理论力学第十章质点动力学的基本方程
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dv dv = v ,再 离 量 分 分 变 积 。 dt ds
[例4] 一圆锥摆 如图所示。质量 例 一圆锥摆,如图所示 质量m=0.1kg的小球系于长 如图所示。 的小球系于长l=0.3m 的小球系于长 的绳上,绳的另一端系在固定点 绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 的绳上 绳的另一端系在固定点 并与铅直线成 θ = 60o 角。如 小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力 与绳的张力。 小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度 与绳的张力。
ma = F
1）建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定 建立了质点的加速度、 量关系。 量关系。 质量是质点惯性的度量。 质量越大，质点惯性越大） 2）质量是质点惯性的度量。 质量越大，质点惯性越大） （ 3） 重力加速度 g ）
P = mg, g = 9.8m 2 s kg 力的单位: 力的单位:牛[顿], 1N =1 ×1ms2
[例3] 质量为 的质点带有电荷 以速度 0进入强度按 例 质量为m的质点带有电荷 以速度v 进入强度按E=Acoskt变 的质点带有电荷e,以速度 变 化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直 如图所示。质点在 化的均匀电场中 初速度方向与电场强度垂直,如图所示 初速度方向与电场强度垂直 如图所示。 电场中受力 F = −eE 作用。已知常数 作用。已知常数A,k,忽略质点的重力 试求质 忽略质点的重力,试求质 忽略质点的重力 点的运动轨迹。 点的运动轨迹。 解: 属第二类问题 dvx d2x m 2 =m = 0, dt dt dvy d2 y m 2 =m = −eAcoskt dt dt 由 t =0 时 vx = v0, vy = 0, 上式两边取积分： dvx = 0 上式两边取积分：
v2 m = F + m cosθ g N R πn 中 , 当 θ =θ0时 FN = 0, 其 v = 30 R
g ⇒n = 9.549 cosθ0 R
g , 不 离 壁 当 n≥ 9.49 时 球 脱 筒 。 R [思考题：P240 10-1，10-2 思考题： 思考题 ，
n
习题:P241 10-3] 习题
第10章 质点动力学的基本方程 10章
第十章结束
1010-2 质点的运动微分方程 2、在自然轴上的投影 、
由 a = atτ +ann, ab = 0,
v2 dv a a 有 m t = m = ∑F , m n = m = ∑F , 0 = ∑F ni ti bi ρ dt
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力 第一类问题： 第二类问题：已知力求运动 第二类问题： 混合问题：第一类与第二类问题的混合 混合问题：
解题步骤和要点： 解题步骤和要点：
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。 已知的作用力可能是常力 也可能是变力。变力可能是 时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 ①正确选择研究对象。 正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力。 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力。 （应在一般位置上分析，对变力建立力的表达式） 应在一般位置上分析，对变力建立力的表达式） ③正确进行运动分析。 正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件） 除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）
④选择并列出适当的质点运动微分方程。 选择并列出适当的质点运动微分方程。 选择并列出适当的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。 求解未知量 应根据力的函数形式决定如何积分， 应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初 始条件，求出质点的运动。 始条件，求出质点的运动。 1)如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量 如力是常量或是时间及速度函数时， 如力是常量或是时间及速度函数时 dv 对 积 。 分 dt 2)如力是位置的函数，需进行变量置换 如力是位置的函数， 如力是位置的函数
解: 研 小 ， 究 球
0 =Fcosθ −mg v2 m = F sinθ
ρ
中 其 ρ = l sinθ, 解 得 mg F= =1.96N cosθ
Fl sin 2 θ v= = 2.1m s m
来自百度文库
属于混合问题
[例5] 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动， 例 绕通过中心的水平轴匀速转动， 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 的能量，铁球应在θ =θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 。 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。 的能量， 解：研究铁球
1010-2 质点的运动微分方程
r r r 点受 n个力 1， 2， F 作用 ， F F …n 时， 质 到 时
m = ∑F a i
d2r 或 m 2 = ∑F ———质点的运动微分方程 i ———质点的运动微分方程 dt
1 、在直角坐标轴上的投影
d2x d2 y d2z m 2 = ∑F , m 2 = ∑Fyi , m 2 = ∑F xi zi dt dt dt
上式两边取积分： 由 t = 0时 x = y = 0 上式两边取积分：
⇒ dx = v0dt ,
0 0
∫
x
∫
t
eA t ∫0 dy = − mk∫0 sin ktdt
y
得运动方程
x = v0t, y =
eA m k
2
(coskt −1)
消去t, 得轨迹方程 消去
eA k y = 2 cos x −1 v mk 0
1010-2 质点的运动微分方程
解题步骤和要点： 解题步骤和要点：
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） ①正确选择研究对象 （一般选择联系已知量和待求量的质点）。 一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析) ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。 求解未知量。
[例2] 曲柄连杆机构如图所示 曲柄 以匀角速度 例 曲柄连杆机构如图所示.曲柄 曲柄OA以匀角速度 B 的运动方程可近似写为
λ2 λ 1− +r cosωt + cos2 t x =l ω 4 4
动,OA=r,AB=l,当 λ = r/ l比较小时 以O 为坐标原点 滑块 比较小时,以 为坐标原点,滑块 当
第十章 质点动力学的基本方程
引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象： 研究对象： 力学模型： 二.力学模型： 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 1.质点： 质点： 质点 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如：研究卫星的轨道时， 质点； 例如：研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 刚体作平动时, 质点。 质点。 2.质点系： 质点系： 质点系 由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系 是一个特殊的质点系， 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 不变的质点组成。又称为不变质点系。
三.动力学分类: 质点动力学 动力学分类:
质点系动力学
1010-1 动力学的基本定律 第一定律 (惯性定律): 惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 (力与加速度之间的关系定律） 力与加速度之间的关系定律）
v0
∫
vx
∫
vy
0
eA t dvy = − ∫ cosktdt m 0
已知: m, v0 , E = Acos kt, v0 ⊥ E, F = −eE,不 重 已知 计 力 质点的运动轨迹。 求:质点的运动轨迹。 质点的运动轨迹
dx dy eA ⇒vx = =v0, vy = = − sin kt dt mk dt
ω转
如滑块的质量为m, 如滑块的质量为 忽略摩 擦及连杆AB的质量 试求 擦及连杆 的质量,试求 的质量 当ϕ =ωt = 0和π 时连杆 ,连杆 连杆AB 2 所受的力. 所受的力 解：属第一类问题
FN F mg
m x = Fcosβ a −
& 其中 ax = & = −rω2(cosωt +λcos2 t) ω x
4、例题分析 、
[例1] 图示质量为 的球 ，由两根各长为 的杆所支持，此 例 图示质量为m的球 的球M，由两根各长为l 的杆所支持， 绕铅直轴AB转动 转动。 机构以不变的角速度ω绕铅直轴 转动。如AB=2a,两杆的 两杆的 各端均为铰接，且杆重忽略不计，求杆的内力。 各端均为铰接，且杆重忽略不计，求杆的内力。
1010-1 动力学的基本定律 第三定律 (作用与反作用定律): 作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, 方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个 方向相反,沿着同一直线, 物体上。 物体上。 [注] 牛顿三定律有一定的适用范围。与之相适 牛顿三定律有一定的适用范围。 应的参考系称为惯性参考系。 应的参考系称为惯性参考系。 惯性参考系
b
A
解： 属第一类问题
n
FA
an
B FB M
由 an = ∑F , 0 = ∑F m ni bi
⇒m n = FA cosθ + FB cosθ a
ω
mg
0 = FA sinθ − FB sinθ −m g
a 且 n = l 2 −a2ω2
τ
m 2 l ⇒FA = (ω a + g) 2a
m 2 l FB = (ω a − g) 2a
1)当 = 0时 ax = −rω2(1+λ), 且 =0, β ϕ ,
2) ϕ = 当
π
2
⇒F = mrω2(1+λ)
, 时 ax = rω2λ 且 β = l 2 −r2 l cos
⇒F = −mr2ω2
l 2 −r2
[注] 第一类问题较简单，一般将运动方程求导后 第一类问题较简单， 可得到加速度， 可得到加速度，代入质点运动微分方程后即 可求得力。 可求得力。
[例4] 一圆锥摆 如图所示。质量 例 一圆锥摆,如图所示 质量m=0.1kg的小球系于长 如图所示。 的小球系于长l=0.3m 的小球系于长 的绳上,绳的另一端系在固定点 绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 的绳上 绳的另一端系在固定点 并与铅直线成 θ = 60o 角。如 小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力 与绳的张力。 小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度 与绳的张力。
ma = F
1）建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定 建立了质点的加速度、 量关系。 量关系。 质量是质点惯性的度量。 质量越大，质点惯性越大） 2）质量是质点惯性的度量。 质量越大，质点惯性越大） （ 3） 重力加速度 g ）
P = mg, g = 9.8m 2 s kg 力的单位: 力的单位:牛[顿], 1N =1 ×1ms2
[例3] 质量为 的质点带有电荷 以速度 0进入强度按 例 质量为m的质点带有电荷 以速度v 进入强度按E=Acoskt变 的质点带有电荷e,以速度 变 化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直 如图所示。质点在 化的均匀电场中 初速度方向与电场强度垂直,如图所示 初速度方向与电场强度垂直 如图所示。 电场中受力 F = −eE 作用。已知常数 作用。已知常数A,k,忽略质点的重力 试求质 忽略质点的重力,试求质 忽略质点的重力 点的运动轨迹。 点的运动轨迹。 解: 属第二类问题 dvx d2x m 2 =m = 0, dt dt dvy d2 y m 2 =m = −eAcoskt dt dt 由 t =0 时 vx = v0, vy = 0, 上式两边取积分： dvx = 0 上式两边取积分：
v2 m = F + m cosθ g N R πn 中 , 当 θ =θ0时 FN = 0, 其 v = 30 R
g ⇒n = 9.549 cosθ0 R
g , 不 离 壁 当 n≥ 9.49 时 球 脱 筒 。 R [思考题：P240 10-1，10-2 思考题： 思考题 ，
n
习题:P241 10-3] 习题
第10章 质点动力学的基本方程 10章
第十章结束
1010-2 质点的运动微分方程 2、在自然轴上的投影 、
由 a = atτ +ann, ab = 0,
v2 dv a a 有 m t = m = ∑F , m n = m = ∑F , 0 = ∑F ni ti bi ρ dt
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力 第一类问题： 第二类问题：已知力求运动 第二类问题： 混合问题：第一类与第二类问题的混合 混合问题：
解题步骤和要点： 解题步骤和要点：
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。 已知的作用力可能是常力 也可能是变力。变力可能是 时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 ①正确选择研究对象。 正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力。 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力。 （应在一般位置上分析，对变力建立力的表达式） 应在一般位置上分析，对变力建立力的表达式） ③正确进行运动分析。 正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件） 除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）
④选择并列出适当的质点运动微分方程。 选择并列出适当的质点运动微分方程。 选择并列出适当的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。 求解未知量 应根据力的函数形式决定如何积分， 应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初 始条件，求出质点的运动。 始条件，求出质点的运动。 1)如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量 如力是常量或是时间及速度函数时， 如力是常量或是时间及速度函数时 dv 对 积 。 分 dt 2)如力是位置的函数，需进行变量置换 如力是位置的函数， 如力是位置的函数
解: 研 小 ， 究 球
0 =Fcosθ −mg v2 m = F sinθ
ρ
中 其 ρ = l sinθ, 解 得 mg F= =1.96N cosθ
Fl sin 2 θ v= = 2.1m s m
来自百度文库
属于混合问题
[例5] 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动， 例 绕通过中心的水平轴匀速转动， 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石 筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 的能量，铁球应在θ =θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 。 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。 的能量， 解：研究铁球
1010-2 质点的运动微分方程
r r r 点受 n个力 1， 2， F 作用 ， F F …n 时， 质 到 时
m = ∑F a i
d2r 或 m 2 = ∑F ———质点的运动微分方程 i ———质点的运动微分方程 dt
1 、在直角坐标轴上的投影
d2x d2 y d2z m 2 = ∑F , m 2 = ∑Fyi , m 2 = ∑F xi zi dt dt dt
上式两边取积分： 由 t = 0时 x = y = 0 上式两边取积分：
⇒ dx = v0dt ,
0 0
∫
x
∫
t
eA t ∫0 dy = − mk∫0 sin ktdt
y
得运动方程
x = v0t, y =
eA m k
2
(coskt −1)
消去t, 得轨迹方程 消去
eA k y = 2 cos x −1 v mk 0
1010-2 质点的运动微分方程
解题步骤和要点： 解题步骤和要点：
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） ①正确选择研究对象 （一般选择联系已知量和待求量的质点）。 一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析) ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。 求解未知量。
[例2] 曲柄连杆机构如图所示 曲柄 以匀角速度 例 曲柄连杆机构如图所示.曲柄 曲柄OA以匀角速度 B 的运动方程可近似写为
λ2 λ 1− +r cosωt + cos2 t x =l ω 4 4
动,OA=r,AB=l,当 λ = r/ l比较小时 以O 为坐标原点 滑块 比较小时,以 为坐标原点,滑块 当
第十章 质点动力学的基本方程
引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象： 研究对象： 力学模型： 二.力学模型： 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 1.质点： 质点： 质点 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如：研究卫星的轨道时， 质点； 例如：研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 刚体作平动时, 质点。 质点。 2.质点系： 质点系： 质点系 由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系 是一个特殊的质点系， 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 不变的质点组成。又称为不变质点系。
三.动力学分类: 质点动力学 动力学分类:
质点系动力学
1010-1 动力学的基本定律 第一定律 (惯性定律): 惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 (力与加速度之间的关系定律） 力与加速度之间的关系定律）
v0
∫
vx
∫
vy
0
eA t dvy = − ∫ cosktdt m 0
已知: m, v0 , E = Acos kt, v0 ⊥ E, F = −eE,不 重 已知 计 力 质点的运动轨迹。 求:质点的运动轨迹。 质点的运动轨迹
dx dy eA ⇒vx = =v0, vy = = − sin kt dt mk dt
ω转
如滑块的质量为m, 如滑块的质量为 忽略摩 擦及连杆AB的质量 试求 擦及连杆 的质量,试求 的质量 当ϕ =ωt = 0和π 时连杆 ,连杆 连杆AB 2 所受的力. 所受的力 解：属第一类问题
FN F mg
m x = Fcosβ a −
& 其中 ax = & = −rω2(cosωt +λcos2 t) ω x
4、例题分析 、
[例1] 图示质量为 的球 ，由两根各长为 的杆所支持，此 例 图示质量为m的球 的球M，由两根各长为l 的杆所支持， 绕铅直轴AB转动 转动。 机构以不变的角速度ω绕铅直轴 转动。如AB=2a,两杆的 两杆的 各端均为铰接，且杆重忽略不计，求杆的内力。 各端均为铰接，且杆重忽略不计，求杆的内力。
1010-1 动力学的基本定律 第三定律 (作用与反作用定律): 作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, 方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个 方向相反,沿着同一直线, 物体上。 物体上。 [注] 牛顿三定律有一定的适用范围。与之相适 牛顿三定律有一定的适用范围。 应的参考系称为惯性参考系。 应的参考系称为惯性参考系。 惯性参考系
b
A
解： 属第一类问题
n
FA
an
B FB M
由 an = ∑F , 0 = ∑F m ni bi
⇒m n = FA cosθ + FB cosθ a
ω
mg
0 = FA sinθ − FB sinθ −m g
a 且 n = l 2 −a2ω2
τ
m 2 l ⇒FA = (ω a + g) 2a
m 2 l FB = (ω a − g) 2a
1)当 = 0时 ax = −rω2(1+λ), 且 =0, β ϕ ,
2) ϕ = 当
π
2
⇒F = mrω2(1+λ)
, 时 ax = rω2λ 且 β = l 2 −r2 l cos
⇒F = −mr2ω2
l 2 −r2
[注] 第一类问题较简单，一般将运动方程求导后 第一类问题较简单， 可得到加速度， 可得到加速度，代入质点运动微分方程后即 可求得力。 可求得力。