2014矩阵分析试卷
考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年]行列式=( )．A．(ad-bc)2B．一(ad-bc)2C．a2d2一b2c2D．一a2d2+b2c2正确答案：B解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知识模块：矩阵4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵填空题5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式6．[2015年] n阶行列式=______.正确答案：2n+1-2解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式7．[2016年]行列式=______．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．正确答案：一22n-1／3解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·正确答案：2解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．正确答案：2解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．正确答案：1/9解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．正确答案：3解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．正确答案：λ≠1解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．正确答案：3解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．正确答案：O解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
沈阳工业大学2014年矩阵分析习题
沈阳工业大学2014年矩阵分析习题1、在R22⨯中，求由基（Ⅰ）：A 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1012，A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2210，A 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112，A 4=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131改为基（Ⅱ） B1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0121，B2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111，B3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1121，B4=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1011过渡矩阵。
解法1：直接法。
为求B1在基（Ⅰ）下的坐标，设 B1=k1A1+k2A2+k3A3+k4A4比较上式等号两矩阵的对应元素，可得线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2221112031111202⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321k k k k =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0121 惟一解，即B1在基于（Ⅰ）下坐标为)1,0,1,0(-=βT。
同理可得B2，B3，B4在基（Ⅰ）下的坐标依次为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10112β，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10013β，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11014β于是，由基（Ⅰ）改变为基（Ⅱ）的过渡矩阵为C=（⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1111100000111110)4,3,2,1ββββ） 解法2 采用中介法 R22⨯的简单基E11，E12，E21，E22，直接写出简单基改变为基（Ⅰ）和基（Ⅱ）的过渡矩阵C1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2221112031111202C2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1110011112121111由基（Ⅰ）改变为基（Ⅱ）的过渡矩阵为C=C 11-C 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1111100000111110 2、在实数域R 上，二维向量集合{}),(21x x V ==α，定义如下的加法运算与数乘运算：对于{}),(11b a =α，()22,b a =β，()()()2121212211,,,a a b b a a b a b a +++=⊕=⊕βα，k ⊙α=k ⊙()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=21111121,,a k k kb ka b a .证明：V 是一个线性空间。
矩阵分析考试题及答案
矩阵分析考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A和矩阵B的乘积AB是（）。
A. 可逆的B. 不可逆的C. 非方阵D. 零矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指（）。
A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中行向量的最大线性无关组的个数C. 矩阵中列向量的最大线性无关组的个数D. 矩阵中行向量和列向量的最大线性无关组的个数答案：B3. 矩阵的特征值是（）。
A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的非对角线元素C. 矩阵的特征多项式的根D. 矩阵的行列式答案：C4. 矩阵A和矩阵B相似的条件是（）。
A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B有相同的特征值D. A和B的秩相等答案：C5. 矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A'B. A^TC. A^-1D. A^*答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则矩阵A是不可逆的。
答案：不可逆的2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB等于BA的条件是A和B都是方阵。
答案：方阵3. 矩阵的秩等于矩阵的。
答案：行秩或列秩4. 矩阵的特征值是矩阵的特征多项式的根。
答案：特征多项式5. 矩阵的转置记作。
答案：A^T三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算矩阵A=\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式。
答案：\(\boxed{-2}\)2. 求矩阵B=\(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)的特征值。
答案：特征值为\(\boxed{1}\)和\(\boxed{5}\)四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明如果矩阵A和B是可逆的，则它们的乘积AB也是可逆的。
答案：略2. 证明矩阵A的特征值的和等于矩阵A的迹。
答案：略。
中科大2014矩阵分析期末试卷
矩阵试卷 2014-1-5by 苏肖龙 李德方1、判断题（20分）1)矩阵的初等行变换可以改变矩阵的列秩？2)是格的一组约化基，那么是的判别ω1,ω2,……ωn ΛLLL ‖ω1‖≤2n ‒38d (Λ)1n，其中d(Λ)Λ式？3)酉方阵的特征值的绝对值一定等于1？4)给定一个矩阵，它的广义逆矩阵不存在或者是唯一的？5)不是中的本原多项式？x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x 1+1F 2[x ]2、（15分）给出课堂上提到过的矩阵之间的所有的等价关系，并给出详细解释。
3、（15分）1)将如下二次型化为标准型：x 1x 2+x 2x 3+x 1x 4+x 3x 42)是如下的对称矩阵，求出一个可逆方阵,使得是对角形：A P P T AP A =(‒23631‒16‒14)4、10分） 是如下的n 阶循环矩阵A 000a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦１ｎ－１１２ｎ－１ｎ－２．．．．．．． ． ． 1）给出可逆的条件；A 2）在可逆的情况下，求出的你方阵。
A A 5.（20分）1）画出以 为反馈多项式的的框图；３２＋＋１x x LFSR 2）该输出序列 的周期为多少？是否为序列？如果是，给出详细的游程分布LFSR {}S=s i m （各种长度的0游程和1游程的个数）。
3）令 ，T 称为S 的一条采样序列，T 是否为m 序列？如果是，求出T 的线性递归{}M T s =方程；4）两条序列S 和T 的互相关定义为：，其中N 为和的周1S,T 0C ()(1)N S T ττττ-+==-∑S T 期，对于，求出 的值，并解释你发现的规律。
05τ≤≤,()S T C Γ6、（20分）是一个的矩阵（），是一个的对角方阵，找到和使H 0M ×K M >K D 0K ×K H 1D 1得 =，其中的行数为，列数不定，的列数为，行数不定，而且的H 0×D 0D 1×H 1D 1M H 1K D 1元素只和有关，与无关，要求：的列数（即的行数）越小越好。
2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解
将其单位化，得 ......7分
令 ,则 为正交矩阵，
经正交变换 ，化二次型为标准形 ......9分
4、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组 线性相关，故存在不全为零的常数 ，使得
......2分
其中必有 。否则，如果 ，则上式化为
其中 不全为零，由此推出 线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分
19.设向量
,试确定当 取何值时 能由 线性表出，并写出表示式。
20.求线性方程组 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 与可逆矩阵 ，使得 。
22.用正交变换将二次型 化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分）
23.设向量组 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数 使得 。
3.设向量组 的秩为2，则 中 【 】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵 ,则下列向量中是 的属于特征值 的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5.二次型 的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式 =2，若元素 的代数余子公式为 （i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2.设 为3阶矩阵，将 的第3行乘以 得到单位矩阵 ，
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)
2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。
在3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-；21232,2,(2)x x βββ==-=-。
（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。
二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,,,)T n n x x x x R=∈满足11(0,,,)n Tx x x -=。
（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设1023510224i A i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，120x i -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，i = 。
计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。
四．（10分）求矩阵1123101032160113A -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵011110101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的正交三角分解A UR =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。
证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。
2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。
3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。
七． （24分） 设100011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：20 矩阵与变换
常考问题20 矩阵与变换1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎨⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5⇒⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5. 2．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.3．(2013·南京，盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量． 解 (1)设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd . 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3b a ＋4b 2c ＋3d c ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎨⎧2a ＋3b ＝1，2c ＋3d ＝0，a ＋4b ＝0，c ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝45，b ＝－15，c ＝－35，d ＝25，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45 －15－35 25. (2)矩阵A 的特征多项式为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ－4＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎨⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎨⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．解 由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎨⎧ 2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，得矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4353395．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解 由题设得，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知： |k |＝2×1＝2.所以k 的值为2或－2.6．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量； (2)求逆矩阵M－1以及椭圆x 24＋y 29＝1在M －1的作用下的新曲线的方程．解 由题意M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003， (1)由|M －λE |＝0得，λ1＝2，λ2＝3， 当λ1＝2，⎩⎨⎧ (2－2)x ＝0，3y ＝0，∴y ＝0，取x ＝1； 当λ2＝3，⎩⎨⎧2x ＝0，(3－3)y ＝0，∴x ＝0，取y ＝1.所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，特征值3对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(2)由逆矩阵公式得：M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13， 设P (x 0，y 0)是椭圆x 24＋y 29＝1上任意一点P 在M －1下对应P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝3y ，所以，椭圆x 24＋y 29＝1在M －1的作用下的新曲线的方程为 x 2＋y 2＝1.。
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2014矩阵分析试卷
一、判断题（不要求证明）（20分）
1.设n 是大于1的整数，{()|()}V f x f x n F =是次数小于的域上的多项式，V 关于多项式的加法与数乘是一个域F 上的线性空间。
（ √ ）
2.设a r 为XOY 面上的非零向量，V 为XOY 面内所有不平行于a r
的向量构成的集合，V 关于向量的加法与数乘是一个域R 上的线性空间。
（ × ） 3.设V 是域F 上的线性空间, V α∈不是零向量，映射:,()V V ξξα→=+A A 是V 上的线性变
换。
（ × ）
4. 设A 是数域R 上的对称阵，映射:,()n n R R A αα→=A A 是n
R
上的对称变换。
（ √ ）
二、计算题 1. （1,1,1,1）T 2. 已知1
12212W
={,},W ={,}Span a a Span b b ，而
1212(0,1,1,1),(1,0,2,0);(0,3,3,1),(1,2,0,0)a a b b =-==-=。
12W W ⋂的基为(1,1,3,1)T --与维数1；
12122212W +W ={,,}={,,}span span ααβαββ的基122,,ααβ或212,,αββ与维数3
3.
23:,()R R A
ββ→=A A ，基
123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1)
ααα===及基
12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵为110=211T
B ⎛⎫ ⎪
⎝⎭。
4. （10分）设线性变换22:R R →A
，在基12(1,0),(0,1)ββ==的矩阵为12=24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求A
的核为{k(-2,1)| k}T ∀、值域的基1
2+2β
β，维数1。
6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
的满秩分解
7.（24分）设矩阵308=3-16-20-5A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
，求可逆矩阵P ，使得1
P AP -为约当阵。
A E -λ = ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+---502613803
λλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1(0001
0001λλ，
于是A 的初等因子是1+λ, 2
)1(+λ,故A 的若尔当标准形为
J = 100011001骣-÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷÷ç-桫。
=-1λ对对应的特征向量为()1
2
=2,0,1,=(0,1,0)T
T
ηη- ,
另3
1
1
2
2
(-k ηηη-+E A)=k ,取1
2
=1=-1k ，k ，解得()3
=1/2,0,0T
η，故201/2010100P 骣-÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫
三、证明题（10分） 设:V
V ℑ→是酉空间上的线性变换，证明ℑ是酉变换的充要条件是：对所有V α∈有
()αα
ℑ=。
答案
一、1.（√）2.（╳）3.（╳）4.（√） 二、计算题 1. 1
234=1e
+1e +1e +1e α，故坐标为。
=(1,111)
T X ，， （8分） 2. （8分）显然1
2,a
a 为方程组31242
2x x x x x =-⎧⎨
=⎩的基础解系，而1
W 方程组的解空间
12,b b 为方程组21434
2+3-3x x x x x =⎧⎨
=⎩的基础解系，而1
W 方程组的解空间
因而12W W ⋂为方程组2143431242
2+3-32x x x x x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨
=-⎪⎪=⎩的的解空间，其基础解析为=(-1,1-31)T a ，，，故12W W ⋂的基为a ，维数为1。
121212121W +W ={,,,}{,,}Span a a b b Span a a b =，故12W +W 的基为121,,a a b ，维数为3。
3.（8分）设线性映射
23:,()R R A ββ→=A A ，其中110=211A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求
A
在基
123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1)ααα===及基12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵表示。
设线性映射
32:,()R R A αα
→=A A ，其中
110=211A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求
A
在基
123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T ααα===及基12(1,0),(0,1)T T ββ==下的矩阵表示。
4. （10
分）设线性变换
22
:R R →A ，在基
12(1,0),(0,1)
ββ==的矩阵为
12=24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12=36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求A 的核、值域的基与维数。
5.（8分）求矩阵308=3-16-20-5A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11-1=-3-33-2-22A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的约当标准型。
6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21-231=25-141-233-2-1A ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解
7.（20分）求微分方程组'112
'
2123'3
2()22()22()2x t x x x t x x x x t x
⎧=-⎪=-+-⎨⎪=-⎩的通解。
三、证明题（10分） 设:V
V ℑ→是酉空间上的线性变换，证明ℑ是酉变换的充要条件是：对所有V α∈有
()αα
ℑ=。