两角和与差的正弦、余弦、正切公式复习教案
4
2
2 2 如已知 an 2 ，求 sin sin cos 3cos （答：
3 ）. 5
(7)正余弦 “三兄妹— sin x cos x、sin x cos x ” 的内存联系―― “知 一求二” ：
如（1）若 sin x cos x t ，则 sin x cos x 这里 t [ 2, 2] ； __（答：
（2）已知
sin cos 2 1 1, tan( ) ，求 tan( 2 ) 的值（答： ） 1 cos 2 3 8
(三)公式变形使用（ tan tan tan 1 tan tan 。
如 （1） 已知 A、 为锐角， B 且满足 tan A tan B tan A tan B 1 ， cos( A B) 则 ＝_____（答：
cos100 cos100 2sin 200 2cos100 2sin100 2sin100
cos100 2sin(300 100 ) cos100 2sin 300 cos100 2cos 300 sin100 2sin100 2sin100
3 2
cos 300
（2）当函数 y 2 cos x 3 sin x 取得最大值时， tan x 的值是______(答：
3 )； 2
（3）如果 f x sin x 2cos( x ) 是奇函数，则 tan =
(答：－2)；
（4）求值：
3 1 64 sin 2 20 ________(答：32) 2 sin 20 cos 20
( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2 ， 等）. 2 2 2 2
如 （1） 已知 tan( )
(sin sin )2 (cos cos )2 1,
1 2 2 cos( ) 1, cos( ) . 2
2. 解：原式
2cos 2 100 cos 50 sin 50 sin100 ( ) 0 0 4sin10 cos10 sin 50 cos 50
2 ） ； 2
(2)设 ABC 中， A tan B 3 3 tan Atan B ， Acos A sin tan 则此三角形是____三角形（答：等边）
3 ， 4
(四)三角函数次数的降升(降幂公式：
sin 2
cos 2
1 cos 2 2 ，
1 cos 2 2 2 与升幂公式： 1 cos 2 2cos ， 1 cos 2 2sin )。 2 3 2
(cos sin )2 cos sin 1 tan 2008 cos 2 sin 2 cos sin 1 tan
3. 4.
2 f ( x) cos 2 x 3 sin 2 x 2 cos(2 x ) ， T 3 2 1 7 4 1 7 (sin cos ) 2 1 sin ,sin , cos 2 1 2sin 2 , 2 2 3 3 9 3 9
的奇函数 4
B. 周期为
的偶函数 4
C. 周期为
的奇函数 2
D. 周期为
的偶函数 2
）
6.
已知 cos 2
2 4 4 ，则 sin cos 的值为（ 3
11 18
C.
A.
13 18
B.
7 9
D.
1
二、填空题
1. 求值： tan 200 tan 400 3 tan 200 tan 400 _____________.
2
巩固练习 一、选择题
1. 已知 x ( A. 2.
7 24
2
, 0) ， cos x
7 24
4 ，则 tan 2 x （ 5
24 7
）
B.
C.
D.
24 7
函数 y 3sin x 4cos x 5 的最小正周期是（ A.
）
5
B.
2
C.
D.
2
）
5.
函数 y 2 sin(2 x )cos[2( x )] 是（ A. 周期为
三角恒等变换
教学目标：通过例题的讲解，使学生对两角和差公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧
王新敞
奎屯 新疆
教学内容：进行角的变换，灵活应用基本公式； 重点难点：进行角的变换，灵活应用基本公式 教学策略与方法：讲述法 本备课改进： 教学过程：
一、复习引入： 1．两角和与差的正、余弦公式
二、讲解范例：
如(1)若 ( , ) ，化简
1 1 1 1 ； cos 2 为_____（答： sin ） 2 2 2 2 2
（2）函数 f ( x ) 5 sin xcos x 5 3 cos 2 x ___________（答： [ k
12
,k
5 ]( k Z ) ） 12
, cos 2 的值为
.
三、解答题
1. 已知 sin sin sin 0,cos cos cos 0, 求 cos( ) 的值.
2.
若 sin sin
2 , 求 cos cos 的取值范围. 2
3.
求值：
1 cos 200 sin100 (tan 1 50 tan 50 ) 2sin 200
本备课改进：
做题技巧
总结：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角 二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角 的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化 弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（一） 、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角 的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如
t 2 1 )，特别提醒： 2
4 7 （2）若 (0, ),sin cos 1 ，求 tan 的值。 （答： ） ；
2
3
sin 2 2sin 2 （3） 已知 试用 （答： k ( ) ， k 表示 sin cos 的值 4 2 1 tan 。 1 k ）
2 2 1
2 2 sin 4 x ，为奇函数， T 4 2 2
y 2 sin 2 x cos 2 x
1 sin 4 cos 4 (sin 2 cos 2 ) 2 2sin 2 cos 2 1 sin 2 2 2
1 11 1 (1 cos 2 2 ) 2 18
3、辅助角公式中辅助角的确定： a sin x b cos x
中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由
化简时起着重要作用。
a 2 b 2 sin x
(其
tan
b a 确定)在求最值、
如 （1） 若方程 sin x 3 cos x c 有实数解， c 的取值范围是___________. 答： 则 （ [－2,2]） ；
2 1 ，tan( ) ， 那么 tan( ) 的值是_____ （答： 5 4 4 4
3 ） ； 22
2 490 cos( ) 的值（答： ） ； 729
（2）已知 0
，且 cos(
1 2 ) ， sin( ) ，求 2 9 2 3
(sin sin )2 (cos cos )2 1,
1 2 2 cos( ) 1, cos( ) . 2
三、解答题 1. 解： sin sin sin ,cos cos cos ,
二、填空题 1.
3
tan 600 tan(200 400 )
tan 200 tan 400 3 1 tan 200 tan 400
3 3 tan 200 tan 400 tan 200 tan 400
2.
2008
1 1 sin 2 1 sin 2 tan 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
（3）已知 , 为锐角， sin x,cos y ， cos( ) 函数关系为______（答： y
3 ，则 y 与 x 的 5
3 4 3 1 x 2 x( x 1) ） 5 5 5
(二)、三角函数名互化(切化弦)
如（1）求值 sin50 (1 3 tan10 ) （答：1） ；
2.
若
1 tan 1 2008, 则 tan 2 1 tan cos 2
.
3.
函数 f ( x) cos 2 x 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________.
4.
已知 sin
2
cos
2
2 3 , 那么 sin 的值为 3
5 3( x R ) 的单调递增区间为 2
(五)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
如（1） tan (cos sin )
sin tan （答： sin ） ； cot csc
（2）求证：
数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)
第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时导入新课思路1。
(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．思路2。
（问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：（1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；（2）错误!－错误!－sin x －cos x ；（3）sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＋错误!。
答案：（1）cos α；（2）0；（3）1。
2．证明下列各式:（1）sin α＋βcos α－β＝错误!； (2）tan(α＋β)tan(α－β)（1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；(3）错误!－2cos(α＋β）＝错误!.答案：证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课．推进新课错误!错误!①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式。
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时,还要注意角的相对性，如α＝（α＋β)－β，错误!＝(α－错误!)－(错误!－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S（α±β）〕;cos(α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ〔C(α±β)〕；tan（α±β)＝错误!〔T（α±β)〕．讨论结果：略．错误!思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．（1)sin72°cos42°－cos72°sin42°;（2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)错误!。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三、课内练习应用示例例1、已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53-,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(4π-α)=sin4πcosα-cos4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πco sα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.例题2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin72cos42cos72sin42-（2）、cos20cos70sin20sin70-；（3）、1tan151tan15+-示范点拨，加深理解7----10。
两角和与差的三角函数-倍角公式-复习-教案
知识点两角和与差的正弦、余弦、正切公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 怎么由一个公式推导出来？一、已知βαsin ,sin 求cos ()αβ+1． 已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ）已知sin αβ==，则αβ+为（ ） 已知αα,53sin =在第二象限，ββ,135cos -=在第三象限，求)tan(),cos(),sin(βαβαβα+-+注意角所在象限2、符号C B A cos ,135cos ,53sin 那么== 在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 那么==的值是 ．二、逆用公式cos79°cos34°+sin79°sin34°等于（ ）Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是 的值为 ．求值：_____________.0000tan 20tan 4020tan 40+=变式 已知A+B=，则（1+tanA ）（1+tanB ）=（ ）三、常数代换与逆用公式1、化简x x sin cos 3-化简3232sin cos x x +=化简4sinx+3cosx=变式 函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）2、求值 =______________变式 。
tan75-175tan 1+ ．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan （α+β）=四．先展开函数f （x ）=sinx+cos （x+）的最大值为变式 已知sinα+cos （α﹣）=，则cos （α﹣）的值等于（ ）五、在三角形中求值15tan 115tan 1+-1、求值在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 那么==的值是 ．在△ABC 中，已知，，则cosC 的值为（ ）2、判断三角形形状在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形内角和公式 变式 ．在△ABC 中，已知sinC=2sin （B+C ）cosB ，那么△ABC 一定是（ ）A ． 等腰直角三角形B ． 等腰三角形C ． 直角三角形D ． 等边三角形判断△ABC 的内角满足sinA+cosA ＞0，tanA ﹣sinA ＜0，则A 的取值范围是（ ）A ． （0，）B ． （，）C ． （，）D ． （，π）变式 在△ABC 中，若1﹣tanAtanB ＜0，则△ABC 是（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 直角三角形D ． 等腰三角形变式 已知向量，，若A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，，则与的夹角为（ ）锐角三角形，C<90,A+B>90钝角三角形，C>90,A+B<90六、角的代换若α是锐角，且满足cosα=31，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πα的值为（ ）若α是锐角，且满足，则cosα的值为（ ）变式 若α是锐角，且满足，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πα的值为（ ）变式 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值变形方式1、两边平方2、asinwx+bcoswx= 3.展开 4.角的转换5、齐次分式化为tan在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 等于（ ）A ． 30°B ． 150°C ． 30°或150°D ． 60°或120°设a=sin15°+cos15°，b=sin17°+cos17°，比较a,b 大小若sinθ+cosθ=，则tan （θ+）的值是（ ）已知22cos cos =+βα，求βαsin sin +的取值范围。
三角恒等变换复习教案(二)(共三个课时)
三角恒等变换复习教案学习目标:(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 重点:熟练、灵活的应用三角公式.难点:变换中的技巧.复习与巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.一、关于和角与差三角公式特别注意公式的结构,用活公式. :sin()sin cos cos sin ;sin()sin cos cos sin ,,:2sin cos sin()sin();2cos sin sin()sin().αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-=++-=+--如在公式中应用方程的思想得 :2cos cos cos()cos();2sin sin cos()cos()C C αβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++--=+--同理由公式可得tan tan :tan(),:1tan tan tan tan tan()(1tan tan ),tan tan ,tan tan ,.αβαβαβαβαβαβαβαβ++=-+=+-+又如公式可以变形为特别是公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起 二、习题复习与巩固231.sin ,,cos ,,tan().34αβαβαβ==-++例已知且是第二象角求的值()()S C αβαβ++()()S C αβαβ--ββ-以代ββ-以代tan(60)tan(30)2..1tan(60)tan(30)αααα+-+++⋅+ 例计算的值 1113.sin ,cos(),,(0,),7142πααβαββ=+=-∈例已知且求的值 31234.,cos(),sin(),sin 2,sin 224135ππβααβαβαβ<<<-=+=-例已知求的值 42sin 3cos (1)55.(1)sin().32cos 3sin (2)547(2)8sin 5cos 6,sin(),808cos 5sin .αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+=+=+例已知求的值求的值6(1):3cos 3sin ;(2):;(3):sin .1212x x x x ππ-+例化简化简求值7.:tan15tan30tan15tan30++ 例计算():1.[0,];22.;3.;4.π请同学们把下列内容记一记或默一默间的特殊角的三角函数值同角三角函数基本关系式九组诱导公式两角和与差的三角函数公式三、综合训练题 28.0(0)tan ,tan ,tan().ax bx c a a c αβαβ++=≠≠+例已知一元二次方程且的两个根为求的值tan tan :tan()1tan tan αβαβαβ++=-分析tan tan .tan tan b a ca αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而代入即可 21.670tan ,tan ,:sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+变式题已知一元二次方程的两个根为求证22.,(tan ,0),(tan ,0)()(23)20(0),tan().m A B f x mx m x m m y αβαβ=+-+-=≠=+变式题设为实数是二次函数图象上的两点求的最小值min 923:00,(,0)(0,],tan tan ,4233tan tan tan(),.24m m m m m y m y m αβαβαβ-∆≥≠∈-∞+=--=∴=+==-∴=- 分析且得 9.:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=⋅⋅例在中,求证:tan()tan .A B C +=-分析利用10.,(0,),:(1tan )(1tan )2:.24A B A B A B ππ∈++=+=例已知求证的充要条件是 :tan tan tan()(1tan tan )2T αβπαβαβαβ++=+-分析利用的变式.:(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)++++ 变式题化简11.:[2sin50sin10(1)]+ 例求值:50,10,80,60,90,.分析都不特殊角但其和却是特殊角故可考虑逆用两角和公式求其三角函数值:cos10(2sin 50sin10)80cos102cos(6010)(2sin 50sin10)cos1050cos10cos50sin10)60=+-=++==思路一原式:[2sin 50sin10(1tan 60tan10)]80tan 60tan10)[2sin 50sin10]tan(6010)2cos50(2sin 50sin10)cos10=++-=+-=+==思路二原式2222sin()sin()tan 12.:1.sin cos tan αβαββαβα+-=-例求证 :,,.分析观察左右两边的差异从左向右证明要解决角的差异如果从右向左证明解决名称的差异32sin 13.:tan tan .22cos cos 2x x x x x -=+例求证:,,.,,.分析此题各式间的差异较大不仅角之间的差异而且函数名称及结构之间也存在较大差异为此要重点抓住某一特征差异进行分析以求突破 3sin tantan ;322cos cos 222sin sin .333cos()cos()cos cos 222222x x x x x x x x x x x x x =-=⋅==-++⋅左边右边 114.,0,cos(),22292sin(),tan .232ππβαπβαααββ<<<<-=-+-=例已知求的值 :()(),,22242,,,4222αββαπβαβαππαπαββ+=---<-<+<-<分析而再求出的正弦余弦则问题可解22sin ;cos tan 227227235αβαβαβ+++==∴= 33:,0,cos(),4444535sin(),sin().413ππππαβαπβαβ<<<<-=-=+变式题已知求的值15.,,,,tan tan tan .2222ABC A B C A C A C ∆++例在已知成等差数列求的值:,,223tan()22,tan tan tan 2222A C A C A C A C π+=∴+=++=分析由题意得由公式变形得 2cos10sin 2016.cos 20-例求的值:103020=- 分析17.sin(2)2sin 0,:tan 3tan().αββααβ++==+例已知求证 :2();()αβαβαβαβα+=++=+-分析518.sin(),0,:4134cos 2.cos()4x x x x πππ-=<<+例已知求的值 :2()();().44424cos 22413cos()4x x x x x x x ππππππ=+--+=--==+ 分析 2219.(1)tan 5,sin 5(1tan 5tan 2.5).3tan 15(2).13tan 15a =+--例已知求的值求的值:(1),;(2),分析切化弦再逆用公式因式分解后引入辅助角再逆用公式20.,,,lgsin lgsin lgsin lg 2..A B C ABC A B C ∆--=例已知是的三个内角且试判断此三角形的形状特征 :,:sin sin()A B C =+分析利用在三角形中有。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________.
＝
s3icno7s02°0°＝
3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋ 3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例 2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三
角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应
(1)求 sin α 的值； (2)求 β 的值．
变式迁移 若 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，且 A、B 均为钝角，求 A＋B 的值．
探究点 2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
【课后自主检测】
1．已知 sinα＋π3＋sin α＝－45 3，则 cosα＋23π等于
2．辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
其中csions
φ＝ φ＝
tan φ＝ba，
， ， 角 φ 称为辅助角（考试只要求特殊角）．
【基础自测】
1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于
高二数学 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -。
三角恒等变换教案
（1）同角三角函数的关系）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
：， ， ；：， ， ；：， ， ；： ， ，；： ， ， ；p：， ， ；p：， ， ；p：， ， ；p：， ， ；p平方关系平方关系 sin 2a + cos 2a =1， 1+tan 2a =a 2cos 1， 1+cot 2a =a 2sin 1 a2sin 1倒数关系倒数关系 tan a ·cot a =1商数关系商数关系aacos sin =tan aaa0 6p4p 3p 2p p23p sin a cos aa tan a cot用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数即利用三角函数23OA=(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB AOB=α=α=α--β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α|·cos(α--β)=cos(αβ)=cos(α--β), 由向量数量积的坐标表示有由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α,cos(α--β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α0≤α--β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α,α--β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(αcosθ=cos(α--β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =cosθ=cos(α=cosθ=cos(α--β).若θ∈［π,2π］,则2π2π--θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π=cos(2π--θ)=cosθ=cos(αθ)=cosθ=cos(α--β). 由此可知,对于任意角α、β都有都有c os(αos(α--β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α(α--β)) 此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α(α--β).有了公式C (α(α--β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(αcos(α--β)的值了. 例1 利用差角余弦公式求cos15°的值. 变式训练例2 不查表求sin75°sin75°,sin15°,sin15°的值. 例3 不查表求值:cos110°:cos110°cos20°cos20°＋sin110°sin110°sin20°sin20°sin20°. . 例4 已知sinα=54,α∈(0(0,π),cosβ=,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(αcos(α--β)的值. 利用两角差余弦公式推导两角和余弦，两角差的正切和余切 在公式中令()cos cos cos sin sin a b a b a b-=+ 令b 等于b -于是得到()cos cos cos sin sin a b a b a b +=-()()sin cos cos cos cos sin sin2222p p p p a b a b a b a b a béùéùæöæöæö+=-+=-+=-+-ç÷ç÷ç÷êúêúëûèøèøèøëûsin cos cos sin a b a b =+．a b a b a b()a b()a b a ba a ap a a a aaa+221cos aaa a 三、两角和与差的三角函数关系两角和与差的三角函数关系sin(a ±b )=sin a ·cos b ±cos a ·sin b cos(a±b )=cos a ·cos bsin a ·sin bba ba b a tan tan 1tan tan )tan(×±=± 倍角公式倍角公式sin2a =2sin a ·cos a cos2a =cos 2a -sin 2a=2cos 2a -1=1-2sin 2aaaa 2tan 1tan 22tan -=。
公式延续,思维拓展——“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”教学设计
２０２４年３月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀公式延续,思维拓展两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式 教学设计◉江苏省宿迁中学㊀王嘉琨１教材分析两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式 是高中数学新教材(人教A版)必修第一册５．５．１的第２课时,是在第１课时 两角差的余弦公式 基础上的延续与拓展,也为后续三角恒等变换公式体系奠定基础．２学情分析学生在前面已经学习了诱导公式㊁两角差的余弦公式等,初步具备了三角函数式中 变角 与 变名 思维,这都为本节课研究两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式提供了知识㊁方法和思想上的准备．３教学目标(１)以两角差的余弦公式作为基础,自主发现推导两角和与差的正弦．余弦㊁正切公式,并理解这些公式之间的内在联系．(２)通过例题的训练,加深对公式的理解和应用．４重点㊁难点(１)教学重点:两角和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式的推导及其应用．(２)教学难点:灵活运用公式进行三角函数式的化简㊁求值等．５教学过程(１)复习回顾,问题引入问题１㊀上一节课我们学习了两角差的余弦公式C(α－β),你能说出这个公式以及它的推导过程吗?利用圆的旋转不变性来推导的,具体步骤如下:第一步,在坐标系中画出角度α,β,α－β与单位圆,并标出终边与单位圆的交点;第二步,根据三角函数的定义写出各点的坐标;第三步,利用圆的旋转不变性得到等量关系;第四步,代入化简得到公式．问题２㊀除了公式C(α－β)外,你还能提出一些新的研究问题吗?你打算如何研究这些问题?师生活动:教师引导学生提出新的研究问题,学生思考研究新问题的方法．引导语:对于其他几个公式,也可以利用单位圆来研究．不过,本书不采用这这种研究方法,而是利用公式C(α－β)来推导其他公式．数学上把这种将新问题转化成已经解决的问题的方法叫作化归与转化的思想方法．设计意图:通过问题１帮助学生回顾利用圆的旋转不变性推导两角差的余弦公式的过程,明确研究公式C(α－β)的方法．(２)公式探究,发现问题问题３㊀你能利用公式C(α－β)推导出两角和的余弦公式吗?师生活动:先让学生独立思考,然后请学生回答推导思路,鼓励学生用多种方法解决．方案一:注意到α＋β与α－β之间的关系,即α＋β＝α－(－β),再由公式C(α－β)推导;方案二:可以利用换元的观点来推导,用 －β 替换公式C(α－β)中的 β 也能获得公式c o s(α＋β)＝c o sαc o sβ－s i nαs i nβ．设计意图:从加减法的关系和整体代换的方法体现了数学中的化归与转化以及换元的数学思想方法．(３)深入拓展,公式推导问题４㊀由C(α＋β)能推导出s i n(α＋β)的公式吗?师生活动:学生独立思考后,教师可以根据学生的反应追问下列问题．思考１㊀如何建立正弦与余弦值之间的关系呢?预设答案:利用诱导公式五(或六),即可实现正弦㊁余弦之间的相互转化．思考２㊀如何得到s i n(α＋β)的公式呢?预设答案:s i n(α＋β)＝c o sπ２－(α＋β)éëêêùûúú＝c o s(π２－α)－βéëêêùûúú＝c o s(π２－α)c o sβ＋s i n(π２－α) s i nβ＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ．设计意图:利用两角和的余弦公式和诱导公式推导两角和的正弦公式．问题５㊀如何得到s i n(α－β)的公式呢?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:用 －β 来替换s i n(α＋β)中的 β ,则有s i n(α－β)＝s i nαc o s(－β)＋c o sαs i n(－β)＝s i nαc o sβ－c o sαs i nβ．７２教学导航２０２４年３月上半月㊀㊀㊀引导语:把以上两角和的正弦公式和两角差的正弦公式分别记为S (α＋β)和S (α－β)．设计意图:通过整体化思维,以及化归与转化思想,利用两角和的正弦公式来推导两角差的正弦公式．问题６㊀已知任意角α,β的正切,你能推导出t a n (α＋β)和t a n (α－β)吗?师生活动:学生独立完成,教师邀请学生展示和点评．预设答案:由正切与正弦㊁余弦的关系,可知t a n (α＋β)＝s i n (α＋β)c o s (α＋β)＝s i n αc o s β＋c o s αs i n βc o s αc o s β－s i n αs i n β,分子㊁分母同时除以c o s αc o s β,整理得t a n (α＋β)＝t a n α＋t a n β１－t a n αt a n β．同理t a n (α－β)＝t a n α－t a n β１＋t a n αt a n β．引导语:把以上两角和的正切公式和两角差的正切公式分别记为T (α＋β)和T (α－β)．设计意图:利用正弦㊁余弦㊁正切之间的关系推导两角和与差的正切公式．问题７㊀和(差)角公式和我们以前学习的诱导公式之间有什么关系吗请用图示说明．师生活动:学生独立思考后,和同学交流自己的想法,教师展示图示,揭示它们之间的内在联系．诱导公式是和(差)角公式的特殊情况,如用S (α－β)推导诱导公式如图１所示．图１设计意图:比较和(差)角公式和诱导公式的异同,构建知识间的内在联系,加深对公式的理解．(４)公式应用,熟练掌握例１㊀已知s i n α＝－３５,α是第四象限的角,求s i n (π４－α),c o s (π４＋α),t a n (α－π４)的值．思考１:你打算如何求解?请说说你的思维过程．思考２:如果去掉 α是第四象限的角 这个条件,结果和求解过程会有什么变化思考３:在以上解答中我们可以看到,在本题条件下,s i n(π４－α)＝c o s (π４＋α),那么对于任意角α,上式还成立吗你能想到几种方法来证明?预设答案:方案一:等式左右两边均使用和差公式展开．方案二:寻找π４－α与π４＋α之间的内在联系,再结合诱导公式来转化与处理,即s i n (π４－α)＝s i n π２－(π４＋α)éëêêùûúú＝c o s (π４＋α)．例２㊀利用和(差)角公式计算下列各式的值:①si n ７２ʎc o s ４２ʎ－c o s ７２ʎs i n ４２ʎ;②c o s ２０ʎc o s ７０ʎ－s i n ２０ʎs i n ７０ʎ;③１＋t a n １５ʎ１－t a n １５ʎ．思考４:从例１和例２可以看出和(差)角公式有什么作用?(预设答案:求值或化简．)设计意图:例１步步递进,逐层深入,充分展示数学思维的发散性;例２强化公式的理解和应用,规范解题格式,训练有序思维和逆向思维．(５)系统归纳,总结提升问题８㊀你能用图式来回顾本节课５个和(差)角公式的推导过程吗?师生活动:学生独立完成(如图２)后与同学交流．图２问题９㊀在和(差)角公式的推导过程中用到了什么数学思想方法预设答案:化归与转化的思想整体代换的思想等．设计意图:用框图回顾推导过程,建立知识之间的内在联系,归纳总结本节课的数学思想方法等．６教学反思(１)公式延续,深入应用本节课以两角差的余弦公式为基础,利用角的变换和函数名之间的转换,将要推导的公式转化为熟悉的公式来解决．整个推导过程不但能够培养学生逻辑推理数学素养,还能让学生领悟知识之间的内在联系,初步体会三角恒等变换的特点以及转化与化归思想在数学研究中的应用价值．(２)关注应用,能力提升我们应该改变以往公式教学中 轻过程㊁重应用 的方式,在关注公式的理解和应用的同时,更应该让学生全程参与到公式的发现和推导中来,因为推导过程所承载的数学育人功能是不可能只通过 公式的应用 来实现的;还可以鼓励学生课后选择一个公式作为基础,采用不同的研究路径重新研究这一过程,再一次经历解决问题的过程．Z８２。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新部编本
精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校两角和与差的正弦、余弦、正切公式教课方案三维教课目的1.知识与技术能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，认识公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的相关应用的问题.2. 过程与方法经过层层研究领会数学思想的形成特色.3. 感情目标与价值观经过公式变形领会转变与化归的思想方法.教课要点 :推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能差别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．教课难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵巧运用．打破举措：学生在前方引诱公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．学情剖析：三角函数是高考的要点内容，本节主假如公式的推导和应用，难度不大，要让学生增强记忆，且娴熟应用．教课方案：复习回首１．几个诱导公式：熟记公式sin() __,cos()= ___, tan() ___.sin()_____,cos()= ________.22公式 C():______________________________________增强落实！cos15o_____情形导入有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有限，所以自然想获得两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐一进行研究，让希望成为现实 .新课研究二、自主学习，合作研究研究一：研究两角和的余弦公式思虑 1：注意与间的关系，联合两角差的余弦公式及引诱公式，推导 cos() 等于什么？利用公式仔细推导，cos() =_____________________学生独立达成 .思虑2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特色？怎样记忆？总结特色_____________________________________________________发现记忆方法试一试：求 cos75研究二：研究两角和与差的正弦公式思虑 3：引诱公式sincos() 能够实现由正弦到余弦2的转变，联合 C()和C() , 你能推导出sin() ，sin() 分别等于什么吗？仔细推导，并与同学沟通，sin() =________________________________得出结论 .sin() =_______________________________思虑 4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 S() ，S( )，这两个公式有什么特色？怎样记忆？总结特色发现记忆方法____________________________________________________练习：求 sin 15 , sin 75 .研究三：研究两角和与差的正切公式可否借助 tan sin及两角和与差的正余弦公式推导出costan(), tan() ？tan()___________________________. tan()____________________________.注：（１）公式合用范围：________________________分组议论，把自己的看法展示出来 .(2) 公式变形：tan tan____________.tan tan____________.精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan练习：tan 20tan 40 3 tan 20 tan 40______.2. 理论迁徙例1：已知 sin3,是第四象限角，求 sin(),54cos(), tan(4)的值 .4思虑：经过计算 sin()cos() ，能否关于随意的角44都建立？并说明原因．3,(, ), 求 sin()的值 .练习： 1.已知cos5232.已知 tan3,求 tan()的值 .4例 2. 公式的逆用利用和（差）角公式计算以下各式的值：（１）． sin 72o cos42o cos72o sin 42oo ）．cos 20o cos70o sin 20o sin 70o；（3）．1 tan15o1 tan15练习：求以下各式的值：学生自己剖析，要解决这个问题需做什么准备工作.学生直接回答cos()6发现式子的形式切合什么公式，从右向左利用公式.1 sin 72o cos18o cos72o sin18oo otan12 tan332o o1 tan12 tan333sin 34o sin 26o cos34 o cos26o4sin 20o cos40o cos 20o cos50o133 sin x化简 : 1 cos x sin x(2) cos x22思虑 :一般地 , a sin x b cosx 能否都能够化成Asin( x ) 的独立研究，发现规律 .形式 ?精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan稳固练习：1. 已知cos3,0, 求 cos()的值.512，62. 已知 cos(4)，求 sin的值 .13 42学生独立达成，稳固知识3. 已知 sin 5, sin10,且 ,0, , 5102求角的大小 .讲堂小结1.方法由公式 C()出发推导 C()，S()，S()的方法 .2.知识：公式及公式的记忆方法C() =_______________________________.C() =________________________________.仔细总结，在总结中提高对知识的认知S() =________________________________. S() =________________________________. T()___________________________. T()____________________________.部署作业：题案板书设计：板书设计 :课题 :例题解说两角和的余弦公式 :两角和与差的正弦公式：两角和与差的正切公式：。