机器人操作臂运动学
机器人概论(2004版)7-第五章 操作臂动力学
此外还有应用高斯原理、阿佩尔（Appel）方程式、旋量对 偶数法和凯恩（Kane）法等来分析动力学问题的。
2009-2-20
机电研究室－李挺 (http:// )
3
机器人概论
第五章 操作臂动力学
c1θ&12
+
1 2
c2θ&22
x
外力做的功W
θ
(x1, y1)
d1 m1
r2
W = T1θ1 + T2θ2
2009-2-20
机电研究室－李挺 (http:// )
θ2 d2
(x2, y2)
m2
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机器人概论
第五章 操作臂动力学
牛顿-欧拉法求解动力学方程
d dt
(
∂K
∂θ&1
2m2 d1d 2
cosθ2 ]θ&&1
+
(m2d
2 2
+
m2 d1d 2
cosθ2 )θ&&2
+
c1θ&1
− 2m2d1d2 sinθ2θ&1θ&2 − m2d1d2 sinθ2θ&22 + (m1 + m2 )gd1 sinθ1 + m2 gd2 sin(θ1 +θ2 )
T2
=
(m2
d
2 2
+
m2 d1d 2
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎣⎡θθ&&1222
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
D112 D212
工业机器人运动学基础篇：运动学构型
工业机器人运动学基础篇：运动学构型本文重点介绍工业机器人常用运动学构形，以下是工业机器人的几种常用结构形式（图），图文描述非常详细，希望能对大家带来帮助！！1、笛卡尔机械臂优点：很容易通过计算机控制实现，容易达到高精度。
缺陷：妨碍工作,且占地面积大,运动速度低,密封性欠缺。
①焊接、搬运、上下料、包装、码垛、拆垛、检测、探伤、分类、装配、贴标、喷码、打码、（软仿型）喷涂、目标跟随、排爆等一系列工作。
②适用于多种类，批量的柔性化作业，提高产品质量，提高劳动生产效率，改进劳动条件和产品的快速更新换代有着显著作用。
2、铰链型机械臂（关节型）关节机器人的关节全都是旋转的,相似于人的手臂,工业机器人中最常见的结构。
它的工作范围较为复杂。
①汽车零配件、模具、钣金件、塑料产品、玻璃制品、陶瓷、航空等的快速检测及产品开发。
②车身装配拆卸、通用机械装配拆卸等制造质量控制等的三坐标测量及误差检测。
③古董、艺术品、雕塑、卡通人物造型、人像成品等的制作。
④汽车整车现场测量和检测等。
3、SCARA机械臂SCARA机器人常用于装配拆卸等作业,最显著的特点是它们在x-y平面上的活动具有较大的柔性,而沿z轴具有很强的刚性,因而,它具有选择性的柔性。
这种机器人在装配作业中取得了较好的使用。
①大量用于装配印刷电路板和电子零部件②搬动和取放物件，如集成电路板等③普通使用于塑料行业、汽车行业、电子产品行业、药品行业和食品工业等领域.④搬取零件和装配工作。
4、球面坐标型机械臂特点：围绕着中心支架附近的工作范围大,两个转动驱动装置容易密封,延伸工作空间较大。
但该坐标复杂,难于控制,且直线驱动装置存在密封的缺陷。
5、圆柱面坐标型机械臂优点：且计算简单;直线部分可使用液压驱动,可输出较大的动力;能够伸入型腔式机器内部。
缺陷：它的手臂能够延伸的空间遭到限制,不能到达近立柱或近地面的空间;直线驱动部分难以密封、防尘;后臂工作时,手臂后端会碰到运动范围内别的物体。
机器人学导论第4章操作臂逆运动学
我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封闭解和数值解法。由于数值解 法的迭代性质，因此它一般要比相应的封闭解法的求解速度慢很多。实际上 在大多数情况下，我们并不喜欢用数值解法求解运动学问题。因为封闭解的 计算速度快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。
“封闭形式”意指基于解析形式的解法，或者意指对于不高于四次的多项式 不用迭代便可完全求解。可将封闭解的求解方法分为两类：代数法和几何法。 有时它们的区别又并不明显：任何几何方法中都引入了代数描述，因此这两 种方法是相似的。这两种方法的区别或许仅是求解过程的不同。
多重解问题
在求解运动学方程时可能遇到的另一个问题就是多重解问题。一个具有3个旋转关节的 平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作空间内的任何位置，因此在平面中有较大的 灵巧工作空间（给定适当的连杆长度和大的关节运动范围）。图4-2所示为在某一位姿 下带有末端执行器的三连杆平面操作臂。虚线表示第二个可能的位形，在这个位形下， 末端执行器的可达位姿与第一个位形相同。
4.1 概述 • 在上一章中讨论了已知操作臂的关节角，计算工具 坐标系相对于用户工作台坐标系的位置和姿态的问 题。在本章中，将研究难度更大的运动学逆问题 :已 知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿 态，如何计算一系列满足期望要求的关节角? • 第3章重点讨论操作臂的运动学正问题，而本章重点 讨论操作臂的运动学逆问题。
4.4 代数解法与几何解法
代数解法：以第三章所介绍三连杆平面操作臂为例，其坐标和连杆参数如下
按第三章的方法，应用这些连杆参数可以求得这个机械臂的运动学方程：
c123 s 123 B 0 T T W 3 0 0
s123 c123 0 0
0 0 1 0
机械臂的运动学与逆运动学分析
机械臂的运动学与逆运动学分析机械臂是一种能够模拟人类手臂运动的自动化机器人。
它广泛应用于工业领域，用于完成各种复杂的操作任务。
机械臂的运动控制是实现其功能的关键，其中运动学和逆运动学分析是研究机械臂运动的基础。
一、机械臂的运动学分析运动学分析主要关注机械臂的位置、速度和加速度等运动参数的计算。
机械臂主要由关节连接的刚性杆件组成，每个关节可以沿特定方向进行旋转或平移运动。
在机械臂运动学中，我们关注的是机械臂末端执行器的位置和姿态。
1. 正运动学分析正运动学分析指的是根据机械臂各关节的运动参数，计算机械臂末端执行器的位置和姿态。
通常，我们采用坐标变换矩阵的方法来进行计算。
通过将各个关节的运动连续相乘，可以得到机械臂末端执行器相对于机械臂基座标系的位姿矩阵。
以一个3自由度的机械臂为例，设第一关节绕Z轴旋转角度为θ1，第二关节绕Y轴旋转角度为θ2，第三关节绕X轴旋转角度为θ3。
则机械臂末端执行器相对于基座标系的位姿矩阵可以表示为：[cos(θ2+θ3) -sin(θ2+θ3) 0 a1*cos(θ1)+a2*cos(θ1+θ2)+a3*cos(θ1+θ2+θ3)][sin(θ2+θ3) cos(θ2+θ3) 0 a1*sin(θ1)+a2*sin(θ1+θ2)+a3*sin(θ1+θ2+θ3)][0 0 1 d1+d2+d3][0 0 0 1]其中，a1、a2、a3和d1、d2、d3分别为机械臂的长度和位移参数。
通过这个矩阵，我们可以得到机械臂末端执行器的位置和姿态。
2. 速度和加速度分析除了机械臂末端执行器的位置和姿态，机械臂的速度和加速度也是非常重要的运动参数。
通过对机械臂运动学模型的导数运算，我们可以得到机械臂的速度和加速度表达式。
机械臂的速度可以表示为：v = J(q) * q_dot其中，v为机械臂末端执行器的速度向量，J(q)为机械臂的雅可比矩阵，q为机械臂各关节的角度向量，q_dot为各关节的角速度向量。
机械臂运动学.
机械臂运动学基础1、机械臂的运动学模型机械臂运动学研究的是机械臂运动，而不考虑产生运动的力。
运动学研究机械臂的位置，速度和加速度。
机械臂的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容，特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。
典型的机械臂由一些串行连接的关节和连杆组成。
每个关节具有一个自由度，平移或旋转。
对于具有n个关节的机械臂，关节的编号从1到n，有n +1个连杆，编号从0到n。
连杆0是机械臂的基础，一般是固定的，连杆n上带有末端执行器。
关节i连接连杆i和连杆i-1。
一个连杆可以被视为一个刚体，确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。
一个连杆可以用两个参数描述，连杆长度和连杆扭转，这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空间的相对位置。
而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义，一般选择为0。
一个关节用两个参数描述，一是连杆的偏移，是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距离。
二是关节角度，指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。
为了便于描述的每一个关节的位置，我们在每一个关节设置一个坐标系，对于一个关节链，Denavit和Hartenberg提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。
对于转动关节i，规定它的转动平行于坐标轴z i-1，坐标轴x i-1对准从z i-1到z i的法线方向，如果z i-1与z i相交，则x i-1取z i−1×z i的方向。
连杆，关节参数概括如下：●连杆长度a i沿着x i轴从z i-1和z i轴之间的距离;●连杆扭转αi从z i-1轴到zi轴相对x i-1轴夹角;●连杆偏移d i从坐标系i-1的原点沿着z i-1轴到x i轴的距离;●关节角度θi x i-1轴和x i轴之间关于z i-1轴的夹角。
对于一个转动关节θi 是关节变量，d i 是常数。
而移动关节d i 是可变的，θi 是恒定的。
为了统一，表示为ii iq d θ⎧=⎨⎩转动关节移动关节 运用Denavit-Hartenberg （DH ）方法，可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为一个4x4的齐次变换矩阵1cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin 0sin cos 01ii i i i i i i i ii ii i i i iii a a A d θθαθαθθθαθαθαα--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦上式表示出了坐标系i 相对于坐标系i-1的关系。
第3章 机器人导论操作臂运动学
3.4 对连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，需要在每个连杆上定义一个固连 坐标系。根据固连坐标系所在连杆的编号对固连坐标系命名，因此，固连在连杆i上的 固连坐标系称为坐标系{i}。
连杆链中的中间连杆
ˆ 轴称为 Z ˆ ， 坐标系{i}的 Z i 并与关节轴 i 重合，坐标系 {i}的原点位于公垂线 ai 与 ˆ沿 关节轴i的交点处。 X i ai 方向由关节 i 指向关节 i+1。
• 正运动学 • 知道操作臂的关节转角，去确定操作臂末端 执行器的位姿。
3.2 连杆描述
• 操作臂可以看成由一系列刚体通过关节连接而成的 一个运动链，我们将这些刚体称为连杆。通过关节 将两个相邻的连杆连接起来。
• 当两个刚体之间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，连 接相邻两个刚体的运动副称为低副。图3-1所示为六种常用的 低副关节。
例3.2 一个机器人由连杆1和连杆2两个连杆相互连接组成，如图3-3所示。关节2由连 杆1的支承“B”和连杆2的支承“A”组成，支承“A”和支承“B”的装配面为平面， 两者的装配面直接接触。求连杆偏距d2。
连杆偏距d2是关节2上的偏距，它是连杆1 和连杆 2 之间公垂线沿关节轴 2 方向的距 离。由图3-3可知， d2=2.5英寸。
当ai=0时，Xi垂直于Zi和Zi+1所在的平面。按右手定则绕Xi轴的转 角定义为αi ，由于Xi轴的方向可以有两种选择，因此αi的符号也 有两种选择。 Yi 轴由右手定则确定，从而完成了对坐标系 {i} 的 定义。图3-5所示为一般操作臂上坐标系{i-1}和{i}的位置。
中间连杆
与中间连杆i 1固接 的坐标系为 {i 1}；
② ( 对首、末连杆连接的描 述 )： a) b) 1 0为原位。 d1 0为原位。
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
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关节变量
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2
1.2 描述：位置、姿态和坐标系
位置描述
一旦建立坐标系，就能用一
个3*1的位置矢量对世界坐标 系中的任何点进行定位。因 为在世界坐标系中经常还要 定义许多坐标系，因此在位 置矢量上附加一信息，标明 是在哪一坐标系中被定义的。
例如：AP表示矢量P在A坐标系中的表示。
BP 表示矢量P在B坐标系中的表示。
c os90
c os120 c os30 c os90
XB XA
X
B
YA
X B Z A
c os90 c os90 cos0
]
YB X A YB YA YB Z A
ZB XA
ZB
YA
ZB Z A
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5
坐标系的变换
完整描述上图中操作手位姿所需的信息为位置和姿态。机器人学中
在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前 提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多 移动小关节，少移动大关节”的原则。
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4 PUMA560机器人运动学反解-反变换法
❖ 由于z4 , z5, z6 交于一点W,点W在基础坐标系中的位置仅与 1,2,3
有关。据此，可先解出 1,2,3 ，再分离出 4 ,5,6 ，并逐
PUMA560变换矩阵
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21
将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵
06T 01T (1)21T (2 )23T (3 )34T (4 )45T (5 )56T (6 )
什么是机器人运动学正解？ 什么是机器人运动学反解？
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22
操作臂运动学反解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、 在进行反解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度 快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。 操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到：代数解和 几何解。 一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多， 即运动学反解的数目也越多。
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上面的约定对于关节6同样适用。
.
连杆参数和关节变量
每个连杆由四个参数 a i 1 i 1 d i i 来描述，a i 1 i 1描述连杆i-1本身的特征，d i i 描述连杆i-1与连杆i之间的联系。对于旋
基本思想：每个关节分配一个坐标系。用D-H参数， 描述框{i}相对于前一个框{i-1}的位姿需要4个参数
参数/变量: , a , d,
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1) ( i - 1)
a(i - 1 )
Yi Zi
Xi
ai
di
i
.
1） ai-1
定义: ai-1 两个关节轴线公垂线的长度. 关节轴是 围绕它发生旋转的有向空间直线，在图中是 Zi-1 和 Zi 轴。
a(i - 1
)
Yi Zi
di
Xi ai
i
.
.
首、末连杆
Specification of Base & Final link frames
Base frame 0 is fixed at the base. Final frame n is fixed at the gripper.
.
D-H参数
( i - 1)
Yi Zi
di
Xi ai
i
.
4) i
为了对准X(i-1) 轴和Xi 轴，绕Zi 轴所需转动的角度
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1)
a(i - 1 )
( i - 1)
Yi Zi
di
Xi ai
i
.
连杆的描述参数
为了运动学建模的目的，一个连杆由两个数 字来确定，这两个数字规定了空间这两个轴 线的相对位置。
Z(i - 1)
.
连杆变换
i
1 i
T
连杆变换可以看成是坐标系{i}经以下四个子变换得到
的：
用4个参数
i1
a i1
i d i 对准两个关
节的轴线
(a) rotationi-1 abouat xisxi1;
(b) translaotni ai1 alongaxisxi1;
(c) rotationi abouat xiszi;
(d) translaotni di alongaxiszi.
.
连杆变换矩阵
因为这些子变换都是相对于动坐标系描述的，按照 “从左向右”的原则．得到
i 1 iT R (x ,o i 1 ) T t r (x ,a a i 1 ) R n (z ,o s i) T t r (z ,d a i) ns
图示方法： 若已经定义了坐标系, 公垂线通常是X(i-1) 轴.因此 a(i-1) 恰是沿着X(i-1)从框{i-1} 到框{i }的位移
如果连杆是移动关节, 那么 a(i-1) 是变量，而不是参数
.
2) (i-1)
定义: 使关节轴平行时，绕公垂线旋转的角度. 按右手规则确定正向旋转。
绕X(i-1) 轴旋转使 Z(i-1) 指向Zi 轴的方向
.
.
连杆的描述
n自由度机械臂-->n个单自由度关节与 n-1个零长度连杆组成的模型。
只考虑具有单自由度关节的操作器。 连杆编号由固定基座开始：
固定基座－连杆0 第一个运动体－连杆1
通常为了能在三维空间定位末端执行器，最少要求有6个关节。
.
连杆坐标系
关节 1 是垂直于肩, 关节 2 经过肩水平线, 关 节 3 是在肘部。关节 4, 5 & 6 是在手腕上，初始位 置关节4 和关节6 共同沿 着前臂,关节5 垂直于关 节4 和关节6。
机器人技术基础
第三章 操作臂运动学
课程的基本要求: 熟练掌握机器人运动学正解的DH矩阵方法，掌握运动学反解的基本原理。理解机 器人运动的二个描述空间。 背景知识 机器人运动学 机器人逆运动学 关节空间与操作空间
.
第三章 操作臂运动学
3.1 连杆参数和连杆坐标系 Denavit - Hartenberg Parameters
连杆长度
a i 1
连杆扭转角(twist)
i1
n
.
连杆连接参数的描述
中间连杆
两条连杆之间的偏 置 di
两条连杆之间的关 节角 i
.
首、末连杆
对于运动链两端，按习惯约定
a0a60,060
d1和d6以及θ1和θ6的确定方法如下。 若关节1是转动关节，则θ1是可变的，
称为关节变量，规定θ1 ＝0为连杆1的 零位。习惯约定d1＝0
.
连杆坐标系
zi1joinatxiis-1,direct:iaornbitrary xi1commnoonrmbaeltweaexneis-1anid
direct:ifornom joini-t1tojoini t yi1yi1zi1xi1
Z(i - 1)
Y(i -1)
( i -
1)
X(i -1)
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1)
a(i - 1 )
Hale Waihona Puke ( i - 1)Yi Zi
di
Xi ai
i
.
3) di
定义: 为了使公垂线a(i-1)和公垂线ai与Zi的交点对起，沿 Zi 轴所需的位移。 即，沿Zi 对准X(i-1) 和 Xi 轴.
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1)
a(i - 1 )
转关节i仅 i 是关节变量，其他三个参数 固定不变；对于移动关节i，仅d i 是关节 变量，其他三个参数因定不变。这种描 述机构运动的方法首先是Denavit和 Hartenberg提出来的，称为D-H方法。
.
一个6关节的机器人，用18个参数可以完全 表示它的运动学中固定部分，而用6个关 节变量描述运动学变动部分。
.
连杆参数和关节变量
αi-1＝从zi-1到zi沿xi-1旋转的角度 ai-1 ＝从zi-1到zi沿xi-1测量的距离 di＝从xi-1到xi沿zi测量的距离 θi＝从xi-1到xi沿zi旋转的角度
连杆参数
a i1
i1 di i
连杆i-1几何特征
移动关节 转. 动关节
关节变量
3.1连杆变换和运动学方程
Zi - 1 i-1
Yi -1
Xi -1
ai - 1
Yi Zi Xi ai
di
i
.
连杆参数a(i-1) 的 识别方法：
Z(i - 1)
Y(i -1)
X(i -1) ( i - 1)
a(i - 1 )
Yi Zi
di
Xi ai
i
可视化方法：想象一个圆柱面围绕轴Z(i-1) 扩展 – 当圆 柱面刚刚触及轴 i 时，圆柱的半径等于a(i-1)。