平面向量小结与复习
2023年平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习1.向量有关概念:（1）向量旳概念: 既有大小又有方向旳量, 注意向量和数量旳区别。
向量常用有向线段来表达, 注意不能说向量就是有向线段, 为何？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0旳向量叫零向量, 记作：, 注意零向量旳方向是任意旳；（3）单位向量: 长度为一种单位长度旳向量叫做单位向量(与共线旳单位向量是)；（4）相等向量: 长度相等且方向相似旳两个向量叫相等向量, 相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相似或相反旳非零向量、叫做平行向量, 记作：∥, 规定：零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量, 但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不一样旳两个概念: 两个向量平行包括两个向量共线, 但两条直线平行不包括两条直线重叠；③平行向量无传递性！（由于有)；④三点共线共线；（6）相反向量: 长度相等方向相反旳向量叫做相反向量。
旳相反向量是－。
2.向量旳表达措施: （1）几何表达法: 用带箭头旳有向线段表达, 如, 注意起点在前, 终点在后；（2）符号表达法: 用一种小写旳英文字母来表达, 如, , 等；（3）坐标表达法: 在平面内建立直角坐标系, 以与轴、轴方向相似旳两个单位向量, 为基底, 则平面内旳任历来量可表达为, 称为向量旳坐标, ＝叫做向量旳坐标表达。
假如向量旳起点在原点, 那么向量旳坐标与向量旳终点坐标相似。
3.平面向量旳基本定理：假如e1和e2是同一平面内旳两个不共线向量, 那么对该平面内旳任历来量, 有且只有一对实数、, 使= e1＋e2。
4.实数与向量旳积: 实数与向量旳积是一种向量, 记作, 它旳长度和方向规定如下: 当>0时, 旳方向与旳方向相似, 当<0时, 旳方向与旳方向相反, 当＝0时, , 注意:≠0。
5.平面向量旳数量积:（1）两个向量旳夹角: 对于非零向量, , 作, 称为向量, 旳夹角。
第二章平面向量小结复习课
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
A
[0, ]
B C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
首尾相接
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB
共起点
在同一个平行四边形中把握： a , b , a b , a b 及其模的关系 D
a b，（a b) (a b)， a (b c)，(a+b)2
(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影
(4) 已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若(2a-b)和b共线,则x= ； 若(2a-b)和b垂直,则x= .
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
5.5平面向量小结与复习
丰富，人的精神能力的生长、开花和结果，上天赐给万物之灵的最高享受，为什么人们弃之如敝屣呢？中外哲人都认为，丰富的心灵是幸福的真正源泉，精神的快乐远远高于肉体的快乐。上天的赐 予本来是公平的，每个人天性中都蕴涵着精神需求，在生存需要基本得到满足之后，这种需求理应觉醒，他的满足理应越来越成为主要的目标。那些永远折腾在功利世界上的人，那些从来不谙思考、阅 读、独处、艺术欣赏、精神创造等心灵快乐的人，他们是怎样辜负了上天的赐予啊，不管他们多么有钱，他们是度过了怎样贫穷的一生啊。
善良，生命对生命的同情，多么普通的品质，今天仿佛成了稀有之物。中国哲人都认为，同情是人与兽区别的开端，是人类全部道德的基础。没有同情，人就不是人，社会就不是人呆的地方。人是 怎么沦为兽的？就是从同情心的麻木和死灭开始的，由此下去可以干一切坏事，成为法西斯，成为恐怖主义者。善良是区分好人和坏人的最初界限，也是最后界限。bwin登不上去
《平面向量复习小结》 课件
2
2
2
2
2
1 4 e1 e 2 4 e1 e2 cos 60 4 1 4 11 1 7 2
∴
a 7
同理可得
b 7
a b 2e1 e2 3e1 2e2 6e1 e1 e 2 2 e2
7 a b 1 2 cos 2 7 7 ab
则 a · b =x1x2+y1y2
五、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中 a （x1，y1）， b （x2，y2）
3、数乘向量的运算律： a a （ ） a a a
（a b） a b
a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
4、共线向量基本定理
有且只有一个
5、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个 不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a 1 e1 2 e2
( b 2 a ) b ，则 a 与 b 的夹角是( ) （A） 30 （B） 60 （C） 120
（D） 150
2
分析:∵ ( a 2 b ) a 0 ,∴ a 2a b 即 a 2a b ① ∵ ( b 2 a ) b 0 ,∴ b 2a b 即 b 2a b ② ∴由①②可得 a b 2a b
数学高考复习名师精品教案：第44课时：第五章 平面向量-平面向量小结
数学高考复习名师精品教案第44课时：第五章 平面向量——平面向量小结课题：平面向量小结 一．复习目标：1．进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，2．渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力． 三．课前预习：1．正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(0,3)OP =，(4,0)OS --→=，则RM =（ ）()A 71(,22-- ()B 71(,)22 ()C (7,4) ()D 77(,222．下列条件中，ABC ∆是锐角三角形的是 （ ）()A 1sin cos 5A A +=()B tan tan tan 0A B C ++>()C 0AB BC ⋅>()D 3,30b c B ===3．已知一个平行四边形ABCD 的顶点9(,7),(2,6)2A B --，对角线的交点为3(3,)2M ，则它的另外两个顶点的坐标为 ．4．把函数cos y x =图象沿(2,1)()2b k k Z ππ=+∈ 平移，得到函数 的图象．5．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是 ．四．例题分析：例1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且310,2,cos 4a c C A A +===，求：（1）c a的值； （2）b 的值．例2．已知向量(2,sin ),(cos ,1)a b θθ=-= ，其中(,)22ππθ∈-．（1）若a b ⊥ ，求θ的值； （2）令c a b =- ，求||c的最大值．例3．已知向量(,)u x y = 与向量(,2)v x y x =- 的对应关系记作()v f u =， 求证：（1）对于任意向量a、b 及常数,m n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+ ； （2）若(1,1)a =,(1,0)b = ，用坐标表示()f a 和()f b ； （3）求使()(,)f c p q = ，（,p q 为常数）的向量c的坐标．例4．如图所示，某城市有一条公路从正西方向AO 通过中心O 后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在AO 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部DLLBO A分为直线段，现要求市中心O 与AB 距离为10km ，问把A ，B 分别设在公路上离中心O 多远处，才能使||AB 最短，并求出最短距离．五．课后作业：1．已知||||1,a b a == 与b 的夹角为90，23,4c a b d ka b =+=- ，c 与d 垂直，k 的值为（ ）()A 6- ()B 6 ()C 3 ()D 3-2．已知ABC ∆中，,,0AB a AC b a b ==⋅< ，154S ∆=，||3,||5a b == ，则a 与b 的夹角是（ ）()A 30 ()B 0150- ()C 0150 ()D 30 或01503．在直角坐标系中，O 为原点，点M 在单位圆上运动，(2,1)N -满足2OP OM ON=-的点P 的轨迹方程为 （ ）()A 10x y +-= ()B 22(2)(1)4x y ++-= ()C 20x y += ()D 221x y +=4．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则 ABC∆的形状为 ．5．已知ABC ∆中，若0120C ∠=，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．6．已知四点(3,12)A -，(3,4)B -，(5,4)C -，(5,8)D ，求AC 与BD 的交点P 的坐标，并求直线AC 分BD 所得的比入及P 分AC 所得的比μ．7．若(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ== ，且|||ka b a kb +=-（0k >），（1）用k 表示数量积a b ⋅ ；（2）求a b ⋅ 的最小值，并求出此时a 与b的夹角．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，cos b a C =，且ABC ∆的最大边长为12，最小角的正弦为12，（1）判断ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积．9．已知(3,4)OP =- ，OP 绕原点O 分别旋转090,120 到OQ 、OR 的位置，求点,Q R 的坐标．10．某人在静水中游泳，速度为/h，（1）如果他径直游向河对岸，水流速度为4/km h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？。
平面向量小结与复习
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、 λ2，使a=λ1e1+λ2e2
两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
重要定理、公式（二）
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
加Байду номын сангаас法则
b b
a
a
运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算
减法法则
A
坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
λ(a+b)=λa+λb.
坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他
平面向量小结与复习
说到这儿，雨涵落泪了，四年前大学她与张前相爱，后来张前留学美国，她与他"言而无信"，只是微信聊天，述说衷肠，可今年春节后，雨涵盼他回来完婚，谁知…… 听雨涵讲到这儿，我不由两眶湿润了。这时我突然想起刚才大师所讲在不到一里处有个那美丽的九龙池，凌空的小桥，那有着天然泉眼的“定心水”，那块酷似九条小龙相聚 的岩石，那引人入胜的新金顶……到处光照点点。 我说：梵净山，一座奇特的山。当我们在峰上独享风景的那一刻，我们的心愣是让它这独一无二的美轰然击中了你说是不是？或薄，或高或矮，或大或小。经书之态，其相依相靠，十分形象。这些书，它们从何而来，又因何而至？相传在唐僧取经
的时候，他们师徒四人曾专程到梵净山拜谒弥勒大佛。将至红云金顶时，因白龙马偶失前蹄，从而撒下一叠佛经，由此落地生根，成就了今天的梵净山一绝……。 苹果微小白
这时太阳落山，这梵净山，山鸟呼唤，蝉儿呜唱，大树雄浑粗犷，气势磅礴，雾起，细如丝，淡如烟，立刻感到一股赏心悦目的凉意和淡淡的幽香扑鼻而来，我从桥心泉眼中 用矿泉水瓶灌了一瓶“定心水”双手捧给雨涵，她大口喝完，抬头一看，浓雾从梵净山顶游来，似九条小龙引着一帅气男子伟然走来。
平面向量小结与复习
?在我们每个人降生到这个世界以前，就注定要背负起经历各种困难折磨的命运。我们能把各自经历的苦难和不幸看成因此而得到的更大的祝福，那么，我们就可以更加坦然地接受，并且相信，我 们每个人，在各自不同的人生旅途中，都将在坚定的忍耐和历练中，得到真正的平安和喜乐。
?人生路上，如果把我们经历的苦难视为苦难，那它真的就只是苦难。但是，如果你让它与精神世界Байду номын сангаас最广阔的那片土地结合，它就成为一种最宝贵的营养，让你在苦难中风凰涅槃重生，体会到特 别的甘甜和美好。心灵转化了苦难的流向。
人生用劳动、工作来维持自己的生活，注定用七情六欲来品尝人间的悲欢离合。在这个稍不努力就会被淘汰的社会，在这优胜劣汰的社会，为了自己能够比较好的生存下去，我们会遇到各种各样的 猝不及防的事。为了生活，也会干自己不喜欢干的事。
?人世间千般苦难，生活万般皆苦，各种各样的烦恼像藤蔓一样把人缠绕。人们生活在水深火热之中。人越是艰难处，越是修心时。放下一切，悲欢皆需自渡！人生最难的修行，与自己和解。用智 慧体味人间苦乐的真谛。领略人间爱心、悲悯、善良和同情心是何等珍贵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
பைடு நூலகம்