴AG ＝OG tan ∠OAB＝125×43＝165， ∴EG ＝AG －AE ＝165－r ，∵EH 是⊙A 直径， ∴EH ＝2r ，∠EFH ＝90°＝∠EGO ， ∵∠OEG ＝∠HEF ，∴△OEG ∽△HEF ， ∴OE HE ＝EG EF ，∴OE ·EF ＝HE ·EG ＝2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫165－r ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫r －852＋12825，∴r ＝85时，OE ·EF 取最大值为12825.类型之二 圆的切线与相似三角形例2 [2018·成都]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结OF 交AD 于点G .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长； (3)若BE ＝8，sin B ＝513，求DG 的长．【思路生成】(1)连结OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；(2)连结DF ，由(1)得到BC 为⊙O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到△ABD 与△ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；(3)连结EF ，设圆的半径为r ，由sin B 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF ＝sin B ，进而求出DG 的长即可．解：(1)证明：如答图，连结OD ，答图∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，又⊙O过点D，∴BC为⊙O的切线；(2)如答图，连结DF，由(1)知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴ABAD＝ADAF，即AD2＝AB·AF＝xy，则AD＝xy；(3)如答图，连结EF，在Rt△BOD中，sin B＝ODOB＝513，设圆的半径为r，可得rr＋8＝513，解得r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∴sin ∠AEF ＝AF AE ＝513，∴AF ＝AE ·sin ∠AEF ＝10×513＝5013，∵AF ∥OD ，∴AG DG ＝AF OD ＝50135＝1013，即DG ＝1323AD ，∴AD ＝AB ·AF ＝18×5013＝301313，则DG ＝1323×301313＝301323.5．[2018·淄博中考]如图，以AB 为直径的⊙O外接于△ABC ，过A 点的切线AP 与BC 的延长线交于点P .∠APB 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，其中AE ，BD (AE <BD )的长是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个实数根．(1)求证：P A ·BD ＝PB ·AE ；(2)在线段BC 上是否存在一点M ，使得四边形ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．解：(1)证明：∵AP 为⊙O 的切线，AB 是直径，∴∠BAP ＝90°，即∠BAC ＋∠EAP ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC ＋∠DBP ＝90°，∴∠EAP＝∠DBP，又∵PD平分∠APB，∴∠APE＝∠BPD，∴△APE∽△BPD，∴P AAE＝PBBD，∴P A·BD＝PB·AE；(2)存在．如答图，过点D作DM⊥BC于点M，连结EM，答图∵PD平分∠APB，又AD⊥P A，DM⊥PM，∴DM＝DA，∵∠AED＝∠EAP＋∠APE，∠ADE＝∠DBP＋∠BPD，又由(1)知∠EAP＝∠DBP，∠APE＝∠BPD，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴DM＝AE，∵DM⊥BC，AC⊥BC，∴DM∥AC，∴四边形ADME为菱形，易得x2－5x＋6＝0的两个根为2，3，∵AE<BD，∴BD＝3，AE＝2，∵四边形ADME为菱形，∴DM＝AE＝AD＝2，在Rt△BDM中，BD＝3，DM＝2，∴BM＝32－22＝5，∵DM∥AC，∴BDDA＝BM MC，∴32＝5MC，∴MC＝253，∴S菱形ADME ＝AE·MC＝2×235＝453.6．[2018·遂宁中考]如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线P A切⊙O于点A，连结PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连结AM交CD于点N，连结AC，CM.(1)求证：CM2＝MN·MA；(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．解：(1)证明：∵在⊙O中M点是半圆CD的中点，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠M是公共角，∴△CMN∽△AMC，∴CMAM＝MNMC，∴CM2＝MN·MA；(2)如答图，连结OA，DM，答图∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，又∵∠P＝30°，∴OA＝12PO＝12(PC＋CO)，设⊙O的半径为r，∵PC＝2，∴r＝12(2＋r)，解得r＝2，又∵CD是直径，∴∠CMD＝90°，∵M点是半圆CD的中点，∴CM＝DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2＋DM2＝CD2，∴2CM2＝(2r)2＝16，解得CM＝2 2.类型之三证明圆中的比例式或乘积式例3[天津竞赛]如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E.(1)求证：AC·BC＝2BD·CD；(2)若AE＝3，CD＝25，求弦AB和直径BC的长．【思路生成】(1)连结OD交AC于点F，由于D是弧AC的中点，∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，由垂径定理知，AF＝CF＝12AC.∠CFD＝∠BDC＝90°，则有△CDF∽△BCD；(2)延长BA，CD交于点G，易得Rt△CDE∽Rt△CAG，由比例线段解得CE ＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝4，由割线定理知，GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．解：(1)证明：如答图，连结OD交AC于点F，答图∵D是弧AC的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，且AF＝CF＝12AC.∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，又∵∠CFD＝90°，∴△CDF∽△BCD.∴CFBD＝CDBC，∴CF·BC＝BD·CD.∴AC·BC＝2BD·CD；(2)如答图，延长BA，CD交于点G，由(1)得∠ABD＝∠CBD，∠BDC＝90°，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG＝2CD＝45，∴Rt△CDE∽Rt△CAG，∴CECG＝CDCA，即CE45＝25CE＋3，解得CE＝5或CE＝－8(舍去)．在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝CG2－AC2＝（45）2－（3＋5）2＝4，∵GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝AB2＋AC2＝62＋（3＋5）2＝10.7．如图，已知四边形ABCD为圆的内接四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.答图证明：如答图，在BD上取一点E，使∠BCE＝∠ACD，即得△BEC∽△ADC，可得BE BC ＝AD AC ，即AD ·BC ＝BE ·AC ，①又∵∠ACB ＝∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，即得AB AC ＝DE DC ，即AB ·CD ＝DE ·AC ，②由①＋②，可得AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC (BE ＋DE )＝AC ·BD .8．[江苏竞赛]如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .请你说明以下各式成立的理由：(1)∠CAD ＝2∠DBE ；(2)AD 2－AB 2＝BD ·DC .证明：(1)如答图，延长BE 交圆于点F ，连结AF ，则∠DBF ＝∠DAF ，答图∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝∠DAF ＋∠F ，∴AF ︵＝AC ︵＋CF ︵＝AB ︵＋DF ︵，∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴CF ︵＝DF ︵，即点F 是CD ︵的中点，∴∠CAD ＝2∠DAF ＝2∠DBE ；(2)如答图，连结BC 交AD 于点G ，∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABC ，∠BAG ＝∠DAB ，∴△BAG ∽△DAB .∴AB AG ＝AD AB ，即AB 2＝AG ·AD .∴AD 2－AB 2＝AD 2－AG ·AD ＝AD (AD －AG )＝AD ·DG ，∵∠BDA ＝∠ADC ，∠DBG ＝∠DAC ，∴△BDG ∽△ADC .∴BD AD ＝DG DC ，∴AD ·DG ＝BD ·DC .∴AD 2－AB 2＝BD ·DC .相似三角形解决圆中计算问题作辅助线构造直角是证明圆中三角形相似的常见方法．圆中三角形的相似常见的基本图形如下图所示．类型之四 利用相似三角形解决圆中的计算问题例4 [2018·武汉中考]如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连结PB ，PC ，PC交AB 于点E ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE 的值．【思路生成】(1)连结OB ，OP ，△OAP 与△OBP 三边对应相等，这两个三角形全等，得∠OBP ＝∠OAP ＝90°，故PB 是⊙O 的切线；(2)连结BC ，AB 与OP 交于点H ，易证OP ⊥AB ，∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ，由△OAH ∽△CAB 得OH CB ＝12；由△HPB ∽△BPO ，求得HP OH ；再由△HPE ∽△BCE ，可得PE CE 的值．解：(1)证明：如答图，连结OB ，OP ，在△OAP 和△OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，AP ＝BP ，∴△OAP ≌△OBP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；(2)如答图，连结BC ，AB 与OP 交于点H ，答图∵∠APC ＝3∠BPC ，设∠BPC ＝x ，则∠APC ＝3x ，∠APB ＝x ＋3x ＝4x ， 由(1)知∠APO ＝∠BPO ＝2x ，∴∠OPC ＝∠CPB ＝x ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，由P A ＝PB ，∠APH ＝∠BPH 可得OP ⊥AB ，∴∠AHO ＝∠ABC ＝90°，即OP ∥BC ，∴∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ＝x ，∴CB ＝BP ，易证△OAH∽△CAB，∴OHCB＝OAAC＝12，设OH＝a，则CB＝BP＝2a，易证△HPB∽△BPO，∴HPBP＝BPOP，设HP＝ya，则ya2a＝2aa＋ya，解得y1＝－1－172(舍)或y2＝－1＋172，∵OP∥CB，易证△HPE∽△BCE，∴PECE＝HPCB＝ya2a＝－1＋174.9．[2018·鄂州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC 与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连结P A，且∠P AB＝∠ADB.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若AB＝6，tan∠ADB＝34，求PB的长；(3)在(2)的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．解：(1)证明：如答图，连结OA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，又∵∠P AB＝∠ADB，∠OCA＝∠ADB，∴∠OAC＝∠P AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠OAC＋∠OAB＝90°，∴∠P AB＋∠OAB＝90°，即OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线；(2)如答图，过点B作BF⊥AP于点F，答图∵∠ACB＝∠P AB＝∠ADB，AB＝6，tan∠ADB＝3 4，∴BC＝10，BFAF＝34，设BF＝3a，AF＝4a，又∵AB＝6，∴(3a)2＋(4a)2＝62，∴a＝65，∴BF＝3a＝185，AF＝4a＝245，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴BFOA＝BPOP，即1855＝BPBP＋5，解得PB＝907；(3)如答图，连结OD交AC于点G，∵CD＝AD，∴OD⊥AC，并且CG＝AG＝12AC＝4，在Rt△COG中，由勾股定理可得OG＝OC2－CG2＝52－42＝3，∴DG＝OD－OG＝5－3＝2，S△CDG＝12CG·DG＝12×4×2＝4.显然Rt△CDG∽Rt△CED，∴S△CDES△CDG＝⎝⎛⎭⎪⎫CDCG2＝⎝⎛⎭⎪⎫2542＝54，∴S△CDE ＝54S△CDG＝54×4＝5.圆与相似三角形的综合运用(1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直；(2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．类型之五圆与相似三角形的综合运用例5 [2017·温州中考]如图，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是P A ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和CM ︵所对的圆心角的度数．(2)求证：AC ＝AB .(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，当点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．【思路生成】(1)根据三角形ABP 是等腰三角形，可得∠B 的度数，再连结MD ，根据MD 为△P AB 的中位线，可得∠MDB ＝∠APB ＝28°；(2)由等角的补角相等，得∠ACB ＝∠B ，则AC ＝AB ；(3)①由垂直平分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；②利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)∵MN ⊥AB ，AM ＝BM ，∴P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠B ，答图①∵∠APB ＝28°，∴∠B ＝76°，如答图①，连结MD ，∵MD 为△P AB 的中位线，∴MD ∥AP ，∴∠MDB ＝∠APB ＝28°，∴CM ︵所对的圆心角的度数为2∠MDB ＝56°.(2)证明：∵∠BAC ＝∠MDC ＝∠APB ，又∵∠BAP ＝180°－∠APB －∠B ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ， ∴∠BAP ＝∠ACB ，∵∠BAP ＝∠B ，∴∠ACB ＝∠B ，∴AC ＝AB .(3)①记MP 与圆的另一个交点为R ，∵MD 是Rt △MBP 的中线，∴DM ＝DP ，∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD，∴RC＝RP，∵∠ACR＝∠AMR＝90°，∴AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2，∴12＋MR2＝22＋PR2，∴12＋(4－PR)2＝22＋PR2，∴PR＝138，∴MR＝198，Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ＝MR＝19 8；Ⅱ.如答图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，由PR＝CR可知PQ＝2PR＝134，∴MQ＝34；答图②答图③Ⅲ.如答图③，当∠QDC＝90°时，∵BM＝1，MP＝4，∴BP＝17，∴DP＝12BP＝172，∵△PBM∽△PQD，∴MPPB＝DPPQ，∴PQ＝178，∴MQ＝158；Ⅳ.如答图④，当∠AEQ＝90°时，答图④由AE＝PE，可得AQ＝PQ，设MQ＝x，则x2＋1＝(4－x)2，解得x＝15 8，∴MQ＝15 8；综上所述，MQ的值为198或34或158；②△ACG和△DEG的面积之比为6－233.理由：如答图⑤，过C作CH⊥AB于H，答图⑤∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE 是平行四边形，四边形AMDF 是等腰梯形，∴DF ＝AM ＝DE ＝1，又由对称性可得GE ＝GD ，并且DG ＝DF ，∴△DEG 是等边三角形， ∴∠EDF ＝90°－60°＝30°，∴∠DEF ＝75°＝∠MDE ，∴∠GDM ＝75°－60°＝15°，∴∠GMD ＝∠PGD －∠GDM ＝15°， ∴∠GMD ＝∠GDM ，∴GM ＝GD ＝1，由∠B ＝∠BAP ＝∠DEF ＝75°，得∠BAC ＝30°，从而CH ＝12AC ＝12AB ＝1＝MG ，AH ＝3，∴CG ＝MH ＝3－1，∴S △ACG ＝12CG ×CH ＝3－12，∵S △DEG ＝34，∴S △ACG ∶S △DEG ＝6－233.10．[2018·温州中考]如图，已知P 为锐角∠MAN内部一点，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，PC ⊥AN 于点C ，以PB 为直径作⊙O ，交直线CP 于点D ，连结AP ，BD ，AP 交⊙O 于点E .(1)求证：∠BPD ＝∠BAC .(2)连结EB ，ED ，当tan ∠MAN ＝2，AB ＝25时，在点P 的整个运动过程中．①若∠BDE ＝45°，求PD 的长；②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长．(3)连结OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当tan ∠MAN ＝1，OC ∥BE 时，记△OFP的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出S 1S 2的值． 解：(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠ABP ＝∠ACP ＝90°，∴∠BAC ＋∠BPC ＝180°，又∠BPD ＋∠BPC ＝180°，∴∠BPD ＝∠BAC .(2)①如答图①，∵∠APB ＝∠BDE ＝45°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝AB ＝25，∵∠BPD ＝∠BAC ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠BAC ，∴BD DP ＝2，∴BP ＝5PD ，∴PD ＝2；②Ⅰ.当BD ＝BE 时，∠BED ＝∠BDE ，∴∠BPD ＝∠BED ＝∠BDE ＝∠BPE ＝∠BAC ，∴tan ∠BPE ＝2， ∵AB ＝25，∴BP ＝5，∴BD ＝2；Ⅱ.当BE ＝DE 时，∠EBD ＝∠EDB ，∵∠APB＝∠BDE，∠DBE＝∠APC，∴∠APB＝∠APC，∴AC＝AB＝25，如答图①过点B作BG⊥AC于点G，则四边形BGCD是矩形，答图①∵AB＝25，tan∠BAC＝2，∴AG＝2，∴BD＝CG＝25－2；Ⅲ.当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，∴∠APC＝∠BAC，设PD＝x，则BD＝2x，∴ACPC＝2，而AG＝2，CD＝BG＝4，∴2x＋24－x＝2，∴x＝32，∴BD＝2x＝3，综上所述，当BD＝2，3或25－2时，△BDE为等腰三角形．(3)如答图②，过点O作OH⊥DC于点H，答图②∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，∴BD＝PD，设BD＝PD＝2a，PC＝2b，则OH＝a，CH＝a＋2b，AC＝4a＋2b，∵OC∥BE且∠BEP＝90°，∴∠PFC＝90°，∴∠P AC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°，∴∠OCH＝∠P AC，∴△ACP∽△CHO，∴OHCH＝PCAC，即OH·AC＝CH·PC，∴a(4a＋2b)＝2b(a＋2b)，∴a＝b，即CP＝2a，CH＝3a，则OC＝10a，∵△CPF∽△COH，∴CFCH＝CPOC，即CF3a＝2a10a，则CF＝3105a，OF＝OC－CF＝2105a，∵BE∥OC且BO＝PO，∴OF为△PBE的中位线，∴EF＝PF，∴S1S2＝OFCF＝23.例6[全国数学联赛题]如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积．【思路生成】先求△ABD的面积，再证△ABD与△BCD的面积相等即可．解：如答图，连结AO，交BD于H，连结OB，答图∵AE＝EC，AB＝2AE，∴AB2＝2AE2＝AE·AC，∴ABAC＝AEAB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB＝∠ADB，∴AB＝AD.∵AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∴BH ＝HD ，∵BO ＝2，BD ＝23，∴BH ＝HD ＝ 3.∴OH ＝OB 2－BH 2＝4－3＝1，AH ＝OA －OH ＝2－1＝1.∴S △ABD ＝12BD ·AH ＝12×23×1＝3，∵E 是AC 的中点，∴S △ABE ＝S △BCE ，S △ADE ＝S △CDE ，∴S △ABD ＝S △BCD ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2 3.[学生用书P67]【思维入门】1．[余姚自主招生]如图，AB 是半圆的直径，点C 是AB ︵的中点，点E 是AC ︵的中点，连结EB ，CA 交于点F ，则EF BF ＝( D )A.13B.14C.1－22 D.2－12【解析】 连结AE ，CE ，作AD ∥CE ，交BE 于点D ，答图∵点E 是AC ︵的中点，设AE ＝CE ＝x ，根据平行线的性质得∠ADE ＝∠CED ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，则AD ＝2x ，又∠DAF ＝∠ACE ＝∠CAE ＝∠CBE ，而∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∴∠DAB ＝∠DBA ，∴BD ＝AD ＝2x ，∴BE ＝(2＋1)x .∵∠EAC ＝∠ABE ，∠AEF ＝∠BEA ，∴△AEF ∽△BEA ，∴AE BE ＝EF EA ，∴EF ＝(2－1)x ，BF ＝2x .∴EF BF ＝2－12.2．[雨花区自主招生]如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF FC ＝5，又AB ＝8，AE ＝2，则AD 的长为( B )A ．1＋ 3 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 2 【解析】 如答图，连结BE .答图∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE2＝AB2－AE2＝82－22＝60.∵BFFC＝5，∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x，又∵BE2＝BF·BC，即30x2＝60，解得x＝2，∴EC2＝FC·BC＝6x2＝12，∴EC＝23，∴AC＝AE＋EC＝2＋23，∵AD·AB＝AE·AC，∴AD＝AE·ACAB＝2（2＋23）8＝1＋32.3．[天津中考]如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A，D的⊙O与边AB，AC，BC分别相交于点E，F，M.对于如下五个结论：①∠FMC＝45°；②AE＋AF＝AB；③EDEF＝BABC；④2BM2＝BE·BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是(C)A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】如答图，连结AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，答图再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF，AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC＝45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE＋AF＝AB，正确；③连结FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM＝2BE，得左边＝4BE2，故需证明AB＝4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．4．[麻城自主招生]如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC.已知AE＝22，AC＝32，BC＝6，则⊙O的半径是(D)A．3 B．4C．4 3 D．2 3【解析】如答图，延长EC交⊙O于点F，连结DF.则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径，答图∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝AEAC.则DE＝4.由Rt△ADE∽Rt△DFE，得EF＝DE2AE＝4 2.根据勾股定理，得DF＝DE2＋EF2＝16＋32＝43，则圆的半径是2 3.5．[淮安自主招生]如图，△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD＝2，AE＝1，那么BC＝__125__．答图【解析】 如答图，连结OD ，∵AC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，在Rt △ADO 中，设OD ＝R ，∵AD ＝2，AE ＝1，∴22＋R 2＝(R ＋1)2，解得R ＝32，∴AO ＝52，AB ＝4，又∵∠C ＝90°，∴OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝OA AB ，即BC ＝4×3252＝125.6．[2018·柳州]如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D .(1)求证：△DAC ∽△DBA ；(2)过点C 作⊙O 的切线CE 交AD 于点E ，求证：CE ＝12AD ；(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连结CF 交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，答图∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；(2)证明：∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA，∵∠ACD ＝90°，∴∠ACE ＋∠DCE ＝90°，∠DAC ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝∠DCE ，∴DE ＝CE ，∴AD ＝AE ＋DE ＝CE ＋CE ＝2CE ，∴CE ＝12AD ；(3)如答图，过点G 作GH ⊥BD 于H ，在Rt △ABD 中，AD ＝6，AB ＝3，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝2，∴tan ∠ABD ＝GH BH ＝2，∴GH ＝2BH ，∵点F 是直径AB 下方半圆的中点，∴∠BCF ＝45°，∴∠CGH ＝90°－∠BCF ＝45°，∴CH ＝GH ＝2BH ，∴BC ＝BH ＋CH ＝3BH ，在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC BC ＝2，∴AC ＝2BC ，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴4BC 2＋BC 2＝9，∴BC ＝355，∴3BH ＝355，∴BH ＝55，∴GH＝2BH＝25 5，在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，∴CG＝2GH＝2105.【思维拓展】7．[瓯海区自主招生]如图，已知：P A切⊙O于A，若AC为⊙O的直径，PBC为⊙O的割线，E为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且∠FPB＝45°，点F到PC的距离为5，则FC的长为(C)A．10 B．12 C．5 5 D．5 6【解析】设PB＝x，∵P A切⊙O于A，∴AP⊥AC，∴∠P AC＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠FPB＝45°，∴BE＝PB＝x，AB＝2x，PH＝FH＝5，∵∠C＋∠BAC＝90°，∠P AB＋∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P AB，∴△APB∽△CAB，∴AB BC ＝PB AB ，即2x BC ＝x 2x ，解得BC ＝4x ，∴CH ＝PC －PH ＝PB ＋BC －PH ＝5x －5，∵FH ∥AB ，∴△CFH ∽△CAB ，∴FH AB ＝CH CB ，即52x ＝5x －54x ，解得x ＝3，∴CH ＝5x －5＝10，在Rt △CFH 中，CF ＝FH 2＋CH 2＝52＋102＝5 5.8．[成都自主招生]如图，过⊙O 直径AB 上的点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，再过D 点作圆的切线l ，然后过C 点作l 的垂线交l 于点E ，若AC ＝a ，CB ＝b ，那么CE长为( A )A.2ab a ＋bB.abC.a ＋b 2D. a 2＋b 22 【解析】 如答图，连结OD ，答图∵AB ＝AC ＋BC ＝a ＋b ，∴OD＝12(a＋b)，∴OC＝OA－AC＝12(a＋b)－a＝12(b－a)，∵CD⊥AB，∴∠DCO＝90°，在Rt△DCO中，CD＝OD2－OC2＝ab，∵l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l，∵CE⊥l，∴OD∥CE，∴∠ODC＝∠ECD，∴Rt△ODC∽Rt△DCE，∴CDCE＝ODCD，即abCE＝12（a＋b）ab，∴CE＝2ab a＋b.9．[第23届“希望杯”竞赛]如图，已知A，B，C三点在同一圆上，并且AB是⊙O的直径，若点C到AB的距离CD＝5，则⊙O的直径最小值是__10__．【解析】AD·DB＝CD2＝25，AB2＝(AD＋BD)2＝(AD －BD)2＋4AD·BD≥4AD·BD＝100，当AD＝BD时，AB取得最小值10.10．[成都中考]如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连结AP ，过点A作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当△P AB 是等腰三角形时，线段BC 的长为__8或5615或853__．【解析】 Ⅰ.当BA ＝BP 时，则AB ＝BP ＝BC ＝8，即线段BC 的长为8.Ⅱ.当AB ＝AP 时，如答图①，延长AO 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AD ⊥PB ，AE ＝12AB ＝4，∴BD ＝DP ，答图①在Rt △AEO 中，AE ＝4，AO ＝5，∴OE ＝3，∵∠OAE ＝∠BAD ，∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∴△AOE ∽△ABD ，∴AO AB ＝OE BD ，∴BD ＝245，∴BD ＝PD ＝245，即PB ＝485，∵AB＝AP＝8，∴∠ABD＝∠P，∵∠P AC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△CP A，∴BDAB＝P ACP，∴CP＝403，∴BC＝CP－BP＝403－485＝5615；Ⅲ.当P A＝PB时，如答图②，连结PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连结OB，则PF⊥AB，答图②∴AF＝FB＝4，在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，∴FP＝8，∵∠P AF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，∴△PFB∽△CGB，∴PFFB＝CGBG＝21，设BG＝t，则CG＝2t，∵∠CAG＝∠APF，∠AFP＝∠AGC＝90°，∴△APF∽△CAG，∴AFPF＝CGAG，∴2t8＋t＝12，解得t＝83，在Rt△BCG中，BC＝5t＝85 3，综上所述，当△P AB是等腰三角形时，线段BC的长为8或5615或853.11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE.答图证明：如答图，连结OD，∵OC∥AD，∴∠COD＝∠ADO，∠COB＝∠DAO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC.∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB.∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则F A⊥AB. ∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴F A∥DE∥CB，∴FDFC＝AEAB.在△F AC中，∵DP∥F A，∴DPF A＝DCFC，即DPDC＝F AFC.∵F A，FD是⊙O的切线，∴F A＝FD，。
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。
2) $(2-x):x=x:(1-x)$。
则$x=\underline{1}$。
3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。
4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。
5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。
6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。
7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。
8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。
2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。
答案：B。
2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。
中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案
中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023·辽宁抚顺)下列各组图形不是相似图形的是( ) A. B. C. D.2. (2023·辽宁葫芦岛)如图,12∠=∠,那么添加一个条件后,仍不能判定ABC 与△ADE 相似的是( )A.C ADE ∠=∠B.B D ∠=∠C. AB BC AD DE =D. AB AC AD AE= 3. (2023·福建三明)如图 DE BC ∥ :3:2BD CE = 9AD = 则AE 的长为( )A.3B.4C.6D.94. (2023·福建三明)如图 在ABC 中 DE BC ∥23AD DB = 10AC = 则AE 的长为( )A.103B.4C.6D.203 5. (2023·河北唐山)如图 将Rt △ABC 平移到△A'B'C'的位置 其中∠C ＝90°使得点C'与△ABC 的内心重合 已知AC ＝4 BC ＝3 则阴影部分的面积为( )A.25 B.2425 C.52 D.25246. (2023·辽宁葫芦岛)如图 ABC 中 90ABC ∠=︒ AB BC = AF BC ∥ 点D 在线段AC 上运动 DE AC ⊥交射线AF 于点E 连接BD CE 设线段BD 的长为x 线段CE 的长为y 则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A. B. C. D.7. (2023·辽宁沈阳)如图 以点O 为位似中心 作四边形ABCD 的位似图形A B C D '''' 已知 若四边形ABCD 的面积是2 则四边形A B C D ''''的面积是( )A.4B.6C.16D.188. (2023·河北张家口)古代的“矩”是指包含直角的作图工具 如图1 用“矩”测量远处两点间距离的方法是:把矩按图2平放在地面上 人眼从矩的一端A 望点B 使视线刚好通过点E 量出AC 长 即可算得BC 之间的距离.若4cm a = 5cm b = 20m AC = 则BC =( )A.15mB.16mC.18mD.20m9. (2023·河北邯郸)一种燕尾夹如图1所示 图2是在闭合状态时的示意图 图3是在打开状态时的示意图(此时AB CD ) 相关数据如图(单位:cm).从图2闭合状态到图3打开状态 点B D 之间的距离减少了( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm10. (2023·河北邢台)题目:“如图 在矩形ABCD 中 9AB = 15BC = P Q 分别是BC CD ，上的点.”张老师要求添加条件后 编制一道题目 并解决 甲 乙两人的做法如下.下列判断正确的是( )甲:若4CQ = 则在BC 上存在2个点P 使ABP 与PCQ △相似;乙:若AP PQ ⊥ 则CQ 的最大值为254A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲 乙都对D.甲 乙都错二 填空题（本大题共10道小题）11. (2021·湘潭)如图 在△ABC 中 点D E 分别为边AB AC 上的点 试添加一个条件: 使得△ADE 与△ABC 相似.(任意写出一个满足条件的即可)12. (2023·辽宁抚顺)如图 AB CD EF ∥∥ 直线1l 2l 与这三条平行线分别交于点A C E 和点B D F .已知3AC = 8AE = 4DF = 则BD 的长为______.13. (2023·辽宁葫芦岛)如图 已知点(62)(1,1)E F ---，，以点O 为位似中心 按1:2的比例把EFO △缩小 则点E 的对应点的坐标为___________14. (2023·福建泉州)如图 AB AC 、是O 的弦(不是直径) 将AB 沿AB 翻折交AC 于点D .若AB AC = AD BD = 则AD CD＝_______.15. (2021·营口)如图 DE 是△ABC 的中位线 F 为DE 中点 连结AF 并延长交BC 于点G.若S △EFG ＝1 则S △ABC ＝ .16. (2023·辽宁朝阳)如图 在某校的2022年新年晚会中 舞台AB 的长为20米 主持人站在点C 处自然得体 已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点 则此时主持人与点A 的距离为_____米.17. (2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图 某小区门口的栏杆短臂1AO m = 长臂12OB m =.当短臂端点高度下降0.5AC m = 则长臂端点高度上升BD 等于___________m(栏杆的宽度忽略不计);18. (2023·辽宁本溪)如图 菱形ABCD 的边长为2 =60B ∠︒ 点E 在线段DC 的延长线上 将射线AE 绕点A 逆时针旋转60︒交BC 的延长线于点F 设CE x CF y ==， 则y 与x 之间的函数关系式的为______.19. (2023·辽宁锦州)如图 在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =;将ABC ∠绕点A 逆时针旋转 使点C 恰好落在AD 延长线上的点F 处 此时点B 落在点E 处 EF 交CD 于点G 则FG =______.20. (2023·河北秦皇岛)如图1 在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 10AB = 6AC =.动点P Q 从点A 同时出发 点P 以每秒5个单位的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以每秒6个单位的速度沿边AC 向终点C 匀速运动 连接PQ 以PQ 为边作正方形PQMN 使得点M C 始终在PQ 的同侧.设点P 运动的时间为t 秒.(1)线段AQ 的垂直平分线________点P (填“经过”或“不经过”);(2)PQ =________(用含t 的式子表示);(3)如图2 当点M 落在边BC 上时 t =________.三 解答题（本大题共10道小题）21. (2023·福建泉州)如图 在矩形ABCD 中 点E 在边BC 上 AF DE ⊥ 垂足为F 4=AD 2CE = 210DE = 求DF 的长.22. (2023·福建龙岩)如图 在△ABC 中 ∠C=90° 点D 在线段AC 上 且CD=2AD.求作DE ⊥AC 于点D 且DE 交AB 于点E;并求出DE BC的值.(要求:尺规作图保留作图痕迹 不写作法)23. (2023·福建宁德)如图 已知ABC 内接于O BC 是O 的直径.(1)尺规作图:确定点D E 的位置 使得点D 是弧AC 的中点 ∥DE AC 交直线BC 于点E;(保留作图痕迹 不写作法)(2)在(1)的条件下 求证:DE 是O 的切线;(3)连接BD 交AC 于点F 若6AB = 10BC = 求DF 的长.24. (2023·河北唐山)如图 AB 是⊙O 的直径 AC 是弦 直线EF 经过点C AD ⊥EF 于点D ∠DAC=∠BAC(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)求证:AC 2=AD ·AB;(3)若⊙O 的半径为2 ∠ACD=30° 求图中阴影部分的面积.25. (2023·福建福州)在ABC 中 8BC = 两条高AD BE 交于点H F 是CH 的中点 连接AF 并延长交边BC 于点G.(1)如图1 若ABC 是等边三角形.①求证:2AH DH =;②求CG 的长.(2)如图2 若AH DH = CG BD = 求ABC 的面积.26. (2021·金华)如图1是一种利用镜面反射 放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜 BC 与刻度尺边MN 的交点为D 从A 点发出的光束经平面镜P 反射后 在MN 上形成一个光点E.已知AB ⊥BC MN ⊥BC AB ＝6.5 BP ＝4 PD ＝8.(1)ED 的长为 ;(2)将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC ′(如图2) 点P 的对应点为P ′ BC ′与MN 的交点为D ′ 从A 点发出的光束经平面镜P ′反射后 在MN 上的光点为E ′.若DD ′＝5 则求EE ′的长．27. (2023·福建福州)如图(1) 等腰三角形ABC 中 5BC = 3AB AC ==.点D E 分别在AB AC 上 DE BC ∥.(1)操作发现:将图(1)中的ADE 绕点A 逆时针旋转 当点D 落在BC 边上时 DE 交AC 于点M 如图(2).发现:⋅=⋅AB CM BD CD .请证明这个结论.(2)实践探究:将图(1)中的ADE 绕点A 顺时针旋转(90BAD ∠>︒) 当D E C 三点在同一条直线上时 连接BD 如图(3).请解答以下问题:①求证:△≌△ADB AEC ;②探究线段AD BD CD 之间的数量关系 并说明理由.28. (2023·福建三明)在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线22y ax ax c =++与x轴交于点A B 与y 轴交于点C 点A 的坐标为()2,0 点53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上.(1)求抛物线的表达式;(2)如图① 点P 在y 轴上 且点P 在点C 的下方 若45PDC ∠=︒ 求点P 的坐标;(3)如图② E 为线段CD 上的动点 射线OE 与线段AD 交于点M 与抛物线交于点N 求MN OM的最大值.29. (2023·河北邢台)如图1 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ ,D E 分别为边,AB AC 上的点 且DE BC ∥.已知10BC = 32AD DB =.(1)DE 的长为______;ADE 与ABC 的周长比为______;(2)将ADE 绕点A 旋转 连接,BD CE .①当ADE 旋转至图2所示的位置时 求证:ABD ACE ∽△△; ②如图3 当ADE 旋转至点D 在BC 上时 AD BC ⊥ 直接．．写出AB 及EC 的长.30. (2023·辽宁锦州)【问题情境】如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = D E 是AB 上的两个动点 且AD BE = 连接CD CE .(1)【初步尝试】ACD ∠与BCE ∠之间的数量关系__________;(2)【深入探究】如图2 点F 在边BC 上 且DF DC = CE 与DF 相交于点G. ①求证:DF CE ⊥;②探究线段CF 与BE 之间的数量关系 并说明理由;(3)【拓展应用】如图3 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 点D E 分别在线段AB 两侧的延长线上 且AD BE = 连接CD CE .点F 在边BC 的延长线上 且DF DC = EC 的延长线与DF 相交于点G.若3AC = 2AD 请直接写出CG 的长度.答案一 选择题（本大题共10道小题）1. B2. C3. C4. B5. D6. A7. D8. B9. B10. B二 填空题（本大题共10道小题）11. ∠ADE ＝∠C(答案不唯一) 12. 12513. ()31-，或()31-， 51+ 15. 24 16. ()105117. 6 18. 4y x= 19. 54/114/1.25 20. 经过 5t 35三 解答题（本大题共10道小题）21. 2105 【详解】解:四边形ABCD 是矩形 ∴90DCE ∠=︒ AD BC ∥∴ADF DEC ∠=∠.AF DE ⊥∴90AFD ∠=︒ ∴AFD DCE ∠=∠ ∴AFD DCE △∽△∴DF AD CE DE=. 又4=AD 2CE = 210DE =∴42210DF = ∴2105DF =. 22. 作图见解析;31DE BC = 【详解】如图所示:∵∠C=90° DE ⊥AC ∴DE ∥BC∴DE AD BC AC =∵CD=2AD ∴13DE AD BC AC ==. 23. (1)见解析(2)见解析(3)5DF =【详解】(1)解:正确作出图形.(如图所示)∴如图所示 点D 点E 就是所求作的点.(2)证明:如下图所示 连接OA 设OD 交AC 于点M.∵点D 是弧AC 的中点∴弧AD 等于弧DC .∴AOD COD ∠=∠.∵OA OC =∴OD AC ⊥.90OMC ∴∠=︒ M 是AC 中点.∥DE AC90ODE OMC ∴∠=∠=︒ OD 是O 的半径∴DE 是O 的切线.(3)证明:如下图所示=6AB 10BC = 90A ︒∠= 根据勾股定理 得 228AC BC AB =-=.90OMC ∠=︒ 90A ︒∠=OD AB ∴∥.∵点O 是BC 的中点 点M 是AC 的中点132OM AB ∴== 142AM AC == ABF MDF ∠=∠ 90A FMD ︒∠=∠=.ABF MDF ∴∽.MF MD AF AB∴=. 2163MF AF ∴==. 114MF AM ∴==. 在Rt DMF △中 根据勾股定理 得2222215DF MD FM =+=+=.24. (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)33223π-. 【详解】解:(1)证明:连接OC∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA.∵∠DAC=∠BAC ∴∠OCA=∠DAC.∴OC ∥AD. ∵AD ⊥EF ∴OC ⊥EF.∵OC 为半径 ∴EF 是⊙O 的切线.(2)证明:∵AB 为⊙O 直径 AD ⊥EF∴∠BCA=∠ADC=90°.∵∠DAC=∠BAC ∴△ACB ∽△ADC.∴AD AC AC AB=. ∴AC 2=AD •AB.(3)∵∠ACD=30° ∠OCD=90° ∴∠OCA=60°.∵OC=OA∴△OAC 是等边三角形.∴AC=OA=OC=2 ∠AOC=60°.∵在Rt △ACD 中 AD=12AC=1.由勾股定理得3∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA =12×(2+1)×3﹣260233236023ππ⋅⋅=-. 25. (1)①见解析;②85;(2)86. 【详解】(1)①证明:AD BE 是等边三角形ABC 的高 60ABC BAC ∴∠=∠=︒ 90ADB ∠=︒ AD BE 分别平分BAC ∠和ABC ∠ 30HBA HAB HBD ∠∠∠∴===︒BH AH ∴= 12DH BH = 2AH DH ∴=;②解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= 2AH DH = F 是CH 的中点23AH AD ∴= 1HF CF = 23HK DG ∴= 1HK CG= 23CG DG ∴= AD BC ⊥ 等边三角形ABC 的边长为84CD ∴=2855CG CD ∴==; (2)解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= ∵F 是CH 的中点∴HK CG =AH DH =22AD DH AH ∴==2DG HK ∴=.CG BD =HK BD ∴=2DG BD ∴=.8BC =2BD CG ∴== 4DG = 6CD ∴=.90ADB BEA ∠∠︒== BHD AHE ∠=∠HBD DAC ∠∠∴= BDH ADC ∴△∽△BD HD AD CD ∴= 即1226ADAD =26AD ∴=1862ABC S BC AD ∴=⋅=△26. 13 11.527. (1)见解析(2)(1)见解析;(2)53BD CD AD -= 理由见解析【详解】(1)解:在图(1)中DE BC ∥ B ADE ∴∠=∠;在图(2)中 根据旋转的性质B ADE ∴∠=∠ ADC ADE MDC ∠=∠+∠ ADC B BAD ∠=∠+∠ MDC BAD ∴∠=∠ AB AC = B C ∴∠=∠ ABD DCM ∴∽ ∴AB BDDC CM =∴⋅=⋅AB CM BD CD ;(2))①在图(1)中DE BC ∥ ADAEAB AC ∴=AB AC = AD AE ∴=DAE BAC ∠=∠∴在图(3)中 DAE CAD BAC CAD ∠+∠=∠+∠ DAB EAC ∴∠=∠ 在ADB 和AEC 中AD AEDAB EAC AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADB AEC ≌ ②53BD CD AD -= 理由如下ADB AEC ≌BD CE ∴=35AD AB DE BC ==53DE AD ∴=BD CD CE CD DE -=-=∴53BD CD AD -=.28. (1)2142y x x =--+(2)30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)258【详解】(1)解:∵点()2,0A 53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上∴4405962a a c a a c ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.(2)解法一:如图 过点P 作PE PD ⊥交DC 的延长线于点E 过点P 作x 轴的平行线FG过点D 作DF PF ⊥于点F 过点E 作EG PF ⊥于点G∴90DPE ∠=︒ 90DFP PGE ∠=∠=︒又∵45PDC ∠=︒∴PDE △为等腰直角三角形 PE PD =设点P 坐标为()0,m∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴52DF m =- 3PF = ∵DF PF ⊥ EG PG ⊥又∵90DPE ∠=︒∴90FDP DPF ︒∠+∠= 90EPG DPF ︒∠+∠=∴FDP EPG ∠=∠在DFP △和PGE 中DFP PGE FDP GPE DP PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS DFP PGE △≌△ ∴52PG DF m ==- 3EG PF == ∴5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点当0x =时 4y =∴()0,4C又∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设直线CD 的表达式为y kx b =+ ∴4532b k b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得:124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线CD 的表达式为142y x =+ 把5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入142y x =+ 得:154322m m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭解得:32m = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法二:把CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CF 连接DF ∴CDF 为等腰直角三角形 CD CF = 45CDF ∠=︒ ∴DF 与y 轴的交点即为P 点作DG y ⊥轴于G 作FH y ⊥轴于H∴90DGC CHF ︒∠=∠=∴90DCG CDG ∠+∠=∵90DCF ∠=∴90DCG HCF ∠+∠=∴CDG HCF ∠=∠.在CDG 和FCH 中DGC CHF CDG FCH CDG FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS CDG FCH △≌△∴GC HF = DG CH =∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴3DG = 53422CG =-= ∴32HF CG == 3CH DG == ∴431OH =-=∴F 坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CF 的表达式为11b y k x =+ ∴1111312532k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得:111332k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CF 的表达式为1332y x =-+ 当0x =时 32y = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法三:过P 作PE CD ⊥于点E 过点D 作DF OC ⊥于F ∴90PEC DFC ∠=∠=︒∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴50,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴3DF = 534CF =-= ∴2222333522CD DF CF ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵90DFC PEC ∠=∠=又∵FCD ECP ∠=∠ ∴DCF PCE ∽△△ ∴CF CE DF PE= ∴31232CE PE == ∴2PE CE =.∵PE CD ⊥ 45PDC ∠=︒∴45DPE PDC ∠=∠=︒∴PE DE = ∴32352CD CE DE CE PE CE CE CE =+=+=+==∴152CE =5PE =∴()2222155522PC CE PE ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ∴53422OP OC PC =-=-=∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(3)解法一:过点N 作NH y ∥轴 交直线AD 于点H 则HNO QOM ∠=∠ 又∵NMH OMQ ∠=∠∴MNH MOQ ∽△△ ∴MN NH MO OQ = 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 当0x =时 1y =∴直线AD 与y 轴的交点坐标为()0,1Q ∴1OQ =设1,12H t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴N 的坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴2211114132222NH t t t t t ⎛⎫=--+--+=--+ ⎪⎝⎭∴22111125322228MN NH t t t MO OQ ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.解法二:过点N 作NQ x ∥轴 交直线AD 于点Q 则NQA QAB ∠=∠ 又∵NMQ OMA ∠=∠∴MNQ MOA ∽△△∴MN NQ MO OA= 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 设点N 坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴点Q 坐标为22126,42t t t t ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴()22266NQ t t t t t =-+-=--+∴22611252228MN NQ t t t MO OA --+⎛⎫===-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.29. (1)6 3:5(2)①证明过程见详解;②8AB = 245EC = 【详解】(1)解:∵DE BC ∥32AD DB = 10BC = ∴AD DE AB BC = 35AD AB = ∴3310655DE BC ==⨯= ∴△ADE 与ABC 的周长比为3:5 故答案为:6 3:5. (2)解:①证明:由(1)可知 AE AD AC AB= ∴AE AC AD AB = 根据图形旋转的性质得 BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE ∽△△;②由(1)可知 6DE = BAD CAE ∠=∠在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒∴90BAD DAC ∠+∠=︒∴90DAC CAE ∠+∠=︒ 即DA AE ⊥∴AE DC ∥ 90AEC ECD ∠=∠=︒∴四边形AECD 是矩形∴6AC DE ==在Rt ABC △中 22221068AB BC AC -=-= ∵AD BC ⊥∴1122ABC S BC AD AC AB △ ∴6824105AC AB EC AD BC ∴8AB = 245EC =.30. (1)ACD BCE ∠=∠(2)①见解析;②CF =2BE 见解析(3)81717CG =【详解】(1)解:∵AC BC =∴A B ∠=∠∵AD BE =∴ACD BCE ≅∴ACD BCE ∠=∠故答案为:ACD BCE ∠=∠;(2)①如答图1∵90ACB ∠=︒∴90ACD DCF ∠+∠︒=∵DF DC =∴DCF CFD ∠∠=.∵CGF BCE CFD ∠∠+∠=由(1)知=ACD BCE ∠∠∴90CGF ACD DCF ∠∠+∠︒==. ∴.DF CE ⊥②CF=2BE.理由:如答图3 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥于点N则90CNE DHF ∠=∠︒=在DHF △和CNE 中,,.DF CE HDF ECN DHF CNE ⎧⎪∠∠⎨⎪∠=∠⎩＝＝∴()DHF CNE AAS ≅∴HF EN =.∵9045ACB CBE ∠︒∠︒==，∴EN =2BE .∴HF =2BE CF =2BE . (3)如答图5 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥交CB 延长线于点N由(2)探究可得22CF CH FH ===2BE . ∵AD =2∴BE AD ==2∴21CF CH FH ===，.∵390AC ACB =∠=︒，∴33BC AC AB ===，2 4BD =2∵90ACB DHC ABC DBH ∠=∠=︒∠=∠， ∴ABC DBH ∴BA AC BD DH = 32342DH= ∴4DH = ∴CD =22CH DH +17∵DF DC = ∴F DCF ∠=∠.又∵90DHC CGF ∠=∠=︒∴CFG DCH ∴CG CF DH DC =∴417CG ∴817CG =。
完整word版人教版初三数学相似三角形的判定基础练习题含答案
1.相似三角形的判定(根底〕一、选择题以下判断中正确的选项是()A.C.全等三角形不一定是相似三角形不相似的三角形一定不全等B.不全等的三角形一定不是相似三角形D.相似三角形一定不是全等三角形2．△ABC的三边长分别为、、2,△A′B′C′的两边长分别是1和,如果△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是() A.B. C. D.3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是〔〕．A．①和②①②B．②和③③C．①和③④D．②和④在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件()A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，假设∠AEF＝90°，那么一定有〔〕A．ADE∽AEF B．ECF∽ΔAEF C．ADE∽ΔECF D．AEF∽ΔABF6.如下图在平行四边形ABCD 中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，那么CD的长为()A. B.8 C.10 D.167.二、填空题如下图，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为适宜的条件___使△ADE∽△ACB.8.如下图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，那么AC=________.如下图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△ AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,那么图中与△OEF相似的三角形为____.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,那么图中相似三角形共有_________对.三．解答题13.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，那么△ABC和△EDF相似吗？为什么？【答案与解析】一．选择题1.【答案】C2.【答案】A【解析】根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是3.【答案】C【解析】设方格边长为1，求出每个三角形的各边长，运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定方法来确定相似三角形.4.【答案】C5.【答案】C【解析】∵∠AEF＝90°,∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C【解析】∵EF∥AB，∴，∵，∴，，CD=10，应选C.二.填空题7.【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或.【解析】据判定三角形相似的方法来找条件.8.【答案】3.【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9.【答案】；10.【答案】4【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4BC=CD=2∴,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥∥CD∴△EFC∽△EAB;△EFC∽△AFD;△AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．15.【解析】△ABC和△EDF都是直角三角形，且两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC 和DE，再看三边是否对应成比例.在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△ABC和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).。
初三数学相似三角形测试题及答案
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最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~初三数学相似三角形测试题及答案 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。
2、已知653z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。
3、在等腰Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。
4、反向延长线段AB 至C ，使2AC ＝AB ，那么BC ：AB ＝ 。
5、△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，它们周长的差为40厘米，则△A ′B ′C ′的周长为 厘米。
7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC＝ 。
若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。
8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。
9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14，BC ＝12，AC ＝10，那BE ＝ 。
10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。
11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）A 、4,2,6,3====d c b aB 、3,6,2,1====d c b aC 、10,5,6,4====d c b aD 、32,15,5,2====d c b a 12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）CB DAD C NPN QABA 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1：314、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（ ） A 、1：3 B 、1：4 C 、2：1 D 、3：115、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ） A 、27 B 、12 C 、18 D 、20 16、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为cb a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么cb a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6 B 、6：5：4 C 、15：12：10 D 、10：12：1517、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为（ ） A 、44厘米 B 、40厘米 C 、36厘米 D 、24厘米18、下列判断正确的是（ ）A 、不全等的三角形一定不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一定是相似三角形 19、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，EF ∥BC ，则图中与△ADC 相似的三角形共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、多于3个20、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的点，若BE ：EC ＝4：5，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（ ） A 、4：5 B 、3：5 C 、4：9 D 、3：821、已知()3:2:=-y y x ，求y x yx 2352-+的值。
初三数学相似三角形试题答案及解析
初三数学相似三角形试题答案及解析1.（2013山东济宁）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________cm．【答案】18【解析】如图，过A作AN⊥BC，交DE于M．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴．设屏幕上图形的高度是xcm，则，解得x＝18．故答案为18．2.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不可到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是________；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树AB的高度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．【答案】见解析【解析】（1）皮尺、标杆．（2）测量示意图如图所示．（3）如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c．∵DF、BC是同一时刻的太阳光线，∴∠DFE＝∠BCA．又∵DE⊥AF，BA⊥AF，∴△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．3.（2014山东潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是________米．【答案】54【解析】设建筑物的高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG，∴，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得，即，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH ＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．4.已知：△ABC∽△A′B′C′，AB＝4cm，A′B′＝10cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8cm．求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．【答案】12cm【解析】∵△ABC∽△A′B′C′．∴．∴．∴A′E′＝12cm．5.两个相似三角形的相似比为2︰5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．【答案】15【解析】设较大三角形的周长为x，则较小三角形的周长为x－9，根据周长的比等于相似比可得（x－9）︰x＝2︰5，解得x＝15，即较大三角形的周长为15．6.（2013重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3︰4，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．4︰3B．3︰4C．16︰9D．9︰16【答案】D【解析】相似三角形面积的比等于相似比的平方．7.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（）A．3B．4C．6D．8【答案】D【解析】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故选D．8.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1︰2，若BC＝1，则EF的长是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为1︰2，∴BC︰EF＝1︰2．∵BC＝1，∴EF＝2．故选B．9.（2014浙江宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2︰3B．2︰5C．4︰9D．【答案】C【解析】∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC．又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD，∴．又∵AB ＝2，DC ＝3，∴，∴．故选C ．10. （2014江苏宿迁）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝90°．设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△PAD ∽△PBC ，则AP ︰BP ＝AD ︰BC ，即x ︰（8－x ）＝3︰4，解得，经检验，其是原方程的解；②若△PAD ∽△CBP ，则AP ︰BC ＝AD ︰BP ，即x ︰4＝3︰（8－x ），解得x ＝2或x ＝6，经检验，它们都是原方程的解．故满足条件的点P 有3个，故选C ．11. （2013安徽）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝________．【答案】8【解析】∵E 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴EF 是△PBC 的中位线．∴EF ∥BC ，，∴△PEF ∽△PBC ，∴．∵S ＝2，∴S △PBC ＝8．∴S 1＋S 2＝S △PBC ＝8．12. 若△ABC 与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB ＝6cm ，A′B′＝8cm ，那么△ABC 与△A′B′C′的相似比为________． 【答案】【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为．13. 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B【解析】∵a∥b∥c，∴，即．∴．∴BF＝BD＋DF＝3＋4.5＝7.5．14.如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是（）A．△ABC和△BADB．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABCD．△ABD和△BDC和△ABC【答案】C【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴．又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°．在△BDC和△ABC中，∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC．故选C．15.在△ABC与△A′B′C′中，AB︰AC＝A′B′︰A′C′，∠B＝∠B′，则这两个三角形（）A．相似，但不全等B．全等或相似C．不相似D．无法判定是否相似【答案】D【解析】因为AB︰AC＝A′B′︰A′C′，∠B＝∠B′，条件中相等的角不是成比例的两边的夹角，所以无法判定是否相似，故选D．16.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．∠C＝∠AEDC．∠B＝∠DD．【答案】D【解析】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，但条件与∠DAE＝∠BAC不是成比例的两边与夹角的关系，故不能判定三角形相似．17.如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC【答案】B【解析】△ABP和△ACB有公共角∠A，故添加，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得△ABP∽△ACB；添加∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，由“两角分别相等的两个三角形相似”可得△ABP∽△ACB；只有添加不能得出△ABP∽△ACB．故选B．18.（2014河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【答案】A【解析】由题意知新三角形与原三角形的对应角相等，对应边的比也相等，所以两个三角形相似，甲的观点正确；新矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比并不相等，所以新矩形与原矩形不相似，乙的观点也正确．故选A．19.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长为________时，△ADP和△ABC相似．【答案】4或9【解析】当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．20.如图，点A，B的坐标分别是（0，8），（6，0），过边OA上的点P（0，4）作直线PQ与△OAB的另一边相交于点Q，当点Q的坐标为________时，形成的新三角形与△OAB相似．【答案】（3，4）或（3，0）或（1.92，5.44）或（，0）【解析】由已知得OA＝8，OB＝6，OP＝4，由勾股定理可得AB＝10．①当PQ∥x轴时，△APQ∽△AOB，此时Q是AB的中点，可得Q（3，4）．②当PQ∥AB时，△OPQ∽△OAB，此时点Q是OB的中点，可得Q（3，0）．③当PQ⊥AB于Q时，由，可得△APQ∽△ABO，则，解得AQ＝3.2．此时，作QC⊥OA于C，可得△AQC∽△ABO，，即，解得AC＝2.56，QC＝1.92，∴OC＝8－2.56＝5.44，∴点Q（1.92，5.44）．④当时，△OPQ∽△OBA，则，解得，∴Q（，0）．故点Q的坐标为（3，4）或（3，0）或（1.92，5.44）或（，0）．。
《相似三角形》能力测试题及参考答案
《相似三角形》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别在AB,AC,BC 边上,DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是( ) A.AE EC=BF FCB.AD BF=AB BCC.CE CF=EA BFD.EFAB=DE BC第1题 第2题 第3题 第4题2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D,下列结论中,错误的是( ) A.ADAC =ACAB B.ADAC =CDBCC.AD AC =BDBCD.AD CD =CDBD 3.如图,已知矩形ABCD 中,E 为BC 边上一点,DF ⊥AE 于点F,且AB =6,AD=12,AE =10,则DF 的长为( ) A.5 B.113 C.365 D.84.如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点.若 AM = 2,则线段ON 的长为( )A.√22B.√32C.1D.√625.如图,在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,4),将△AOB 绕点O 顺时针旋转一定角度得△COD,点A,B 的对应点分别为点C,D,若OD 恰好经过AB 的中点E,则点D 的坐标为( ) A.(125,165)B.(165,125) C.(125,185) D.(185,125)第5题 第6题第7题 第8题6.如图,平面直角坐标系中,A(-8,0),B(-8,4),C(0,4),反比例函数y=KX 的图象分别与线段AB,BC 交于点D,E,连接DE,若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上,则k 的值是( ) A.-20 B.-16 C.-12 D.-87.如图,在△ABC 中,点D 、E 在AC 、BC 边上,连接DE 并延长交AB 延长线于点G.过D 作DF ⊥AG 于F.若 2∠ADF=∠G,CE;BE=2;1,AD=2√10,AF=2,GE=4,则BA 的长度为( ) A.2√103B.4√103C.9D. 128.如图,矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的,AC 与DE,EF,FG,HG,HB 分别交于点P,Q, K,M,N.设EPQ,GKM,BNC 的面积依次为S 1,S 2,S 3.若S 1+S 3=30,则S 2的值为( ) A.6 B.8 C.10 D.129.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AB 上,连接DE,交对角线AC 于点F,如果S △ADF S △DFC=23,CD=6,那么BE 的值为( )A.2B.3C.4D.5第9题 第10题第11题 第12题10.如图,已知四边形ABCD 是矩形,点E 在BA 的延长线上,AE=AD,EC 分别交AD,BD 于点F,G,若AF=AB,则AD:AB 的值为( ) A.32 B.√5+12 C.2 D.√3+1211.如图,AB//GH//CD,点H 在BC 上,AC 与BD 交于点G,AB=4,CD=6,则线段GH 长为( )A.5B.3C.2.5D.2.412.锐角△ABC 中,BC=6,S △ABC =12,两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动,且MN/ /BC, MP ⊥BC,NQ ⊥BC 得矩形MPQN,设MN 的长为x,矩形MPQN 的面积为y,则y 关于x 的函数图象大致形状是( )A.B. C. D.13.如图,矩形ABCD 中,点E,F 分别是BC,CD 的中点,AE 交对角线BD 于点G,BF 交AE 于点H.则GH HE的值是( )A.12 B.23 C.√22 D.√32第13题 第14题 第15题14.如图,在正方形ABCD 中,△BPC 是等边三角形,BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E,F,连接BD 、DP,BD 与CF 相交于点H,给出下列结论:①∠DPC=75°②CF=2AE ③DFBC =23④△FPD ∽△PHB ⑤AF 2=EF ·EB.其中正确结论的个数是( )A.5B.4C.3D.215.在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,点A 的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,2).延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C;延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形A 2B 2C 2C 1,按这样的规律进行下去,第2025个正方形(正方形ABCD 看作第1个)的面积为( ) A.5×(32)2022B.5×(94)2025C.5×(94)2024D.5×(32)2023二、填空题16.如图,在△ABC 中,点D,E 分别是BC,AC 上一点,连接AD,BE 交于点G,若AG AD=34,BD BC=25,则AEAC的值为___.第16题 第17题 第18题17.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,点P,Q 分别为AB,BC 上一个动点,将△PQB 沿PQ 折叠得到△PQD,点B 的对应点是点D,若点D 始终在边AC 上,当△APD 与△ABC 相似时,AP 的长为___. 18.如图,点O 是四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点,∠BAD 与∠ACB 互补,OD OB=34, AD=6,AB=7,AC=5,则BC 的长为_____.19.如图,在平面直角坐标系中,点A 和点C 是反比例函数y=1x 图象上的两点,以AC 为边作等边△ABC,反比例函数y=kx 恰好过点B,则k 值为____.第19题 第20题 第21题20.如图,正方形ABCD 的边长是8cm,E 是CD 边的中点,将该正方形沿BE 折叠,点C 落在点C ’处.⊙O 分别与AB 、AD 、BC ’相切,切点分别为F 、G 、H,则⊙O 的半径为___cm.21.如图,菱形ABCD 中,AB=AC,点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点,且AE=BF,连接CE 、AF 交于点H,连接DH 交AC 于点O,∠CHD=60°.则下列结论:①△ABF ≌△CAE ②∠AHC=120°③AH+CH=DH,④AD 2=OD.DH 中,正确的是___.三、解答题22.如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 分别交BC,AC 于点D,E,连结EB,交OD 于点F. (1)求证:OD ⊥BE;(2)若DE=√10,AB=10,求AE 的长;(3)若△CDE 的面积是△OBF 面积的56,求BCAC的值.23.已知,如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=8.对角线AC 与BD 交于点O,点P 是边BC 上的一个动点,连接AP,作△AEP ∽△AOB,且射线OE 与AD 边交于点Q. (1)求证:△AOE ∽△ABP;(2)判断DQ 是否为定值,若是,则求出DQ;若不是,请说明理由; (3)连接CE,DP,若DP=2√135CE,求BP 的长.24(1)如图(1),已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上,GE ⊥BC,垂足为点E,GF ⊥CD,垂足为F,则AGBE =___. (2)将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α(0<a<45),如图(2)所示,试探究AG 与BE 之间的数量关系,并说明理由.(3)正方形CEGF 在旋转过程中,当B,E,F 三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG 交AD 于点H.若AG=6,GH=2√2,求BC 的长.25.如图,抛物线y=3+√36x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,点A,B 分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=√3CD. (1)求b,c 的值;(2)求直线BD 的函数解析式;(3)点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方,点Q 在射线BA 上.当△ABD 与△BPQ 相似时,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标.参考答案一、选择题1-5 DCCCA 6-10 CCDAB 11-15 DBBBC 二、填空题 16.611 17.83或6-2√3 18.50719. -3 20. 221.①②③④ 三、解答题 22(1)略 (2)8 (3)√1701723(1)略(2)DQ 为定值3 (3)2 24(1)√2(2)AG=√2BE (3)3√5 25(1)b=-1-√33,c=−3−√32(2)y=-√33x+√3 (3)(1-2√33,0)或(-1+4√33,0)或(1-2√3,0)或(5-2√3,0)。