同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分

第九章 重积分

教学目的：

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点：

1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：

1、 利用极坐标计算二重积分；

2、 利用球坐标计算三重积分；

3、 物理应用中的引力问题。

§9. 1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积

设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 ∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个∆σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为 高而底为∆σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ∆σi (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n

i f V σηξ∆≈=∑),(1.

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即

i i i n

i f V σηξλ∆==→∑),(lim 1

0.

其中λ是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量.

设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续. 现在要计算该薄片的质量M .

用一组曲线网把D 分成n 个小区域 ∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: ρ(ξ i , η i )∆σ i .

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: i i i n

i M σηξρ∆≈=∑),(1.

将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量 i i i n

i M σηξρλ∆==→∑),(lim 1

0.

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 ∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .

其中∆σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个∆σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和

i i i n

i f σηξ∆=∑),(1

.

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作

σd y x f D

⎰⎰),(, 即

i i i n

i D

f d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(1

0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素:

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域∆σi 的边长为∆x i 和∆y i , 则∆σi =∆x i ∆y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作

dxdy y x f D

⎰⎰),(

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.

二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.

二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

二. 二重积分的性质 性质1 设c 1、c 2为常数, 则

σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c D

D

D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121.

性质2如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则

σσσd y x f d y x f d y x f D D D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2

1

),(),(),(.

性质3

σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰D

D

d d 1(σ为D 的面积).

性质4 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式

σσd y x g d y x f D

D

⎰⎰⎰⎰≤),(),(.

特殊地有