2017-2018学年高中数学选修选修1-1模块综合检测含答案
选修1-1模块综合检测 (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“M ＞N ”是“log 2M ＞log 2N ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2M ＞log 2N ，可得M ＞N ＞0；2＞－1，－1的对数没有意义，则log 2M ＞log 2N 不成立．答案：B2．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的( ) A ．逆否命题 B ．逆命题 C ．否命题D ．原命题解析：设p 为“若A ，则B ”，则r 为“若非A ，则非B ”，s 为“若非B ，则非A ”，即s 为p 的逆否命题．答案：A3．与直线4x －y ＋5＝0平行的抛物线y ＝2x 2的切线方程是( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．4x －y －2＝0D ．4x －y ＋2＝0解析：由k ＝y ′＝4x ＝4，得x ＝1，则切点为(1,2)，所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.答案：C4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点重合，且双曲线的离心率为43，则该双曲线的方程为( ) A.x 29－y 2＝1 B.x 29－y 27＝1 C.x 216－y 27＝1 D.x 216－y 29＝1 解析：由抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)，可得c ＝4.由双曲线离心率为43，可得a ＝3，则b ＝7，即双曲线方程为x 29－y 27＝1.答案：B5．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有－x 2＋x －1＜0成立 B ．对任意x ∈R ，都有|x | ＞x 成立 C ．对任意x ，y ∈Z ，都有2x －5y ≠12成立 D ．存在x ∈R ，使sin 2x ＋sin x ＋1＝0成立解析：对于A 选项命题的否定为“存在x ∈R ，使－x 2＋x －1≥0成立”，显然，这是一个假命题．答案：A6．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|的值为y 1＋y 2＋2＝8.答案：C7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A8．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 23＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|·|PF 2|有( )A ．最大值16B ．最小值16C ．最大值4D ．最小值4解析：由椭圆的定义知a ＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8.由基本不等式知|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时等号成立，所以|PF 1|·|PF 2|有最大值16.答案：A9.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如右图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图像中，y ＝f (x )的图像大致是( )解析：x >0时，f ′(x )在(0,1)上有f ′(x )<0， 在(1，＋∞)上有f ′(x )>0； 且x ＝1处f (x )取极小值．x <0时，f ′(x )在(－1,0)上有f ′(x )<0，在(－∞，－1)上有f ′(x )>0且x ＝－1处f (x )取极大值，即函数f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C 符合题意． 答案：C10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：a >0时，F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4， 令x ＝0得y ＝－a2.∴S △OAF ＝12·a 4·|－a2|＝4.解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8.∴抛物线方程为y 2＝±8x . 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知命题p ：对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x 成立，命题q ：存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x 成立，所以a ≥e.由存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.若命题“p 且q ”是真命题，所以p 、q 同为真，所以e ≤a ≤4.答案：[e,4]12．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加； 当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少． 答案：(－1,11)13．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________．解析：∵f ′(x )＝ln x ＋1，f ′(x 0)＝2， ∴ln x 0＋1＝2，x 0＝e ，f (x 0)＝e. 则切线方程为y －e ＝2(x －e )， 即2x －y －e ＝0. 答案：2x －y －e ＝014．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF |＝53.则椭圆C 1的方程为________．解析：抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF |＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P 在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b 2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值范围．解：考虑命题p 为真命题时a 的取值范围，因为f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )＝0，得到x 2＝－a 3，当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )在区间(－2,1)上是增加的，不合题意 ； 当a ＜0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3＜1或－ －a3＞－2，即a ＞－12，综上可知－12＜a ＜0， 故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值范围是a ≤－12或a ≥0.16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x 2＋4(2e －1)x ＋4e 2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．解：由题意得Δ＝16(2e －1)2－4×2×(4e 2－1)＝0， 即4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝32或e ＝12.当e ＝12时，曲线为椭圆，c ＝5，e ＝c a ＝12，则a ＝2c ＝10，b 2＝a 2－c 2＝100－25＝75， 所以椭圆的方程为x 2100＋y 275＝1.当e ＝32时，曲线为双曲线，c ＝5，e ＝c a ＝32，则a ＝23c ＝103，b 2＝c 2－a 2＝25－1009＝1259，所以双曲线的方程为9x 2100－9y 2125＝1.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)当a ＝1时，求函数f ′(x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝2x ＋2x ≥22x ·2x ＝4，当且仅当2x ＝2x，即x ＝1时等号成立，故函数f ′(x )的最小值为4.(2)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2(x ＋ax)．①当a ≥0时，f ′(x )＞0，因此f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；②当a ＜0时，f ′(x )＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：因此函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )，单调递增区间是(－a ，＋∞)．且当x ＝－a时，函数f (x )有极小值f (－a )＝－a ＋2a ln－a .18．(本小题满分14分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且1PF ·12F F ＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程； (2)当OA ·OB ＝23，求k 的值． 解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1.。
2017-2018学年高中数学综合检测新人教A版选修1-1
综合检测时间：120分钟满分：150分一项是符合题目要求的答案：D324.已知函数f (x ) = x — 3x — 9x ,则函数f (x )的单调递增区间是( C. ( — 1,3)D. ( —8, 3) , (9 , +8) 32解析:v f (x ) = x — 3x — 9x ,•••f '(x ) = 3x — 6x — 9= 3(x — 2x — 3). 令 f '( x )>0 知 x >3 或 x <— 1.、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有1 .命题"若a >b ,则 a + 1>b ”的逆否命题是(C.若 解析: 答案:a + Kb ,贝U a >ba +1 wb ,贝U a w b“若a >b ,则a + 1>b ”的逆否命题为“若 2.函数y = (x — a )( x — b )在x = a 处的导数为(A. ab BB .若 D.若 a +1 w b ,则.—a ( a — b ) C2解析：y = x — (a + b ) x + ab ,「. y '= 2x — (a + b ),y | x=a = 2a — (a + b) = a — b.答案：D3.过点P(1 , — 3)的抛物线的标准方程为(A.B.宀1yC.D .a + 1<b ，贝U a >b a + 1<b ，贝U a <ba wb ”，故选 C.解析：F (1 , — 3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下, 2x = — 2py ( 设方程为 2y = 2px (p >0)或2 21p >0)代入 F (1 , — 3)得 y = 9x 或 x =— §y .A. (3,9) B .( —8,1) , (3 ,+呵t).0D答案：B25.已知双曲线 才一£= 1（a >0, b >0）的一条渐近线方程为2. 2. 22a + bb e =2-= 1 + 2= 1 +aa9 9即“ a >b ” 是“ ac >bc ” 的充要条件，故选 C.答案：C则下面选项中真命题是答案：A 6. 设a , b , c 均为正实数，则“ a >b ” 是“ ac >bc ”的(A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 解析：根据充分性和必要性的概念判断•因为a ,b ,c 是正实数，所以 a >b 等价于ac >bc ,A.(綈 p ) A (綈 q ) B .(綈 p ) V (綈 q )C. p V (綈 q )D. P Aq 2 2 解析：由2x <3x 得（石）x <1,当x <0时，（：）x >1,所以命题p 为假命题.綈3p 为真，选B.答案：B &已知曲线y = x 4 + ax 2+1在点（一1, a + 2）处切线的斜率为 8,贝U a =（ A. 9 BD.— 6 解析:、y '= 4x 3 + 2ax ,由导数的几何意义知在点（一1, a + 2）处的切线斜率k = y ，| x =—1—4 — 2a = 8,解得 a =— 6. 答案：D 2 2x y=1与椭圆m +書=1（ a >0, m*b >0）的离心率互为倒数，那么以a ,b , m 为边长的三角形一定是（ A.锐角三角形 B .钝角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形A .34 B. 3 C. D.解析:由题意得b4 3’4y = 3X ，则该双曲线的离心率为16 257.已知命题p ： ? x € (—s, 0) , 2x <3x ;命题 q ： ? x € R ,f (x ) = x 3— x 2 + 6的极大值为6,2 . 2 2 . 2 2.22.22a + b2m — b2 2a +b m — b 解析：双曲线的离心率 e i = 2—，椭圆的离心率 e 2= 2—，由已知ee 2= 1,即—2— x 2— am am=1，化简，得 a 2 + b 2= m. 答案：C能是图中的()解析：••• x € ( —8, — 2)时，f '(x )<0,.・.f (x )为减函数；同理f (x )在(一2,0)上为增函 数，(0 ,+8)上为减函数. 答案：A11. 已知函数y = f (x ),数列｛a n ｝的通项公式是 a n = f ( n )( n € N ),那么"函数y = f (x )在［1 , + 8 )上单调递增”是“数列｛a n ｝是递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当函数y = f (x )在［1 ,+8)上单调递增，“数列｛a n ｝是递增数列”一定成立•当函数 y = f (x )在［1,2］上先减后增，且 f (1)< f (2)时，数列｛a n ｝也可以单调递增，因此“函数 y = f (x )在［1 , +8)上单调递增”是“数列｛a n ｝是递增数列”的充分不必要条件，故选 A.答案：A10.已知f (x )的导函数f(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可2 2x y12. 双曲线二一吉=1(a>0, b>0)的两个焦点为F1, F2,若P为其上一点，且|PF| = 2| PF2| ,a b1C. (3D. [3则双曲线离心率的取值范围为 (解析：由双曲线的定义得 |PF | — |PF 2| =|PF | = 2a , |PF | = 2| PF 2| = 4a , •/ | PF | + | PF | >| F 1F 2I , •••6a 》2c , a <3,a故双曲线离心率的取值范围是 (1,3］，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上 ) 13.函数f (x ) = x 3— 3a 2x + 2a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是•••当x = a 时，f (x )有极小值，x =— a 时，f (x )有极大值.14.若命题“ ？ x € R,使得x 2 + (1 — a )x +1<0”是真命题，贝U 实数a 的取值范围是 _______2 解析：由题意可知， △= (1 — a ) — 4>0, 解得a <— 1或a >3.答案：(—R, — 1) U (3 ,+^)15.过抛物线 C y 2= 4x 的焦点F 作直线I 交抛物线C 于A , B 两点，若A 到抛物线准线的 线准线的距离为4,2P--X A + 1 = 4，…X A = 3,- X A X B = 乂 = 1 ,• • X B =二4 . •••I AB = X A + X B + p = 3+1 + 2 = ¥•33… 16 答案：亍A. (1,3) B . (1,3] f '(x )<0 时，得—a <x <a . a 3— 3a 3 +2a <0, 由题意得:3 3 f — a + 3a + 2a >0,距离为4，则|AB =2解析：设 A (X A , y A ) , B (X B , y B ) , v y = 4x , •抛物线准线为 x =— 1, F (1,0)，又A 到抛物2 2解析：v f '(x ) = 3x — 3a =3( x — a )( x + a )( a >0),0>0,答案：(1 ,+s)(x )>0 时，得：x >a 或 x <— a ,16. 已知双曲线x2 3—y2= 1,点F i, F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF丄PF2,则| PF| + | PR| 的值为 ________ .解析：由双曲线的方程可知a= 1, c= 2,•••II PF| —|PF|| = 2a= 2,2 2• | PF| —2| PF|| PF + | PF| = 4,•/ PF 丄PF,•| PF|2+ | P^|2= (2 c)2= 8,• 2| PF|| PR| = 4,2• (| PF| + | PF|) = 8 + 4= 12,• | PF| + | PF| = 2©答案：2.3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12分)已知c>0，设命题p：函数y= c x为减函数.命题q：当x€ 1 2时，函数f(x)1 1=x + ->-恒成立•如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围.x c解析：由命题p为真知，0<c<1,1 5由命题q为真知，2< xx 2,1 1要使此式恒成立，需^<2，即c>2,若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，1c的取值范围是0<c< ；当p假q真时，c的取值范围是c > 1.r 气2 _3 2 厶18. (12 分)已知函数f( x) = x + ax + bx+ c(x€ [ —1,2])，且函数f (x)在x= 1 和x =—-处3都取得极值.(1) 求a, b的值；(2) 求函数f(x)的单调递增区间.1 综上可知，c的取值范围是C c 0<c< 2或c.3 2 2解析：⑴T f(x) = x + ax + bx+ c, ••• f '(x) = 3x + 2ax + b.由题易知，<解得b= —2.2(2)由(1)知，f'(x) = 3x -x —2 = (3x + 2)( x —1),•••当 x € 厂— 2) ,f '(x )>0 ; 当x €|，1!,f '(x )<0 ； Cv当 x €(1,2］•-f (x )的单调递增区间为—1, — 2和(1,2]. -3丿19. (12分)已知直线l 经过抛物线y 2= 6x 的焦点F ,且与抛物线相交于 A 、B 两点. (1)若直线I 的倾斜角为60°,求|AB 的值;⑵ 若|AB = 9,求线段AB 的中点M 到准线的距离.解析：(1)因为直线I 的倾斜角为60°,如图.所以其斜率 k = tan 60° =3,又 F (2 , 0).所以直线I 的方程为y =, 3(x — 2).y 2= 6x , 联立 - 3 消去y 得y =3 x —2设 A (X 1 , y 1), B (X 2 , y 2).则 X 1 + X 2= 5 ,十p p而| AE | = | AF | + | BF | = X 1 + ?+ X 2 + 2 = X 1 + X 2+ p . • -1 AE | = 5+ 3= 8.p p⑵ 设 A ( X 1 , y" , B (x 2 , y 2),由抛物线定乂知 | AE | = | AF | + | BF | = X 1 + 2+ X 2+ 2 = X 1 + X 2+ p=X 1 + X 2+ 3,所以X 1 + X 2 = 6 ,于是线段 AB 的中点M 的横坐标是3 ,又准线方程是 x =—弓,所以M 到准线的距离等于3 3+3=JX 2 — 5x + 9= 0.41e x -f (0) • x + -x 2(e 是自然对数的底数).(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；1 2⑵ 若函数g (x ) = 2X + a 与函数f (x )的图象在区间［—1,2］上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.解析：(1)由已知得 f '( x ) =f e x — f (0) + x ,e令 x = 1，得 f ' (1) = f ' (1) — f (0) + 1, 即 f (0) = 1.f ■' 1又 f (0)= ，所以 f ' (1) = e.从而 f (x ) = e x — x + 2x 2.显然f '(x ) = e x — 1+ x 在R 上单调递增且f ' (0) = 0, 故当 x € (—g, 0)时，f '(x )<0 ;当 x € (0，+g )时，f '(x )>0.f (x )的单调递减区间是(一g, 0),单调递增区间是(0，+g ).(2)由 f (x ) = g ( x )得 a = e x —x .令 h ( x ) = e x — x ，贝U h ' ( x ) = e x — 1.由 h ' (x ) = 0 得 x = 0.所以当 x € ( — 1,0)时，h '(x )<0 ;当 x € (0,2)时，h '(x )>0..h (x )在(—1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增.1 2又 h (0) = 1，h ( — 1) = 1 + -，h (2) = e — 2 且 h ( — 1)<h (2).e21. ( 13分)如图，已知中心在原点 O,焦点在x 轴上的椭圆 C 的离心率为屮，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端 点，点O 到直线AB 的距离为学.5(1)求椭圆C 的标准方程；20. (12分)已知函数f (x ) = f •••两个图象恰有两个不同的交点时，实数 a 的取值范围是i 1，1+三⑵已知点日3,0)，设点P, Q是椭圆C上的两个动点，满足EPL EQ求EP- QP勺取值范围.c \/3解析：⑴由离心率e =召二方,b ______ 2 1得 = 1 — e = -. a = 2b .① a 甲 2 •••原点0到直线AB 的距离为电5 5直线AB 的方程为bx — ay + ab = 0, •—=仝^5.②将①代入②，得b = 9,「. a = 36.2 2 则椭圆C 的标准方程为—+y =1.36 9(2) ••• EP 丄 EQ ••• EP - EQ =0,• EP - @P = E P -( E P-E (Q = E P2设 P (x , y )，贝y y 2= 9 — 4,• EP - QP= E P = (x — 3)2+ y 22=x 2— 6x + 9+ 9 ——. 4=4( x — 4)2 + 6.••• — 6< x w 6. •• 6< [(x — 4)2+ 6< 81,则EP ・QP 勺取值范围为[6,81].22. (13分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量)数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为 16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产 量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置(1)试问放置多少个网箱时，总产量 Q 最高？10个网箱. (2)若鱼的市场价为 m 万元/吨，养殖的总成本为(5ln x + 1)万元. ①当0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y 最大? ②当0.25时，求使得收益 y 最高的所有可能的 解析：(1)设p = ax + b ,由已知得 16= 4a + b , 10= 7a + b ,p 是网箱个数x 值组成的集合.所以 ra =— 2,所以p = — 2x + 24,所b = 24,2 *以Q= px= ( —2x + 24) x=—2( x—6) + 72(x€ N ,放置6个网箱时，可使总产量达到最大.2 *⑵总收益为y= f (x) = ( —2x + 24x) n—(5ln x + 1)( x€ N , x w 10),2 1 1 2①当m^0.25 时,(x) = ( —2x + 24x) X 玄—(5ln x + 1) =- q X + 6x—5ln x —1，所以f '( x)x—1当1<x<5时，f '(x)>0，当5<x<10时，f '(x)<0，所以x= 5时，函数取得极大值，也是最大值•所以应放置5个网箱才能使总收益y最大；2②当m>0.25 时，f(x) = ( —2x + 24x) m—(5ln x + 1),所以f2, —4mx + 24 mx- 5 (x)—X令f '(x) = 0，即一4m)x+ 24mx- 5 = 0,因为rr>0.25 ,所以△= 16n(36m—5)>0 ,方程一4m)2+ 24mx- 5= 0 的两根分别为X1 = 3—气9 —-5, X2= 3 + 气 / 9—2，因为mi>0.25，所以\j4m xj4mX1W 1.5 w X2<6,所以当x€ (1 , X2)时，f '(x)>0，当X2<x<10 时，f '(x)<0，所以x =X2时，函数取得极大值，也是最大值.所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为{5,6} •x w 10)，所以当x=6时，f(x)最大，即。
2017-2018学年高中数学 选修1-1学业分层测评2 含答案
学业分层测评(二) 充分条件和必要条件(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的________条件.【解析】 “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos 2α＝12”，“cos 2α＝12”“α＝π6＋2k π”(k ∈Z ).因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的充分而不必要条件.【答案】 充分而不必要2.已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件.【解析】 当a >0且b >0时， a ＋b >0且ab >0；当ab >0时，a ，b 同号，又a ＋b >0，∴a >0且b >0.故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充分必要条件.【答案】 充分必要3.“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的________条件.【解析】 由ln(x ＋1)<0得x ＋1>0，即x >－1，又ln(x ＋1)<0，所以－1<x <0，故“ x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”必要而不充分条件.【答案】 必要而不充分4.对任意的a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充要条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是________.【导学号：24830007】【解析】 命题②、④是真命题.【答案】 25.已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值的集合是________.【解析】 ∵命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，∴a ＜5.因此实数a 的取值的集合是{ a |a ＜5 }.【答案】 { a |a ＜5 }6.给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件.【解析】 “直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”.【答案】 充要7.不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________.【解析】 ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立；②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a (a ＋3)<0⇒a >0.∴由①②得a ≥0.【答案】 a ≥08.α，β是两个不重合的平面，在下列条件中：①α，β都平行于直线l ，m ；②α内有三个不共线的点到β的距离相等；③l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥β；④l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β“α∥β”的充分条件是________.【解析】 ①、③中l 与m 可能平行，②中三点位于两平面交线的两侧时，如图.AB ∥l ，α∩β＝l ，A 与C 到l 的距离相等时，A ，B ，C 到β的距离相等.【答案】 ④二、解答题9.指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).(1)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，p: y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；q ：y ＝f (x )是奇函数.(2)p ：x ＋y ≠3；q ：x ≠1或y ≠2.【解】 (1)若函数y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，此时|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此y ＝|f (x )|是偶函数，其图象关于y 轴对称，但当y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称时，未必推出y ＝f (x )为奇函数，故y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称是y ＝f (x )是奇函数的必要不充分条件.(2)原命题等价其逆否形式，即判断“x ＝1且y ＝2是x ＋y ＝3的必要不充分条件”，故x ＋y ≠3是x ≠1或y ≠2的充分不必要条件.10.已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【解】 由q 可得(x －1)2≤m 2(m ＞0)，所以1－m ≤x ≤1＋m .即綈p ：x ＞10或x ＜－2，綈q ：x ＞1＋m 或x ＜1－m .因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈q ⇒綈p .故只需要满足⎩⎨⎧1＋m ≥101－m ≤－2，∴m ≥9. 所以实数m 的取值范围为[9，＋∞).[能力提升]1.下列命题：①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC→<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a ，b ，c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件.其中的真命题有________.【导学号：24830008】【解析】 两直线平行不一定有斜率，①假.由AB →·BC→<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC→的符号也不能确定，因为A ，B ，C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真.由tan A tan B >1，知A ，B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形.反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sinA sinB ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真.【答案】 ③④2.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件.【解析】 因为甲是乙的充分而不必要条件，所以甲⇒乙，但乙甲；又∵乙是丙的充要条件，即乙⇔丙；又∵丙是丁的必要不充分条件，即丁⇒丙，但丙丁，故丁甲，甲乙，即丁是甲的既不充分又不必要条件.【答案】 既不充分又不必要3.已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝________.【解析】 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1.即p ⇒q ，反之不成立.【答案】 1 4.求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件.【解】 ①当a ＝0时，原方程化为2x ＋1＝0，此时根为x ＝－12，满足条件.②设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，当a ≠0时，因为方程的常数项为1不为0，方程没有零根.(i)若方程有两异号的实根，x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，即a <0；(ii)若方程有两个负的实根x 1，x 2，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝1a ＞0，x 1＋x 2＝－2a ＜0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＞0，－2a ＜0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1. 反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根. 因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0，至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。
2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学选修1-1《导数应用》模块质量检测及解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案： C2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是( )A．如果x＜a2＋b2，那么x＜2ab B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2 D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab答案： C3．若k可以取任意实数，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是( )A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax2＋By2＝c所表示的圆锥曲线问题，对于k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2＋ky2＝1不可能表示抛物线．答案： D4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( ) A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)解析：f′(x0)＝3x02＋1＝4∴x0＝±1答案： C5．在下列结论中，正确的结论为( )①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件④“¬p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p且q为真⇒p真且q真⇒p或q为真，故①正确．由¬p为假⇒p为真⇒p或q为真，故③正确．答案： B6．下列结论正确的个数是( )(1)命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； (2)命题“任意x ∈R ，x 2＋1＜0”是全称命题；(3)若p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则q ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是全称命题． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： (1)是全称命题，故(1)不正确；(2)是全称命题，正确；(3)既不是全称命题也不是特称命题，不正确．故选B.答案： B7．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a ＞1可以推出1a ＜1，反过来由1a ＜1可以得出a ＜0或a ＞1.答案： A8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 12＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．函数f(x)＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ＜0D ．a ≤0解析： 函数有极值，即其导数值可等于0，f ′(x)＝3ax 2＋1＝0，∴x 2＝－13a ，∴a ＜0.又∵a ＝0时，f(x)＝x ＋1无极值，∴a ＜0.答案： C10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y29＝1 B.x 29＋y212＝1 C.x 212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1 D.x 216＋y212＝1 解析： 因为短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，所以2c ＝a ，又因为a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝3.所以这个椭圆的标准方程为x212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1. 答案： C11．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假，∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2， ∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π解析： 设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π.圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2·x ＝14π(x 3－12x 2＋36x)，0＜x ＜6，V ′＝34π(x －2)(x －6)，当x ＝2时，V 最大．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析： 将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题． 答案： 若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝c a ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案： x 24－y212＝115．函数f(x)＝a ＋ln xx (a ∈R)的导数等于________．答案： f ′(x)＝1－(a ＋ln x )x 216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件． ∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，f(x)的极大值为7；当x ＝3时，f(x)有极小值．求：(1)a ，b ，c 的值； (2)函数f(x)的极小值．解析： (1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 而x ＝－1和x ＝3是极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0f ′(3)＝27＋6a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－9.又f(－1)＝－1＋a －b ＋c ＝－1－3＋9＋c ＝7， 故得c ＝2.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋2，而x ＝3是它的极小值点， 所以函数f(x)的极小值为－25.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p 2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p 2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析： (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%. ∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝12(32Q ＋3－x)＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x) ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得101(101－x )2＝34⇒x ≈89.4，但产品个数必须是自然数，因此产品个数应是89或90件．又由于T(89)≈79.11A ，T(90)≈79.09A ，所以每日生产89件将获得最大利润． 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率； (2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎨⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)． 因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63， 所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。
2017-2018学年人教B版数学选修1-1(检测)：3.1 导数含答案
课时作业1—14(限时:10分钟)1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为（ ）A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1解析:错误!＝错误!＝错误!＝4.1。
答案：D2．函数y ＝－1x 在点错误!处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x ＋4解析:Δy ＝－错误!＋错误!＝－错误!＋2＝错误!，∴错误!＝错误!。
∴切线斜率k ＝y′｜x=12＝li 错误! 错误!＝4。
∴所求切线方程为y ＋2＝4错误!，即y ＝4x －4.答案:B3．物体自由落体的运动方程为s (t )＝错误!gt 2，g ＝9。
8m/s 2，若v＝li 错误! 错误!＝9。
8 m/s ，那么下列说法中正确的是( ）＝2＋3Δx－错误!＝3Δx＋错误!，错误!＝错误!＝3＋错误!，∴li错误!错误!＝li错误!错误!＝5，∴f′(1）＝5。
方法二(导函数的函数值法）：Δy＝f(x＋Δx）－f(x）＝3(x＋Δx）－错误!－3x＋错误!＝3Δx－错误!＋错误!＝3Δx＋错误!,错误!＝3＋错误!，∴f′(x)＝li错误!错误!＝li错误!错误!＝3＋错误!。
∴f′（1）＝3＋2＝5。
(限时：30分钟）1．已知函数y＝错误!，当x由2变为1。
5时，函数值y的增量为（)A．1B．2C。
错误! D.错误!解析：Δy＝错误!－错误!＝错误!－1＝错误!。
解析：瞬时速度v＝li错误!错误!＝li错误!错误!＝li错误!错误!＝12.答案:128．给出下列四个命题:①若函数f(x)＝错误!，则f′（0）＝0;②若函数f（x)＝2x2＋1的图象上点(1,3）邻近的一点为（1＋Δx,3＋Δy)，则错误!＝4＋2Δx；③瞬时速度是动点位移函数s（t）对时间t的导数;④曲线y＝x3在点(0，0）处没有切点．其中正确的命题是________．解析：①f(x）＝错误!在x＝0处导数不存在；④y＝x3在点(0,0）处存在切点（0，0)．②③正确．答案：②③9．求曲线y＝错误!在点错误!处的切线的斜率,并写出切线方程．解析：∵y＝错误!，∴k＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝－错误!。
最新(新课标)北师大版高中数学选修1-1全册模块综合练习及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题3.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点（2，4）作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条5.已知对任意的k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）6.已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则AB等于( )A.3B.4C.3D.47.已知抛物线=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-28.若原点到直线bx+ay=ab的距离等于+1，则双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为( )A.2B.3C.5D.69.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )A．－1 B．0 C．1 D．±110.若函数f(x)＝a－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．0＜a＜1 D．0＜a≤1二、填空题（每小题5分）11.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.12.函数f(x)=-+3+9x+a在区间[-2,2]上的最大值是20,则它在该区间上的最小值是.13.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题14.（10分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程.（2）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，|EG|是否为定值?为什么?15.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)17.（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且+=1.（1）求点C的轨迹方程；（2）过点D（2，0）的直线l和点C的轨迹交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，=λ，求λ的取值范围1.B 解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.2.A 解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜-1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.3.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.4.B 解析：因为点（2，4）在抛物线上，则过点（2，4）的抛物线的切线只有一条.当斜率为0时，直线和对称轴平行，这时也只有一个公共点，则符合题意的直线有两条.5.C 解析：直线恒过定点（0，1），若直线与椭圆恒有公共点，只需点（0，1）在椭圆上或在椭圆内部，∴≤1.又m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5.6.C 解析：设A（，3-），B（，3-），由于A，B关于直线x+y=0对称，所以解得或设直线AB的斜率为k，则k=1，所以AB=|-|=3，故选C.7.B 解析：设A（，），B（，），则有=2p，=2p，两式相减得（-）（+）=2p（-）.又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有+=2p.又线段AB的中点的纵坐标为2，即+=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1.8.D 解析：双曲线的半焦距c=（c＞0），由题意得=+1，∴ab=+c.∵+≥2ab，∴ab≤，∴≥+c.又∵c＞0，∴c≥6.故选D.9.B 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.10.B 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.11.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.12.-7 解析：f′(x)＝－3+6x+9.令f′(x)＝0,得x＝-1或x＝3.∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)＞f(-2).∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a＝20,解得a＝－2.∴f(x)＝-+3+9x-2.∴f(-1)＝1+3-9-2＝－7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.14.解：（1）如图，依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线.∵=1，∴p=2.∴曲线C的方程是=4y.（2）设圆M的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为+=+.令y=0得-2ax+4b-4=0.设圆与x轴的两交点分别为（，0），（，0）.方法一：不妨设＞，由求根公式得=，=.∴-=.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b.∴-==4，即|EG|=4.∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.方法二：∵+=2a，·=4b-4，∴=-4·=-4（4b-4）=4-16b+16.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b，∴=16，|-|=4，∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16. 解：(1)当0<x≤10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W(x)＝(2)①当0<x≤10时，由W′(x)＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′(x)>0；当x∈(9,10］时，W′(x)<0，∴当x＝9时，W(x)取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.②当x>10时，W(x)＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W()＝38，故当x＝时，W(x)取最大值38.综合①②知当x＝9时，W(x)取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17.解：（1）设点C（x，y），∵=α+β，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，2），∴即代入+=1，得点C的轨迹方程为+=1.（2）由已知得0＜λ＜1，设M（，），N（，），则由=λ，可得（-2，）=λ（-2，），∴即∵M，N在椭圆上，∴消去，得+（1-）=1，即-=1-.利用平方差公式整理得=（λ≠1）.∵||≤1，∴||≤1，解得≤λ≤3，且λ≠1. 又0＜λ＜1，∴λ的取值范围是[，1).。
(人教版)高中数学选修1-1检测模块综合检测(B) Word版含答案
模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知命题：若＋＝(，∈)，则，全为；命题：若>，则<.给出下列四个复合命题：①且；②或；③¬；④¬.其中真命题的个数是( )．．．．解析：命题为真，命题为假，故或真，¬真．答案：．设集合＝{∈－>}，＝{∈<}，＝{∈(－)>}，则“∈∪”是“∈”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：∪＝{∈<或>}，＝{∈<或>}，∵∪＝，∴∈∪是∈的充分必要条件．答案：．已知椭圆：＋＝，：＋＝，则( )．与顶点相同．与长轴长相同．与短轴长相同．与焦距相等答案：．下列求导运算正确的是( )′＝＋．()′＝)．()′＝．( )′＝解析：∵′＝－；()′＝；( )′＝()′＋( )′＝·－，∴选项正确．答案：．焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，则此椭圆的标准方程是( )＋＝．＋＝＋＝．＋＝解析：＝，＝＝，∴＝，椭圆方程为＋＝.答案：．若双曲线＋＝的离心率是，则实数的值是( )．－．－．．解析：双曲线方程可化为＋＝，∴＝，＝－，＝－，则＝＝－＝，∴＝－.答案：．曲线＝－在点(－，－)处的切线方程是( )．＝＋．＝＋．＝－．＝－解析：′＝－，＝－×(－)＝，∴切线方程为－(－)＝×[－(－)]，即－－＝.答案：．抛物线＝上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标是( )．．解析：设(，)，方程化为＝，则＝＋＝＋＝，∴＝.答案：．直线＝－与抛物线＝交于，两点，且线段的中点的纵坐标为，则的值是( ) ．－．．－或．以上都不是解析：设(，)，(，)，则＝，＝，∴(＋)(－)＝(－)，由已知＋＝，∴＝＝.故选.答案：．把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( ) ．∶．∶π．∶．∶π解析：设圆柱高为，底面半径为，则＝，圆柱体积＝π·＝(－＋)(<<)，。
2017-2018学年高中数学 综合质量评估(含解析)新人教A版选修1-1
综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若A B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A.0B.2C.3D.4【解析】选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,所以在(a,b)内f(x)>f(a)≥0.3.设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为( )A.∃x0∈R,+1>0B.∃x0∈R,+1≤0C.∃x0∈R,+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0【解析】选B.全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称量词换成存在量词,故命题p的否定为“∃x0∈R,+1≤0”.4.已知双曲线-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选D.因为y2=8x焦点是(2,0),所以双曲线-y2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a>0,所以a==,所以双曲线的渐近线方程是y=±x.【补偿训练】(2017·邯郸高二检测)抛物线的准线方程为y=-4,则抛物线的标准方程为( )A.x2=16yB.x2=8yC.y2=16xD.y2=8x【解析】选A.由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴,设抛物线标准方程为:x2=2py(p>0), 因为抛物线的准线方程为y=-4,所以-=-4,所以p=8,所以抛物线的标准方程为:x2=16y.5.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.“x=2且y=-1”满足方程x+y-1=0,故“x=2且y=-1”可推得“点P在直线l:x+y-1=0上”;但方程x+y-1=0有无数多个解,故“点P在直线l:x+y-1=0上”不能推得“x=2且y=-1”.故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的充分不必要条件.6.设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点D.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点【解析】选C.由题意得f′(x)=,令f′(x)>0,得x>3;令f′(x)<0,得0<x<3;f′(x)=0得x=3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)上为增函数,在点x=3处有极小值1-ln3<0;又f(1)=>0,f(e)=-1<0,f=+1>0.故选C.7.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x 0∈R,+2ax0+2-a=0”.若命题“(p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.a≤-2或a=1B.a≤2或1≤a≤2C.a>1D.-2≤a≤1【解析】选C.命题p为真时a≤1;“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”为真,即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2.(p)∧q为真命题,即p真且q真,即a>1.8.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,若∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆离心率为( )A. B.2- C. D.-1【解析】选D.如图所示,直线y=(x+c)的斜率k=,所以倾斜角α=60°,因为∠MF1F2=2∠MF2F1,所以∠MF2F1=30°,所以∠F1MF2=90°,设=m,=n,则有解得e==-1.【补偿训练】设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆的离心率e为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,所以=,因为P为直线x=a上一点,所以2=2c,所以椭圆的离心率为e==.9.已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有≥2恒成立,则a的取值范围是( )A.(-1,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(1,+∞)【解析】选C.因为f(x)=alnx+x2(a>0),对任意两个不等的正实数x1,x2都有≥2恒成立,所以f′(x)=+x≥2(x>0)恒成立,所以a≥2x-x2恒成立,令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,则a≥g(x)max,因为g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1为开口方向向下,对称轴为x=1的抛物线,所以当x=1时,g(x)=2x-x2取得最大值g(1)=1,所以a≥1.即a的取值范围是[1,+∞).10.设O为坐标原点,F1,F2是-=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=a,则该双曲线的渐近线方程为( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±y=0D.x±y=0【解析】选D.如图所示,因为O是F1F2的中点,+=,所以(+)2=(2)2.即||2+||2+2||·||·cos60°=4||2.又因为|PO|=a,所以||2+||2+||||=28a2. ①又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,所以(|PF1|-|PF2|)2=4a2.即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2. ②由①-②得|PF1|·|PF2|=8a2,所以|PF1|2+|PF2|2=20a2.在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°=,所以8a2=20a2-4c2.即c2=3a2.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2.即=2,=±.所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.11.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选 D.设g(x)=e x(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g′(x)=e x(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,当x>-时,g′(x)>0,所以,当x=-时,[g(x)]min=-2.当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1.12.已知a,b∈R,直线y=ax+b+与函数f(x)=tanx的图象在x=-处相切,设g(x)=e x+bx2+a,若在区间[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,则实数m( ) A.有最小值-e B.有最小值eC.有最大值eD.有最大值e+1【解析】选D.注意到函数f(x)=tanx=,所以f′(x)==,即得a=f′=2,又点在直线y=ax+b+上,所以-1=2·+b+,得b=-1,又g(x)=e x-x2+2,所以g′(x)=e x-2x,g″(x)=e x-2,当x∈[1,2]时,g″(x)≥g″(1)=e-2>0,所以g′(x)在[1,2]上单调递增,所以g′(x)≥e-2>0,所以g(x)在[1,2]上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得所以m≤-e或e≤m≤e+1,所以m的最大值为e+1,无最小值.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的____________条件.【解析】对于导数存在的函数f(x),若f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f′(x)<0,如f(x)=-x3在R上是单调递减的,但f′(x)≤0.答案:充分不必要14.(2017·广安高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率为________.【解析】椭圆+=1(a>b>0)焦点在x轴上,设A.将x=代入椭圆方程得+=1,解得y=±,因为△OAF为等边三角形,则tan∠AOF=,所以=×,化为:e4-8e2+4=0,0<e<1,所以e2=4-2,由0<e<1,解得e=-1.答案:-115.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为________.【解析】设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0<x<24).V′=12(24-x)(8-x),令V′=0,则在(0,24)内有x=8,故当x=8时,V有最大值.答案:816.下列语句:①“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件;②“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为真命题;③命题“∃x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”;④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是__________. 【解析】因为当x=1成立时有x2=1成立;当x2=1时,不一定有x=1,所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,故①错误;“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“x≠2时,有x2-3x+2≠0”,而x=1时,x2-3x+2=0,故②错误;命题“∃x0∈R,使得+x0+1<0”的否定应为:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故③错误;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”是真命题,故④正确. 答案:①②③【误区警示】“否命题”与“命题的否定”如果原命题是“若p则q”,那么这个命题的否命题是“若非p,则非q”,而这个命题的否定是“若p则非q”.可见,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,“任意两个”的否定是“某两个”.“p且q”的形式,其否定应该为“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定应该为“非p且非q”.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)命题p:方程+=1,(k∈R)表示双曲线,命题q:函数y=log2(kx2+kx+1)的定义域为R,若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数k的取值范围.【解题指南】首先分别求出命题p,q为真命题时,实数k的取值范围,然后由真值表并结合已知条件命题p,q的关系可得,命题p,q为一真一假,最后根据补集的思想可得出实数k的取值范围.【解析】命题p:由(k-3)(k+3)<0,得-3<k<3,命题q:令t=kx2+kx+1,由t>0对x∈R恒成立.(1)当k=0时,1>0,所以k=0符合题意.(2)当k≠0时,解得所以q:0≤k<4,又因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以或所以-3<k<0或3≤k<4.18.(12分)如图,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知点E(3,0),设点P,Q是椭圆C上的两个动点满足EP⊥EQ,求·的取值范围. 【解析】(1)由离心率e==,得==,所以a=2b. ①因为原点O到直线AB的距离为,直线AB的方程为bx-ay-ab=0,所以=. ②将①代入②,得b2=9,所以a2=36.则椭圆C的标准方程为+=1.(2)因为EP⊥EQ,所以·=0,所以·=·(-)=.设P(x,y),则y2=9-,所以·==(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-=(x-4)2+6.因为-6≤x≤6,所以6≤(x-4)2+6≤81.故·的取值范围为[6,81].19.(12分)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f′(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f′(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=-2x=.因为x∈,所以当g′(x)=0时,x=1.当<x<1时,g′(x)>0;当1<x<e时,g′(x)<0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+<0,则g(e)<g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1<m≤2+,所以实数m的取值范围是.20.(12分)(2017·广州高二检测)某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q与e x成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,销售量为100千克.(每日利润=日销售量×(每千克出厂价-成本价-加工费)).(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的每日利润y最大,并求最大值. 【解析】(1)设日销售量q=,则=100,所以k=100e30,所以日销售量q=,所以y=(25≤x≤40,2≤t≤5).(2)当t=5时,y=,y′=.由y′≥0得x≤26,由y′≤0得x≥26,所以y在[25,26]上单调递增,在[26,40]上单调递减,所以当x=26时,y max=100e4.当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为100e4元.21.(12分)(2015·北京高考)设函数f(x)=-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-=.因为k>0,所以令f′(x)=0得x=,列表如下:) (- +减区间为(0,),增区间为(,+∞).当x=时,取得极小值f()=.(2)当≤1,即0<k≤1时,f(x)在(1,)上单调递增,f(1)=,f()=-=>0,所以f(x)在区间(1,)上没有零点.当1<<,即1<k<e时,f(x)在(1,)上递减,在(,)上递增,f(1)=>0,f()=>0,f()==>0,此时函数没有零点.当≥,即k≥e时,f(x)在(1,)上单调递减,f(1)=>0,f()=<0.所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.综上,若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.22.(12分)(2017·银川高二检测)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当=时,求m的取值范围.【解题指南】(1)首先设出椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),然后由已知可得a,b,c之间的关系,求解即可.(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去y可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式Δ>0,再设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2,x1x2的值,即可得出MN的中点P 的坐标,并结合已知条件可得等式3k2=2m-1,最后得出m的取值范围即可.【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的方程为:+=1(a>b>0),又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为,所以b=1,e==,即b=1,c=a,又a2=b2+c2,所以a2=1+a2,所以a2=3,所以椭圆的方程为:+y2=1.(2)联立消y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于不同的两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0,得:3k2-m2+1>0,①所以x1+x2=-,x1x2=,所以y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=,取MN的中点P,则点P,又=,则AP⊥MN,所以由直线MN的斜率k≠0知直线AP的斜率必存在,所以k AP·k=·k=-1,化简得3k2=2m-1,代入①式得2m-1-m2+1>0,所以m2-2m<0,所以0<m<2,所以m的取值范围是(0,2).【补偿训练】(2017·梅州高二检测)如图所示,椭圆C:x2+=1(0<m<1)的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.(1)若点P的坐标为,求m的值.(2)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求m的取值范围.【解题指南】(1)由题意知M是线段AP的中点,由中点坐标公式可得点M坐标,代入椭圆方程即可得到m值.(2)设M(x0,y0)(-1<x0<1),则+=1,①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标,由OP⊥OM得·=0②,联立①②消去y0,分离出m用基本不等式即可求得m的范围.【解析】(1)依题意,M是线段AP的中点,因为A(-1,0),P,所以,点M的坐标为,由于点M在椭圆C上,所以+=1,解得m=.(2)设M(x0,y0)(-1<x0<1),则+=1,①因为M是线段AP的中点,所以P(2x0+1,2y0).因为OP⊥OM,所以⊥,所以·=0,即x0(2x0+1)+2=0.②由①,②消去y0,整理得m=,所以m=1+≤-,当且仅当x0=-2+时,上式等号成立.所以m的取值范围是.。
2017-2018学年高中数学 模块综合检测 新人教B版选修1-1
模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 C ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0 D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0. 答案：C2．命题“若p 则q ”的逆命题是( ) A ．若q 则p B ．若綈p 则綈q C ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q解析：根据逆命题的概念可知，“若p 则q ”的逆命题为“若q 则p ”． 答案：A3．曲线y ＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角是( )A.π6 B.π3 C.π4D.3π4解析：∵y ＝13x 3－x 2＋5，∴y ′＝x 2－2x .∴y ′|x ＝1＝1－2＝－1. ∴tan θ＝－1，即θ＝34π.答案：D4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：由x 24－y 212＝－1得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)、(0，－4)， 顶点坐标为(0,23)、(0，－23). ∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.答案：D5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1D ．－3或1解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：A6．(陕西高考)设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．答案：D7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3.答案：B8．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，所以f ′(1)＝3a ＋12a ≥－12，即a ＋4a≥－4，又a <0，有a＋4a ≤－4.故a ＋4a＝－4，此时a ＝－2.答案：B9．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 解析：否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性． 答案：D10．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52B.52C.12D ．－12解析：法一：直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212y 21－12y 22＝－1，即y 1＋y 2＝－2，y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝6. 线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1， 代入y ＝x ＋b ，得b ＝－52.法二：设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m 与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2＋2y －2m ＝0.则y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝－2m . 由y 1y 2＝－1得m ＝12.设AB 的中点为M (x 0，y 0)， 则y 0＝y 1＋y 22＝－1，x 0＝m －y 0＝32，又M (32，－1)在y ＝x ＋b 上，∴b ＝－52.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．解析：p 2＝1，即p ＝2；准线方程：x ＝－p2＝－1. 答案：2 x ＝－112．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]13．在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上有一点P ，F 1、F 2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．解析：不妨设点P 在右支上，则2|PF 1|＝|PF 2|＋|F 1F 2|，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c －2a ，|PF 2|＝2c －4a .又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴e 2－6e ＋5＝0.又e ＞1，∴e ＝5.答案：514．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析：由题意设每小时燃料费t 与航速v 间满足t ＝av 3(0≤v ≤30)，又∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的总费用为y ， 则y ＝av 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v，由y ′＝40v －320 000v2＝v 3－v 2＝0得v ＝20<30，且v <20时y ′<0，v >20时y ′>0，∴v ＝20时y 最小． 答案：20海里/小时三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知命题p ：“方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q ：f (x )＝43x 3－2mx 2＋(4m －3)x －m 在(－∞，＋∞)上单调递增，若(綈p )∧q 为真，求m的取值范围．解：p 真时，m >2，q 真时，f ′(x )＝4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0,1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．16．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB ―→＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数． (1)若f (x )在x ＝1处取得的极值为2，求a ，b 的值；(2)若f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，求a 的取值范围． 解：(1)由题设可知：f ′(x )＝3x 2－6ax －b ，f ′(1)＝0且f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a －b ＝0，1－3a －b ＝2，解得a ＝43，b ＝－5.(2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －b ＝3x 2－6ax －9a ， 又f (x )在[－1,2]上为减函数， ∴f ′(x )≤0对x ∈[－1,2]恒成立， 即3x 2－6ax －9a ≤0对x ∈[－1,2]恒成立． ∴f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋6a －9a ≤0，12－12a －9a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥47，⇒a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．18．(本小题满分14分)(北京高考)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx . (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．。
2017-2018学年高中新课标数学人教B版选修1-1：第三章
答案：B
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()
A B C D
解析：令g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex.
∵x＝－1为函数g(x)的一个极值点，
A．a≥3 B．a≤3
C．0＜a≤3 D．－1＜a＜0
解析：∵f′(x)＝－3x2＋a，∴－3x2＋a≥0在(0,1)上恒成立，即a≥3x2在(0,1)上恒成立．∵3x2＜3，∴a≥3.
答案：A
6．函数y＝ln(3x－x3)的单调递增区间是()
A．(0,1) B．(－1,1)
C．(－ ，－1) D．(1， )
答案：－1
14．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝ x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
解析：由题意可知f(1)＝ ×1＋2＝ ，f′(1)＝k＝ ，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
15．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝__________.
第三章 学业水平达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于()
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋ΔxD．4Δx＋(Δx)2
解析：由题意可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，
2017-2018学年人教B版数学选修1-1检测：2.1 椭圆 课时
3．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P 和Q ，则此椭圆的方程是()
A. ＋x2＝1
B. ＋y2＝1
C. ＋y2＝1或x2＋ ＝1
D．以上都不对
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则 解得
∴椭圆方程为x2＋ ＝1.故选A.
答案：A
4．椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为()
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，
∴△PF1F2的周长为18.故选B.
答案：B
2．“m＞n＞0”是方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为 ＋ ＝1，要使焦点在y轴上必须满足 ＞ ＞0，即m＞n＞0，反之亦成立，故选C.
由①②得|PF1||PF2|＝ .
所以S△PF1F2＝ |PF1||PF2|sin∠F1PF2＝ .
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得 · ＜0，即(x＋ ，y)·(x－ ，y)＜0，又y2＝1－ ，所以 x2＜2，解得－ ＜x＜ ，
所以点P横坐标的取值范围是 .
11．如图，已知点P(3,4)是椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若 · ＝0.
解析：由已知得a2＝25＋16＝41，∴△ABF2的周长是4a＝4 .
答案：D
6．以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2， )的椭圆的标准方程为__________．
解析：9x2＋5y2＝45化为标准方程形式为 ＋ ＝1，焦点为(0，±2)，∴c＝2，设所求方程为 ＋ ＝1，